VARIÂNCIAS DO PONTO CRÍTICO DE EQUAÇÕES DE REGRESSÃO QUADRÁTICA Variaces of the critical poit of a quadratic regressio equatio Ceile Cristia Ferreira Nues, Augusto Ramalho de Morais, Joel Augusto Muiz 3, Thelma Sáfadi RESUMO Com o presete trabalho teve-se por objetivo a determiação de variâcias para o estudo do poto crítico de uma e- quação de regressão de segudo grau, em situações experimetais com diferetes variâcias, por meio de simulação Mote Carlo. Em muitos estudos, teóricos ou aplicados, o pesquisador depara-se com o problema que evolve quociete etre variáveis aleatórias e, pricipalmete, etre variáveis ormais. Como exemplo, aquelas que surgem em pesquisas de dose ecoômica de utrietes em experimetos de adubação, de compactação de solos e em outros problemas em que há iteresse a variável aleatória x b/( c ), estimador do poto crítico a regressão ŷ a + bx + cx. Para estudar a distribuição do poto crítico de uma equação de regressão quadrática, foram utilizados dados de produção de algodão de 536 esaios, ajustado-se um modelo quadrático. A estimação dos parâmetros foi feita pelo método dos quadrados míimos ordiários. Com base essas estimativas, implemetou-se por meio do software MATLAB uma rotia para simulação de duas séries com 5 erros aleatórios de distribuição ormal de média zero relativos a cada uma das variâcias cosideradas teóricas: σ,; ; ; 5; ; 5; e 5. As estimativas da variâcia do poto crítico foram obtidas por meio de três métodos: (a) fórmula comum do cálculo de variâcias; (b) fórmula obtida pela difereciação do estimador do poto crítico e (c) fórmula demostrada para o cálculo da variâcia de uma razão, cosiderado-se a covariâcia etre b e ĉ. Pelos resultados obtidos para as estatísticas médias dos coeficietes de regressão b e ĉ, bem como suas respectivas variâcias em fução das diversas variâcias teóricas ( σ ) adotadas, verificou-se que esses valores teóricos estão próximos aos reais. Aida ocorre uma tedêcia de que, com o aumeto da variâcia teórica, esses valores aumetem. Pode-se cocluir que a variâcia do poto crítico calculada usado-se a expressão que leva em cosideração a covariâcia etre b e ĉ apreseta resultados mais satisfatórios e que ão segue uma distribuição ormal, pois apreseta uma distribuição de freqüêcia com assimetria positiva e formato leptocúrtico. Termos para idexação: Regressão quadrática, quociete de variáveis aleatórias, variâcia do poto crítico, itervalo de cofiaça. ABSTRACT The aim of this paper is determie variaces for the aalysis of the critical poit of a secod-degree regressio equatio i experimetal situatios with differet variaces through Mote Carlo simulatio. I may theoretical or applied studies, oe fids situatios ivolvig ratios of radom variables ad more frequetly ormal variables. Examples are provided by variables, which appear i ecoomic dose research of utriets i fertilizatio experimets, as well as i other problems i which there are iterests i the radom variable x b /( ) c, estimator of the critic poit i the regressio ŷ a + bx + cx. Data of five hudred thirty six trials i cotto yield were utilized to study the distributio of the critical poit of a quadratic regressio equatio by adjustig a quadratic model. The parameters were evaluated usig a least square method. From the estimatios a MATLAB routie was implemeted to simulate two sets with five thousads radom errors with ormal distributio ad zero mea, relative to each of the theoretical variaces: σ.;.5; ; 5; ; 5; ad 5. The estimatio of the variace of the critical poit was obtaied by three methods: (a) usual formula for the variace; (b) formula obtaied by differetiatio of the critical poit estimator ad (c) formula for the computatio of the variace of a quotiet by takig ito cosideratio the covariace betwee b ad ĉ. The results obtaied for the statistic average for the regressio (Recebido para publicação em 3 de abril de e aprovado em 8 de agosto de ). Mestre em Estatística e Experimetação Agropecuária Uiversidade Federal de Lavras/UFLA Caixa Postal 37 37- Lavras, MG.. Professores Adjuto do Departameto de Ciêcias Exatas/UFLA. 3. Professor Titular do Departameto de Ciêcias Exatas/UFLA.
