CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III- &$3Ì78/,,, CONCEITOS FUNDAMENTAIS 3.- INTODUÇÃO Inicialmene nee capíulo, euda-e o conceio de função de ranferência, o qual é a bae da eoria de conrole cláico. Apó, euda-e a repreenação de iema aravé de diagrama de bloco, bem como a álgebra de bloco e ua implificaçõe. É ambém apreenado o gráfico de fluxo de inai e a obenção da função de ranferência de um iema uilizando a fórmula do ganho de Maon. Finalizando ee capíulo, é apreenada uma inrodução a abordagem de modelo de variávei de eado para repreenação de iema. 3.- FUNÇÃO DE TANSFEÊNCIA A função de ranferência de um iema linear invariane no empo é definida como endo a relação enre a ranformada de laplace da aída (função repoa) e a ranformada de laplace da enrada (função exciação), coniderando-e nula oda a condiçõe iniciai. Seja a eguine expreão: a d n y a d n y dy a y b d m b d m () () () () d() 0 n + n... + a n + n. ( ) 0 m +... + b + b d d d d d d Onde: n m ( ) enrada e y aída Aplicando-e a ranformação de laplace na expreão acima, emo: n n m m ( + + + + ) ( + + + + ) m m m a.s a S... a.s a Y( ) b.s b.s... b.s b X( ) 0 n n 0 Uilizando o conceio de função de ranferência, reula: m m. ( ) Y () G () X () m m b0.s + b.s +... + bm.s + b n n a.s + a.s +... + a.s + a 0 n n m FUNÇÃO DE TANSFEÊNCIA (de um iema de ordem n) COMENTÁIOS SOBE FUNÇÃO DE TANSFEÊNCIA A função de ranferência de um iema é uma propriedade do iema, independendo da naureza e da magniude da enrada; Uilizando-e o conceio de função de ranferência, é poível repreenar um iema dinâmico em ermo de expreõe algébrica da variável complexa S ; Embora a função de ranferência de um iema inclua a informaçõe neceária para relacionar a enrada com a aída, ela não fornece informaçõe a repeio da eruura fíica do iema. Io ignifica que a função de ranferência de iema fiicamene diferene podem er idênica; Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III- Se a função de ranferência de um iema é conhecida, a repoa do memo pode er analiada para diferene forma de exciação (enrada), com a finalidade de compreender a naureza e o comporameno do iema; Se a função de ranferência de um iema não é conhecida, ela pode e obida experimenalmene pela inrodução de inai de enrada conhecido e eudando-e a repoa obida. Uma vez obida, a função de ranferência fornece uma decrição complea da caraceríica dinâmica do iema. 3.3- DIAGAMA DE BLOCOS O diagrama de bloco de um iema, é a repreenação gráfica da funçõe deempenhada pelo componene que compõe o iema, junamene com o fluxo de inai denro do iema. O diagrama de bloco, ao conrário da repreenação maemáica do iema, fornece uma vião gráfica global do iema indicando realiicamene a finalidade do componene denro do iema, e como ocorre o fluxo de inai enre o bloco. A eguir ão apreenado o componene que compõe um diagrama de bloco e uma decrição obre o memo. - Bloco e Fluxo de Sinai É uma repreenação imbólica para a operação maemáica, na qual o inal de aída do bloco é produzido pelo inal de enrada dee memo bloco, muliplicado pelo ganho do bloco (função de ranferência do bloco). O fluxo de inai ão flecha que indicam o enido em que o inai de enrada e aída do bloco ão inerligado. Y () X (). G () A repreenação de um iema aravé de diagrama de bloco, permie que e aiba qual a conribuição de cada bloco (componene) no deempenho global do iema. - Pono de Soma O pono de oma em um diagrama de bloco indicam como o inai devem er omado ou ubraído. Deve-e obervar que o inai a erem omado ou ubraído, devem er a mema dimenõe e unidade. - Pono de amificaçõe São pono no quai, um memo inal flui em direçõe diferene. Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III-3 3.4- DIAGAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA EM MALHA FECHADA Quando em um diagrama de bloco de um iema em malha fechada, a aída é realimenada para um pono de oma para comparação com o inal de enrada, é neceário converer o inal de aída para a unidade do inal de enrada (ex: enão, força, poição, ec.). Ea converão é feia por um elemeno de realimenação, cuja função de ranferência é H(). Na maioria da veze, ee elemeno de realimenação, é um enor que mede a grandeza de aída Y(), fornecendo como aída um inal proporcional B(), porém de mema naureza que o inal de enrada X(). O inal E() é o inal de erro auane do iema. Para o diagrama de bloco morado acima, a funçõe de ranferência aociado ão: Função de ranferência de malha-abera: F.T.M.A B () E () G (). H () Função de ranferência direa: F.T.D Y () G () E () Função de ranferência de malha-fechada: F.T.M.F Y () X () + G () G (). H () A função de ranferência de malha-fechada pode er obida como egue: Y () G (). E () E () X () B () B () H (). Y () { } Y() ( + G().H() ) Y () G (). X () H(). Y ( ) G().X() Y () G X () () + G ( ). H ( ) Y () X FTD.. () + FTMA... Ex: Seja o circuio abaixo repreenado; onde ei() é o inal de enrada e e 0 () é o inal de aída. Obenha o diagrama de bloco correpondene. Apó obenha a função de ranferência de malha fechada do circuio, uilizando o conceio vio. Ob: Para a obenção do diagrama de bloco de um deerminado iema, deve-e inicialmene ober a equaçõe que decrevem cada componene. Aplica-e T.L., admiindo-e condiçõe iniciai nula. epreene cada equação pelo bloco correpondene. Enão june o bloco e enha o diagrama de bloco compleo. Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III-4 ei e0() i () i () C. de. ( 0 ) d I () E() E0() I () CSE. () E () 0 0 I () CS G () e H() CS Sabendo-e que: E 0() G (), reula: E() + GH () () E0() E() + CS E0() C E() S + C 3.5- SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PETUBAÇÕES No iema acima repreenado, emo doi inai de enrada, io é, a própria enrada do iema X() e uma perurbação N(). Quando emo um iema ujeio a enrada diferene podemo ober independenemene a repoa para cada uma da enrada, uilizando-e o eorema da uperpoição, e apó adicioná-la reulando na repoa complea. Para o iema morado, conidere que: Onde: Y() Y N () + Y X () Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III-5 Y() repoa complea do iema; Y N () repoa do iema devido a enrada N() (perurbação); Y X () repoa do iema devido a enrada X() (en. principal); YN( ) N () YX( ) X () G() + G(). G(). H() G(). G() + G(). G(). H() G(). N() G(). G(). X () Y () + +. G() G(). H() + G(). G(). H() G() Y () + + G X +. G() G(). H() { N () (). ( )} Se G(). G(). H() >>> e G(). H()>>> enão: YN( ) 0 YX( ) X H (). ( ) X Y () () H () Com io, concluí-e que: Se o ganho G ().H() é elevado, o efeio que a perurbaçõe poderiam cauar na repoa do iema, ão deprezado. Se o ganho G ().H() é elevado, a função de ranferência do iema independe da variaçõe em G () e G () e é inveramene proporcional ao ganho H(). Se o ganho da realimenação é uniário, enão o iema em malha fechada, ende a igualar a aída com a enrada. 3.6- EGAS DA ÁLGEBA DO DIAGAMA DE BLOCOS Geralmene, diagrama de bloco complicado envolvendo divero laço de realimenação, vário bloco em érie, pode er implificado aravé da manipulação de bloco no diagrama, uilizando-e a regra da álgebra de bloco morado a eguir: Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III-6 Obervaçõe: - Em oda implificação a er feia, o produo da funçõe de ranferência direa deve permanecer inalerado. Io ambém vale para funçõe de ranferência em um laço. - Para a correa implificação de um diagrama de bloco deve-e inicialmene delocar-e pono de oma e junção, permuar pono de oma e, enão, reduzir-e o laço de realimenação inerno. 