CÁLCULO L1 NOTAS DA SETA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula definiremos as demais funções trigonométricas, que são obtidas a partir das funções seno e cosseno, e determinaremos suas derivadas. 1. As funções tangente e secante As expressões para as funções tangente e secante são tg sen cos sec 1 cos Estas expressões não estão definidas para todos os valores de para os quais cos 0. Isto ocorre quando + k, com k Z. Portanto, as funções tangente e secante possuem o mesmo domínio que é { R : } não é múltiplo inteiro de Dividindo a seguinte identidade fundametal sen + cos 1 que foi estabelecida na aula anterior, por cos obtemos ( ) sen + 1 sen + cos 1 ( ) 1 cos cos cos cos Isto é, (1) tg + 1 sec que é a identidade fundamental envolvendo as funções tangente e secante. Existe uma identidade para a tangente da soma de dois ângulos que estabeleceremos a seguir. Utilizando a expressão para o seno e o cosseno da soma de dois ângulos, obtemos que sen(α + β) sen α cos β + cos α sen β tg (α + β) cos(α + β) sen α sen β Dividindo o numerador e o denominador por, temos que tg (α + β) Conseqüentemente sen α cos β+cos α sen β sen α sen β () tg (α + β) sen α cos β + cos α sen β sen α sen β tg α + tg β 1 tg α tg β Estas notas foram escritas pelo professor da disciplina, Manoel Lemos. 1 sen α + sen β 1 sen α cos α sen β cos β
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Esta expressão só faz sentido quando cos α, cos β e cos(α + β) são todos não nulos. Isto é, nenhum dos ângulos α, β e α + β é da forma + k, para algum k Z. Este fato foi utilizado livremente neste parágrafo. Fazendo α em (), chegamos à tg ( + β) tg + tg β 1 tg tg β 0 + tg β 1 0 tg β tg β Conseqüentemente é um múltiplo inteiro do período da função tangente. Ao fazermos o gráfico desta função, veremos que é o seu período. Lembre-se que utilizamos Q α para representar o ponto de coordenadas (cos α, sen α). Na figura seguinte, os segmentos RQ α e P S são perpendiculares ao eixo das abscissas. Quando Q α está no primeiro quadrante, tg α sen α cos α RQ α OR P S OP P S a terceira igualdade segue pelo Teorema de Tales, pois os triângulos ORQ α e OP S são semelhantes. Portanto, a ordenada do ponto S é igual a tg α. Não é difícil extender este resultado quando o ponto Q α está em outro quadrante que não é o primeiro. S Q α O R P Observando a coordenada do ponto S, quando α percorre o intervalo (, ), concluímos que a função tg α é crescente neste intervalo. Em particular, o seu período é. Mais ainda, os valores de tg α percorrem todo o intervalo (, + ). O gráfico da função tangente é representado na próxima figura.
Para esta função temos os seguintes limites laterais lim + MANOEL LEMOS 3 tg e lim tg + Agora apresentaremos dois períodos do gráfico da função secante, cuja forma pode ser facilmente obtida a partir do gráfico do cosseno. 1 Note que lim + sec lim sec + e lim + sec lim sec 3 Regra 1. Se r() tg, então r () sec A regra do quociente afirma que (3) r () f ()g() f()g () g() quando r() f() g() Neste caso f() sen e g(x) cos. Como f () cos e g () sen, obtemos que r () cos cos sen ( sen ) cos cos + sen cos 1 cos sec Exemplo. Encontre a reta normal à curva de equação tg no ponto de coordenadas (, 0). Como esta curva é o gráfico da função f() tg, a equação da reta normal no ponto de coordenadas (a, f(a)) é f(a) 1 ( a) f (a) quando f (a) 0. Pela Regra 1, f (a) sec a. Para esta função específica, a equação da reta normal passa a ser tg a 1 ( a) sec a Quando a, tg 0 e sec 1. Portanto, a equação da reta normal à esta curva no ponto de coordenadas (, 0) é 0 ( ) que pode ser reescrita como + 0.
4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Exercício 3. Determine o número de retas tangentes à curva de equação tg, cuja abscissa do ponto de tangência pertence ao intervalo [0, 100], que são paralelas a reta de equação: (i) + 56 0 (ii) 56 0 (iii) 0 Regra 4. Se r() sec, então r () tg sec Obtemos r () substituindo, em (3), f() e g() por respectivamente 1 e cos. Neste caso f () 0, g () sen e daí r () 0 cos 1( sen ) cos sen cos sen 1 cos cos. As funções cotangente e cossecante tg sec As expressões para as funções cotangente e cossecante são cotg cos sen cossec 1 sen Estas expressões não estão definidas para todos os valores de para os quais sen 0. Isto ocorre quando k, com k Z. Portanto, as funções cotangente e cossecante possuem o mesmo domínio que é Dividindo a seguinte identidade fundametal { R : não é múltiplo inteiro de } sen + cos 1 que foi estabelecida na aula antierior, por sen obtemos ( ) cos 1 + 1 + cos sen sen sen + cos sen Isto é, (4) cotg + 1 cossec ( ) 1 1 sen sen Esta identidade será muito utilizada quando lidarmos com estas funções. Exercício 5. Decida sobre a veracidade de cada uma das seguintes sentenças: (i) tg α cotg α 1 para todo número real α que não é múltiplo inteiro de (ii) (tg α + cotg α) sen α para todo número real α que não é múltiplo inteiro de (iii) O período da função cotangente é igual a (iv) O período da função cossecante é igual a (v) cotg α cotg( α) cotg α cotg β 1 cotg α+ cotg β (vi) cotg (α + β) para todos números reais α e β tais que não existe múltiplo inteiro de igual a α, β ou α + β (vii) sec(α + β) sec α sec β cossec α cossec β para todos números reais α e β tais que não existe múltiplo inteiro de igual a α, β ou α + β (viii) Os valores da cossecante nunca pertencem ao intervalo ( 1, 1)
MANOEL LEMOS 5 (ix) O gráfico de cossec é obtido a partir do gráfico de sec após uma translação horizontal de para a direita. (x) O gráfico de cotg é representado na figura seguinte Regra 6. Se r() cotg, então r () cossec Substituindo em (3), que é regra do quociente, f(x) cos e g() sen, cujas derivadas são f () sen e g () cos, obtemos que r () ( sen ) sen cos cos sen ( sen + cos ) sen 1 sen cossec Exercício 7. Considere a função f() 3 tg 3 cotg (i) Calcule f () (ii) Encontre uma expressão para f () envolvendo apenas a função cossec (iii) Caso existam, determine todas as retas tangentes ao gráfico de f que são horozontais. (iv) Ache a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas ( 9 4, 0) Regra 8. Se r() cossec, então r () cotg cossec Obtemos r () substituindo, em (3), f() e g() por respectivamente 1 e sen. Neste caso f () 0, g () cos e daí r () 0 sen 1 cos sen cos sen cos 1 sen sen 3. Respostas dos exercícios cotg cossec 3. (i) 0 (ii) 3 (iii) 0 5. (i) V (ii) V (iii) F (é igual a ) (iv) V (v) F (a cotangente é uma função ímpar) (vi) V (vii) F (viii) V (ix) V (x) V 7. (i) 3 sec + 3 cossec (ii) 1 cossec (iii) não existem (iv) 1 7 Conteúdo da sexta aula da disciplina Cálculo L1, oferecida para os cursos de licenciatura em Física, Matemática e Química e o bacharelado em Química Idustrial, no segundo semestre de 008 na Universidade Federal de Pernambuco, tendo como professor Manoel Lemos