39 NUNES, C. F. F. et al. betwee b e ĉ, as well as its respective variaces i terms of the several theoretical residual variaces ( σ ) adopted show that those theoretical values are close to real oes. Moreover, there is a tred of icreasig b ad ĉ with icrease of the theoretical variace. It may be cocluded that the critical poit variace calculated takig ito cosideratio the covariace betwee b ad ĉ, gives more satisfactory results ad does ot follow a ormal distributio, presetig a frequecy distributio with positive assimetry ad leptokurtic shape. Idex terms: Quadratic regressio, quotiet radom variables, variace of the critical poit, iterval of cofidece. INTRODUÇÃO Etre os vários modelos de regressão usados as pesquisas, merece destaque o modelo de regressão quadrático, devido ao seu amplo uso, facilidade de cálculos e eorme adaptação a explicação e iterpretação de feômeos biológicos, como as pesquisas agropecuárias, com o uso de fertilizates. Seja o modelo de regressão quadrática, com uma variável idepedete, dado por Neter et al. (99) por y i a+ bx i + cx i, pode-se obter um estimador para o poto crítico dessa equação, coforme Kapla (97), derivado-se y i em relação a x e fazedo sua derivada igual a zero, assim: dy ( i da+ bxi + cxi ) b + cx i, dx dx logo, o estimador do poto crítico da equação de regressão quadrática é x i b, que será a abscissa de c um poto de máximo, se ĉ for egativo, e de míimo, se ĉ for positivo. Estimativa da variâcia do poto crítico O cohecimeto da variâcia de um poto crítico pode ser de muita importâcia em algumas pesquisas, pois possibilita costruir itervalos de cofiaça para o verdadeiro valor do poto crítico e testar sua validade ou ão por meio de uma hipótese de iteresse a seu respeito. Para estimar a variâcia do poto crítico em um estudo usado simulação, D Aulísio (976) utilizou a expressão usual Var( x ) i x xi i i, citada por Spiegel (993). Segudo Mood et al. (974), a variâcia de um quociete de duas variáveis aleatórias x e y é dada de forma aproximada pela expressão: [ ] [ ] [, ] x µ Var x Var y Cov xy X Var y +. µ Y µ X µ Y µ Xµ Y Aulísio (976), estudado a variâcia dos potos de máximo ou de míimo de equações de regressão de b segudo grau, demostrou que se x é um estimador cosistete do poto crítico, sua variâcia pode c ser estimada aproximadamete pela primeira derivada do estimador do poto crítico em relação a x, e, portato, o estimador da variâcia é dado pela expressão: Varb () bvarc. () Varx () + 4 4 c c Coeficietes de assimetria e curtose Testes que avaliam assimetria e curtose são úteis e ajudam a verificar a sigificâcia da variação de certos mometos da amostra, em relação aos valores esperados, de uma população ormal. Nas aplicações práticas, porém, podem-se ter valores próximos de zero e, pricipalmete, este caso, e- xiste a ecessidade de saber se o valor obtido é diferete ou ão de zero. O coeficiete de assimetria pode ser estimado, coforme defiido por Fisher (93), usado-se a expressão γ µ 3. Para verificar se os valores estimados 3 σ de γ diferem ou ão de zero, esse pesquisador sugeriu γ a aplicação do teste de t de Studet γ t, s γ em que o valor da estatística t é a razão etre a esti- γ e seu erro-padrão, obtido a mativa do parâmetro Ciêc. agrotec., Lavras, v. 8,., p. 389-396, mar./abr., 4
Variâcias do poto crítico de equações de regressão quadrática. 