3 Modelagem Física e Matemática omo mencionado no capítulo introdução, o objetivo do presente trabalho consiste em identificar a importância dos mecanismos de absorção química para previsão da absorção de O em processo de pós-combustão de fontes fias. O modelo matemático que governa a absorção envolve as equações de quantidade de movimento, transferência de massa e transferência de calor, juntamente com a lei de Fick e correlações empíricas envolvidas no processo. base do modelo de dois fluidos em contracorrente é a formulação de dois conjuntos de equações descrito por kanksha et al., (007), uma na região do gás e a outra na região do líquido. Na região do gás o conjunto de equações engloba a conservação de massa, conservação de energia e as condições de contorno na interface gás-líquido. Por outro lado, na região do líquido o conjunto das equações é formado pela conservação de massa, conservação de energia, a quantidade de movimento, as condições de contorno e termos de correlações empíricas. s correlações empíricas necessitam ser fornecida para fechar o conjunto de equações, e uma das correlações determina o coeficiente de transferência de massa calculado eperimentalmente por kanksha et al., (007). Este coeficiente de transferência de massa eerce influência direta na análise de transferência de massa na interface. Na Figura 3.1 descreve-se a coluna de filme líquido de absorção, com dimensões de diâmetro interno de 0,014 m e altura de 1 m. O solvente líquido (amina) escoa ao longo da coluna de forma anular, a amina pobre em O entra pelo topo da coluna e desce em contracorrente à mistura de gases (O /N ) saindo no fundo a amina rica em O. Na parte eterna da coluna temos um sistema de esfriamento com água em escoamento anular eterno à coluna e em contracorrente ao filme líquido. Por outro lado, temos a corrente gasosa rica em O alimentada no fundo da coluna, saindo no topo da coluna pobre em O.
apítulo 3. Modelagem Matemática 37 Figura 3.1- Descrição da coluna de filme líquido 3.1 Hipóteses Simplificadoras s hipóteses consideradas na modelagem da absorção de O em solução de amina, de uma coluna cilíndrica vertical, onde o solvente desloca-se em contracorrente à corrente do gás (O /N ), são listadas abaio. 1. s propriedades físicas do líquido são mantidas constantes em todo o filme líquido, independentemente da variação da concentração do líquido devido à absorção de O.. espessura do filme é pequena comparada com o diâmetro da coluna. 3. O filme de líquido é simétrico em relação ao eio da coluna. 4. solubilidade de O, no líquido reagente e a reação dos produtos, seguem a lei de Henry, kanksha, et al., (007).
apítulo 3. Modelagem Matemática 38 5. O líquido reagente é assumido como não sendo volátil na temperatura de trabalho. 6. Regime permanente. 7. Escoamento laminar no filme. 8. ases de combustão (O /N ). 9. Escoamento desenvolvido. Pode-se notar que a aproimação das propriedades na hipótese (1) é razoavelmente correta, desde que, a espessura do filme seja muito pequeno comparado com o raio da coluna. Espera-se que a mudança aial na composição do líquido do filme seja desprezível, visto que o fluo é anular vertical e aisimétrico. ssim, simplificamos o modelo do fluo formulando-o como bidimensional em sistema de coordenadas cartesianas ao invés de coordenadas cilíndricas. 3. Formulação Matemática Reação química reação química de O -ME ainda não pode ser considerada como perfeitamente entendida, dada sua compleidade. reação de O com amônia ou aminas primárias e secundárias produz sal de amina do acido carbâmico. s aminas terciárias, por não possuírem átomo de hidrogênio ligado ao nitrogênio, não formam carbamatos, e sim bicarbonatos. Deste modo, a reação ocorre na fase líquida e pode ser epressa como: O 3 RNH RNH RNHOO (3.1) onde R indica HOH H. reação total é da segunda ordem, isto é, de primeira ordem com relação a O e de segunda ordem com relação à ME. taa de reação r, presente, definida como taa molar de perda de O por unidade de volume, é epressa em termo de uma constante da taa de reação k, e as concentrações molares (de dióido de carbono e monoetanolamina ), tendo a
