3 Espaços com Produto Interno

3 Espaços com Produto Interno 3.1 Produtos Internos em Espaços Vetoriais Seja V um espaço vetorial. Um produto interno em V é uma função, : V V R que satisfaz P1) = v, u para todos u, v V ; P2) u, v + w = + u, w para todos u, v, w V ; P3) αu, v = α para todos u, v V e todo α R; P4) u, u 0 para todo u V e u, u = 0 se, e somente se, u = 0. (O Produto Interno Usual em R 2 ) (a, b), (c, d) = ac + bd é um produto interno em R 2. Este produto interno é facilmente generalizado para R n. Exemplo 2 (a, b), (c, d) = ac + 8bd + 2ad + 2bc é um produto interno em R 2. Exemplo 3 (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) = x 1 x 2 y 1 y 2 não é um produto interno em R 2. Exemplo 4 (Espaço de funções contínuas) Seja V = {f : [0, 1] R ; f é contínua}. A função, : V V R definida por é um produto interno em V. f, g = 1 0 f(x)g(x) dx 3.2 Espaços Vetoriais Euclidianos Um espaço vetorial euclidiano é um espaço vetorial de dimensão finita, munido de um produto interno. 3.3 Norma de um Vetor Seja V um espaço vetorial com produto interno,. Dado v V define-se a norma de v, indicada por v, por v = v, v. 1

Observações Se v = 1, o vetor v é dito um vetor unitário. Dizemos, também que v está normalizado. Todo vetor v não nulo pode ser normalizado. Basta fazer u = v v. Propriedades Seja V um espaço vetorial com produto interno,. São válidas as seguintes propriedades: P1) v 0 para todo v V. Além disto, v = 0 se, e só se, v = 0. P2) αv = α v para todo α real e todo v V. P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: u v para todos u, v V. P4) Desigualdade Triangular: u + v u + v para todos u, v V. 3.4 Ângulo entre Dois Vetores Se u e v são vetores não nulos, a desigualdade de Cauchy-Schwarz fornece as seguintes equivalências: u v 1 u v u v 1 1 u v 1 Estas últimas desigualdades nos permitem garantir que existe um número real θ, 0 θ π tal que u v. Sejam u e v dois vetores não nulos de um espaço vetorial com produto interno,. Definimos o ângulo entre estes vetores como o número real θ, 0 θ π tal que u v. Seja V = R 2 munido do produto interno usual. Então, o ângulo θ entre os vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) é π/4. 2

Exemplo 2 Seja V = R 2 munido do produto interno (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) = x 1 x 2 + 2y 1 y 2 x 1 y 2 x 2 y 1. Então, o ângulo θ entre os vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) satisfaz Logo, θ = 0. u v = 0. 3.5 Vetores Ortogonais Seja V um espaço vetorial com produto interno. Dizemos que dois vetores u e v de V são ditos ortogonais quando = 0. Tal fato é denotado por u v. Observação Sejam u e v dois vetores não nulos em um espaço vetorial com produto interno e seja θ o ângulo entre estes vetores. Então, u v = 0 u v = 0 θ = π 2. Seja V = R 2 com o produto interno dado por (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 = 2x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 2y 1 y 2. Temos (1, 0), ( 1, 2) = 0, isto é (1, 0) e ( 1, 2) são ortogonais com relação a este produto interno. Por outro lado, (1, 0), (0, 1) = 1, logo (1, 0) e (0, 1) não são ortogonais com relação a este produto interno. Na realidade, o ângulo θ entre estes dois vetores satisfaz ou seja, θ = π/3. Observações (1, 0), (0, 1) (1, 0) (0, 1 = 1 2, 1. O vetor 0 V é ortogonal a qualquer vetor de V. 2. Se u v, então αu v para todo α real. 3. Se u 1 v e u 2 v, então (u 1 + u 2 ) v. 4. Das observações acima, temos que dado v V o conjunto v = {u V ; u v} é um subespaço vetorial de V. 3

3.6 Conjunto Ortogonal de Vetores Seja V um espaço vetorial com produto interno,. Dizemos que um conjunto de vetores {v 1, v 2,..., v n } V é ortogonal quando dois vetores distintos quaisquer são sempre ortogonais, isto é, v i, v j = 0 sempre que i j. Seja V = R 4 com o produto interno usual. Consideremos o conjunto B = {v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (1, 1, 1, 1), v 3 = (1, 1, 0, 0), v 4 = (0, 0, 1, 1)}. Podemos facilmente perceber que v 1, v 2 = v 1, v 3 = v 1, v 4 = v 2, v 3 = v 2, v 4 = v 3, v 4 = 0. Logo, B é um conjunto ortogonal de vetores de R 4. Propriedade Um conjunto ortogonal de vetores não nulos A = {v 1, v 2,..., v n } é linearmente independente (LI). Dizemos que uma base B = {v 1, v 2,..., v n } de V é ortogonal quando B é um conjunto ortogonal. Se, além disto, todos os seus vetores forem unitários, isto é, v i = 1 para todo i = 1,..., n, dizemos que B é uma base ortonormal. Exemplo 2 Vimos, no exemplo anterior, que B = {v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (1, 1, 1, 1), v 3 = (1, 1, 0, 0), v 4 = (0, 0, 1, 1)} é um conjunto ortogonal de R 4 com o produto interno usual. Pela propriedade anterior, B é um conjunto LI. Como B possui 4 vetores e dim R 4 = 4, segue que B é uma base ortogonal de R 4. B não é uma base ortonormal, pois, por exemplo, v 1 = 2. Porém, normalizando cada vetor de B obtemos uma base B ortonormal { } { B vi 1 = = v i 2 (1, 1, 1, 1), 1 } 2 (1, 1, 1, 1), 1 1 2 (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1). 2 Observação Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base ortogonal de um espaço vetorial. com produto interno Dado um vetor w V, existem reais a 1, a 2,..., a n tais que w = a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a n v n. 4

