6.: Tranformada de Laplace Muio problema práico da engenharia envolvem iema mecânico ou elérico ob ação de força deconínua ou de impulo. Para ee ipo de problema, o méodo vio em Equaçõe Diferenciai I, ão difícei de erem aplicado. Nee capíulo, uaremo a ranformada de Laplace para deenvolver um ouro méodo para reolver uma EDO. Tranformada Inegrai: Dada uma função conhecida K(,), Tranformada Inegrai de uma função f é uma função da forma F () α β K (, ) f ( )d, α< β
A Tranformada de Laplace Seja f uma função definida para 0 e que f aifaz cera condiçõe que veremo mai adiane. A Tranformada de Laplace de f é definida por L { f ( )}F ( ) 0 e f ( )d onde, a função K(,) e - é chamada de núcleo da ranformada. Como a oluçõe da EDO lineare com coeficiene conane ão baeada na função exponencial, a ranformada de Laplace é paricularmene úil para ea equaçõe. Noe que a Tranformada de Laplace é definida por uma inegral imprópria, porano emo que eudar ua convergência. Vamo rever algun exemplo de inegrai imprópria e funçõe conínua por pare.
Exemplo Conidere a eguine inegral imprópria. 0 e d Noe que para 0 a inegral acima é divergene. Enão vamo upor 0. Podemo calcular ea inegral da eguine forma: 0 e b dlim 0 e d lim b b Aim, podemo concluir que: e b 0 lim b (e b ) Converge: 0 e d, e < 0; e Diverge: 0 e d, e 0.
Dada a inegral imprópria Uando inegração por pare Exemplo 0 cod 0 cod lim b b 0 cod lim b in b 0 b 0 in d lim b lim b [ ] b b in co 0 [ bin b ( cob ) ] 0 Ee limie é divergene, porano a inegral original é divergene.
Função Conínua por Pare Uma função f é conínua por pare em um inervalo [a, b] e ee inervalo pode er paricionado por um número finio de pono, a 0 < < < n b al que () f é conínua em cada ( k, k ) () lim f ( ) <, k0,,n k (3) lim f ( ) <, k,,n k Em oura palavra, f é conínua por pare em [a, b], e ela é conínua nee inervalo exceo por um número finio de alo.
Exemplo 3 Conidere a eguine função f definida por pare: f ( ){, 0 3, < < 3 Pela definição de f e pelo eu gráfico abaixo, vemo que f é conínua por pare em [0, 3].
Exemplo 4 Conidere a eguine função f definida por pare: f ( ){, 0 ( ), < 4, < 3 Pela definição de f e pelo eu gráfico abaixo, vemo que f não é conínua por pare em [0, 3].
Teorema 6.. Suponha que f é uma função com a eguine propriedade: () f é conínua por pare em [0, b] para odo b > 0. () f() Ke a quando M, onde a, K, M ão conane, com K, M > 0. Enão a Tranformada de Laplace de f exie para > a. L { f ( )}F ( ) 0 e f ( )d (finio) Ob. Funçõe, f, que aifaz a condição () acima é dia de ordem exponencial quando. Ea condição é uficiene ma não neceária para a exiência da Tranformada de Laplace. Veja o eguine exemplo, ambo não ão de ordem exponencial. ), não exie a Tranformada de Laplace f ( ) e ), exie a Tranformada de Laplace f ( ) e co( e )
Exemplo 5 Seja f () para 0. Enão a Tranformada de Laplace F() de f é: L { } 0 e d b lim 0 e d b lim b e, > 0 0 b Aim, L { }, > 0.
Exemplo 6 Seja f () e a para 0. Enão a Tranformada de Laplace F() de f é: L { e a } 0 e e a d lim b lim b 0 b e ( a ) d ( a) e a a, > a 0 b Aim, L { e a } a, > 0.
Exemplo 7 Seja f () in(a) para 0. Uando inegração por pare dua veze, a Tranformada de Laplace F() de f é enconrada como e egue: F( ) L { in( a) } lim b a a a a a a ( e lim b lim ( e b F( ) co a) / a b 0 e 0 e in ad b 0 co a in a) / a F( ) a b 0 b 0 e a a a lim b b 0, 0 co a e b e in a > 0 in ad
A Linearidade da Tranformada de Laplace Vamo upor que para a funçõe f e g, exiam a ua Tranformada de Laplace para > a e > a, repecivamene. Enão, para maior que o máximo enre a e a, a Tranformada de Laplace de c f () c g() exie. Io é, L { c f ( ) c g ( ) } 0 e [c f ( ) c g ( )] d é finio logo L { c f ( ) c g( ) } c e f ( ) d c 0 c L { f ( ) } c L{ g( ) } 0 e g( ) d
Exemplo 8 Seja f () 5e - - 3in(4) para 0. Enão pela linearidade da Tranformada de Laplace, e uando o reulado aneriore do exemplo(6 e 7), a Tranformada de Laplace F() de f é: F( ) L{ f L 5 ( )} { 5e 3in(4) } { L e } 3L{ in(4) } 5, > 0 6
6.: Reolvendo Problema de Valor Inicial A Tranformada de Laplace em ee nome devido ao maemáico frane Laplace, que eudou ea ranformada em 78. A écnica decria aqui foi deenvolvida primeiramene por Oliver Heaviide (850-95), um engenheiro elérico ingle. A Tranformada de Laplace erá uada para reolver PVI de EDO lineare com coeficiene conane. A uilidade da Tranformada de Laplace nee conexo reide no fao de que a ranformada de f ' eá relacionada de maneira imple com à ranformada de f, ea relação é dada pelo Teorema 6.. que veremo a eguir.