apítulo 3. Modelagem Matemática 39 equação cinética dada por: r k (3.) onde k, pode ser calculado, usando a correlação empírica de Hikita et al., (1979) dada por: 15 log k 10,99 (3.3) T onde T é a temperatura da reação química O -ME. Equações da modelagem modelagem inclui três processos, transferência de massa, quantidade de movimento e transferência de calor, para um estudo acoplado dos efeitos da temperatura e da concentração na taa de absorção. s equações desenvolvidas são equações diferenciais ordinárias (EDO s) para região do gás e equações diferenciais parciais (EDP s) para região do líquido de natureza não linear. s equações diferenciais parciais acopladas que representam os balanços de massa e calor para a reação da equação (3.4), onde, é o gás ácido, é o solvente líquido e b é o coeficiente estequiométrico. b produtos (3.4) pode ser escrito analisando por regiões de gás e de líquido no seguinte tópico 3.3 Região de íquido i) alanço de massa. Realizaremos o balanço de massa num elemento diferencial arbitrário do fluido, para duas espécies químicas de uma mistura binária e após estabelecer a equação de continuidade para cada espécie. equação diferencial que representa o fenômeno de difusão com reação química simultânea em uma fase líquida pode ser escrita pela equação (3.5), que representa o componente (), para massa específica ( ) e difusividade de massa ( D ) constantes, desenvolvida por ird et
apítulo 3. Modelagem Matemática 40 al., (00). r z y D z y v u t (3.5) onde cumulação + onvecção = transporte molecular - taa de reação Podemos simplificar substancialmente mediante as hipóteses, regime permanente e escoamento desenvolvido. r D z (3.6) Mas na equação (3.) temos a r, substituindo este termo na equação (3.6) vem a equação final simplificada. k D z (3.7) Realizando a mesma análise para o componente obtêm-se a seguinte equação. r D z (3.8) onde r é definido como taa molar da perda de ME por unidade de volume, substituindo vem. kb D z (3.9) onde D é o coeficiente de difusão molecular ou difusividade da massa do componente na mistura. ii) alanço de energia equação diferencial de energia térmica para um fluido incompressível em função da temperatura e do calor específico utilizada na maioria das aplicações de engenharia é:
apítulo 3. Modelagem Matemática 41 DT Dt q 1 1 q : u P P P (3.10) nalisando esta equação termo a termo e simplificando por meio das hipóteses vem q KT p lei de Fourier K difusividade térmica DT Dt T t T u. T da derivada material t 0 regime permanente : u 0 dissipação viscosa considerada desprezível logo, a equação (3.10) fica u T q P T (3.11) Mas o calor de reação durante a absorção é definido como q H k, onde H R é o calor de reação entre os componentes, analisando em coordenadas cartesianas bidimensionais obtêm-se a seguinte equação final. R T z T H R P k (3.1) onde P é o calor especifico do líquido a pressão constante. iii) Quantidade de movimento linear vetorial é: Na região do líquido a equação de quantidade de movimento linear na forma DV Dt g p (3.13) onde V é a velocidade do filme líquido, g é a aceleração da gravidade, p é a pressão e é a tensão cisalhante.
apítulo 3. Modelagem Matemática 4 Figura 3.- Descrição bidimensional da coluna de filme líquido o considerar a espessura de filme () muito pequeno comparado com o raio da coluna e o escoamento como ai-simétrico, é possível realizar a análise bidimensionalmente em coordenadas cartesianas de acordo à Figura 3.. Na direção radial : Du z p g (3.14) Dt z Na direção vertical z: D z zz p g z (3.15) Dt z z Das hipóteses regime permanente e escoamento desenvolvido obtemos a seguinte equação. z g z 0 (3.16)
apítulo 3. Modelagem Matemática 43 ondições de contorno equação de quantidade de movimento linear precisa de condições de contorno para ser resolvido. s condições de contorno podem ser de dois tipos: informação sobre a velocidade na parede e informações sobre a tensão cisalhante que atua na interface gás-líquido. Na interface gás-líquido. 0 (3.17) z i onde i é a tensão cisalhante do líquido na interface e é tensão cisalhante do gás. Na parede. 0 (3.18) onde é a velocidade do filme líquido. tensão cisalhante do gás pode ser determinada por: onde f (3.19) é a velocidade do gás, é a massa específica do gás. O fator de atrito foi avaliado usando a relação proposta por Henstock et al., (1976), e leva em conta a irregularidade na superfície da camada líquida, e é dada por: 8...Re 000 Re 0,33 Re f...000 Re 4000 (3.0) 3050 0,04...Re 4000 0,5 Re
apítulo 3. Modelagem Matemática 44 Os números de Reynolds são determinados, respectivamente, como. para o gás é: Re d (3.1) e para o líquido é Re (3.) onde d é o diâmetro da coluna, é a viscosidade do líquido e é a viscosidade do gás. Integrando a equação (3.16) e usando as condições de contorno, temos a seguinte equação, a qual é apresentada graficamente na Figura 3.3. g 1 1 (3.3) Figura 3.3: Modelo de fluo de filme líquido na coluna kanksha et al., (007) daptação Vasquez (009) Integrando a equação (3.3) através da seção transversal da coluna obtemos a vazão do líquido Q.
