CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA CONTEÚDOS Circunferência Círculo Comprimento Área Ângulo central Setor circular Coroa circular AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Círculo ou circunferência? Talvez essa pergunta já tenha surgido e você tenha ficado na dúvida para respondê-la. Antes de elaborar uma resposta, vamos conhecer as características dessa forma geométrica que permite esses questionamentos. Circunferência Observe na figura ao lado o ponto A, veja que ele está ligado, por segmentos, aos pontos B, C, D, E, F, G, H, I. Todos esses pontos estão a uma mesma distância do ponto A. Esse conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do ponto A, formam uma circunferência. A circunferência é uma forma geométrica que apresenta um ponto chamado de centro, e todos os pontos pertencentes a ela equidistam desse centro. Em uma circunferência temos: O raio O diâmetro A corda 1
Raio O segmento que tem uma extremidade no centro da circunferência e a outra em um ponto qualquer da circunferência, recebe o nome de raio. São exemplos de raio os segmentos AB, AC, ADe AE. Corda O segmento que tem como extremidades dois pontos da circunferência, é identificado como corda. Na circunferência apresentada, temos como exemplo de corda o segmento BC. Diâmetro A corda que passa pelo centro da circunferência é identificada como diâmetro. Na circunferência apresentada, temos como exemplo de diâmetro o segmento BD. A medida do diâmetro é o dobro da medida do raio. 2
Círculo Na figura ao lado, observamos uma circunferência e um conjunto de pontos. Identificamos o ponto A como centro da circunferência, e os pontos E, F, G, H, I, J, K, L e M são pontos internos à ela. Como esses, há diversos outros pontos que são internos à circunferência. A união da circunferência com o conjunto de pontos internos, recebe o nome de círculo. Círculo O diâmetro divide o círculo em duas regiões congruentes que recebem o nome de semicírculo. semicírculo semicírculo Agora que já são conhecidas as características de uma circunferência e de um círculo, é possível identificar quando o objeto de discussão é um círculo e quando ele é uma circunferência. 3
O comprimento da circunferência Para falar do comprimento de uma circunferência, primeiro vamos discutir a seguinte experiência: Se você pegar qualquer objeto de formato circular, medir o tamanho do seu diâmetro e com o auxílio de um barbante medir o comprimento da circunferência, você encontrará duas medidas distintas. Ao dividir a medida referente ao comprimento da circunferência pela medida do diâmetro, obterá um valor que se aproxima de 3,14161620... Para exemplificar o cálculo mencionado, vamos utilizar como exemplo um copo e identificar suas medidas de diâmetro e de tamanho de circunferência. Para tanto, a medição será realizada com a utilização de um barbante. Figura 1 Copo Fonte: Wikimedia Commons Medindo a circunferência da base do copo com a utilização do barbante foi encontrado o comprimento de 14 cm. Figura 2 Copo Fonte: Wikimedia Commons 4
Medindo o diâmetro da base do copo com a utilização do barbante foi encontrado o comprimento de 4,47cm. Medida do comprimento da circunferência Medida do diâmetro Razão entre comprimento e diâmetro 14 cm 4,47 cm 14 3,131991... 4,47 Fazendo essa medição com diversos objetos de formato circular, a razão entre comprimento e diâmetro resultará em um valor muito próximo do valor encontrado na situação apresentada. Esse número é identificado como (pi). Assim, tem-se, para qualquer circunferência a relação: Comprimento dacircunferência diâmetro π A partir dessa relação, pode-se dizer que: C d ou ainda C 2.r Onde C é o comprimento da circunferência, d é o diâmetro e r é o raio. O número é um número irracional, e, na realização de cálculos em que ele está envolvido, utiliza-se como valor aproximado o número 3,14. Como exemplo, vamos utilizar a expressão uma circunferência. C 2.r para calcular o comprimento de Raio = 2,5 cm = 3,14 C 2.r C 2.2,5.3,14 C = 5.3,14 C = 15,7 Sendo o raio da circunferência igual a 2,5 cm, seu comprimento será 15,7 cm. 5