Teorema 6.. Suponha que f é uma função que aifaz a eguine condiçõe: () f é conínua e f ' é conínua por pare em [0, b] para odo b > 0. () f() Ke a quando M, para conane a, K, M com K, M > 0. Enão a Tranformada de Laplace f ' exie para > a, além dio L { f ' ( )}L { f ( )} f (0 ) Prof (ídeia): Supondo, f e f ' conínua em [0, b], nó emo b lim 0 e b f ' ( )d lim [ e f ( ) b b 0 0 ()e b lim [ e b b f (b) f (0) 0 e b f ( )d ] f ( )d] Sem Perda de Generalidade(SPG), para f ' conínua por pare em [0, b], obemo o memo reulado.
A Tranformada de Laplace f ' Porano e f e f ' aifazem a hipoee do Teorema 6.., enão L { f ' ( )}L { f ( )} f (0 ) Agora upondo f ' e f '' aifazendo a condiçõe epecificada para f e f ', repequiivamene, do Teorema 6... Nó obemo enão L { f ' ' ( )}L { f ' ( )} f ' (0) [L { f ( )} f (0)] f ' (0) L { f ( )}f (0) f ' (0) Analogamene, podemo ober uma expreão para L{f (n) }, dede que f e ua derivada aifação condiçõe imilare do eorema 6... Ee reulado é vio no Corolário 6..
Corolário 6.. Suponha que f é uma função com a eguine propriedade: () f, f ', f '',, f (n-) ão conínua, e f (n) conínua por pare, em [0, b] para odo b > 0. () f() Ke a, f '() Ke a,, f (n-) () Ke a para M, e conane a, K, M, com K, M > 0. Enão a Tranformada de Laplace f (n) exie para > a, e é dada por L { f ( n) ( )} n L { f ( )} n f (0 ) n f ' (0 ) f (n) (0) f ( n ) (0)
Exemplo : ( de 4) Conidere o PVI y ' ' 5 y ' 6y0, y (0), y ' (0)3 Fazendo: y( )e r r 5r 60 (r )(r 3)0 Tem-e r - e r -3, e a olução é: y ( )c e c e 3 Uandoa Condiçõe Iniciai: c c c 3c 3 c 9, c 7 Porano, y( )9 e 7 e 3 Agora vamo reolver o Pvi uando a Tranformada de Laplace.
y ' ' 5 y ' 6y0, y (0), y ' (0)3 Exemplo :O MeodoTranformada de Laplace ( de 4) Aumindo que o PVI em uma olução φ e que φ'() e φ''() aifazem a condiçõe do Corolário 6... Enão e onde Fazendo Y() L{y}, nó emo Subiuindo a condiçõe iniciai, no obemo Aim L { y '' 5 y ' 6y} L{ y ' ' } 5L{y ' } 6L{ y}l {0}0 [ L {y }y(0 ) y ' (0 )] 5 [L {y } y (0) ] 6L {y}0 ( 5 6) Y ( )( 5) y(0 ) y ' (0 )0 ( 5 6) Y ( )( 5)30 L {y}y ( ) 3 ( 3) ( )
Exemplo : Fração Parcial (3 de 4) Fazendo a decompoição da fração parcial, Y() é reecria como: 3 ( 3)( ) A ( 3) B ( ) 3A ( ) B ( 3) 3( A B ) (A 3B) A B, A 3B3 A7, B9 Porano L {y}y ( ) 7 ( 3) 9 ( )
Da eção 6.: Porano Exemplo : Solução (4 de 4) L { e a }F () 0 e e a d 0 e ( a ) d a, > a Y () 7 ( 3) 9 ( ) 7L{e3 } 9L {e }, >, Reecrevendo Y() L{y}, obemo pela linearidade L {y}l {7e 3 9 e } e aim chegamo a olução do PVI y( )7e 3 9e
O Méodo Geral da Tranformada de Laplace Conidere uma EDO de coeficiene conane a y '' b y ' cy f ( ) Auma que ea equação em uma olução y φ(), e que φ'() e φ''() aifazem a condiçõe do Corolário 6... Enão L {a y ' ' b y ' cy}al {y ' ' } bl {y ' } cl {y} L{ f ( )} Faça Y() L{y} e F() L{ f }, enão a [ L{y}y(0) y ' (0)] b [ L{y} y(0 )] cl {y}f () (a b c ) Y ( )(a b) y(0)a y ' (0 )F ( ) Y () ( a b) y(0 ) a y' (0) a b c F () a b c
Problema Algébrico Aim a EDO foi ranformada na equação algébrica abaixo Y () (a b ) y (0) a y' (0 ) a b c F () a b c porano devemo enconrar y φ() al que L{φ()} Y(). Noe que não neceiamo reolver a equação homogênea e a não homogênea eparadamene, nem emo um pao a mai em que uamo a condiçõe iniciai para deerminar o coeficiene da olução geral.
