Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br

Introdução a Probabilidade Existem dois tipos de experimentos: Determinísticos: Os resultados são sempre os mesmos e determinados pelas condições sob as quais o procedimento seja executado. Exemplo: Ponto de ebulição da água, ponto de congelamento da água, Leis da Física. Não-Determinísticos (Probabilístico ou Aleatório): Os resultados podem variar, mesmo quando são executados sob as mesmas condições.

Exemplos de um Experimento Aleatório E 1 : Jogar um dado e observar a face acima. E 2 : Jogar uma moeda quatro vezes e observar o número de caras obtidas. E 3 : Jogar uma moeda duas vezes e observar a sequência obtida. E 4 : Em uma linha de produção contar o número de peças defeituosas em um período de 8h. E 5 : Duração de vida de uma lâmpada (em horas).

Característica de um Experimento Aleatório O experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições. Embora não sejamos capazes de afirmar o resultado que ocorrerá, seremos capazes de descrever o conjunto de todos os possíveis resultados. Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, uma configuração definida ou regularidade surgirá. Obs: Essa regularidade torna possível construir modelos matemáticos que possibilitam analisar cada tipo de experimento.

Conceitos Iniciais Espaço Amostral: Para cada experimento E, definimos o espaço amostral (S) como o conjunto de todos os possíveis resultados de E. Exemplo: Considerando o exemplo anterior: S 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. S 2 = {0, 1, 2, 3, 4}. S 3 = {kk, cc, kc, ck}, em que k = coroa e c = cara. S 4 = {0, 1, 2,..., N}, onde N é o número máximo de peças produzidas. S 5 = {t t 0}, onde t é uma quantidade em horas.

Conceitos Iniciais Evento: Dado um espaço amostral S, associado a um experimento E qualquer, definimos como evento qualquer subconjunto desse espaço amostral. Exemplo: Considerando o exemplo anterior: A 1 : um número par ocorre, A 1 = {2, 4, 6}. A 2 : duas caras ocorrem, A 2 = {2}. A 3 : pelo menos uma caras ocorrem, A 3 = {cc, kc, ck}. A 4 : todas as peças são perfeitas, A 4 = {0}. A 5 : a lâmpada queima em menos de, 3h A 5 = {t 0 t 3}.

Operações Básicas com Eventos Sejam A, B e C eventos de um espaço amostral S. União: A B é o evento que ocorrerá se e somente se A ou B ou ambos ocorrerem. Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {0}, então A B = {0, 1, 2, 3} Intersecção: A B é o evento que ocorrerá se e somente se A e B ocorrerem simultaneamente. Exemplo: A = {2, 3, 4}, B = {2, 4, 6}, então A B = {2, 4}

Operações Básicas com Eventos Complementar: Se A c é o evento complementar de A, então A c consiste em todos os resultados do espaço amostral que não estejam incluídos no evento A. Exemplo: E 1 : Jogar um dado e observar a face acima. A = {2, 3, 4}, então A c = {1, 5, 6} Leis de De Morgan: (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c Leis Distributivas: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

Tipos de eventos Eventos Mutuamente Exclusivos (ou disjuntos): Dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos se não possuem nenhum elemento em comum, ou seja, A B =. Exemplo: A = {2, 4, 6} e B = {1, 3}

Tipos de eventos Eventos não mutuamente exclusivos: Se dois eventos possuem elementos em comum, eles não são mutuamente exclusivos, ou seja, A B. Exemplo: A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}

Probabilidade Probabilidade: é uma medida com a qual podemos esperar a chance de ocorrência de um determinado evento, atribuindo-a um número (valor) entre 0 e 1. Assim, se temos a certeza de que um evento ocorrerá, diremos que sua probabilidade é 1 (ou 100%), caso contrário (certeza que não ocorrerá) diremos que sua probabilidade é 0 (ou 0%). Se, por exemplo, a probabilidade é 1/4 diremos que existe uma chance de 25% de ocorrência de tal evento. Obs. Para obtermos o resultado em termos de percentual é só multiplicar a probabilidade por 100.

