MATEMÁTICA FINANCEIRA. Prof. Luiz Brandão

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Luiz Brandão

2 Índice 1. INTRODUÇÃO FLUXO DE CAIXA AMBIENTE DEFINIÇÕES JUROS EXERCÍCIOS JUROS SIMPLES EXERCÍCIOS: JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS EXERCÍCIOS: JUROS COMPOSTOS UTILIZANDO CALCULADORAS FINANCEIRAS EXERCÍCIOS: USANDO A CALCULADORA ANUIDADES (PMT) PERPETUIDADES EXERCÍCIOS: ANUIDADES E PERPETUIDADES FLUXOS NÃO UNIFORMES TAXAS DE JUROS TAXA EFETIVA TAXA NOMINAL TAXA REAL TAXAS PROPORCIONAIS TAXAS EQUIVALENTES EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO PAGAMENTO NO FINAL SISTEMA AMERICANO SISTEMA PRICE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES MISTA - SAM EXERCÍCIOS: SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO... 36

3 5. DESCONTO BANCÁRIO EXERCÍCIOS: DESCONTO BANCÁRIO ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTO VALOR PRESENTE LÍQUIDO TAXA INTERNA DE RETORNO - TIR TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA EXERCÍCIOS: MATERIAL COMPLEMENTAR 49

4 1. Introdução Q uando o controle acionário da Cervejaria Brahma foi comprado em 1989, os novos donos pagaram o equivalente a US$ 60 milhões de dólares pela maioria das ações ordinárias. Em 1997, oito anos depois, o valor de mercado desta participação era de US$ 1 bilhão de dólares. É óbvio que esta operação resultou num bom negócio para os novos sócios, mas se quiséssemos saber exatamente qual a rentabilidade média anual que esses investidores obtiveram nesse período, como faríamos este cálculo? Ao comprar uma geladeira de R$ numa loja de eletrodomésticos, o vendedor lhe dá a opção de pagar à vista ou em três parcelas de R$ 350. Considerando que você tem R$5.000 investidos em caderneta de poupança, qual a melhor opção para você? Estas e outras questões que dizem respeito ao valor do dinheiro no tempo são o objeto de estudo da Matemática Financeira. Sabemos que o valor das ações de uma empresa depende em parte do timing dos fluxos de caixa que os investidores esperam receber no futuro, e dado que um dos principais objetivos do gerente financeiro é maximizar o valor da empresa para o acionista, é essencial que o gerente financeiro tenha o domínio dos conceitos de Matemática Financeira para que possa avaliar corretamente o valor destes e outros ativos da empresa. O conceito básico da Matemática Financeira é que um real recebido hoje vale mais de que um real a ser recebido daqui a um ano. Dizemos então que o dinheiro tem valor no tempo. Mas como comparar um real hoje com R$1,20 reais a serem recebidos em um ano? Sabemos que não podemos comparar estes dois valores diretamente, pois eles ocorrem em épocas diferentes. É a Matemática Financeira que nos permite comparar fluxos de caixa distintos e indicar qual é mais vantajoso para o indivíduo ou a empresa, e isso é feito transformando cada fluxo de caixa no seu valor equivalente à vista, descontando esses valores de um tempo futuro até o momento atual. Uma vez que os valores então se encontram agora todos na mesma data, podemos então comparar esses valores entre si e tomar a nossa decisão. O conceito de fluxo de caixa descontado tem inúmeras aplicações, desde a elaboração de planilhas de cálculo de amortização de empréstimos até a decisão de investimento em projetos industriais. De todos os conceitos básicos de finanças, podemos dizer que a análise do Fluxo de Caixa Descontado é um dos mais importantes. Veremos também que a transformação desses fluxos só pode ser feita com a fixação dos juros, e pode-se ainda dizer que a existência da Matemática Financeira, com todas as suas fórmulas e fatores, se prende, exclusivamente, à existência dos mesmos. Dada essa importância dos juros dentro do contexto da Matemática Financeira, eles serão estudados em detalhe no decorrer do curso. Brandão Matemática Financeira 3.1 4