Área do círculo Á área de um círculo de raio r é obtida por meio da expressão A = r² A área de um círculo é diretamente proporcional a medida de seu raio. Sendo assim, quanto maior o raio, maior a área do círculo. Acompanhe o cálculo da área de um círculo de raio CF igual a 5 cm. Área = r² Sendo r = 5 e = 3,14, tem-se: Área = 3,14.5² 5 cm Área = 3,14.25 Área = 78,5 cm² Arco Considere a circunferência k de centro A. Nela vamos Os pontos D e C k identificar dois pontos quaisquer k dividem a circunferência em que serão dois arcos. nomeados como C e D. O menor deles é Para auxiliar na identificado como identificação do k DC. k arco maior, nomeamos mais um ponto dessa circunferência, o ponto H. Assim, o arco maior pode ser identificado como CHD. 6
Ângulo Central O ângulo D ÂC é chamado de ângulo central pois apresenta o vértice no centro da circunferência e seus lados a interceptam Na figura temos o ângulo correspondente ao arco DC. A medida do arco DC, em graus, é igual a medida do ângulo central. Isto é, supondo que o ângulo apresenta a medida, em graus, igual a 60. DÂC tenha medida igual a 60º, o arco DC, também Para determinar o comprimento de um arco pode-se estabelecer uma relação entre as medidas da circunferência, que esse arco pertence, e as medidas do arco. Acompanhe: Lembre-se. para calcular o comprimento de uma circunferência utilizamos a expressão C = 2. r. k Dado um arco, correspondente a um ângulo central, x podemos dizer que seu comprimento representa 60 uma fração do comprimento da circunferência. Essa mesma relação pode ser estabelecida para o ângulo, isto é, se a circunferência possui um ângulo de 360, o ângulo do arco é uma fração do ângulo da circunferência. Considerando uma circunferência de comprimento igual a 16 cm e um arco de ângulo central igual a 60, tem-se a seguinte proporcionalidade: Comprimento em cm Comprimento em graus Circunferência k 16 360 Arco DC x 60 7
Logo, 960 360.x = 16.60 360.x = 960 x = 360 x = 2,67 O arco DC apresenta comprimento aproximadamente igual a 2,67 cm. Área do setor circular Dada a circunferência k de centro A, identificamos como setor circular a região representada pelo conjunto de pontos interiores ao ângulo central CDˆ A e a circunferência k. k Neste caso, o setor circular é limitado pelos segmentos CA, DA e o arco DC. A área desse setor circular pode ser obtida ao relacioná-lo com a área do círculo o qual ele pertence. Por exemplo, suponha que o círculo k tem raio igual a 5 cm, portanto, sua área será: A = r² A = 3,14.5² A = 3,14.25 A = 78,5 cm² Considerando que o ângulo relação: C Dˆ A apresenta medida igual a 60, tem-se a seguinte Área em cm Medida em graus Círculo k 78,5 360 Setor circular x 60 Resolvendo a proporcionalidade, temos: 360.x = 78,5.60 360.x = 4.710 x = x 13,08 ( aproximadamente) 4.710 360 8
Generalizando, tem-se: Onde: Área setor circular = r 2. 360 = 3,14 r = raio do círculo α = medida do ângulo central A área de um setor circular pode ainda ser determinada conhecendo apenas a medida do comprimento e do raio desse setor. Acompanhe: Arco Área Circunferência 2 r r² Setor circular l Asetor 2 r. Asetor = r². l. Asetor = r². l 2 r Asetor = r.l 2 Considerando um setor circular de raio igual a 5 cm e comprimento igual a 5,25 cm, tem-se: Asetor = 5.5,2 2 Asetor = 26 2 Asetor = 13 cm ² Coroa circular As circunferências g e j são identificadas como circunferências concêntricas porque possuem o mesmo centro. O raio R da circunferência g é maior que o raio r da circunferência j. A região interna a circunferência g e externa a circunferência j, recebe o nome de coroa circular. Na figura apresentada, temos a coroa circular identificada pela região de cor mais clara. 9