apítulo 3. Modelagem Matemática 45 g 3 Q d (3.4) 3 3.4 Região de ás No interior de uma coluna, a transferência de massa ocorre à medida que o soluto O é absorvido pelo líquido. Figura 3.4 representa um sistema deste tipo, onde é a fração molar de soluto O na fase gasosa, m ~ é o fluo molar por área de gás O passando através do volume de controle. O produto dos parâmetros m ~ (para o gás) é o fluo molar de O em qualquer ponto da coluna. quantidade do produto m ~ e (para o gás) varia continuamente à medida que se movem ao longo da coluna, uma vez que o componente O está a ser permanentemente transferido da fase gasosa para a fase líquida. ssim, ao subir pela coluna, eiste uma diminuição do fluo molar de gás devido à redução da concentração de O na fase gasosa. o mesmo tempo, a fase líquida ao descer pela coluna, aumenta o seu fluo molar devido ao aumento da concentração de O na fase líquida. Figura 3.4: alanço de massa unidimensional na seção de contato gás-líquido de uma coluna de absorção.
apítulo 3. Modelagem Matemática 46 Solubilidade lei de Henry define que a solubilidade de um gás em um líquido é proporcional à pressão do gás sobre a solução. Há várias formas de descrever a solubilidade de um gás no líquido. Uma delas é definida como constante da lei de Henry em função de concentrações como Perry et al., (1997). i H O (3.5) onde i é a concentração do componente na interface gás-líquido e é a concentração do componente na fase gás. i) alanço de massa ssumindo um escoamento contínuo permanente unidirecional da mistura de gases (O /N ) dentro de uma coluna, pode-se escrever a conservação de O em um volume de controle diferencial por meio da equação (3.6), que é esquematicamente mostrado na Figura 3.4. d( m~ ) k ~ a( dz (3.6) i ) onde i é a fração molar de O na interface, a é a área interfacial gás-líquido por unidade de volume, ~ é a densidade molecular da mistura e k é o coeficiente de transferência de massa. Rearranjando a equação em termos de concentração (), taa de fluo molar de gás por perímetro molhado ( ) e utilizando a equação (3.5) da constante de Henry no ponto de equilíbrio, obtém-se a seguinte EDO final. ~ d( ) ack asup dz p m ( i H O ) (3.7) onde a c é o fator de correção para a área interfacial, sup é a área superficial, p m é o perímetro molhado. Para calcular o coeficiente de transferência de massa foi usada a correlação empírica desenvolvida por kankasha. et al., (007)
apítulo 3. Modelagem Matemática 47 k Q ( d ) R W ln _ entrada _ saída (3.8) onde é a altura da coluna, Q é a vazão do gás, R é a razão da área interfacial em presença de ondas no plano da área interfacial. Este valor é igual a 1 para filme líquido plano e é maior do que 1 para filmes com ondulações na interface ou para altas vazões. Dado que o filme líquido na seção da interface não é plano, um fator de correção para a área interfacial é introduzido e definido na seguinte relação. kankasha. et al., (007) a d d c R W (3.9) Reescrevendo a equação (3.8) e usando a equação (3.9), obtém-se. k Q ac d ln _ entrada _ saída (3.30) correlação de número de Sherood para os Reynolds (R e [115 a 350] e R e [4 a 3] a 98 K) foi desenvolvida empiricamente por kankasha. et al., (007) como. Sh (3.31) 0,66 0,115 0,5 0,0387 Re Re Sc onde a definição de número de Schmidt é: Sc (3.3) D e a definição de número de Sherood é: k a d c Sh (3.33) D correlação da área interfacial gás-líquido por unidade de volume foi desenvolvido por ravo et al., (198) como.
