Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Forma quadrática em variáveis Função polinomial, de grau, cuja expressão tem apenas termos de grau. Ex. 1: é uma forma quadrática em variáveis porque a sua expressão é um polinómio em e cujos termos são apenas de grau. Neste caso,, e. Ex. 2: não é uma forma quadrática porque um dos termos da sua expressão, grau., não é de 2 Classificação Classificação de formas quadráticas Uma forma quadrática é classificada como semi-definida positiva (negativa) se for não negativa (não positiva) em qualquer vector. Se, para além disso, for positiva (negativa) em qualquer vector não nulo, é também classificada como definida positiva (negativa). Se houver pelo menos um vector em que é positiva e pelo menos um em que é negativa, é classificada como indefinida. é: Definida positiva: Semi-definida positiva: Definida negativa: Semi-definida negativa: Indefinida: Ex. 1: 1
Ex. 2: 8 Ex. 3: Ex. 4: 8 Ex. 5: 8 3 Facto Formas quadráticas definidas e semi-definidas Todas as formas quadráticas definidas positivas (negativas) são também semi-definidas positivas (negativas), mas nem todas as formas quadráticas semi-definidas positivas (negativas) são também definidas positivas (negativas). Ex. 1: Ex. 2: 2
4 Facto Classificação de formas quadráticas com expressões sem termos cruzados A classificação de formas quadráticas cuja expressão não tem termos cruzados pode ser feita directamente através da observação do sinal dos coeficientes dos termos da sua expressão. Definida positiva Semi-definida positiva Definida negativa Semi-definida negativa Indefinida é: Ex. 1: Ex. 2: 8 Ex. 3: 8 5 Definição Matriz simétrica associada a uma forma quadrática Matriz formada a partir dos coeficientes dos termos da expressão de. 3
{ Ex.: 6 Facto Expressão de formas quadráticas e forma matricial A expressão da forma quadrática pode ser escrita na forma matricial como o produto de por por, por esta ordem., - Ex.:, - 6 7 4
7 Definição Mudança de variável associada a uma matriz não singular de uma forma quadrática Alteração da expressão de, passando esta a depender de uma nova variável,, em vez da variável original,, tal que. : Ex.:, - 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7, - 6 7 5
8 Facto Matriz ortogonal e vectores ortonormados Uma matriz é ortogonal se e só se as suas colunas forem ortonormadas (mutuamente ortogonais e com norma )., - 8 Ex.:. /. / { 9 Facto Matrizes diagonalizáveis, matriz diagonal e vectores próprios ortonormados Seja, a matriz de transformação de uma transformação linear, uma matriz diagonalizável. Então, é uma base de constituída por vectores próprios ortonormados de se e só se é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são os valores próprios de, repetidos e ordenados de acordo com a ordenação dos vectores de, e, a matriz cujas colunas são os vectores de, é ortogonal., - 8 Ex.: 6
Apontamentos Álgebra Linear *+ 4 5 4 5 4 5 { 8 [ ] 10 Facto Mudança de variável e eliminação de termos cruzados de formas quadráticas Qualquer forma quadrática tem uma expressão sem termos cruzados, obtida através da mudança de variável, sendo uma matriz cujas colunas são vectores próprios ortonormados da transformação linear cuja matriz de transformação é. Neste caso, a expressão de na variável tem como coeficientes os valores próprios da transformação linear cuja matriz de transformação é, repetidos e ordenados de acordo com a ordenação dos vectores que formam as colunas de., - 7
