Pova REC da Denise Nome: Infomações: Duação de 2:00. Pode come e bebe duante a pova. Pode faze a pova à lápis. Pode usa calculadoa (sem texto. A pova tem complexidade pogessiva. A tentativa de violação de qualque ega abaixo anulaá o teu exame. Não consulte mateial ou colegas. Sente viado/a paa fente. á ao banheio antes ou depois do exame. Rascunho apenas no veso da pova. Desligue e guade o celula. 1. As afimações a segui são vedadeias ou falsas? Justifique as falsas. (a As foças de Coiolis e centífuga são fundamentalmente difeentes da foça gavitacional pois dependem da aceleação do sistema de efeência e não de popiedades da matéia. 3 A. Eado B. Ceto Dependem da otação, potanto da aceleação, do sistema de efeência. (b Na equação da consevação de enegia o temo de dissipação viscosa Φ é intoduzido atavés da substituição da equação constitutiva de fluidos Newtonianos no temo de tabalho 3 das foças de copo. A. Ceto B. Eado A substituição é no tabalho das foças de supefície, pois o cisalhamento gea dissipação. (c A equação da continuidade pode se simplificada paa a foma u quando estudamos 3 ciculação abissal de laga escala (abaixo de 3000m. A. Ceto B. Eado Ela pode se simplificada pois o gadiente de densidade é pequeno apesa da enome pessão. (d O potencial de velocidade é definido paa fluxos bidimensionais não divegentes. 3 A. Eado B. Ceto É definido paa fluxos iotacionais. (e Apenas nos fluidos Newtonianos a defomação é lineamente popocional à tensão. 3 A. Eado B. Ceto Essa é a definição de fluido Newtoniano. 2. Use a expessão matemática da voticidade paa mosta que uma canoa colocada foa do cento de um vótice iotacional não gia em tono de si mesma. A canoa é muito meno que o aio do vótice. Página 1 de 8
Só temos u θ = C, as demais componentes e/ou deivadas são nulas, potanto ( 1 (u θ ω z = 1 u = = 1 [ ( ] C = 0. 3. Suponha que a bactéia X é extemamente sensível a mudanças epentinas de pessão e tona se inativa se a pessão vaia de mais de 10 4 N.m 2 em 1s. Ondas capilaes com peíodo de 0.1s são geadas na supefície plana do ma e quando quebam po micobeaking ejetam gotículas de.1mm de aio paa a atmosfea. Uma bactéia X está junto à supefície, uma onda capila queba e ela é captuada numa gotícula. Ela ficaá inativa? Lembando que paa uma gota p = 2σ = 2 73 10 3 = 1460, na gotícula a pessão é 1460 N.m 2. 1 10 4 O peíodo da onda é de.1s, potanto a compessão na gotícula é de 1460/0.1=1.46 10 4 > 10 4 N.m 2.s 1, ego a bactéia fica inativa. 4. Considee a equação de Navie Stokes na notação usual: D u Dt = 1 ρ p + ν 2 u + g a 2 Ω u. (a Obtenha a equação hidostática na foma escala e justifique suas apoximações. Se a velocidade é nula, soba apenas 0 = p+ρ g a onde a componente vetical é a única não-nula, potanto p = ρg a. Página 2 de 8