A área de uma coroa circular, pode ser obtida ao subtrair da área do círculo de maior raio, a área do círculo de menor raio. Vejamos um exemplo: Considere que o círculo g tem raio igual a 3 cm e o círculo j tem raio igual a 2 cm, conhecendo os raios, vamos calcular a área de cada um deles. Área do círculo g =.(3)² Área do círculo j =.(2)² Área do círculo g = 3,14. 9 Área do círculo j = 3,14. 4 Área do círculo g = 28,26 cm² Área do círculo j = 12,56 cm² Área da coroa circular é igual: Área do círculo g Área do círculo j 28,26 12,56 = 15,7 Portanto, a área da coroa circular é igual a 15,7 cm². ATIVIDADES 1. Observe a circunferência c e identifique cada uma das afirmativas como verdadeira (V) ou falsa (F). I - ( ) O segmento CD representa o raio dessa circunferência. II ( ) O segmento EF pode ser chamado de corda. III ( ) O diâmetro pode ser identificado pelo segmento CD. IV ( ) ABrepresenta a medida do raio dessa circunferência. 10
2. Se uma circunferência tem diâmetro igual a 2 cm, qual é o seu comprimento? (Considere: = 3,14) 3. Considerando a medida do raio da circunferência discutida no exercício 2, determine a área de um círculo que apresenta a mesma medida. (Considere: = 3,14) 4. Em uma prova de atletismo, de 420 m, quando o primeiro colocado finalizou a prova, ainda restava 1 volta para que o quarto colocado pudesse completar os 420 metros. Se a pista, em que os atletas realizaram a prova, apresentava formato circular de raio igual a 10 m, quando o primeiro colocado finalizou a prova, quantos metros, aproximadamente, havia corrido o quarto colocado? Figura 3 Pista de corrida Fonte: Wikimedia Commons Obs.: Para esse exercício em específico, utilize para medida de, o número inteiro 3. 11
5. (ENEM 2015) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura. O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores. Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em a) 8. b) 12. c) 16. d) 32. e) 64. 12
6. (ENEM 2015) O proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. A figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60. O raio R deve ser um número natural. O parque aquático já conta com uma piscina de formato retangular com dimensões 50 m x 24 m. O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente. Considere 3,0 como aproximação de. O maior valor possível para R, em metros, deverá ser a) 16. b) 28. c) 29. d) 31. e) 49. 13
7. Sabendo que o raio AC mede 4 cm e o raio AB mede 3 cm, determine a área da coroa circular representada na figura pela parte mais clara. LEITURA COMPLEMENTAR Posição relativa entre duas circunferências Circunferências tangentes As circunferências i e h são tangentes. Elas são tangentes externas e têm em comum o ponto K, ponto de tangência. As circunferências f e c também são identificadas como tangentes. Neste caso, uma circunferência é tangente interna a outra. Entre eles há um único ponto em comum, chamado de ponto de tangência. 14
Circunferências externas As circunferências k e l são chamadas de externas porque os pontos de cada uma delas são externos à outra. Circunferência uma interna a outra A circunferência q é interna a circunferência p pois todos os pontos de q estão internos à p. Circunferências concêntricas As circunferências s e r possuem o centro em comum, por isso elas são identificadas como circunferências concêntricas. 15
Circunferências secantes As circunferências t e d possuem em comum somente os pontos F e G, por isso elas são chamadas de circunferências secantes. INDICAÇÕES Consulte o link indicado a seguir e estude um pouco mais sobre as circunferências e círculos. Comprimento da circunferência e área do círculo. Disponível em: http://conteudoonline.objetivo.br/conteudo/index/2404?token=5%2f2yd2%2bzzv%2f 29umTApxi0Q%3D%3D. Área de um círculo Disponível em: http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/video/showvideo.php?video=7301. REFERÊNCIAS CECIERJ, Fundação. Matemática e suas Tecnologias Módulo I/ Matemática. Rio de Janeiro, 2013. IEZZI, Gelson. MACHADO, Antonio. DOCE, Osvaldo. Geometria Plana. Conceitos básicos. 1ª ed. São Paulo: Atual, 2008. INEP, ENEM 2015. Disponível em:< http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2015/cad_enem%20201 5_DIA%202_05_AMARELO.pdf>. Acesso em: 21 mar. 2016. 9h40min. 16