39 partir da raiz quadrada da variâcia Var ( ) γ, dada 6 ( ) por Var ( γ ). ( )( + )( + 3) O coeficiete de curtose foi defiido por de Fisher (93) como γ µ 4 3 4. Para verificar se os σ valores estimados de γ diferem ou ão de zero, aplica-se o teste t dado por t para o qual γ γ s γ Var ( γ ) 4 ( ). ( 3)( )( + 3)( + 5) Itervalos de cofiaça Um método para se obter itervalo de cofiaça para um quociete é o baseado o teorema de E.C. Fieller, Fiey (964). Sedo x e x duas variáveis aleatórias ormalmete distribuídas com média zero e variâcia e σ, respectivamete, a ova variável u x µ x, fução liear das observações x e x, terá também distribuição ormal de média zero e variâcia Var( u) σ + µσ. e de Sedo s e σ, respectivamete, o quociete: s estimadores ão-viesados de u Var u x µ x µ s s +, σ σ tem distribuição t de Studet (KENDALL e STUART, 977). Assim sedo, em um certo ível de probabilidade α apropriado, a iequação x + t s µ xx µ + x t s dá os extremos do itervalo de cofiaça. Material MATERIAL E MÉTODOS Os dados utilizados este trabalho foram os mesmos utilizados por Freitas (978), e são proveietes de 536 esaios coduzidos com a cultura de algodão, realizados os Estados do Paraá, Mias Gerais e Goiás, o período de 97/975. Métodos Este trabalho foi realizado por meio de simulação Mote Carlo, para avaliar distribuições de freqüêcias do poto crítico de uma equação de regressão do segudo grau. Cosideraram-se como referêcia os valores médios obtidos por Freitas (978) para os coeficietes de regressão cujas estimativas foram b 9,73 e c 98,8947, ecessárias para o cálculo do poto crítico, e cosiderado que as variâcias eram proporcioais, sedo Var c 453 Var b. Para simular dados experimetais para b e ĉ, com média e variâcia estipulados coforme a situação, foi desevolvido um procedimeto utilizado o software MATLAB - Matrix Laboratory. Cosideraram-se as seguites dosages com 4 repetições cada uma:.;.;.4;.6 e.8, caracterizadas pelas diferetes variâcias teóricas, σ,; ;,; 5,; ; 5; ; 5. A partir desses valores reais, geraram-se duas séries com 5 erros aleatórios cada uma, com distribuição ormal de média zero para cada uma das variâcias teóricas cosideradas, deomiado e a primeira série e e a seguda, de forma que e ~ N(, σ ) e e ~ N(, σ ). Obtiveram-se, etão, 5 erros e 3 após multiplicar e por 453 ; assim, as estimativas de b e ĉ podem ser escritas como b 9,73+ e e c 98,8947 + e. Assim, costruiu-se um vetor com 5 observações, cujos elemetos são x. Determiaram-se etão, os va- c b lores médios para as estimativas bc, e x, suas respectivas variâcias com a fialidade de verificar a qualidade da simulação. A variâcia do quociete ou do poto crítico b x foi calculada utilizado-se três expressões c Var x, a saber: Var ( x ), Var x e 3 Ciêc. agrotec., Lavras, v. 8,., p. 389-396, mar./abr., 4
39 NUNES, C. F. F. et al. Var ( x ) xi i x i i Varb () bvarc. () Var () x + 4 4 c c µ [ ], b 3 ( Var b Cov bc ) b Var c. Var x Var + 4 4 µ µ µ µµ c c c c b b Para cada situação do cojuto de 5 simulações, foi obtida a média do poto crítico e das três variâcias. Do mesmo modo, procedeu-se para o cálculo do coeficiete de assimetria e curtose. Para os coeficietes de assimetria e curtose, calculam-se γ, γ, cujas respectivas variâcias são costates em todos os casos, visto que todos os vetores têm 5 observações, assim: Var γ, e Var γ 8 para o cálculo da estatística t de Studet. Cohecidas as estimativas das variâcias, determiaram-se os itervalos b de cofiaça para x, estimador do poto crítico, a c um coeficiete de cofiaça de 95%, estimado-se os seus extremos, da seguite forma:, x ± t Var x x ± t Var x e x ± t Var x 3 em que t. Procedeu-se também à costrução dos histogramas de freqüêcia para verificar graficamete se a distribuição dos potos críticos aproxima-se de uma distribuição ormal. RESULTADOS E DISCUSSÃO Com a fialidade de verificar a aplicação das três expressões para o cálculo da variâcia do poto crítico e de se ter uma idéia se os valores simulados do poto crítico seguem uma distribuição ormal, são apresetados a seguir os resultados oriudos de várias simulações realizadas. Os resultados obtidos para as estatísticas médias dos coeficietes de regressão b e ĉ, bem como suas respectivas variâcias em fução das diversas variâ- cias teóricas ( σ ) adotadas, estão apresetadas a Tabela. Pode-se verificar que os valores médios dos coeficietes de regressão b e ĉ estão próximos aos valores teóricos reais cosiderados. Os valores de b variam de 