Polinômio Caraceríico Uando a Tranformada de Laplace, no PVI Obemo a y '' b y ' cy f ( ), Y () (a b ) y(0) a y' (0 ) a b c y (0 ) y 0, y ' (0) y 0 ' F () a b c O polinômio do denominador é o polinômio caraceríico aociado à equação diferencial. A expanão em fraçõe parciai de Y() uado para deerminar φ obriga-no a enconrar a raíze da equação caraceríica. Equaçõe de ordem uperior, io pode er muio difícil, epecialmene e a raíze ão irracionai ou complexa.
Problema Invero A principal dificuldade em uar o méodo da ranformada de Laplace é deerminar a função y φ() al que L{φ()} Y(). Ee é um problema invero, em que enamo enconrar φ al que φ() L - {Y()}. Exie uma fórmula geral para enconrar L -, ma requer conhecimeno da eoria da funçõe complexa de uma variável, e nó não conideraremo aqui. Pode er morado que e f é conínua com L{f()} F(), enão f é a única função conínua com f () L - {F()}. Tabela podem er conruída, onde podemo enconrar muia da funçõe que erão raada aqui. No noo exo emo a abela 6..
Linearidade da Tranformada Invera Frequenemene a Tranformada de Laplace F() pode er expreada como F ()F () F ( ) F n ( ) Seja f ( )L {F ( )},, f n ( ) L {F n ( )} Enão a função f ( ) f ( ) f ( ) f n ( ) erá a Tranformada de Laplace F(), dede que L eja linear. Por reulado de unicidade, não exie oura função conínua f que em a mema ranformada F(). Aim L - é um operador linear com f ( ) L {F ( )}L {F ( )} L {F n ( )}
Exemplo Enconrar a invera da Tranformada de Laplace da função. Y () Para enconrar y() al que y() L - {Y()}, no primeiro reecrevemo Y(): Y () ( ) Uando a Tabela 6.., L {Y ()} L { } L { } () Aim y( )
Exemplo 3 Enconrar a invera da Tranformada Y () 3 de Laplace da função. 5 Para enconrar y() al que y() L - {Y()}, no primeiro reecrevemo Y(): Y () 3 5 3 ( 5) Uando a Tabela 6.., L {Y ()} L { 3 } { 5 5} 3L 3 e5 Aim y( )3 e 5
Exemplo 4 Enconrar a invera da Tranformada de Laplace da função. Y () 6 4 Para enconrar y() al que y() L - {Y()}, no primeiro reecrevemo Y(): Uando a Tabela 6.., Aim Y () 6 4 3! 4 L {Y ()} L { 3! 4 } y( ) 3 3
Exemplo 5 Enconrar a invera da Tranformada de Laplace da função. Y () 8 3 Para enconrar y() al que y() L - {Y()}, no primeiro reecrevemo Y(): Uando a Tabela 6.., Y () 8 3 ( 8!)(! ) 4 (! ) 3 3 Aim L {Y ()} L { 4 (! 3 )} y( )4 4L{! } 3 4
Exemplo 6 Enconrar a invera da Tranformada de Laplace da função. Y () 4 9 Para enconrar y() al que y() L - {Y()}, no primeiro reecrevemo Y(): Uando a Tabela 6.., Y () 4 9 4 [ ] 9 [ 3 3 9] L {Y ()}4L { 9} 3 L{ 3 9} 4 co3 3 in 3 Aim y( )4 co3 3 in 3
Exemplo 7 Enconrar a invera da Tranformada de Laplace da função. Y () 4 9 Para enconrar y() al que y() L - {Y()}, no primeiro reecrevemo Y(): Uando a Tabela 6.., Aim Y () 4 9 4 [ ] 9 [ 3 3 9] { L {Y ()}4L 9} L{ 3 3 9} 4 coh3 inh 3 3 y( )4 coh3 inh 3 3
Exemplo 8 Enconrar a invera da Tranformada de Laplace da função. Y () 0 ( ) 3 Para enconrar y() al que y() L - {Y()}, no primeiro reecrevemo Y(): Uando a Tabela 6.., Y () 0 ( ) 3 0 [! 3]! ( ) 5 [! 3] ( ) Aim L {Y ()}5L {! ( ) 3} 5 e y( )5 e
Exemplo 9 Para a função Y() abaixo, no enconramo y() L - {Y()} uando um expanão em fraçõe parciai, como egue. Y () 3 3 ( 4)( 3) A 4 B 3 3 A( 3) B( 4 ) 3 ( A B) ( 4B3A) A B3, 4B3A A/7, B0/7 Y () 7 [ 4 ] 0 7 [ 3 ] y( ) 7 e4 0 7 e3
Exemplo 0 Para a função Y() abaixo, enconramo y() L - {Y()} compleando quadrado no denominador e reorganizando o numerador, como egue. Uando a Tabela 6.., obemo y( )4 e 3 co e 3 in ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 4 3 3 4 3 4 9 6 0 4 0 6 0 4 ) ( Y
Exemplo : PVI ( de ) Conidere o PVI y ' ' 8 y ' 5 y0, y (0)0, y ' (0 )6 Aplicando a ranformada de Laplace na equação diferencial, e aumindo que a condiçõe do Corolário 6.. ão aifeia, emo [ L {y}y(0 ) y ' (0 )]8 [L {y} y(0) ] 5 L{y}0 Fazendo Y() L{y}, emo ( 8 5) Y ( )( 8) y(0) y ' (0)0 Subiuindo a condiçõe iniciai, obém-e Aim ( 8 5) Y ( )60 6 L {y}y ( ) 8 5
Exemplo : Solução ( de ) Compleando quadrado, em-e Y () 6 8 5 6 ( 8 6) 9 Aim Y () [ 3 ] (4) 9 Uando a Tabela 6.., obemo L {Y ( )} e 4 in 3 Porano noa olução do PVI é y( ) e 4 in 3