3.7- GÁFICOS DE FLUXO DE SINAL Da mema forma que o diagrama de bloco, o gráfico de fluxo de inai é uado para a repreenação gráfica de uma função de ranferência. No gráfico de fluxo de inai, o bloco ão ubiuído por ea e o pono de oma por nó. Porém, o nó ambém repreenam a variávei do iema. Cada ea indica a direção do fluxo de inal e ambém o faor de muliplicação que deve er aplicado a variável de parida da ea (ganho do bloco). Ex: Prof. Hélio Leãe Hey - 997 C () G (). E ()

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III-7 DEFINIÇÕES DOS TEMOS USADOS EM GÁFICO DE FLUXO DE SINAIS Nó: epreena uma variável. Ganho de amo: É o ganho enre doi nó. amo: É uma rea inerligando doi nó. Nó de Enrada: São o nó que pouem apena ramo que aem do nó. Correponde a uma variável de conrole independene. Nó de Saída: São o nó que pouem apena ramo que chegam ao nó. Correponde a uma variável dependene. Nó Mio: São o nó que apreenam ramo aindo e chegando ao nó. Caminho: É uma rajeória de ramo ligado no enido da flecha. Caminho Abero: É aquele em que nenhum nó é cruzado mai de uma vez. Caminho Fechado: É aquele em que ermina no memo nó em que começou. Caminho Direo: É o caminho dede um nó de enrada aé um nó de aída, cruzando cada nó uma única vez. Laço: É um caminho fechado. Ganho do Laço: É o produo do ganho do ramo que fazem pare do laço. Laço que não e ocam: São laço que não apreenam nó comun. ÁLGEBA DO GÁFICO DE FLUXO DE SINAIS Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III-8 3.8- FÓMULA DO GANHO DE MASON A fórmula do ganho de Maon permie que e deermine o ganho de um iema em malha fechada direamene do diagrama de bloco ou do gráfico de fluxo de inai, em a neceidade de redução do memo. Embora eja um procedimeno imple, a aplicação dea écnica deve er uada com exremo cuidado para que o ermo que compõe a fórmula do ganho não ejam rocado. Ex: Seja o eguine iema: A definição do caminho direo e do ganho do laço envolvido é morado abaixo. CAMINHOS DIETOS: G,G,G 3,G 4,G 5 G 6,G 4,G 5 LAÇOS: G H G 4 H Seja T, o ganho do gráfico acima, io é, a ua função de ranferência. A fórmula do ganho de Maon é dada por: ( p p) P T MK. K M. + M. +... + M. K Onde: Deerminane do gráfico (Σ do ganho do laço individuai) + (Σ do produo de ganho de oda a poívei combinaçõe de doi laço que não e ocam) (Σ do produo de ganho de oda a poívei combinaçõe de rê laço que não e ocam) + (Σ do produo de ganho de oda a poívei combinaçõe de quaro laço que não e ocam) (... L+ LL. LLL.. +... a a bc, b c def,, d e f M K ganho do K-éimo caminho direo; K É o deerminane aociado ao K-éimo caminho direo. É obido de, removendo-e o laço que ocam ee K-éimo caminho direo. Para o exemplo morado, reula: M G, G, G 3, G 4, G 5 M G 6, G 4, G 5 Ganho do caminho Direo; L - G H L - G 4 H Ganho do laço individuai; Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III-9 L. L G H.G 4 H Ganho de laço que não e ocam; - (- G H - G 4 H ) + (G H.G 4 H ) + G H T M + M T ( GGGGG ). + ( GGG ).( + GH) 3 4 5 6 4 5 + GH+ GH + GH. GH 4 4 3.9- INTODUÇÃO A TEOIA DE MODELOS DE VAIÁVEIS DE ESTADO A endência do iema moderno é de que cada vez mai aumene ua complexidade. Io e deve principalmene a neceidade de uma boa precião, aliada a própria complexidade da arefa a erem execuada pelo iema. Nee iema em-e vária-enrada e vária-aída que geralmene podem er variane no empo. Ea complexidade fez com que o iema de conrole foem analiado egundo uma nova abordagem, que é o modelo de variávei de eado. Ea abordagem é uma ferramena fundamenal na eoria de iema de