Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo Avançado / Métodos Matemáticos / Cálculo IV Profa: Ilka Freire ª Lista de Eercícios: Integrais Múltiplas 9., sendo:. Calcule f, da a) f, e ; =, b) f, cos; =, c) f, ln; =, d) f, ; =, e) ln f (, ) ; =, / e. / e. / e. / e. / e.. Esboce a região de integração e calcule as seguintes integrais: a) 4dd b) dd d) dd 4 e) dd c) e ln dd f) dd. Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais: 4 a) f,dd b) f,dd c) f,dd 4. Calcule: a) 8 dd, onde é a região delimitada por e 4. b) da, sendo a região interior ao círculo de centro na origem e de raio e acima da reta =, no º quadrante. c) dd, onde é a região delimitada por +,, e. d) dd, onde é a região hachurada na figura. e) e dd, onde é a região hachurada na figura. Figura. Figura. Figura.
5. Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais: a) dd, onde é a região hachurada na figura acima. dd, sendo delimitada por. Interprete geometricamente. b) 8 c) ln dd, sendo o anel delimitado por 6 e 5. d) e dd, sendo o círculo 4. e) da, sendo a região limitada pelas curvas r cos θ ( círculo de centro em (,) e raio ); r 4 cos θ ( círculo de centro em (,) e raio ); π π θ e θ 6 4 6. Calcule o volume dos seguintes sólidos: a) Sólido acima do plano delimitado pelo parabolóide z 4. Esboce o sólido. b) Sólido acima do plano delimitado lateralmente pelo cilindro e superiormente pelo parabolóide z. Esboce o sólido. z c) O tetraedro limitado no º octante pelo plano de equação d) Sólido limitado inferiormente pelo plano, lateralmente por 4 e superiormente por z 8. e) Sólido acima do plano XY limitado pelo parabolóide z 4 e pelo plano z =. f) Sólido limitado pelos parabolóides z e z 8. 7. Calcule, usando integral dupla, a área da região delimitada pelas curvas abaio. Esboce os gráficos: a), e. b) eterior ao círculo r = e interior ao círculo r 4 cosθ ( centro em (,) e raio ); 8. Usando integral dupla, podemos calcular a massa (M) de uma lâmina plana não homogênea, com a forma de uma região () e com densidade de massa em um ponto (,) de, dada pela função contínua,, através da integral dupla M, da a) Calcule a massa de uma lâmina com a forma de um círculo de raio cm, se a sua densidade de massa num ponto P, é dada por, k, k constate real. b) Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas e. Sua densidade de massa no ponto P, é proporcional a distância desse ponto ao eio. Calcule a massa dessa lâmina.
9. Calcule as integrais iteradas a seguir a) 4z)dddz z ( ; b) z ddzd. Seja f(,,z) uma função contínua de três variáveis. Epresse f (,, z)dv como uma Q integral tripla iterada sendo Q a região do espaço: a) limitada pelo cilindro + = 9 e pelos planos z = e z =. ( a integração em relação a z). b) no o octante, limitada pelo plano + + z = 6. ( a integração em relação a ). c) limitada pelo parabolóide z = 9 4 e por z =. ( a integração em relação a z ). d) limitada pelo cilindro = e pelos planos + z = 4 e z = ( a integração em relação a ). e) acima do plano XY limitada pela superfície cilíndrica z 6 ; e pelos planos = e =. ( ª integração em relação a ) f) limitada pelo parabolóide z e pela esfera z 4. ( ª integração em relação a z). Use integral tripla para encontrar o volume do sólido limitado pelas superfícies de equações: a) z + = 4; + z = 4; = e z =. b) = z ; = z ; + z = 4 e =. c) + z = ; + + z = e =. d) z = 9 ; z = ; = e =.
. Se um sólido tem massa m e volume V e a massa é distribuída uniformemente pelo sólido dizemos que o sólido é homogêneo e a densidade de massa se define como m ou m = V. V Num sólido não-homogêneo, por eemplo, constituído de metais diferentes, a massa não é a mesma em todo ele. Estabelecido um sistema de coordenadas no espaço, podemos definir a densidade de massa num ponto P(,,z) do sólido. Utilizando o mesmo processo do limite das somas, que foi aplicado na dedução das integrais triplas, pode-se mostrar que m Q (,, z)dv a) Considere um sólido não-homogêneo que tem forma de um cilindro circular reto com raio da base a e altura h. encontre a massa desse sólido sabendo que a densidade em um ponto P é diretamente proporcional à distância de P a uma das bases, ou seja, (,,z) = kz, sendo k constante real. b) Calcule a massa do sólido Q limitado acima do plano z = pela esfera z 9, sabendo que sua densidade em cada ponto P(,,z) corresponde à distância do ponto ao plano z =. espostas. a) e e b). a) 8/; b) ; c) 4 4 4 4 c) ln d) ln 6 ln e ; d) /; e) ; f) /. a) f,dd b) f,dd ; e) c) f,dd f,dd 4. a) 896/5 b) 5/6 c) d) e) (e -)/ 5. a) /; b) 8. (Volume do tronco de um cilindro reto de raio de base e limitado superiormente pelo plano de equação z 8 ); c) [5ln(5) - ln() - (9/)]; d) e 8 7 e) ( ) 9 6. a) 4 u.v; b) / u.v; c) u.v. d) u.v. e) u.v. f) 6 u.v. 4 7. a) /4 u.a. b) ( )u.a. 8. a) 8k b),7k. 9. a) 9/; b) /;
. a) f (,, z)dzdd ou f (,, z)dzdd 6z 9 9 (6 z) 9 9 b) f (,, z)dddz ou f (,, z)ddzd / 94 / 6 (6) / (6 z) c) f (,, z)dzdd ou / 94 44z 94 d) f (,, z)dddz ou 4 6 44 e) f (,, z)ddzd ou 4 6 6z f 6z 9 9 / / (,, z)ddzd f (,, z)dddz f) f (,, z)dzdd ou 4 ( 4 4 ) / 4z 8. a) ddzd ; b) c) 5 4 ( f (, ) / / 94 f (,, z)dzdd z 4z dddz z z 9 ddzd = ; d) dzdd 8. a) m = kh a /; b) u.m., z)dzdd