Exemplo : Ploblema não Homogêneo ( de ) Conidere o PVI y ' ' yin, y (0), y ' (0) Aplicando a ranformada de Laplace na equação diferencial, e aumindo que a condiçõe do Corolário 6.. ão aifeia, emo [ L {y}y(0 ) y ' (0 )] L {y} /( 4 ) Fazendo Y() L{y}, emo ( ) Y ( )y(0 ) y ' (0 ) /( 4) Subiuindo a condiçõe iniciai, obém-e Aim ( ) Y ( ) /( 4) Y () 3 8 6 ( )( 4)
Exemplo : Solução ( de ) Uando fraçõe parciai, Enão Y () 3 8 6 ( )( 4) A B C D 4 3 8 6 ( A B)( 4) ( C D)( ) ( A C) 3 ( B D) (4A C) (4B D) Reolvendo, obemo A, B 5/3, C 0, e D -/3. Enão Y () 5/3 /3 4 Onde y( ) co 5 3 in 3 in
6.3: Função Degrau Alguma da mai inereane aplicaçõe elemenare do méodo da Tranformada de Laplace ocorre em olução de equaçõe lineare deconínua ou como funçõe de força de impulo. Nea eção, aumiremo que oda a funçõe aqui coniderada ão conínua por pare e de ordem exponencial, e que exie ua Tranformada de Laplace, para uficienemene grande.
Definição da função degrau Seja c 0. A função degrau uniário, ou função Heaviide, é definido por u c ( ){ 0, < c, c Um degrau negaivo pode er repreenado por y( )u c ( ){, < c 0, c
Eborçando o gráfico de h( )u π ( )u π ( ), 0 Lembre que u c () é definido por u c ( ){ 0, < c, c Aim h( ){ 0, 0 < π, π < π 0 π < Exemplo e porano o gráfico h() é um pulo reangular.
Tranformada de Laplace da Função Degrau A ranformada de Laplace de u c () é { } e e e e d e d e d u e u L c c b b b c b b c b c c c lim lim lim ) ( ) ( 0
Funçõe Tranladada Dada uma função f () definida para 0, nó vamo coniderar a função ranladada na relação: g() u c () f ( - c): 0, < c g( ){ f (c), c Aim g repreena uma ranlação de f a uma diância c na direção poiiva de. Na figura abaixo, o gráfico de f é o da equerda e o gráfico de g é o da direia.
Exemplo O eborço do gráfico g ( ) f ()u ( ), where f ( ), 0. Como u c () é definido por u c ( ){ 0, < c, c Aim 0, 0 < g ( ){( ), e porano o gráfico de g() é uma parábola delocada.
Teorema 6.3. Se F() L{f ()} exie para > a 0, e e c > 0, enão L { u c ( ) f (c)}e c L { f ( )}e c F ( ) Reciprocamene, e f () L - {F()}, enão u c ( ) f (c ) L { e c F ( )} Aim a ranlação de f () a uma diancia c poiiva na direção de correponde por uma muliplicação de F() por e -c.
Teorema 6.3.: Ideia da prova Nó preciamo morar que Uando a definição da Tranformada de Laplace, nó emo L { u c ( ) f (c)}e c F () { } ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( 0 F e du u f e e du u f e d c f e d c f u e c f u L c u c c u c u c c c
Exemplo 3 Enconrar a Tranformada de Laplace de 0, 0 < f ( ){(), Noe que f ( )() u ( ) Aim L { f ( )}L {u ( )( ) }e L { } e 3
Exemplo 4 Enconrar L{ f ()}, onde f é Noe que f () in() u π/4 () co( - π/4), e f ( ){ in, 0 < π /4 in co(π / 4), π /4 { } { } { } { } { } co in 4) / )co( ( in ) ( 4 / 4 / 4 / 4 / e e L e L u L L f L π π π π π
Exemplo 5 Enconrar L - {F()}, onde Solução: F () 3 e7 4 ( ) 3 7 3 4 7 4 4 7 4 7 ) ( 6 3! 6 3! 3 ) ( u e L L e L L f
Teorema 6.3. Se F() L{f ()} exie para > a 0, e e c é uma conane, enão L { e c f ( )}F ( c ), > a c Reciprocamene, e f () L - {F()}, enão Aim muliplicar f () por e c reula em ranladar F() a uma diancia c na direção poiiva de, e reciprocamene. Ideia da prova: e c f ( ) L {F ( c)} L { e c f ( )} 0 e e c f ( )d 0 e ( c ) f ( )d F (c)
Exemplo 4 Enconrar a Tranformada Invera de Para reolver, primeiramene complearemo quadrado: G( ) 5 ( ) 4 ( ) ( ) 4 Dede que { f ( ) L {F ( )}L 4} co () egue que G( ) 5 L {G( )}L {F ( )}e f ( )e co ()
6.4: Equaçõe Diferenciai com Forçameno Deconínuo. Nea eção eudaremo cao de PVI no qual a função de força é deconínua. a y '' b y ' cyg( ), y (0) y 0, y ' (0) y 0 '
Exemplo : PVI ( de ) Enconrar a olução do PVI y '' y ' yg ( ), y(0)0, y ' (0)0 onde, 5 < 0 g ( )u 5 ( )u 0 ( ){ 0, 0 <5 and 0} Ee problema repreena a carga em um capacior em um circuio elérico onde a volagem é um pulo uniário em [5,0). Pode repreenar, ambém, a repoa de um ocilador amorecido ob a ação de uma força g().