conrole moderno, endo aplicável a iema com múlipla enrada e aída, lineare ou não, variane ou invariane no empo. Ea abordagem é feia no domínio de empo. Vale lembrar que a abordagem de conrole cláico, baeada no conceio de função de ranferência, é válida para iema lineare, invariane no empo e uma enrada-uma aída e feia no domínio freqüência. A eguir ão feia alguma definiçõe neceária para a abordagem de ESPAÇO DE ESTADO. - Eado: O eado de um iema dinâmico é o menor conjuno de variávei (de eado), al que o conhecimeno dea variávei em 0, junamene com a enrada para 0, deermina compleamene o comporameno do iema para qualquer inane 0. - Variávei de Eado É o menor conjuno de variávei que deermina o eado de um iema dinâmico. Se pelo meno n variávei ( ( ), ( ),... n ( ) ) ão neceária para decrever compleamene o comporameno de um iema dinâmico, enão ea n variávei ão um conjuno de variávei de eado. Embora não eja neceário, é inereane que a variávei de eado ejam grandeza facilmene menurávei devido a aplicação da de de conrole que neceiam da realimenação dea variávei. - Veor de Eado Se n variávei de eado ão neceária para decrever o comporameno de um iema, enão ea n variávei podem er coniderada como n componene de um veor X (), chamado VETO DE ESTADO. Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III-0 - Modelo de Variávei de Eado É um conjuno de equaçõe diferenciai de a ordem, ecria na forma maricial que permie, além de repreenar a relaçõe enre a enrada e a aída do iema, permie repreenar ambém alguma caraceríica inerna do iema. Como caraceríica dea abordagem, pode-e ciar: - Como o iema pode er mai de uma enrada, é poível enviar para denro do modelo mai informaçõe a cerca da plana; - Vário modelo de variávei de eado podem er obido para um memo iema. Vio que depende da ecolha da variávei de eado; - A eoria de conrole moderno ão deenvolvida para ea abordagem; - Para imulação de iema, geralmene neceia-e do eu modelo de variávei de eado. Ex: Seja o iema morado abaixo. Obenha a equação diferencial de egunda ordem que o define, a ua função de ranferência e dua repreenaçõe por modelo de variávei de eado. ϑc ϑ L di () () 0() +. d,, 4 3 5 ϑi () ϑc () i() ϑc ϑ L di () () 0(). d i i C d ϑ c () (). d 3 ϑ0. i 4 ϑi () ϑc () ϑ0() C d L d + +. ϑ0( ) +.. ϑ0( ) d d 6 ϑi ϑ L dϑ ϑ ϑ ϑ C d () 0() 0() 0() 0() LC d 0() +. + +. +. 7 d d d LC L+ C +. ϑ 0 +. ϑ0 0 i () +. ϑ () ϑ () 8 A expreão acima repreena o iema morado, aravé da equação diferencial de a ordem que o define. - Função de Tranferência Para a obenção da função de ranferência dee iema, deve-e ober a razão enre a ranformaçõe de laplace do inai de enrada e aída. Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III- Enrada: ϑi Vi () Saída: ϑ0 V0() LC L+ C +. SV0() +. SV0() + V0() Vi() 9 Seja: A LC + ; B L C ; C + ; V0() Vi() AS + BS + C 0 - o Modelo de Variávei de Eado Para a obenção do modelo de variávei de eado, deve-e inicialmene definir quem ão a variávei de eado; inai de enrada e inai de aída. Enrada: ϑi Saída: ϑ0( ) Variávei de Eado: ϑ0(), ϑ 0() Dea forma, em-e que: ϑ0() ϑ Variávei de eado y 0() ϑ 0 Sinal de aída LC L+ C +. +. +. ϑi() ma,. Dea forma, reula que: LC L+ C +. +. +. ϑi() Seja: D + LC ; E L + C L+ C ; F LC ; () 0 () 0.. ϑi ( ) D E + F 3 y () [ 0]. 4 - o Modelo de Variávei de Eado Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III- Sejam agora a variávei de eado, a enão do capacior e a correne do induor. Enrada: ϑi Saída: ϑ0( ) Variávei de Eado: ( ) ϑc() i (). ϑ (). (). () C i 5 C C () () + ϑ () C C C i 6 () (). () 7 L L y (). () C () C.. ϑ ( ) () C i () + 0 L L y () [ 0 ]. 