9,74 a 9,33 e os valores de ĉ variam de 98,95 a 998. Notou-se uma tedêcia de que com o aumeto da variâcia teórica, esses valores tiveram um certo aumeto. Já para os valores das variâcias de b e ĉ, à me- dida que a variâcia teórica ( σ ) aumetou, seus valores também aumetaram; ota-se que as variâcias Var ( b ) σ ; o mesmo ocorredo para estão próximas e com tedêcia a variâcia teórica Var c, uma proporção próxima de 45 vezes, o que já era esperado. Os va- Var b e lores das estimativas b e ĉ, assim como Var ( c ), aumetaram à medida que as variâcias teóricas cosideradas aumetaram. Na Tabela apresetam-se os valores médios do poto crítico e as variâcias obtidas pelos 3 métodos cosiderados. Pelos resultados, verifica-se que houve um aumeto os valores do poto crítico à medida que a variâcia teórica aumetou. Os valores médios do poto crítico variaram de 56 a variâcia, até 586 a maior variâcia cosiderada de 5. Observado-se os valores obtidos para as três variâcias, verificou-se que a variâcia Var3 ( x ) apresetou valores meores do que os calculados por Var ( x ) ou Var ( x ). Pode- Var x, sugerida se iferir por esse que a expressão 3 por Mood, Graybill e Boes (974), deve ser preferida em vez das outras duas. Os valores médios obtidos para os coeficietes de assimetria e curtose e respectivos testes t estão apresetados a Tabela 3. Verifica-se σ, houve um que, com o aumeto da variâcia aumeto do coeficiete de assimetria e de curtose, e os valores de γ e γ foram todos positivos e aumetaram com o icremeto das variâcias teóricas cosideradas, evideciado uma assimetria positiva para todas as variâcias e uma tedêcia leptocúrtica. Ciêc. agrotec., Lavras, v. 8,., p. 389-396, mar./abr., 4
Variâcias do poto crítico de equações de regressão quadrática. 393 TABELA Valores médios dos coeficietes de b e ĉ e respectivas variâcias em fução das diferetes variâcias reais utilizadas. σ b ĉ Var b Var ( c ), 9,74-98,95,8 37 9,775-98,978 4,85 9,8-98,974,8 4,37 5 9,98-98,9678 5,857 9,989-98,998,84 43,73 5 9-99,3 5,6 3655 9,3-999,68 4876 5 9,33-998 5 8 TABELA Valores médios do poto crítico( x ) e variâcias do poto crítico calculados pelos métodos: usual Var ( x ), fórmula deduzida por D Aulísio (976) ( ) Var3 ( x ). Var x, expressão dada por Mood et al. (974) σ Poto crítico Variâcias x Var ( x ) Var ( ) x Var3 ( x ), 56 4 4, 564,74,7,9 569 55 43,9 5 66,3,7,97 68,69 4,95 5 75,3,8,93 835,,8,39 5 586,788,7,977 Ciêc. agrotec., Lavras, v. 8,., p. 389-396, mar./abr., 4
394 NUNES, C. F. F. et al. Distribuição de freqüêcia dos valores do poto crítico Pode-se observar a Figura que a distribuição de freqüêcia dos valores do poto crítico ão estão muito distates dos de uma curva ormal. Esse foi o caso em que o coeficiete de curtose se aproximou do de uma ormal, ão diferido de 3 ou de zero, quado se subtrai essa costate. Na Figura e de acordo com a Tabela 3, pode-se observar uma leve tedêcia de assimetria à direita, caracterizado uma distribuição leptocúrtica. Na Figura 3 observa-se uma forte tedêcia de assimetria à direita e ao formato leptocúrtico (curtose maior que 3), que já havia sido detectada ateriormete as aálises realizadas a Tabela 3. Itervalos de cofiaça para o poto crítico Aalisado os itervalos de cofiaça para o poto crítico calculados usado-se as três diferetes variâcias (Tabela 4), ota-se que esses itervalos são bastate satisfatórios, pricipalmete quado se utili- Var x. Como já era esperado, todos zou a variâcia 3 os itervalos de cofiaça toraram-se meos precisos com o aumeto das variâcias teóricas. Desse modo, os itervalos de cofiaça meos satisfatórios foram aque- Var x e os itervalos mais satisfató- les obtidos com ( ) rios, obtidos com Var3 ( x ). TABELA 3 Valores médios dos coeficietes de assimetria, curtose e respectivas estatísticas do teste t, em fução das diferetes variâcias. σ Coeficiete de assimetria Coeficiete de curtose Valores do teste t γ γ t γ,,96,3,7775 (**),898 (NS),97,8 6,3447 (**) 3,947 (**),357,3478 9,63 (**) 5,3 (**) 5,796 48,83 (**),3559 (**),339 4,336 389 (**) 6,97 (**) 5, 3 6,783 (**) 6,3599 (**) 3,8834 37,6,37 (**) 543,43 (**) 5 64 77,7 359,873 (**) 845, (**) t γ 8 6 4 3 35 4 45 5 55 6 65 7 75 8 Std. Dev, Mea 56 N 5, 85 FIGURA Represetação gráfica da distribuição de freqüêcia dos valores simulados do poto crítico, para a variâcia σ, e valor médio de x 56. Ciêc. agrotec., Lavras, v. 8,., p. 389-396, mar./abr., 4