Efetuando o produto interno de w por v i obtemos w, v i = a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a n v n, v i w, v i = a 1 v 1, v i + a 2 v 2, a 2 + + a n v n, v i w, v i = a i v i, v i pois v j, v i = 0 quando i j. Daí, a i-ésima coordenada de w na base B é dada por a i = w, v i v i, v i. Exemplo 3 Consideremos o vetor w = (1, 2, 3, 4) R 4 com o produto interno usual. Com relação à base ortogonal B = {v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (1, 1, 1, 1), v 3 = (1, 1, 0, 0), v 4 = (0, 0, 1, 1)} podemos escrever onde w = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a4v 4 a 1 = w, v 1 v 1, v 1 = 3 4 ; a 2 = w, v 2 v 2, v 2 = 1; a 3 = w, v 3 v 3, v 3 = 1 2 ; a 4 = w, v 4 v 4, v 4 = 1 2. Pelo visto acima, possuir bases ortogonais, ou ortonormais, é de grande utilidade. Ficam duas perguntas a serem respondidas: 1) Consideremos espaço vetorial V com produto interno,. Existe uma base ortogonal de V? 2) Em caso afirmativo, como encontrar tal base? Para responder a estas perguntas temos o seguinte processo, denominado processo de ortogonalização de Gram-Schmidt: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno,. Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base qualquer de V. Sejam w 1 = v 1 ; w 2 = v 2 v2,w1 w 1,w 1 w 1; w 3 = v 3 v3,w1 w 1,w 1 w 1 v3,w2 w 2,w 2 w 2; 5

...; w n = v n vn,w1 w 1,w 1 w 1... v3,wn 1 w n 1,w n 1 w n 1. Definimos,então, o conjunto B = {w 1, w 2,..., w n }. O processo apresentado é denominado processo de ortogonalização de Gram- Schmidt. Exemplo 4 Consideremos R 4 munido do produto interno usual e a base B = {v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1, 1), v 4 = (0, 1, 0, 1)}. Aplicando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt obtemos B = { w 1 = (1, 1, 1, 1), w 2 = w 4 = ( 12, 12, 1, 0 ), w 3 = ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 )}. 2 ( 1 3, 1 3, 1 ) 3, 1, Propriedades Sejam V, B e B como descritos acima. São válidas as seguintes propriedades. B é uma base ortogonal de V. Para todo i = 1,..., n, [v 1, v 2,..., v i ] = [w 1, w 2,..., w i ]. Para se obter uma base ortonormal de V, basta tomarmos. B = {w 1 / w 1,..., w n / w n } 3.7 Conjuntos Ortogonais Sejam S 1 e S 2 subconjuntos não vazios de um espaço vetorial V com produto interno,. Dizemos que S 1 é ortogonal a S 2, representado por S 1 S 2, se qualquer vetor v 1 S 1 é ortogonal a qualquer vetor v 2 S 2, isto é, se v 1, v 2 = 0 para todos v 1 S 1 e v 2 S 2. Os conjuntos S 1 = {( 2, 1, 2, 2), ( 4, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 1)} e S 2 = {(1, 2, 0, 0), (3, 6, 1, 1)} são ortogonais com relação ao produto interno usual de R 4. 6

Propriedade Sejam V um espaço vetorial com produto interno, e B = {v 1,..., v n } uma base de um subespaço S de V. Se um vetor u V é ortogonal a todos os vetores da base B, então u é ortogonal a qualquer vetor de S. Dizemos, neste caso, que u é ortogonal a S e representamos tal fato por u S. 3.8 Complemento Ortogonal Sejam V um espaço vetorial com produto interno, e S um subespaço vetorial de V. O conjunto S = {v V ; v S} dos vetores de V que são ortogonais a S é denominado complemento ortogonal de S. Seja V = R 3 com o produto interno usual. Seja S = {(x, y, z) ; x + y = 0}. Então, S = {(x, y, z) ; x y = 0, z = 0}. Exemplo 2 Seja V = R 3 com o produto interno dado por (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) = 2x 1 x 2 + 2x 1 y 2 + x 2 y 1 + 2y 1 y 2 + z 1 z 2. Seja S = {(x, y, z) ; x + y = 0}. Então, S = {(x, y, z) ; y = z = 0}. Propriedade Seja S um subespaço vetorial de um espaço vetorial V com produto interno. Então, S é um subespaço vetorial de V. 7