apítulo 3. Modelagem Matemática 48 a 6,49a T 0,5 0,4 0,39 at 0,39 (3.34) onde é a tensão superficial do líquido, a T é a área superficial específica gáslíquido por unidade de volume da coluna calculada por. a T sup (3.35) V total onde V total é o volume da coluna ii) alanço de energia Figura 3.5. O balanço de energia no volume de controle infinitesimal é analisado na Figura 3.5: alanço de energia unidimensional na seção de contato gás líquido de uma coluna de absorção aquecido, entalpia. Da figura 3.5 obtém-se a equação de energia, onde P aq é o perímetro q s é o fluo de calor na interface, m é o fluo da massa e h é a
apítulo 3. Modelagem Matemática 49 h z P ap " qs m (3.36) Sendo para gás ideal ou fluido incompressível temos a relação h T, onde P é o calor específico do gás a pressão constante, rearranjando a equação (3.36) em função de temperatura vem. P ( PT) z P ap m h ( T T 0 ) (3.37) Substituindo a epressão de taa de fluo molar por perímetro molhado a equação fica. ( z P T ) h ( T T 0 ) (3.38) onde T =0 é a temperatura na interface gás-líquido, T é a temperatura do gás, h é o coeficiente de transferência de calor na fase gás. definição de número de Nusselt relacionado com h é dada por. Nu h ( d ) (3.39) onde é a condutividade térmica da mistura de gases. Para avaliação da eficiência de transferência de O, primeiro calculamos a vazão e após a taa de absorção (R ) baseada na massa, que foi definida como: R Q ) (3.40) ( _ entrada _ saida onde _ saida é a concentração média de O na saída da coluna, entrada _ é concentração média na entrada. 3.5 ondições Iniciais e de ontorno condição inicial e de contorno para o processo de absorção com reação química é obtida de Dabir et al., (1996) para um filme laminar. Figura: 3.6 mostram as fronteiras das regiões.
apítulo 3. Modelagem Matemática 50 Na parede da coluna 0 Para as concentrações dos componentes e são: 0 0 e para a temperatura é: T k U( T 0 TR ) (3.41) onde U é o coeficiente global de transferência de calor por refrigeração com água, k é a condutividade térmica de líquido, T R é a temperatura de refrigeração com água Na interface gás-líquido k 0 Para as concentrações dos componentes e são: 0 ( i H O ) D (3.4) e para a temperatura é: h T ( T T ) k ( H S D (3.43) ) onde H S é o calor de solução e H O é a constante de Henry. ondição inicial onde. condição inicial no topo da coluna é: z 0 0 T TO O O é a concentração do componente, e T O é a temperatura do componente
apítulo 3. Modelagem Matemática 51 3.6 alanço de Massa das Espécies O balanço de massa das espécies (ME, O /N ) é realizado para constatar a convergência dos resultados da simulação do modelo. Figura 3.6 apresenta os balanços da massa nas regiões indicadas. Figura 3.6: alanço de massa no processo. onde O fluo mássico de amina que entra na coluna é descrito na equação adiante M é a massa molecular da amina, é a velocidade média do líquido, é a área transversal por onde escoa o fluo mássico de líquido. m M (3.44) _ entrada _ entrada E o fluo mássico de saída é descrito a seguir. m M (3.45) _ saída _ saída Para o cálculo do fluo mássico na saída da região do líquido é necessário a concentração média da amina ( ) tal que
apítulo 3. Modelagem Matemática 5 1 _ saída d (3.46) O fluo mássico de O que entra na coluna é calculado pela equação m M (3.47) _ entrada _ entrada onde M é massa molecular de O, é velocidade média do gás, e área transversal por onde escoa o fluo mássico do gás. é a O fluo mássico de O na saída na região do gás é descrito pela equação. m M (3.48) _ saída _ saída por. O fluo mássico de O absorvido na saída na região do liquido é descrito m M (3.49) _ saída _ saída equação de balanço de massa das espécies é. m balanço m m m m m (3.50) _ saída _ entrada _ saída _ saída _ saída