3.0- FOMA PADÃO DE EPESENTAÇÃO DO MODELO DE VAIÁVEIS DE ESTADO DE UM SISTEMA A forma padrão para repreenação do modelo de variávei de eado para um iema qualquer é morado abaixo. Onde: X () AX. () + BU. () Y () CX. () + DU. () X() Veor de Eado; A Marix de Eado; B Marix de Enrada; C Marix de Saída; D Marix de Tranmião direa; Equação de Eado Equação de Saída Y() Veor de Saída. Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III-3 U() Veor de Enrada; Geralme ne, a Marix de Tranmião Direa é nula, vio que quae empre exie uma dinâmica em oda a ligaçõe enrada e aída do iema. A obenção do modelo de variávei de eado de um iema, geralmene pode ocorrer aravé de uma da forma apreenada abaixo - Equaçõe Diferenciai do Siema: Geralmene a variávei de eado ão variávei fíica do iema. - Função de Tranferência: Geralmene não ão variávei fíica do iema. 3.- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PATI DAS EQUAÇÕES DIFEENCIAIS Seja o eguine iema de equaçõe, onde y () e y () ão a aída do iema e µ () e µ () a enrada do iema. y () + Ky + Ky µ + K3µ () y K y K y + 4 + 5 K6µ () - Variávei de Eado y() y () 3 y() Dea forma, ubiuindo a variávei de eado no iema de equaçõe, reula: K K + µ + K µ 3 K K + K µ 3 5 4 3 6 0 0 K K 0 3 0 K K 5 4 0 0. + K 3 K 6 0 µ. µ 3 Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III-4 y y 0 0. 0 0 3 3.- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PATI DA FUNÇÃO DE TANSFEÊNCIA Seja a eguine Função de Tranferência: Definindo-e: Y () bs + bs + b0 () G (). 3 U () S + a S + a S+ a () 0 Y () bs () + bs () + b 0 () 3 U () S () + as () + as () + a 0 () S () () S () S () () 3 Aplicando-e a ranformação invera de laplace no iema de equaçõe acima, reula que : Y () b + b + b 3 0 e: () () () 3 a 3 a a0 + µ () () 3 Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III-5 0 0 0 0 a a a 3 0 y () [ b b b]. 0 3 0. + 0. µ ( ) 3 3.3- OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TANSFEÊNCIA DE UM SISTEMA, A PATI DAS EQUAÇÕES DE ESTADO Seja a repreenação de eado, morada abaixo: X () AX. () + B. µ Y () CX. () + D. µ Aplicando a ranformação de laplace nea equaçõe e coniderando nula a condiçõe iniciai, reula: SX() AX() + BU() Y () CX () + DU () marix idenidade ( SI A). X ( ) BU ( ) X ( ) ( SI A). BU ( ) Subiuindo a expreão de X() na equação de Y(), reula: { } Y () C.(SI A). B+ D. U () Com io, em-e: Y () U () G () C.( SI A). B+ D Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III-6 3.4- TANSFOMAÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO E VAIÁVEIS DE ESTADO Seja a eguine repreenação de eado: Definindo-e um ouro Veor de Eado V() Q.X(), onde Q é uma marix qualquer, reula. X () Q. V () X () AX. () + BU. () Y () CX. () + DU. () Onde: Q P; P Marix de Tranformação; X () PV. () X () PV. () Subiuindo-e a expreõe de X() e X na repreenação morada, em-e: PV. () APV.. () + BU. () Y () CPV.. () + DU. () V ( ) P. APV.. ( ) + P. BU. ( ) Y () CPV.. () + DU. () Ex: V () Av. V () + Bv. U () Y () Cv. V () + DU. () Dado G() obenha: S + 3S+ NOVA EPESENTAÇÃO DE ESPAÇO DE ESTADO - Uma repreenação por Epaço de Eado; - Uma repreenação por Epaço de Eado para a eguine ranformação: ϑ + () ϑ +. Uilizando-e o procedimeno morado no íem 3., o modelo de eado para ee iema é obido como morado abaixo: X 0 X 0.. ( ) X 3 X + µ Prof. Hélio Leãe Hey - 997

Projeo eenge - Eng. Elérica Apoila de Siema de Conrole I III-7 X Y () [ 0]. X por: O novo conjuno de variávei de eado V(), em função da variávei de eado X(), é dado X V (). X Onde: Q Q e + e Adj. Q Sendo P - Q, reula que: P Q Com io, emo que: Adj. Q P Q Q P e: P P A P 0 0..... 3 4 5 3 B 0.. C.P [ 0]. [ ] Finalizando, o novo modelo de variávei de eado é dado por: V 0 V.. ( ) V 3 V + µ V Y () [ ]. V Prof. Hélio Leãe Hey - 997