Probabilidade Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis: quando associamos a cada ponto amostral ( cada elemento do espaço amostral) a mesma probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável. S = {a 1, a 2,..., a n } p 1 p 2 p n Obs. p 1 = p 2 = = p n = 1 n

Probabilidade Definição Clássica: Seja um evento A qualquer. Temos que: P (A) = Número de elementos no evento A Número total de elementos no espaço amostral S Exemplo: A 1 = {sair PAR} = {2, 4, 6} P(A 1 ) = 3 6 = 1 = 0, 5 = (50%) 2

Exemplo Experimento (E): Dois dados são jogados. Espaço Amostral (S): Detemine a probabilidade de que: A = {a soma seja 4} P(A) = 3 36 = 0, 083 B = {a soma seja 11} P(B) = 2 = 0, 056 36

Probabilidade Definição axiomática: Seja S um espaço amostral associado a E. A cada evento A associaremos um número real, representado por P (A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça os seguintes axiomas. Axiomas: A1. 0 P(A) 1; A2. P(S) = 1; A3. Se A e B forem mutuamente exclusivos, ou seja, disjuntos (A B = ), então P(A B) = P(A) + P(B).

Probabilidade Propriedades: P1. Se é o conjunto vazio, então P( ) = 0. P2. Se A c for o evento complementar de A, então P(A c ) = 1 P(A). P3. Se A e B são dois eventos quaisquer, então P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). P4. Se A B, então P(A) P(B).

Exemplo Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de ser um rei OU ser de naipe vermelho. A = {a carta é um rei} B = {a carta é vermelha} P(A) = 4 P(B) = 26 P(A B) = 2 52 52 52 P(A B) = 4 52 + 26 52 2 52 = 28 = 0, 5385. 52

Exemplo Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de a carta ser um rei OU um 10. A = {a carta é um rei} B = {a carta é um 10} P(A) = 4 52 P(B) = 4 52 P(A B) = 0 P(A B) = 4 52 + 4 52 = 8 = 0, 054. 52

Exercício Em uma seleção para uma vaga de engenheiro mecânico de uma grande empresa verificou-se que dos 100 candidatos 40 tinham experiência anterior, 30 possuíam curso de especialização e 20 possuíam tanto experiência como algum curso de especialização. Escolhendo um candidato ao acaso, qual a probabilidade de que: a) Ele tenha experiência anterior ou algum curso de especialização? b) Ele não tenha experiência anterior nem curso de especialização?

Solução A = {O candidato possui experiência anterior} B = {O candidato possui especialização} P(A) = 0, 4 P(B) = 0, 3 P(A B) = 0, 2 a) Ele tenha experiência ou algum curso de especialização? P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) = 0, 4+0, 3 0, 2 = 0, 5. b) Ele não tenha experiência anterior nem curso de especialização? P(A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P(A B) = 1 0, 5 = 0, 5

Tabela de Contingência Revela a existência de eventos combinados, e facilita o tratamento probabilístico de tais eventos. É uma tabela que disponibiliza informações diretamente nas linhas e colunas, e que além dessas informações é possível visualizar também o número de casos comuns às interseções de eventos.

Exemplo Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir. Determine a probabilidade de sortear um adulto de Natal ou que tenha gostado do suco. P(Natal Sim) = P(Natal) + P(Sim) P(Natal Sim) = 250 1000 + 400 1000 150 1000 = 500 1000 = 0, 5

Probabilidade Condicional Definição: A probabilidade de um evento A ocorrer, dado (ou na condição de) que outro evento B já ocorreu. P(A B) = P(A B) P(B) Escrevemos essa situação como P(A B) e lemos a probabilidade de A, dado B.

Exemplo Dois dados são lançados ao acaso. Qual a probabilidade da soma ser igual a 6, dado que o primeiro dado saiu número menor que 3. A = {soma igual a 6} = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} B = {1 o dado com n o < 3} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), = (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)} A B = {(1, 5), (2, 4)} Logo P (A B) = 2/36 12/36 = 2 12 = 1 6

Exercício Considerando a tabela anterior. Um adulto é selecionada ao acaso. Determine a probabilidade do adulto: 1 não ter gostado do suco? 2 ser de Natal? 3 ter respondido não, sabendo que ele é de natal?