5 1.1 Fluxo de Caixa Para representar as entradas e saídas de caixa de um fluxo, adotaremos a seguinte convenção: Dinheiro investido (saída de caixa), seta para baixo, ou valor negativo (100) Dinheiro recebido (entrada de caixa), seta para cima 100 Denomina-se fluxo de caixa (de uma firma, de um investimento, de um projeto, de um indivíduo etc...) ao conjunto das entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Um fluxo de caixa pode apresentar diversas entradas e saídas de caixa, a fim de facilitar a visualização dos fluxos de caixa de um problema em particular, adotaremos o conceito da linha do tempo, conforme diagrama a seguir: O instante zero representa a data de hoje: é o momento atual, o instante da decisão a ser tomada. O tempo 1 ocorre daqui a um ano, e representa o instante final do ano 1, ou seja, 31 de dezembro do ano 1. Da mesma forma, o tempo dois representa o instante final do ano 2, que começa em 01/01/02 e termina em 31/12/02, e os tempos 3, 4 e 5 também representam o instante final do ano 3, 4 e 5. Observe que os períodos de um fluxo podem representar não só anos, como também meses, semanas, dias, trimestres, ou qualquer período que se queira. O total de juros devido pelo tomador ao aplicador depende de dois fatores básicos: A taxa pactuada e o prazo da operação. Como o tomador, em geral, dispõe de recursos em datas preestabelecidas, é comum estabelecer indiretamente a vigência das operações pelas respectivas datas de tomada e liquidação dos empréstimos. Os comerciantes medievais adotaram algumas regras simplificadoras dos cálculos, criando o mês e o ano comercial. Segundo a convenção adotada, o mês comercial tem 30 dias e o ano, por ser decomposto em exatos 12 meses, tem 360 dias. assim o prazo de uma operação pode ser definido em termos exatos (mês e ano civil) e em termos comerciais (mês e ano comercial). Quando o prazo da operação é dado em termos comerciais, os juros são chamados de juros comerciais; quando o número de dias dos meses correspondem aqueles do ano civil, são chamados de juros exatos. Brandão Matemática Financeira 3.1 5

6 1.1.1 Ambiente Para efeitos didáticos consideraremos o nosso ambiente como sendo um ambiente aonde não existem outros custos além dos especificamente mencionados. Ou seja custos como: reciprocidade exigida pelos bancos, custos devido à exigência de saldos médios a serem mantidos nos bancos, custos devido à compra compulsória de seguros empurradas pelos agentes financeiros, taxas de abertura de crédito, taxas de cadastro, imposto de renda, IOF, Imposto sobre diversos, emolumentos, custos de transação tais como comissões, inadimplências, falências, congelamentos, e assim sucessivamente somente serão considerados quando explicitamente mencionados nos exemplos e exercícios Definições Um real na mão hoje vale mais do que um real a ser recebido daqui a um ano, pois se você tiver um real hoje você pode investi-lo e receber juros deste investimento, de forma que daqui a um ano você terá mais do que um real. Para exemplificar, suponha que você possua R$1.000 e tenha a oportunidade de investi-lo no banco a uma taxa de juros de 10% ao ano. Quanto você teria ao final do ano? Adotaremos a seguinte notação: VP (Valor Presente, Principal) Valor que você dispõe hoje. No nosso exemplo é R$ i (Taxa de Juros) Taxa de juros que o banco paga por período. Assumimos que esse juros é pago no final do período. VF (Valor Futuro) Valor de que você dispõe ao final do período, que inclui o valor que você tinha no inicio mais os juros recebidos no final do período. n (No de Períodos) Número de Períodos envolvidos na análise. No caso, n = 1. J Juros Valor de Juros recebidos No nosso exemplo, temos então: VP = i = 10% a.a. n = VP =1.000 J =? VF =? J = VP x i = x 10% = x 0,10 = 100 VF = VP + J = = Brandão Matemática Financeira 3.1 6

7 Podemos deduzir a fórmula do Valor Futuro (FV): VF = VP + VP x i VF = VP (1+i) Aplicando a fórmula ao exemplo: VF = 1000 (1+0,10) = Juros O conceito de juros pode ser introduzido através das expressões: a. dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição. b. remuneração do capital empregado em atividades produtivas ou, ainda, remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado. Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia. Ex 1: 12% ao ano = 12% a.a. 10% ao mês = 10% a.m. Ex 2: Um capital de $10.000, aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a., proporcionará, no final de um ano, um total de juros. Qual é este total de juros? Resp: 8% de = (8 / 100) x = 0,08 x = VP = J = Exercícios 1) Qual a importância da Matemática Financeira? 2) O que é juros? 3) Explique o que significa uma aplicação a juros simples. 4) Explique o que significa uma aplicação a juros compostos. 5) Se você aplicar hoje $1.000 a juros simples com uma taxa de 10% ao ano quanto terá em 2 anos? 6) Se você aplicar hoje $1.000 a juros compostos com uma taxa de 10% ao ano quanto terá em 2 anos? Brandão Matemática Financeira 3.1 7