Aumindo a condiçõe do Corolário 6.. ão aifeia. Enão L {y ' ' } L{y ' } L {y} L {u 5 ( )} L{u 0 ( )} ou Fazendo Y() L{y}, y ' ' y ' yu 5 ( )u 0 ( ), y(0)0, y ' (0 )0 Exemplo : Tranformada de Laplace ( de ) [ L {y} y(0) y ' (0)] [L {y} y(0 )] L{y} e5 e 0 ( ) Y ( )( ) y (0 ) y ' (0)(e 5 e 0 )/ Subiuindo a condiçõe iniciai, obemo Aim ( ) Y ( )(e 5 e 0 )/ Y () (e5 e 0 ) ( )
Exemplo : Faorando Y() (3 de ) Temo onde Y () (e5 e 0 ) ( ) (e5 e 0 )H ( ) H ( ) ( ) Se omarmo h() L - {H()}, enão yφ( )u 5 ( )h(5)u 0 ( )h(0) pelo Teorema 6.3..
Exemplo : Fraçõe Parciai (4 de) Reecrevendo H(), como. H ( ) ( ) A B C Ea expanão em fraçõe parciai produz a equaçõe (A B) ( A C ) A A/, B, C / Aim H ( ) / /
Fazendo a cona, Exemplo : Compleando quadrado (5 de ) ( ) ( ) ( ) 5/6 4 / 4 / 4 / / 5/6 4 / / / 5/6 /6 / / / / / / / / ) ( H
Exemplo : Solução (6 de ) Aim H ( ) / / ( / 4) / 4 ( / 4) 5/6 ( / 4) ( / 4) 5/6 5 ( / 4) 5 / 4 5/6 e onde h( )L {H ( )} e/ 4 co( 5 4 ) 5 e/4 in( 5 4 ) Para h() como dado acima, e do noo reulado já deerminado em função de h(), a olução do PVI é enão φ( )u 5 ( )h(5)u 0 ( )h(0)
Exemplo : Gráfico da Solução (7 de ) Aim a olução do PVI é φ( )u 5 ( )h(5)u 0 ( )h ( 0), onde h( ) e/4 co ( 5/ 4) 5 e/4 in ( 5 /4 ) E o gráfico dea olução é dado abaixo.
Exemplo : Compoição do PVI (8 de ) A olução original do PVI pode er via como a compoição de rê PVI eparado: ' 0 < 5: y ' y ' ' y 0, y (0 )0, y (0 )0 5< < 0: y '' y ' y, y (5 )0, y ' (5 )0 ' > 0: y ' 3 y ' ' ' 3 y 3 0, y 3 (0 ) y (0 ), y 3 (0 ) y (0 )
Exemplo : Primeiro PVI (9 de ) Conidere o primeiro PVI y ' ' y ' y 0, y (0)0, y ' (0)0; 0 < 5 Do pono de via fíico, o iema eá inicialmene em repouo, e uma vez que não exie nenhuma força exerna, ele permanece em repouo. Aim a olução ob o inervalo [0, 5) é y 0, e io pode er verificado analiicamene.
Exemplo : Segundo PVI (0 de ) Conidere o egundo PVI y ' ' y ' y, y (5)0, y ' Uando méodo do Capíulo 3, a olução é (5)0; 5< < 0 y c e /4 co( 5 /4) c e /4 in ( 5 /4 ) / Fiicamene, o iema reponde como a oma de uma conane (à repoa a função conane força) e uma ocilação amorecida, durane o inervalo de empo (5, 0).
Exemplo : Terceiro PVI ( de ) Conidere o erceiro PVI ' y ' 3 y ' 3 y 3 0, y 3 ( 0) y (0), y ' ' 3 (0) y (0); > 0 Uando o méodo do Capíulo 3, a olução é y 3 c e /4 co ( 5/ 4) c e /4 in ( 5 /4) Fiicamene, já que não há força exerna, a repoa é uma ocilação amorecida obre y 0, para > 0.
Exemplo : Suavidade da Solução ( de ) Noa Solução é φ( )u 5 ( )h (5)u 0 ( )h(0) Podemo morar que φ e φ' ão conínua em 5 e 0, e φ'' em um alo de / em 5 e um alo de / em 0: lim φ ' ' ( )0, lim φ ' ' ( )/ 5 5 lim φ ' ' ( ).007, lim φ '' ( ).507 0 0 Aim, o alo no ermo de força g() nee pono é equilibrado por um alo no ermo, y'', de maior ordem da EDO.
Suavidade da Solução Geral Conidere uma EDO de egunda ordem linear y ' ' p( ) y ' q( ) yg ( ) onde p e q ão conínua em algum inervalo (a, b) ma g é omene conínua por pare. Se y ψ() é uma olução, enão ψ e ψ ' ão conínua em (a, b) ma ψ '' em alo de deconinuidade no memo pono da g. Analogamene para equaçõe de ordem n, onde a derivada da olução de ordem n erá alo de deconinuidade no memo pono da função força g(), ma a olução e ua derivada de ordem menor que n erão conínua obre (a, b).