Variâcias do poto crítico de equações de regressão quadrática. 395 7 6 5 4 3,3 8,3 9 4 6 9 3 4 4 5 6 6 9 8 9 4 6 9 3 4 4 5 6 S td. D e v, M e a 57 N 5, FIGURA Represetação gráfica da distribuição de freqüêcia dos valores simulados do poto crítico, para a variâcia σ, e valor médio de x 569. 8 6 4,,3 5,3 5 5,6 5,6,7 5,7,8 5,8,9 5,9, 5, 7 5 S td. D e v, 8 M e a 6 8 N 5, FIGURA 3 Represetação gráfica da distribuição de freqüêcia dos valores simulados do poto crítico, para a variâcia σ, e valor médio de x 68., 5 TABELA 4 Valores médios do poto crítico e itervalos de cofiaça para o poto crítico cosiderado as três variâcias, em fução das variâcias teóricas. Variâcia teórica ( σ ) Poto crítico médio Variâcias ( x ) Var Var Var x, 56 [4; 77] [4; 77] [53; 588] 564 [3; 896] [34; 894] [5; 66] 569 [98; 4] [3; 35] [48; 658] 5 66 [,354; 78] [,3574; 657] [48; 83] 68 [,36;,6343] [,38;,65] [4; 959] 5 75 [35;,6968] [,949,,6554] [49; 94] 835 [,99;,774] [,755;,696] [44; 3] 5 586 [-,7765; 3,8937] [,3;,887] [96,6] x 3 x Ciêc. agrotec., Lavras, v. 8,., p. 389-396, mar./abr., 4
396 NUNES, C. F. F. et al. CONCLUSÕES As variâcias dos coeficietes de regressão aumetaram proporcioalmete com o aumeto das variâcias teóricas ( σ ) cosideradas, caracterizado uma simulação de boa qualidade. A variâcia do poto crítico calculada usado-se a expressão de Mood et al. (974) apreseta-se como a mais satisfatória, pois leva em cosideração a covariâcia etre os coeficietes de regressão b e c. A variâcia σ afeta a estimativa do poto crítico, maiores variâcias estão relacioados com maiores valores médios. A distribuição de freqüêcia do poto crítico ão segue ao de uma distribuição ormal. O poto crítico apreseta uma distribuição de freqüêcia com assimetria positiva e formato do tipo leptocúrtico. Os itervalos de cofiaça para o poto crítico toram-se meos precisos com o aumeto das variâcias teóricas ( σ ) em todos os três casos aalisados. Os itervalos de cofiaça com meor amplitude foram os obtidos Var x. utilizado-se a variâcia calculada por 3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS D AULISIO, M. B. G. d. A variâcia dos potos de máximo ou de míimo de equações de regressão de segudo grau. 976. 6 f. Dissertação (Mestrado em Estatística e Experimetação Agroômica) Escola Superior de Agricultura de Luiz de Queiroz, Piracicaba, 976. FINNEY, D. J. Statistical method i biological assay. Lodo: Charles Griffi, 964. 668 p. FISHER, R. A. The momets of the distributio for ormal samples of measures of departure from ormality. Joural of the Royal Statistical Society, A, Lodres, v. 3, p. 7-8, 93. FREITAS, A. R. A distribuição do poto de máximo ou de míimo de uma fução usada em experimetos de adubação. 978. 8 f. Dissertação (Mestrado em Estatística e Experimetação Agroômica) - Escola Superior de Agricultura de Luiz de Queiroz, Piracicaba, 978. KAPLAN, W. Cálculo avaçado. São Paulo: Edgard Blücher, 97. v., 75 p. KENDALL, M. G.; STUART, A. The advaced theory of statistics. Lodo: Charles Griffi, 977. v.. MOOD, A. M.; GRAYBILL, F. A.; BOES, D. C. Itroductio to the theory of statistics. 3. ed. Tokio: McGraw-Hill, 974. 564 p. NETER, J.; WASSERMAN, W.; KUTNER, M. H. Applied liear statistical models: regressio, aalysis of variace, ad experimetal desigs. 3. ed. Homewood: Richard D. Irwi, 99. 8 p. SPIEGEL, M. R. Estatística. 3. ed. São Paulo: Makro Books, 993. 643 p. Ciêc. agrotec., Lavras, v. 8,., p. 389-396, mar./abr., 4