Solução 1 não ter gostado do suco? P(Não) = 350 1000 2 ser de Natal? P(Natal) = 250 1000 3 ter respondido não, sabendo que ele é de natal? P(Não Natal) P(Não Natal) = P(Natal) = 95/1000 250/1000 = 95 = 0, 38 1000

Teorema do Produto O teorema do produto (ou regra da multiplicação) é utilizado quando temos o interesse em determinar a probabilidade de que dois eventos ocorram em sequência. Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo espaço amostral S, então: P(A B) = P(B) P(A B) P(A B) = P(A) P(B A) Esse teorema é consequência direta da definição de probabilidade condicional.

Exemplo Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 unidades, 5 delas defeituosas. Determine a probabilidade de ambos os carros serem defeituosos. A = {O 1 carro é defeituoso} B = {O 2 carro é defeituoso} P(A) = 5 12 P(B A) = 4 11 P (A B) = 5 12 4 11 = 5 33 = 0, 1515

Teorema do Produto O teorema da multiplicação de probabilidades pode ser generalizado para mais de dois eventos. Sejam A 1, A 2,..., A n eventos quaisquer de um mesmo espaço amostral S, a probabilidade da ocorrência simultânea de A 1, A 2,..., A n é dada por: P(A 1 A 2 A n ) =P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A n A 1 A 2 A n 1 )

Exemplo Considerando o exemplo anterior, três carros são selecionados aleatoriamente. Determine a probabilidade de todos os carros serem defeituosos. A = {O 1 carro é defeituoso} B = {O 2 carro é defeituoso} C = {O 3 carro é defeituoso} P(A) = 5 12 P(B A) = 4 11 P(C A B) = 3 10 P (A B C) = 5 12 4 11 3 10 = 1 22 = 0, 0454

Independência Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada pela ocorrência (ou não-ocorrência) do e- vento A. Isto é, P(B A) = P(B). Os eventos A e B são independentes se P(A B) = P(A) P(B). Dois eventos que não são independentes são dependentes.

Exemplo Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2 são selecionados ao acaso. A = {O 1 carro é defeituoso} B = {O 2 carro é defeituoso} A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes.

Exemplo Exemplo de eventos independentes: Dois dados são lançados. Determine a probabilidade de sair 4 em ambos. A = {sair 4 no primeiro} B = {sair 4 no segundo} P(A) = 1 4 P(B A) = 1 4 Os eventos são independentes.

Teorema da Probabilidade Total Sejam B 1, B 2,..., B k uma partição do espaço amostral S, ou seja, eventos mutuamente exclusivos e que a união deles formem o espaço amostral. Seja A um evento qualquer associado a S, então: P(A) = P(A B 1 )P(B 1 ) + P(A B 2 )P(B 2 ) + + P(A B k )P(B k ) k = P(A B i )P(B i ) i=1

Exemplo Em uma turma 60% dos estudantes são homens e 40% mulheres. Além disso, sabe-se que 1% dos homens e 4% das mulheres tem menos de 1, 60m. Dado que um estudante foi sorteado aleatoriamente, qual a probabilidade dele ter menos de 1, 60m? H = {Homem}, M = {Mulher}, A = {menos de 1, 60m} P(H) = 0, 6 P(A H) = 0, 01 P(M) = 0, 4 P(A M) = 0, 04 P(A) = P(A M)P(M) + P(A H)P(H) = 0, 04 0, 4 + 0, 01 0, 6 = 0, 022.

Teorema de Bayes Sejam B 1, B 2,..., B k uma partição do espaço amostral S e seja A um evento qualquer associado a S, então: P(B i A) = P(B i A) P(A) = P(A B i )P(B i ) P(A B 1 )P(B 1 ) + + P(A B k )P(B k )

Exemplo Em uma turma 60% dos estudantes são homens e 40% mulheres. Além disso, sabe-se que 1% dos homens e 4% das mulheres tem menos de 1, 60m. Dado que um estudante com menos de 1, 60m foi sorteado aleatoriamente, qual a probabilidade de ser mulher? H = {Homem}, M = {Mulher}, A = {menos de 1, 60m} P(M A) P(A M)P(M) P(M A) = = P(A) P(A M)P(M) + P(A H)P(H) 0, 04 0, 4 = = 0, 727 (0, 04 0, 4) + (0, 01 0, 6)