Enconrar a olução do PVI y '' 4yg( ), y(0 )0, y ' (0)0 onde g ( )u 5 ( ) 5 5 Exemplo : PVI ( de ) u 0 ( ) 0 5 0 <5 {0, } (5)/5 5 <0, 0 O gráfico da função força g() é dado ao lado, e é conhecido como rampa de carga.
Aumindo que ea EDO poui olução y φ() e que φ'() e φ''() aifaz a condiçõe do Corolário 6... Enão ou y ' ' 4yu 5 ( ) 5 5 u 0 0 ( ), y( 0)0, y ' (0 )0 5 Exemplo : Tranformada de Laplace ( de ) L {y '' } 4L {y}[ L {u 5 ( )(5)}]/5[ L {u 0 ( )(0)}]/5 [ L {y}y(0 ) y ' (0 )] 4L{y} e5 e 0 Fazendo Y() L{y}, e ubiuindo a condiçõe inicial, 5 Aim ( 4 ) Y ( )(e 5 e 0 )/5 Y () (e5 e 0 ) 5 ( 4)
Exemplo : Faorando Y() (3 de ) Temo onde Y () (e5 e 0 ) 5 ( 4) e5 e 0 5 H ( ) ( 4) H ( ) Tomando h() L - {H()}, enão yφ( ) 5 [ u 5 ( )h( 5)u 0 ( )h(0 )] pelo Teorema 6.3..
Exemplo : Fraçõe Parciai (4 de ) Reecrevendo H(), como. H ( ) ( 4) A B C D 4 Ea expanão em fraçõe parciai produz a equaçõe Aim ( A C ) 3 ( B D ) 4 A 4B A0, B/4, C0, D /4 H ( ) /4 /4 4
Exemplo : Solução (5 de ) h( )L {H ( )} 4 8 in ( ) yφ( ) 5 [ u 5 ( )h ( 5)u 0 ( )h(0)] Aim e onde Para h() como dado acima, e do noo reulado já deerminado em função de h(), a olução do PVI é enão 4 8 4 4 4 / 4 / ) ( H
Exemplo : Gráfico da Solução (6 de ) Aim a olução do PVI é φ( ) 5 [ u 5 ( )h(5)u 0 ( )h(0)], onde h( ) 4 8 in () E o gráfico dea olução é dado abaixo.
Exemplo : Compoição em PVI (7 de ) A olução original do PVI pode er via como a compoição de rê PVI eparado: ' 0 < 5 : y ' 4y 0, y (0 )0, y ' (0 )0 ' 5< < 0: y ' ' 4y (5)/5, y (5 )0, y (5)0 ' > 0 : y ' ' ' 3 4y 3, y 3 (0) y (0 ), y 3 (0) y (0 )
Exemplo : Primeiro PVI (8 de ) Conidere o primeiro PVI y ' ' 4y 0, y (0 )0, y ' (0 )0 ; 0 < 5 Do pono de via fíico, o iema eá inicialmene em repouo, e uma vez que não exie nenhuma força exerna, ele permanece em repouo. Aim a olução ob o inervalo [0, 5) é y 0, e io pode er verificado analiicamene. Veja gráfico abaixo.
Exemplo : Segundo PVI (9 de ) Conidere o egundo PVI y ' ' 4y ( 5)/5, y (5 )0, y ' (5 )0 ; 5< < 0 Uando méodo do Capíulo 3, a olução é da forma y c co () c in () /0/4 Aim a olução é uma ocilação obre a rea ( 5)/0, ob o inervalo de de empo (5, 0).
Exemplo : Terceiro PVI (0 de ) Conidere o erceiro PVI ' y ' ' 3 4y 3, y 3 (0) y (0 ), y 3 (0) y ' (0); > 0 Uando méodo do capíulo 3, a olução é da forma y 3 c co () c in () / 4 Aim a olução é uma ocilação obre y /4, para > 0.
Exemplo : Ampliude ( de ) Porano a olução do PVI é yφ( ) 5 [ u 5 ( )h( 5)u 0 ( )h(0 )], h( ) 4 8 Para enconrar a ampliude ocilaória do eado eácionário, devemo localizar um pono de máximo ou mínimo para > 0. Reolvendo y' 0, o primeiro máximo é (0.64, 0.979). Aim a ampliude da ocilação é aprox. 0.0479. in ( )
Exemplo : Suavidade da Solução ( de ) Noa olução é yφ( ) 5 [ u 5 ( )h ( 5)u 0 ( )h(0)], h( ) 4 in ( ) 8 Nee exemplo, a função força g é conínua ma g' é deconínua em 5 e 0. Segue que φ e ua primeria e egunda derivada ão conínua em oda pare, ma φ''' poui deconinuidade em 5 e 0 que ão o memo pono de deconinuidade de g' em 5 e 0.
6.5: Função Impulo Em alguma aplicaçõe, é neceário raar fenômeno de naureza impuliva. Por exemplo, um circuio elérico ou iema mecânico ujeio a uma volagem ou força g() de grande magniude que agem em um período curo de empo 0. Tai problema levam a equação diferencial da forma ay '' by ' cyg ( ), onde g ( ){ K, 0 τ<< 0 τ 0, cao conrário } e τ>0 é pequeno e K > 0 grande.