Ex.:, - 6 7 *+ 4 5 4 5 [ ] 6 7 6 7 [ ] [ ] 4 5 4 5 4 5 4 5, - 6 7 11 Algoritmo Algoritmo para a realização de uma mudança de variável de uma forma quadrática que elimine os termos cruzados da sua expressão 1 Representação da expressão de,, na forma matricial: A partir da forma polinomial de, encontrar a forma matricial que lhe é equivalente,. 2 Determinação dos valores e vectores próprios da transformação linear cuja matriz de transformação é : Encontrar os valores próprios de, a transformação linear cuja matriz de transformação é, e os subespaços próprios de. 3 Definição de uma base de constituída por vectores próprios ortonormados da transformação linear cuja matriz de transformação é : Escolher, de cada subespaço próprio de, um número de vectores próprios ortonormados igual à multiplicidade 8
algébrica do valor próprio de que lhe está associado e reuni-los todos num conjunto, base de. Aproveitar o facto de ser uma matriz real e simétrica para a ortogonalidade de vectores de subespaços próprios diferentes, e o facto do produto de qualquer vector não nulo de pelo inverso da sua norma ser um vector com norma, para a normalização dos vectores. Para conseguir a ortogonalidade de vectores do mesmo subespaço próprio, se necessário, recorrer à ortogonalização de Gram-Schmidt. 4 da base Exibição da mudança de variável: Escrever, a matriz cujas colunas são os vectores, que permite efectuar a mudança de variável, e encontrar a relação entre as coordenadas de qualquer vector de na variável e as suas coordenadas na variável, apresentando a igualdade. 5 Apresentação da expressão de na variável, : Especificar as formas, matricial e polinomial, da expressão de na variável. Ex.: 1 Representação da expressão de,, na forma matricial:, - 6 7 2 Determinação dos valores e vectores próprios da transformação linear cuja matriz de transformação é : Valores próprios:, - Vectores próprios: 6 7 { { 9
6 7 { { 3 *+ Definição de uma base de constituída por vectores próprios ortonormados da transformação linear cuja matriz de transformação é : 4 5 4 5 { 8 4 5 84 5 4 59 4 Exibição da mudança de variável: [ ] 6 7 6 7 [ ] [ ] 5 Apresentação da expressão de na variável, :, - 6 7 10
12 Facto Classificação de formas quadráticas e valores próprios A classificação de qualquer forma quadrática pode ser feita através da observação do sinal dos valores próprios da transformação linear cuja matriz de transformação é a matriz simétrica que lhe está associada. é: Definida positiva Semi-definida positiva Definida negativa Semi-definida negativa Indefinida Ex. 1:, - 0 1 0 1 { } 8 Ex. 2:, - 0 1 0 1 { } 8 Ex. 3:, - 0 1 0 1 { } 8 Ex. 4:, - 0 1 0 1 { } 8 Ex. 5:, - 0 1 0 1 { } 8 11
13 Definição Menor de ordem referente aos índices,, e de uma matriz Determinante da sub-matriz de que se obtém eliminando as linhas e colunas de cujos índices pertencem a. Ex.: Ordem : Ordem : Ordem : 14 Definição Menor principal de ordem de uma matriz Menor de ordem referente aos índices,, e de. Determinante da submatriz de que se obtém eliminando as últimas linhas e colunas de. Ex.: Ordem : Ordem : Ordem : 15 Facto Classificação de formas quadráticas e menores A classificação de qualquer forma quadrática pode ser feita através da observação do sinal dos menores da matriz simétrica que lhe está associada. 12
é: Definida positiva Semi-definida positiva Definida negativa Semi-definida negativa Indefinida Ex. 1:, - 0 1 0 1 2 3 8 Ex. 2:, - 0 1 0 1 2 3 8 Ex. 3:, - 0 1 0 1 2 3 8 Ex. 4:, - 0 1 0 1 2 3 8 Ex. 5:, - 0 1 0 1 2 3 13
16 Facto Classificação de formas quadráticas e menores principais Pode ser possível classificar uma forma quadrática através da observação do sinal dos menores principais da matriz simétrica que lhe está associada. é: Definida positiva Definida negativa Indefinida Ex. 1:, - 0 1 0 1 2 3 { Ex. 2:, - 0 1 0 1 2 3 { Ex. 3:, - 0 1 0 1 2 3 14