SMOLE, Kátia Stocco. DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio. Volume 2. 7ª ed. São Paulo: Saraiva,2010. WALLE, John A. Van. Matemática no Ensino Fundamental. Formação de Professores e Aplicação em sala de aula. 6ª ed. Porto Alegre: Artmed, 2009 WIKIMEDIA COMMONS, Junior em Atletismo en pista cubierta 2015. Disponível em:< https://commons.wikimedia.org/wiki/file:campeonato_de_espa%c3%b1a_junior_de_ Atletismo_en_Pista_Cubierta_de_2015_102.JPG?uselang=pt-br>. Acesso em: 18 mar. 2016.14h. WIKIMEDIA COMMONS, Copo laranja 2014. Disponível em:< https://commons.wikimedia.org/wiki/file:copo-laranja.png?uselang=pt-br>. Acesso em: 18 mar. 2016.16h. GABARITO 1. I - (F) O segmento CD representa o raio dessa circunferência. II (V) O segmento EF pode ser chamado de corda. III (V) O diâmetro pode ser identificado pelo segmento CD. IV (V) ABrepresenta a medida do raio dessa circunferência. 2. Se a circunferência tem diâmetro igual a 2 cm, seu raio mede 1 cm. Para calcular seu comprimento utilizaremos a expressão C = 2.r.. Logo, tem-se: C = 2.1.3,14 C = 6,28 cm Essa circunferência tem comprimento igual a 6,28 cm. 3. Considerando o raio igual a 1 cm, a área desse círculo é calculada por meio da seguinte expressão: A = r² A = 3,14.1² A = 3,14 cm² A área desse círculo é igual a 3,14 cm². 17
4. Se a pista tinha raio igual a 10 m, seu comprimento é igual a 60 m, considerando a medida de igual a 3. C = 2.. r C = 2.3. 10 C = 6. 10 C = 60 m. Se cada atleta tinha que correr 420 m, para completar a prova, cada um deveria dar 7 voltas nessa pista. 420: 60 = 7 Ou seja, em cada volta ele percorria 60 m, comprimento da pista circular. Segundo os dados apresentados, quando o primeiro colocado completou a prova, ainda restava para o quarto colocado uma volta, isto é, ele ainda deveria percorrer 60 m e já tinha percorrido 360 m. 420 m 60 m = 360 m 5.Alternativa A. Se a área de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio igual a 2 km. Para saber em quantos quilômetros foi ampliada a área de cobertura com a instalação na nova antena, primeiramente vamos calcular a área de cobertura das antenas que serão trocadas. A = r² A =.2² A = 4 Cada uma das antenas que serão trocadas cobrem uma área de 4. Totalizando, entre as duas, uma área de cobertura de 8. Se a nova antena ficará no ponto O e, sua área de cobertura tangenciará externamente as circunferências que representam as áreas de coberturas menores, podemos dizer que o raio dessa nova área de cobertura será igual a 4 km, medida do diâmetro da área de cobertura de cada uma das circunferências menores. 18
4 km Dado o raio dessa nova área de cobertura, temos: A = r² A =.4² A = 16 Se antes da troca a área de cobertura era de 8 e agora passou a ser de 16, houve uma ampliação de 8. 6.Alternativa B. Encontrar a medida do raio R, primeiramente vamos calcular a área da piscina retangular. Área = 50 m x 24 m Área = 1.200 m². A nova piscina não deverá apresentar área maior que 1.200 m². Á área de um setor circular que apresenta ângulo central igual a 60, representa um sexto da área de uma circunferência de raio R. Área de uma circunferência de raio R = R² Área de um setor circular de raio R = 1 6 πr² 19
Se os três setores juntos devem apresentar uma área menor que 1.200 m², tem-se: 1 3. πr² 6 < 1.200 Sendo igual a 3. 1 3. 3.R² 6 9 < 1.200 R² 6 < 1.200 9.R² < 1.200.6 9.R² < 7.200 R²< 7.200 9 R² < 800 R = 800 R = 28, 2842... Se R deve ser um número natural, e R² deve ser menor que 800, a maior medida para R deverá ser igual a 28, já que: 28² < 800 < 29² 7. Para saber a área da coroa, é necessário calcular a área do círculo de menor raio e subtrair esse valor da área do círculo de maior raio. A = r² A = 3,14.3² A = 3,14.9 A = 28,26 cm² A = r² A = 3,14.4² A = 3,14.16 A = 50,24 cm² Área da coroa = 50,24 cm² - 28,26 cm² Área da coroa = 21,98 cm² A área da coroa circular é igual a 21,98 cm². 20