Medindo Impulo Em um iema mecânico, onde g() é uma força, o oal de impulo dea força é medida pela inegral I (τ ) 0 τ g ( )d 0 τ g ( )d Noe que e g() em a forma g ( ){ c, 0 τ<< 0 τ 0, cao conrário } Enão I (τ ) 0 τ g ( )d 0 τ g ( )d τ c, τ> 0 Em paricular, e c /(τ), enão I(τ) (independene de τ ).
Função Impulo Uniário Suponha a função força d τ () enha a forma Enão como já vimo, I(τ). Queremo que d τ () aja em inervalo de empo cada vez mai curo (i.e., τ 0). Veja gráfico. Noe que d τ () fica mai alo e mai ereio com τ 0. Aim para 0, emo d τ ( ){ /τ, τ<<τ } 0, cao conrário lim d τ ( )0, e lim τ 0 τ 0 I ( τ )
Aim para 0, emo Função Dela de Dirac lim d τ ( )0, e lim τ 0 τ 0 A Função impulo uniário δ é definida com a propriedade δ ( )0 para 0, e δ( )d A função impulo uniário é um exemplo de uma função generalizada e é uualmene chamada de a função dela de Dirac. Em geral, para um impulo uniário em um pono arbirário 0, δ ( 0 )0 para 0, e δ( 0 )d I ( τ )
Tranformada de Laplace de δ ( de ) A ranformada de Laplace de δ é definida por e aim L { δ( 0 ) } lim τ 0 L { d τ ( 0 ) }, 0 > 0 L {δ( 0 )}lim 0 e d τ ( 0 )dlim τ 0 τ 0 e lim τ 0 τ 0 τ e 0 lim τ 0 τ e 0[ lim τ 0 0 τ lim τ 0 [ eτ e τ ] e coh(τ ) ] e τ [ e ( 0 0[ 0 lim τ 0 τ ) e ( 0 τ ) ] inh (τ ) ] τ τ 0 τ 0 τ e d
Tranformada de Laplace de δ ( de ) Aim a Tranformada de Laplace de δ é L 0 { δ )} e, > 0 ( 0 0 Para a Tranformada de Laplace de δ em 0 0, ome limie da eguine forma: L {δ( )} lim L {d τ ( 0 )}lim e 0 0 0 τ 0 0 Por exemplo, quando 0 0, emo L{δ( -0)} e -0.
Produo de Funçõe Conínua por δ O produo da função dela e uma função conínua f pode er inegrável, uando o eorema do valor médio para inegrai: Aim δ(0 ) f ( )d f ( 0 ) [ ] ) ( *) ( lim ) * (where *) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f f f d f d f d d f < < τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ δ
Conidere a olução do PVI Exemplo : PVI ( de 3) y ' ' y ' yδ(7 ), y(0)0, y ' (0 )0 Enão L {y ' ' } L{y ' } L {y} L {δ(7)} Seja Y() L{y}, [ Y ( )y (0) y ' ( 0)] [Y ( ) y(0)] Y( )e 7 Subiuindo a condiçõe iniciai, obemo ou ( ) Y ( )e 7 e7 Y ()
No emo Exemplo : Solução ( de 3) e7 Y () A expanão em fraçõe parcial de Y() no dá Y () e7 5[ e porano 5 /4 ] ( /4) 5 /6 y( ) 5 u 7 ( )e (7)/4 in 5 4 ( 7)
Exemplo : Comenário da Solução (3 of 3) Como a condiçõe iniciai em 0 ão homogênea e não exie exciação exerna aé 7, não há repoa no inervalo (0, 7). O impulo em 7 produz uma ocilação que decai, ma perie indefinidamene. A Repoa é conínua em 7, apear da ingularidade do ermo não homogêneo. No enano y' em uma deconinuidade em alo nee pono 7, y'' em uma deconinuidade infinia ai. Aim ingularidade da função força é balanceada por uma ingularidade correpondene com em y''.
6.6: A Convolução Alguma veze é poível ecrever a Tranformada de Laplace H() como H() F()G(), onde F() e G() ão a ranformada de funçõe conhecida f e g, repecivamene. Nee cao podemo eperar que H() eja a ranformada do produo de f e g. Io é, H() F()G() L{f }L{g} L{f g}? Veremo a eguir um exemplo que mora que ea igualdade não é verdadeira, a ranformada de Laplace não comua com a muliplicação uual. Nea eção eudaremo a convolução de f e g, o qual pode er vio como um produo generalizado, e para o qual a Tranformada de Laplace faz comuar.
Exemplo Sejam f () e g() in(). Calculando a Tranformada de Laplace de f e g Aim L { f ( )}L { }, L { g( ) } L { in } L { f ( ) g( )}L { in } e L { f ( ) } L { g ( ) } ( ) Porano para ea funçõe não vale a igualdade L { f ( ) g( )} L { f ( ) } L { g ( ) }
Teorema 6.6. Suponham F() L{f ()} e G() L{g()} amba exiem para > a 0. Enão H() F()G() L{h()} para > a, onde h() 0 f( τ)g(τ)dτ 0 f ( τ ) g( τ ) dτ A função h() é chamada como a convolução de f e g e a inegral acima ão conhecida como inegrai de convolução. Noe que a igualdade da dua inegrai de convolução pode er obida fazendo a ubiuição u - τ. A inegral de convolução é uma definição de um produo generalizado e pode er ecrio como h() ( f *g)(). f*g g*f (comuaividade) f*(gg) f*g f*g (diribuividade) (f*g)*h) f*(g*h) (aociaividade) Ainda emo, f*00*f0 ; (f*)() f() e pode er que f*f <0.