(b Considee o fluxo invíscido e as aceleações despezíveis quando compaadas aos temos 10 do gadiente hoizontal de pessão e da foça de Coiolis. Complete as equações do movimento: Continuidade = ρ u Hidostática = copie do item a Momentum Zonal = 2Ω θ Mom. Meidional = 2Ω θ Continuidade 0 = ρ u Hidostática Momentum Zonal Mom. Meidional p u y v x = ρg a = 2Ω sin θ p x p = 2Ω sin θ y. Considee uma supefície A que envolve um volume. Paa que a entopia S se conseve, a 10 vaiação total da entopia dento de tem de se igual ao fluxo de entopia que passa pela áea total A, ou seja: t d = A S u da. Considee um pocesso isoentópico. A pati da equação acima deduza a equação abaixo e esponda: qual a intepetação física do segundo temo? (Queo contas com explicações. t + (S u = 0 Usando Gauss A Agupando, temos (S u da = (S ud, ( t + (S u d = 0 obtemos t d + (S u d = 0. Paa que o integando da última expessão se anule paa qualque é necessáio que: t + (S u = 0. O segundo temo é o fluxo de entopia a A, em WK 1. Página 3 de 8
6. O fluxo dado pelas equações abaixo é incompessível? Explique a sua esposta (b é constante. 10 u = 1 cos(b2 u θ = 2θb sin(2b2 cos(b 2 u z = 2bz sin(b 2 Divegente em coodenadas cilíndicas: U = 1 (u + 1 Paa o 1 o temo do lado dieito, u = cos(b 2 potanto: u θ + u z 1 (u = 2b sin(b 2. A deivada em z do 3 o temo do lado dieito é tivial: [ 2bz sin(b 2 ] = 2b sin(b 2. Antes de se escabela com a deivada do 2 o temo, lembe que sin(2x = 2 sin(x cos(x, potanto 2 sin(2x = 4 sin(x cos(x e 4 sin(x = 2 sin(2x cos(x. Faça x = 2b2 e multiplique tudo po θb paa obte 4θb sin(b 2. Desta foma 1 u θ = 1 [4θb sin(b 2 ] A soma é nula e potanto o fluxo é incompessível. = 4b sin(b 2. 7. Consideando o fluxo lamina independente do tempo descito pela função de coente: ψ = U y (1 a2, com U e a constantes eais. A Pessão em x = ± é P x 2 + y 2. (a Esboce as linhas de coente paa x 2 + y 2 a. Dicas: Desenhe os eixos. Comece po ψ = 0, daí já sai uma linha. Depois analise ψ(x, y ± ; com isso você já sabe como é o campo distante. Paa peenche o esto do desenho, quando x 2 + y 2 se apoxima de a 2, veja o que acontece com ψ. Página 4 de 8
Se ψ = 0 as aízes são y = 0 e 1 = a2, x 2 +y 2 uma eta hoizontal e um cículo de aio a. Comece po aí. Paa ψ(x ± (ou ψ(y ± temos ψ = Uy, um feixe de etas paalelas hoizontais. Essas etas se cuvam em tono do cículo x 2 + y 2 = a. (b Calcule as componentes da velocidade. Que situação eal este fluxo pode epesenta? Dicas: Use a definição de ψ; Depois analise as componentes u e v se (x, y ±. Da definição de ψ basta usa a ega do quociente que eu dei: se f(x = g(x h(x então f (x = g (xh(x g(xh (x [h(x] 2. u = U [ a 2 1 (x 2 + y 2 2a2 y 2 ] (x 2 + y 2 2 e v = 2Uxya2 (x 2 + y 2 2 Potanto lim u = U e lim v = 0, o campo distante é hoizontal. x ± x ± Isso epesenta um cilindo vetical longo imeso em um fluxo constante no plano z = C. (c Moste que o fluxo é iotacional. Calcule a pessão (em temos de ρ, U, a, x e da pessão 10 num ponto distante P paa y = 0 usando a equação de Benoulli com z = C, C constante. Dicas: Se o fluxo é iotacional 2 (ψ = 0. Use Benoulli com um ponto no x = e o outo num ponto qualque: p ρ + Q2 2 + gc = P ρ + U 2 2 + gc Sendo Q 2 = u 2 + v 2 (módulo da velocidade. Substitua y = 0 em u e v e voilá! De novo, basta usa a ega do quociente que eu dei e aceta as deivadas segundas paa obte 2 ψ x 2 = 2Uya2 (x 2 + y 2 2 8Ux2 y 2 a 2 (x 2 + y 2 3 e 2 ψ y 2 = 6Uya2 (x 2 + y 2 2 8Uy3 a 2 (x 2 + y 2 3, cuja soma é o Laplaciano e é nulo, potanto o campo exteno ao cículo de aio a é iotacional. Agoa vamos usa a eq. de Benoulli: p ρ + Q2 2 = P ρ + U 2 2 Página de 8