8 2. Juros Simples O s juros que incidem sobre um empréstimo são chamados de juros com capitalização simples se a cada período que dura o empréstimo os juros são calculados sempre em cima do valor inicial do empréstimo. Sobre os juros não pagos não incide cobrança de juros. Nessa categoria os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial. Considere um poupador que investiu $1.000 numa aplicação de renda fixa que lhe renderá juros simples à taxa de 10% a.a. Qual será o saldo ao final de 4 anos? Ano Saldo no Início do ano Taxa de Juros Base de Cálculo Juros do período Saldo final do ano 1 $ % $1.000 $100 $ $ % $1.000 $100 $ $ % $1.000 $100 $ $ % $1.000 $100 $1.400 Neste caso, é importante realçar que o banco sempre aplicou a taxa de juros de 10% a.a. sobre o capital inicial de $1.000, e nunca permitiu que o aplicador retirasse os juros de cada período. Assim, apesar de os juros estarem à disposição do banco, eles nunca foram remunerados. Caso o banco permitisse ao aplicador a retirada dos juros, ainda que continuasse a não remunerar os juros remanescentes, o poupador passaria a ter uma entrada nova de capital por conta da eventual aplicação que pudesse fazer com os juros recebidos. Neste caso o poupador estaria recebendo 10% mais a taxa de remuneração sobre a aplicação dos juros, e esta não mais seria uma situação de juros simples. Exemplo: Suponha que você pegou emprestado $1.000 com 10% de juros ao ano. O cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes: Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros Valor dos Juros no final do ano 1 = x 0,10 = 100 Valor do Principal = O Valor total a pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: = VP =1.000 J = 100 VF = Brandão Matemática Financeira 3.1 8

9 Se você pegou este empréstimo por 2 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes: Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros x Número de anos Valor dos Juros no final do ano 1 = x 0,1 x 2 = 200 Valor do Principal = O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: = VP =1.000 J = 100 VF = J = 100 VF = Se você pegou este empréstimo por 3 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes: Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros x Número de anos Valor dos Juros no final do ano 1 = x 0,1 x 3 = 300 Valor do Principal = O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: = VP =1.000 J 1 = 100 VF 1 = J 2 = 100 VF 2 = J 3 = 100 VF 3 = Fórmula Geral: n VP =1.000 J 1 = 100 VF 1 = J 2 = 100 VF 2 = J 3 = 100 VF 3 = J n = 100 VF n = VF = VP + Juros n VF = VP + VP i n VF = VP 1+ i n b g A fórmula é somente esta, porém podemos através de manipulações algébricas utilizar a fórmula do valor futuro (FV) para calcular Valor Presente (VP), taxa de juros (i) ou valor dos juros a pagar (J). VF VF = VPb1 + i ng VP = 1+ i n Brandão Matemática Financeira 3.1 9

10 VF VP i = VP n J = VF VP = VP i n VF VP n = ivp Onde: n: é o número de períodos VP: é o Valor Presente de principal aplicado i: é a taxa de juros expressa em decimais VF: é o Valor Futuro, é a soma de juros no período mais principal J: é o total de juros pagos sobre o principal durante o investimento Observe que só existem 4 variáveis: Taxa de Juros, Valor Presente, Valor Futuro e Número de Períodos. Assim sendo só existem 4 tipos básicos de pergunta que podemos formular. Ex: Qual é o montante acumulado em 24 meses (VF), a uma taxa de 2% a.m., no regime de juros simples, a partir de um principal (VP) igual a $2.000? Solução: P = $2.000 i = 2% a.m. 2/100 = 0.02 ao mês n = 24 meses VF =? VF = ( 1 + 0,02 x 24) = Exercícios: Juros Simples 1) Você tem hoje (t=0) $1.000 para aplicar a juros simples a uma taxa de 10% ao ano. Quanto você terá depois de 3 anos desta aplicação? Resp: $ ) Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em determinada instituição terá em 2 anos $ Qual é a taxa que esta instituição está pagando para sua aplicação? Resp: 10% 3) Você tem hoje $ e pretender ter um total (juros mais principal) de $ em uma aplicação que paga 30% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro aplicado? Resp: 3 anos 4) Você precisa ter $ daqui a quatro anos para fazer frente a um compromisso financeiro. Quanto você deve investir hoje, sabendo que a taxa de juros que essa aplicação paga é 12% ao ano? Resp: $ ) Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica $2.000 a juros simples pelo período de 4 anos a uma taxa de 20% ao ano? Resp: $ ) Qual é o valor que você deve investir hoje para ter ao final do 5 ano $ Considere que a taxa de juros simples que você usou é de 10% ao ano. Resp: $ ) Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar $3.000 por 2 anos a uma taxa de juros simples de 20% ao ano? Resp $ ) Qual é a taxa de juros simples que faz uma aplicação de $180 em t=0 valer $360 em 10 anos? Resp: 10% a.a. Brandão Matemática Financeira

