IAG Revisão de Matemática Financeira Prof. Luiz Brandão 2005 1 Fluxo de Caixa O valor do dinheiro no tempo Representação: Saídas Entradas (100) 100 2 Visualização: Fluxo de Caixa 0 1 2 3 4 5 Definições: Fluxo de Caixa Valor Presente i Taxa de juros Ambiente Fluxo de Caixa VF Valor Futuro n Número de Períodos J Valor de Juros recebidos 3 4
= 1.000 i = 10% a.a. n = 1 Exemplo J = x i = 1.000 x 10% = 100 VF = + J = 1.100 0 1 =1.000 J =? VF =? Ano Juros Simples Sempre são calculados sobre o valor inicial do empréstimo Saldo no Início do ano Taxa de Juros 1 $1.000 10% Base de Cálculo Juros do período Saldo final do ano VF = (1+i) 5 6 Ano Saldo no Início do ano Juros Simples Taxa de Juros Base de Cálculo Juros do período Saldo final do ano 1 $1.000 10% $1.000 $100 $1.100 2 $1.100 10% $1.000 $100 $1.200 3 $1.200 10% $1.000 $100 $1.300 4 $1.300 10% $1.000 $100 $1.400 Juros Simples Fórmula Geral para Juros Simples: b g VF = 1+ i n A partir da fórmula acima podemos obter: VF = i 1+ i n VF = n VF n = i 7 8
Juros Compostos Juros Compostos Sempre são calculados sobre o valor inicial do empréstimo mais os juros do período Ano Saldo no Início do ano Taxa de Juros Base de Cálculo Juros do período Saldo final do ano Ano Saldo no Início do ano Taxa de Juros Base de Cálculo Juros do período Saldo final do ano 1 $1.000 10% 1 $1.000 10% $1.000 $100 $1.100 2 $1.100 10% $1.100 $110 $1.210 3 $1.210 10% $1.210 $121 $1.331 4 $1.331 10% $1.331 $133 $1.464 9 10 2500 2000 1500 1000 Juros Simples e Juros Compostos Juros Compostos Juros Simples 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Juros Compostos Fórmula Geral para Juros Compostos: b VF = 1+ i n A partir da fórmula acima podemos obter: = VF b1+ ig n i VF g 1 n = F H G I K J 1 n = F I HG K J b g VF ln ln 1+ i 11 12
= 100 i = 10% a.a. n = 6 0 1 =100 VF =? Exemplo VF = 1+ ig n VF = 100 1+ 0,1 6 2 b VF =? b g = 177,16 6 VF =? Anuidades (PMT) Uma anuidade é uma série de pagamentos ou recebimentos iguais e sucessivos. É muito utilizado em financiamentos para compra de bens. 13 14 Anuidade Valor Presente de uma Anuidade: PMT = 730 i = 1% a.m. n = 3 Fórmula Geral: 0 1 2 3 723 716 708 2147 730 730 730 Uma perpetuidade é uma anuidade que dura um tempo infinito. É muito utilizada no cálculo do valor de empresas n PMT = t = 1 + i n 1 b g 15 16
Exemplo Durante o processo de privatização da CVRD, a empresa foi avaliada em $10 bilhões de dólares Houve um questionamento a respeito desse cálculo, pois ele não teria levado em conta o valor das suas jazidas minerais. Apenas Carajás tem reservas comprovadas suficientes para 450 anos de consumo. Este minério, ao preço de mercado da época, representava cerca de $80 bilhões de dólares s Qual o valor de uma anuidade de $100 pelos seguintes períodos? No de Períodos PMT Valor Presente a) 10 anos 100 614,46 b) 30 anos 100 942,69 c) 100 anos 100 999.93 d) 450 anos 100 1.000,00 e) Infinito 100 1.000,00 17 18 10,0% Contribuição Incremental (Taxa de 10%) 100% Precisão do Fluxo em função do no. de Períodos 7,5% 75% 10% 5,0% % do Total 50% 2,5% 25% 0,0% 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Períodos 0% 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 No. de Períodos utilizado no fluxo de caixa 19 20
Valor de uma Constante Valor = Taxa de Juros Valor de uma Crescente Fluxos não Uniformes Exemplo: 0 1 2 3 4 100 170 200 140 Valor = Taxa de Juros g O cálculo pode ser feito descontando-se um período de cada vez. Considere i = 10% 21 22 Fluxos não Uniformes Exemplo: Fluxos não Uniformes Exemplo: 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 90,9 140,5 150,3 95,6 477,3 100 170 200 140 2.434,8 1.512,3 (2.958,8) 1.715,3 2.734,5 5.437,98 2.800 2.000 (4.500) 3.000 5.500 23 24
Equivalência de Fluxos de Caixa Dada uma taxa de juros, dois fluxos de caixa são equivalentes se os seus valores atuais forem iguais. O estudo da equivalência de fluxos de caixa se faz no regime de juros compostos Equivalência de Fluxos de Caixa Ex: Verifique se os fluxos abaixo são equivalentes a uma taxa de 10% a.a. Ano Plano A Plano B Plano C Plano D 1 100,00 315,47 350,00 2 100,00 315,47 325,00 3 100,00 315,47 300,00 4 1.464,10 1.100,00 315,47 275,00 25 26 Equivalência de Fluxos de Caixa Todos os quatro planos são equivalentes a uma taxa de 10% a.a. Ano Plano A Plano B Plano C Plano D 1 100,00 315,47 350,00 2 100,00 315,47 325,00 3 100,00 315,47 300,00 4 1.464,10 1.100,00 315,47 275,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 27 Exercícios Uma loja anuncia uma promoção de um fogão de 6 bocas: Preço de $420,00, sem juros! Pague em 3 parcelas iguais (0, 30 e 60 dias) sem juros ou à vista com 30% de desconto! A loja está fazendo propaganda enganosa ou não? Porque? Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, a juros compostos de 2% a.m., de forma que possa retirar $10.000 no final do sexto mês e $20.000 no final do décimo-segundo mês. Qual o menor valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos meses indicados? Determinar o valor atual do seguinte fluxo de caixa, para uma taxa de juros compostos de 3% a.m.: Mês 0 = + 10.000 Mês 1 = - 2.000 Mês 2 = + 1.000 Mês 3 = - 5.000 Mês 4 = - 6.000 Mês 5 = - 8.000 Mês 6 = + 2.000 28
Exercícios Determinada pessoa deseja dispor de $100.000 ao fim de seis meses e de $200.000 ao fim de um ano. Que quantia dever depositar hoje a uma taxa de juros compostos de 2.8% a.m., de modo que possa fazer as retiradas indicadas, sem deixar saldo final? Você recebe no seu extrato de cobrança uma oferta de assinatura de TV a cabo por 6 meses com desconto em relação à taxa mensal. Você paga atualmente R$59,00, e a assinatura semestral custa R$ 328,00. Se você tem dinheiro investido em uma aplicação que rende 1% a.m., vale a pena mudar? Considere que o pagamento da mensalidade (e da assinatura) é devida no início do mês. Em 1989, o Banco Garantia comprou o controle acionário da Brahma por 60 milhões de dólares. Em 1997, oito anos depois, a participação do Garantia na empresa valia 1 bilhão de dólares. Qual foi a rentabilidade anual desse investimento no período? 29 IAG Revisão de Matemática Financeira Prof. Luiz Brandão 2005 30