esolvendo paa p: Substituindo u e v em Q e fazendo y = 0: ( U 2 Q 2 p = ρ + P. 2 p = P + ρu 2 a 2 2x 2 (2 a2 x 2 (d Qual o valo máximo da pessão e onde ela ocoe? Qual é a velocidade nesses pontos? Note da penúltima equação que a pessão é máxima onde Q 2 = 0 pois U é constante e P também. Inspecionando as fómulas de u e v vemos que isso ocoe em y = 0 e x = ±a (pontos de estagnação, velocidade zeo. 8. Considee a equação de Navie Stokes na notação usual: D u Dt = 1 ρ p + ν 2 u + g z 2 Ω u. (1 amos usa a equação 1 aplicada a um poblema de ciculação na mesa giante. Paa simplifica o poblema considee o seguinte: O balanço de foças na vetical é hidostático: ρg z = p. (2 O fluxo é apoximadamente estacionáio, linea, invíscido, incompessível e homogêneo. (a Esceva as equações das componentes hoizontais do balanço de foças. Queo uma equação paa a dieção x e uma paa y. Note que, po causa do poduto vetoial, a equação paa x tem v e a equação paa y tem u. 2Ωv = 1 p ρ x 2Ωu = 1 p ρ y (b Deive cuzado e some as duas equações paa elimina o temo em p. Use a equação da 10 continuidade paa obte uma expessão paa w. = 1 2 p ρ x y x = 1 2 p ρ y x = 0 2Ω v y 2Ω u ( v 2Ω y + u x Página 6 de 8
Usando a continuidade paa o caso incompessível e homogêneo, u = 0, w = 0. (c Difeencie em z as equações que você obteve no item a e substitua a equação 2 paa obte expessões paa u e v. Tendo em vista essas expessões juntamente com a obtida no item b, o que acontece quando colocamos um pequeno obstáculo no fundo do tanque giante e foçamos uma coente hoizontal a passa sobe ele? Nota: Essa coente é dezenas de vezes mais lenta que velocidade tangencial imposta pela otação. 10 2Ω v 2Ω u 2Ω v 2Ω u v u = 1 2 p ρ x = 1 2 p ρ y = 1 ρg z ρ x = 1 ρg z ρ y = 0 = 0 Potanto não há cisalhamento vetical das velocidades! O fluxo não consegue passa po cima do obstáculo, pois isso causaia cisalhamento. A água passa em tono do obstáculo, como se o mesmo fosse uma coluna, daí o nome desse expeimento: colunas de Taylo. Questão 1 2 3 4 6 7 8 Total Pontos 1 1 10 10 2 2 110 Nota Memóia não volátil: Rega do quociente: se f(x = g(x h(x então f (x = g (xh(x g(xh (x [h(x] 2. O coeficiente de tensão supeficial da água é 73 10 3 N.m 1. Página 7 de 8
Sistema de Coodenadas Cilíndico ou Pola Função escala E = E(, θ, z Função vetoial = u (, θ, zî + u θ (, θ, zîθ + u z (, θ, zîz ( Gadiente é veto! E = E Divegente é escala! = 1 ( u Rotacional é veto! = ( 1 u z î + ( 1 1 + u θ + ( u î E + î θ u θ + ( E î z u z ( uz + 1 ( u θ î θ 1 u î z Esta é a definição de ψ em coods. catesianas: u = ψ y v = ψ x. Esta é a definição de ψ em coods. cilíndicas: u = 1 ψ u θ = ψ. Página 8 de 8