11 3. Juros Compostos O s juros que incidem sobre um empréstimo são chamados de juros com capitalização composta se a cada período que dura o empréstimo os juros são calculados, a cada período do empréstimo, sobre o saldo devedor do empréstimo que inclui o principal e os juros ainda não pagos. Nessa categoria os juros de cada período são calculados sempre em função do saldo existente no inicio de cada respectivo período. Daqui para frente, consideraremos que todos os juros em questão são juros compostos. Considere a mesma situação do exemplo anterior de juros simples, agora com a diferença da utilização de juros compostos para o cálculo da remuneração ao investidor. Ano Saldo no Início do ano Taxa de Juros Base de Cálculo Juros do período Saldo final do ano 1 $ % $1.000 $100 $ $ % $1.100 $110 $ $ % $1.210 $121 $ $ % $1.331 $133 $1.464 Nesse caso o banco remunera os juros pagos, que são reinvestidos na aplicação. No gráfico a seguir, podemos observar a diferenças entre os juros simples e compostos mostrados nestas tabelas Juros Simples e Juros Compostos Juros Compostos Juros Simples Brandão Matemática Financeira

12 Exemplo: 1) Suponha que você pegou emprestado $1.000 hoje, para pagar este empréstimo com juros de 10% ao ano capitalizados de forma composta. Desta forma se você pegou este empréstimo por apenas 1 ano o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes: Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros Valor dos Juros no final do ano 1 = x 0,1 = 100 Valor do Principal = O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: = VP =1.000 J = 100 VF = Se você pegou este empréstimo por 2 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes: Valor dos Juros no primeiro ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros Valor dos Juros no final do ano 1 = x 0,1 = 100 Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do segundo ano será: Principal + Juros = = Valor dos juros para o segundo ano = Saldo Devedor x Taxa de Juros Valor do Juros do segundo ano = x 0,1 = 110 O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros do ano 1 + os juros do ano 2 mais o principal, ou seja: = VP =1.000 J = 100 VF = J = 110 VF = Se você pegou este empréstimo por 3 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes: Valor dos Juros no primeiro ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros Valor dos Juros no final do ano 1 = x 0,1 = 100 Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do segundo ano será: Principal + Juros = = Valor dos juros para o segundo ano = Saldo Devedor x Taxa de Juros Valor do Juros do segundo ano = x 0,1 = 110 Brandão Matemática Financeira

13 Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do terceiro ano será: Principal + Juros (ano1) + Juros (ano2) = = Valor dos juros para o terceiro ano = Saldo Devedor x Taxa de Juros Valor do Juros do terceiro ano = x 0,1 = 121 O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros do ano 1 + os juros do ano 2 + os juros do ano 2 + o principal, ou seja: = VP =1.000 J = 100 VF = J = 110 VF = J = 121 VF = Fórmula Geral para Juros Compostos: b g VF = VP 1+ i n A partir da fórmula acima podemos obter: VP = b VF 1+ g i n i VF VP 1 n = F H G I K J F I HG K J b g VF ln VP 1 n = ln 1+ i Onde: n: é o número de períodos VP: é o Valor Presente de principal aplicado i: é a taxa de juros expressa em decimais VF: é o Valor Futuro, é a soma de juros no período mais principal OBS: Valor Presente, Valor Atual, Valor de hoje, agora ou tempo zero (t=0) são sinônimos. Ex 1: Qual o montante acumulado em 6 anos, à uma taxa de 10% a.a., no regime de juros compostos, a partir de um principal inicial de $100,00? Solução: Utilizando a fórmula: FV = VP (1 + i) n = 100,00 ( ) 6 = 177,16 Fazendo passo a passo: Seja VP 1 o principal no inicio do ano 1, VP 2 no inicio do ano 2 e assim sucessivamente Seja VF 1 o montante ao final do ano 1, VF 2 ao final do ano 2 e assim sucessivamente Seja J 1 o total de juros pagos ao final do ano 1, J 2... aonde J = i VP Fazendo o reinvestimento período a período até o sexto período de todo o disponível ao final do período anterior, teremos: Brandão Matemática Financeira