Teorema 6.6. Ideia da prova { } ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 0 0 h L d d g f e d d g f e dd f g e u d f e d g du u f e d g d g e du u f e G F u u τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
Exemplo Enconre a Tranformada de Laplace da função h abaixo. h ( ) 0 (τ )in d τ Solução: Noe que f () e g() in, com F ()L { f ( )} L { } G( ) L {g ( )}L {in } 4 Aim pelo Teorema 6.6., L {h ( )} H ( ) F ( )G () ( 4)
Exemplo 3: Enconre a Tranformada Invera ( de ) Enconre Tranformada de Laplace invera de H(), abaixo. H ( ) ( ) Solução: Seja F() / e G() /( - ), com f ( ) L {F ( )} g ( )L {G( )}e Aim pelo Teorema 6.6., L {H ( )}h( ) 0 (τ )e τ dτ
Exemplo 3: Solução h() ( de ) Podemo implemene inegrar para h(), como egue. [ ] [ ] ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 e e e e e e e d e e e d e d e d e h τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
Exemplo 4: PVI ( de 4) Enconre a olução do PVI y ' ' 4yg ( ), y( 0)3, y ' (0) Solução: ou L {y '' } 4L {y}l {g( )} [ L {y}y(0 ) y ' (0 )] 4L{y}G( ) Seja Y() L{y}, e ubiuindo a condiçõe iniciai, ( 4 ) Y ( )3 G () Aim Y () 3 G( ) 4 4
Temo Aim Noeque e g() é dado, enão a inegral de convolução pode er calculada. y( )3co in 0 in (τ )g (τ )dτ Exemplo 4: Solução ( de 4) ) ( 4 4 4 3 4 ) ( 4 3 ) ( G G Y
y ' ' 4yg ( ), Exemplo 4: Solução da Tranformada Laplace (3 de 4) Lembrem que a Tranformada de Laplace da olução y é Y () 3 G( ) Φ( ) Ψ ( ) 4 4 Noe Φ () depende omene do iema de coeficiene e da condiçõe iniciai, enquano Ψ () depende omene do iema de coeficiene e da função força g(). Ma, φ() L - {Φ ()} reolve o PVI homogêneo y ' ' 4y0, y(0)3, y ' (0 ) y( 0)3, y ' (0) enquano ψ() L - {Ψ ()} reolve o PVI não homogêneo y ' ' 4yg ( ), y( 0)0, y ' (0 )0
Exemplo 4: Função de Tranferência (4 de 4) Examinando Ψ () mai de pero, Ψ () G () H ()G( ), onde H ( ) 4 4 A função H() éconhecida como a função de ranferência, e depende omene do iema de coeficiene. A função G() depende omene da exciação exerna g() aplicada no iema. Se G(), enão g() δ() e por io h() L - {H()} reolve olve o PVI não homogêneo y ' ' 4yδ( ), y(0)0, y ' (0 )0 Aim h() é a repoa do iema para um impulo uniário aplicado em 0, e por io h() é chamada de repoa ao impulo do iema.
Problema de enrada-aída (Inpu-Oupu) ( de 3) Conidere o PVI geral a y '' b y ' cyg( ), y(0) y 0, y ' (0) y 0 ' Ee PVI é ambém chamado de um Problema inpu-oupu. O coeficiene a, b, c decreve propriedade fíica de um iema, e g() é um inpu do iema. O valore y 0 e y 0 ' decreve o eado inicial, e a olução y é o oupu no empo. Uando a Tranformada de Laplace, obemo a [ Y ()y(0) y ' (0)] b [Y ( ) y(0 )] cy ()G ( ) ou Y () (a b ) y 0 a y ' 0 a b c G( ) Φ() Ψ ( ) a b c
Solução da Tranformada de Laplace ( de 3) Temo Y () (a b) y 0 a y ' 0 a b c a y '' b y ' cyg ( ), y(0 ) y 0, y ' (0 ) y 0 ' Como ane, Φ () depende omene do iema de coeficiene e da condiçõe inicial, enquano Ψ () depende omene do iema de coeficiene e da função força g(). Ma, φ() L - {Φ ()} reolve o PVI homogêneo a y '' b y ' cy0, y(0 ) y 0, y ' ' (0) y 0 Enquano ψ() L - {Ψ ()} reolve o PVI não homogêneo a y '' b y ' cyg ( ), y(0 )0, y ' (0 )0 G( ) Φ() Ψ ( ) a b c
Função de Tranferência (3 de 3) Examinando Ψ () mai de pero, Ψ () G () a bc H ()G( ), onde H ( ) a bc Como ane, H() é a função de ranferência, e depende omene do iema de coeficiene, enquano G() depende omene da exciação exerna g() aplicada no iema. Aim e G(), enão g() δ() e por io h() L - {H()} reolve o PVI não homogêneo a y '' b y ' cyδ( ), y(0)0, y ' (0)0 Aim h() é a repoa do iema para um impulo uniário aplicado em 0, e por io h() é chamada a repoa ao impulo do iema, com ψ ( ) L {H ( )G ()} 0 h(τ ) g ( τ )dτ