14 VP 0 =100 J 1 = 10 VF 1 = 110 J 2 = 11 VF 2 = 121 J 3 = 12,1 VF 3 = 133,1 J 4 = 13,31 VF 4 = 146,41 J 5 = 14,461 VF 5 = 161,051 J 6 = 16,105 VF 6 = 177,15 no inicio do ano 1 VP 1 = 100,00 no final do ano 1 VP 1 + J 1 = VF 1 = = 110 no inicio do ano 2 VP 2 = 110 no final do ano 2 VP 2 + J 2 =VF 2 = = 121 no inicio do ano 3 VP3 = 121 no final do ano 3 VP3 + J3 = VF3 = ,1 = 133,1 no inicio do ano 4 VP 4 = 133,1 no final do ano 4 VP 4 + J 4 = VF 4 =133, = 146,41 no inicio do ano 5 VP 5 = 146,41 no final do ano 5 VP 5 + J 5 = VF 5 = 146, ,641 = 161,051 no inicio do ano 6 VP 6 = 161,051 no final do ano 6 VP 6 + J 6 = VF 6 = 161, ,1051 = Exercícios: Juros Compostos 1) Você tem hoje (t=0) $1.000,00 para aplicar a uma taxa de 10% ao ano. Quanto você terá depois de 3 anos desta aplicação? Resp: $1.331,00 2) Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em determinada instituição terá em 2 anos $ Qual é a taxa que esta instituição está pagando para sua aplicação? Resp: 10% 3) Você precisa ter $12.000,00 daqui a quatro anos para fazer frente a um compromisso financeiro. Quanto você deve depositar hoje na poupança, sabendo que a taxa de juros que esta poupança paga é 12% ao ano? Resp: $7.626,22 4) Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica $2.000,00 a juros compostos pelo período de 4 anos a uma taxa de 20% ao ano? Resp: $4.147,20 5) Qual é o valor que você deve investir hoje para ter ao final do 5 ano $1.500,00. Considere que a taxa de juros compostos que você usou é de 10% ao ano. Resp: $931,38 6) Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar $3.000,00 por 2 meses a uma taxa de juros compostos de 20% ao mês? Resp $1.320,00 7) Você tem hoje (t=0) $ ,00 para aplicar a uma taxa de 15% ao ano. Quanto você terá depois de 4 anos desta aplicação? Resp: $ ,25 Brandão Matemática Financeira

15 3.2 Utilizando Calculadoras Financeiras As calculadoras financeiras facilitam o uso da Matemática Financeira, automatizando os cálculos mais tediosos e complexos. Embora cada modelo existente no mercado seja diferente na maneira de utilizá-lo, de um modo geral todos adotam as seguintes convenções: n PV PMT PMT PMT PMT FV n - Número de períodos do investimento ou empréstimo i - Taxa de juros que vai incidir sobre o VP, PMT e FV PV - Valor Presente (Present Value) PMT - Pagamento Periódico (Payment) FV - Valor Futuro (Future Value) Na HP 12c, estão funções estão na primeira linha de teclas, no lado esquerdo. Se você tem uma calculadora HP 12c observe que a maioria das teclas de sua calculadora tem 3 funções diferentes: 1. função escrita em letras ou números BRANCOS 2. função escrita em AZUL e 3. função escrita em AMARELO. Brandão Matemática Financeira

16 Quando você liga a máquina automaticamente está na função BRANCA das teclas. Você pode determinar qual a função desejada simplesmente apertando as teclas f ou g seguida então da tecla com a função da cor desejada. A HP12c tem memória contínua, isto é, ela não perde os dados que estão em memória ao ser desligada. Por isso, antes de efetuar qualquer calculo é necessário limpar os dados que estão na memória da calculadora teclando a tecla e depois a tecla FIN em amarelo. Convenciona-se em nosso país considerar que os fluxos ocorrem ao final de cada período. Assim, se um fluxo que ocorre ao longo de todo o ano 1 seja representado por um único fluxo no final deste ano, ou seja, no dia 31 de dezembro do ano 1. Para que sua calculadora também considere os fluxos ao final de cada período, é preciso ajustá-la para isso. Se sua calculadora possui a opção END mode ou BEGIN mode coloque em END mode. Na calculadora HP 12c realize esta operação teclando a tecla azul seguida da tecla que tem a letras azuis END. Na calculadora HP12c você deve entrar com o valor da taxa de juros, tecla BRANCA i em base percentual. Isto é se a taxa for 20% digite 20 e em seguida tecle i. Lembre-se que quando você usa fórmulas, se a taxa for 20% você dever inserir na fórmula 0,2 que é base decimal. Para escolher o número de casas decimais que o seu visor deve mostrar, simplesmente tecle seguido do número de casas decimais que pretende utilizar. Sugerese que adote duas casas decimais como padrão. Exemplo: Calculando um Valor Futuro Suponha que você irá investir $100 num banco a uma taxa de 10% a.a. por um período de 6 anos. Qual o montante a receber ao final dos 6 anos? Valor do investimento hoje: PV = 100 Taxa de juros que incide sobre o investimento: i = 10% No de períodos que o investimento irá durar: n = 6 Valor Futuro deste investimento: FV =? Procedimento passo a passo para HP 12c: Você deverá obter: FV = -177,16 Passo Ação Descrição 1 tecle FIN Limpa a memória financeira e tecle Informa que o Valor Presente é $ e tecle Informa que os juros são de 10% por período 4 6 e tecle Informa que são 6 períodos 5 tecle Calcula o Valor Futuro: -177,16 Brandão Matemática Financeira

17 Para alterar o número de casas decimais no visor da calculadora para: três casas decimais: tecle f 3 e obterá: - 177,156 quatro casas decimais: tecle f 4 e obterá: - 177,1561 cinco casas decimais: tecle f 5 e obterá: - 177,15610 seis casas decimais: tecle f 6 e obterá: - 177, Lembre-se que a calculadora trabalha internamente sempre com precisão de 16 casas decimais, independente de quantas casas você definiu para o visor da tela. Note que o resultado apresenta um sinal negativo. Isto ocorre porque a calculadora considera que se você pegou um empréstimo (você recebeu $) deverá pagar com juros ao final do período N (você paga $). Assim, se você coloca o VP (ou PV em inglês) com valor positivo, significando que você recebeu, por exemplo, a resposta sairá com o sinal trocado (no exemplo, sinal negativo) significando que você pagou o FV. A recíproca também é verdadeira: se você colocar PV com sinal negativo sua resposta, o FV será dado com sinal positivo. Exemplo: Calculando um Valor Presente Qual o principal que deve ser aplicado hoje (Valor Presente) para se ter acumulado um total de $1.000 daqui a 12 meses, a uma taxa de 3% ao mês? Valor Futuro: FV = Taxa de juros que incide sobre o investimento: i = 3% No de períodos que o investimento irá durar: n = 12 Valor Presente deste investimento: PV =? Procedimento passo a passo para HP 12c: Você deverá obter: PV = - 701,38 Passo Ação Descrição 1 tecle FIN Limpa a memória financeira 2 12 e tecle Informa que são 12 períodos 3 3 e tecle Informa que os juros são de 3% por período e tecle Informa que o Valor Futuro será de $ tecle Calcula o Valor Presente: Observação: O sinal do valor em FV será sempre diferente do sinal do valor em PV, posto que para a calculadora um valor é recebimento e o outro pagamento (ou vice-versa). Brandão Matemática Financeira

18 Exemplo: Calculando uma taxa de juros Qual é a taxa de juros anual que faz uma aplicação hoje no valor de 1.000,00 valer $1.200,00 em 1 ano? Valor Presente: PV = Valor Futuro: FV = No de períodos: n = 1 Taxa de juros que incide sobre o investimento: i =? Procedimento passo a passo para HP 12c: Você deverá obter: i = 20% Passo Ação Descrição 1 tecle FIN Limpa a memória financeira e tecle Informa que o Valor Presente é $ e tecle Informa que o Valor Futuro será de - $ e tecle Informa que é 1 período 5 tecle Calcula os juros: 20% Obs: É necessário teclar para trocar o sinal do Valor Futuro Exercícios: Usando a Calculadora 1) Você tem hoje $10.000,00 e pretende ter um total (juros mais principal) de $21.970,00 em uma aplicação que paga 30% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro aplicado? Resp: 3 anos 2) Qual é a taxa de juros compostos que faz uma aplicação de $180,00 em t=0 valer $360,00 em 10 anos? Dica: Não se esqueça de colocar PV e FV com sinais diferentes. Resp: 7,177% ao ano 3) Suponha que você tem $2.000,00 hoje e se investir na poupança da CEF terá em 10 anos $5.187,48. Qual é a taxa anual que a CEF está pagando para sua aplicação? Resp: 10% 4) Pedro tem disponíveis hoje $50.000,00 e pretende ter um total (juros mais principal) de $82.151,60 em uma aplicação que paga 18% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro aplicado? Resp: 3 anos 5) Você quer ter $ ,00 daqui a seis anos para comprar uma casa. Quanto você deve depositar hoje na poupança, sabendo que a taxa de juros que a poupança paga é 12% ao ano? Resp: $50.663,11 Brandão Matemática Financeira

19 6) Qual é o Valor Futuro que você espera obter se aplicar $ ,00 a juros compostos pelo período de 14 anos a uma taxa de 20% ao ano? Resp: $ ,99 7) Maria quer comprar um automóvel popular. O preço de automóveis populares tem se mantido estáveis no mercado há muitos anos. Suponha que Maria queira comprar o automóvel daqui a quatro anos, e que precise ter $15.000,00 para poder comprá-lo. Sabendo que ela tem uma aplicação que vai remunerar seus depósitos a uma taxa de juros anual de 18% ao ano durante os próximos quatro anos, que valor Maria deve depositar hoje nessa aplicação para que daqui a quatro anos ela possa comprar o seu automóvel? Resp: $7.736,83 8) Qual é o valor dos juros que você vai receber por uma aplicação num fundo de renda fixa se aplicar $30.000,00 por 2 meses a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês? Resp $2.448,00 9) Qual é a taxa de juros que faz uma aplicação qualquer dobrar de valor em 5 anos? Resp: 14,87% ao ano 10) Qual o principal que deve ser aplicado hoje para se ter acumulado um montante de $1.000,00 daqui a 12 meses, no regime de juros compostos, a uma taxa de 3 % ao mês? Resp: -701,38 11) Um principal foi investido em uma aplicação financeira. Suponha que a taxa de juros seja 3% ao mês no regime composto. No final do quarto mês o valor do montante é $100,00. Qual era o valor do montante ao final do primeiro mês e qual o valor do montante ao final do sétimo mês? Resp: a) $91,51 b) $109,27 12) Um indivíduo recebe uma proposta de investir hoje uma quantia de $1.000,00 para receber $ 1.343,92 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juros compostos? Resp: 3% a.m. 13) Em quantos meses um capital dobra, a juros compostos de 2% a.m. Resp: 35 meses 14) Um cidadão aplicou, nesta data, a importância de $1.000 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos. Mostrar o crescimento desse capital no final dos próximos 6 trimestres e informar o montante que poderá ser retirado ao final do sexto trimestre. Resp: $1.340, ) Durante a época de alta inflação no Brasil, o comércio paulista popularizou a seguinte forma de venda: 20% de desconto para pagamento à vista ou em 30 dias sem juros. Nessas condições, qual a taxa efetiva para o pagamento em 30 dias? Resp: 25% ao mês 16) Um cidadão investiu $ nesta data, para receber $14.257,60 daqui a um ano. Qual a taxa de rentabilidade mensal de seu investimento? Resp: 3.00% ao mês 17) Um cidadão aplicou, nesta data, a importância de $1.000 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos. Mostrar o crescimento desse capital no final dos próximos 6 trimestres e informar o montante que poderá ser retirado ao final do sexto trimestre. Resp: $1.340 Brandão Matemática Financeira

20 3.3 Anuidades (PMT) Uma anuidade consiste numa série de pagamentos (ou recebimentos) iguais e sucessivos feitos ao final de cada período de tempo. Suponha que você deposite $1.000 anualmente durante 3 anos em uma poupança que rende 10% ao ano. Quanto você terá ao final destes três anos? Nesse caso, o nosso interesse é calcular o Valor Futuro desta anuidade VF = PMT( 1+ i) + PMT( 1+ i) + PMT 2 VF = VF = A fórmula geral para o cálculo do Valor Futuro de uma anuidade (PMT) é dada por: n VF PMT i n = + t VF b1 g e também podemos ter PMT = n t = 1 i n b1+ g t Estas fórmulas também podem ser expressas da seguinte forma: VF = PMT L NM n b g e PMT = VF 1+ i 1 i O QP L NM b i g O P Q 1P 1 + i n t = 1 Uma outra aplicação de anuidade é quando queremos calcular as vantagens ou desvantagens de se parcelar uma compra. Suponha que a sua companhia de seguro lhe deu a opção de parcelar a renovação do seguro do seu carro em três vezes. O valor do prêmio do seguro é de reais à vista ou três parcelas de 730 reais. Se você tem dinheiro investido que rende 1% ao mês, qual a melhor opção para você? Nesse caso, queremos achar o Valor Presente desta anuidade Brandão Matemática Financeira

21 VP PMT PMT PMT = 1 + i i 1+ i b g b g b g VP = VP = O Valor Presente desta anuidade é maior do que o Valor para pagamento à vista, de modo que não é interessante este parcelamento. A fórmula geral do Valor Presente de uma anuidade é a seguinte: n VP = PMT 1 t = 1+ i t 1 b g e também podemos ter Estas fórmulas também podem ser expressas da seguinte forma: VP = PMT L b NM b g n 1+ i 1 n i 1+ i g O QP L b NM b e PMT VP i 1+ = i n 1+ i 1 g VP PMT = n 1 1+ g n O QP t = i t 1 b g A calculadora financeira simplifica os cálculos envolvendo anuidades, como podemos ver a seguir: Exemplo: Calculando o Valor Futuro de uma Anuidade Se você depositar $100 mensalmente numa aplicação que rende juros de 1% ao mês, quanto você terá ao final de dois anos? Procedimento passo a passo para HP 12c: Valor da Anuidade: PMT = 100 No de períodos: n = 24 Taxa de juros por período: i = 1 Valor Futuro: FV =? Você deverá obter: FV = ,35 Passo Ação Descrição 1 tecle FIN Limpa a memória financeira e tecle Informa que a Anuidade é $ e tecle Informa que os juros são de 1% por período 4 24 e tecle Informa que são 24 períodos 5 tecle Calcula o Valor Futuro: ,35 Brandão Matemática Financeira

22 Qualquer uma das variáveis de uma anuidade pode ser calculada se os valores das demais variáveis forem conhecidos. Dessa forma, dado o Valor Presente, a Anuidade e o número de períodos, podemos calcular a taxa de juros, ou dada a taxa de juros, podemos calcular o número de períodos. 3.4 Perpetuidades Quando a anuidade não tem prazo para terminar, ou seja, o fluxo de pagamentos (ou recebimentos) é infinito, o que acontece com o seu Valor Presente? Vamos calcular os Valor Presente das seguintes anuidades que apresentam número de períodos distintos e crescentes. Suponha um PMT de $100 e uma taxa de desconto de 10% por ano: No de Períodos PMT Valor Presente a) 10 anos 100 b) 30 anos 100 c) 100 anos 100 d) 500 anos 100 e) Infinito 100 Observe que o Valor Presente de uma Perpetuidade tende para um determinado valor, que é dado pela seguinte fórmula: VP = PMT. Isso pode ser deduzido a partir da fórmula da i anuidade, fazendo-se n tender para o infinito. n ( i) ( ) ( n i) ( ) ( ) VP = PMT PMT n = n n i 1+ i i 1+ i i 1+ i 1 1 VP = PMT i i i ( 1+ ) n Quando n o segundo termo dentro do parênteses tenderá a zero, e ficamos então com PMT VP =. i Se a perpetuidade apresentar um crescimento constante " g ", isto pode ser incorporado na fórmula, que passa a ser: VP = PMT i g Estas fórmulas são importantes na avaliação de empresas, pois supõe-se que uma empresa tem duração indeterminada, e portanto, apresenta fluxos de anuidade infinita. Brandão Matemática Financeira

23 3.4.1 Exercícios: Anuidades e Perpetuidades 1) Você está fazendo uma poupança pois precisa ter $ ,00 daqui a 8 anos para comprar uma casa. Quanto você deve depositar anualmente num investimento de renda fixa que rende 15% ao ano, considerando que o seu primeiro depósito ocorrerá exatamente daqui a um ano, e todos estes depósitos anuais serão do mesmo valor? Resp: $10.927,51 2) No mesmo exemplo anterior, qual seria o valor anual a ser depositado, considerando que o primeiro depósito ocorrerá imediatamente? Resp: $9.502,19 3) Qual é o Valor Futuro que você obtém investindo $250,00 todo mês numa aplicação que rende 1% a.m., durante cinco anos? Resp: $20.417,42 4) Qual é a taxa mensal de juros compostos que faz uma aplicação mensal de $100,00 crescer para $3.000,00 em dois anos? Resp: 1,89% ao mês 5) Qual o Valor Presente de uma Anuidade de $ que tenha a duração de 7 anos, a uma taxa de juros de 18% a.a.? Resp: 3.811,53 6) Qual o Valor Presente de uma Anuidade de $2.500 que tenha a duração de 10 anos, a uma taxa de juros de 20% a.a.? Resp: $10.481,18 7) Qual o Valor Presente de uma Perpetuidade de $2.500 anuais, a uma taxa de juros de 20% ao ano? Resp: $12.500,00 8) As ações da Datalog S.A. pagam um dividendo anual de $12,00. A expectativa do mercado é de que este dividendo se mantenha constante no futuro. Se a taxa de juros a ser utilizada for de 15% a.a., qual deve ser o valor desta ação? Resp: $ ) Uma ação está sendo negociada no mercado a $50,00. Espera-se que a empresa distribua dividendos anuais constantes de $15,00 no futuro, e sabe-se que o custo de capital da empresa é de 20% a.a. Este preço está correto? Você deve comprar ou vender esta ação? Resp: $75,00, compra. Brandão Matemática Financeira

24 3.5 Fluxos não Uniformes Uma anuidade tem como característica básica o fato de ser uma série constante de pagamentos (ou recebimentos). Muitas vezes, no entanto, nos deparamos com uma série de pagamentos que não tem relação entre si, especialmente na análise de fluxos de caixa de projetos de investimento de empresas, como no exemplo a seguir: O Valor Presente de um fluxo não uniforme pode ser calculado achando-se o Valor Presente de cada fluxo individualmente, e somando-se depois todos os valores encontrados. Supondo uma taxa de juros de 10% por período, temos: ,9 140,5 150,3 95,6 477, CF1 CF CF CF VP = + i i 1+ i 1+ i VP = , 11, 11, 11, VP = 477, 3 b g b g b g b g 4 4 Alternativamente podemos utilizar a calculadora financeira, ou mesmo a planilha Excel para automatizar os cálculos necessários. Exemplo: Calculando o Valor Presente de um fluxo não uniforme Considere o mesmo fluxo anterior. O procedimento passo a passo para HP 12c envolve o uso das teclas azuis, que são acessadas sempre que se digita a tecla, é o seguinte: Brandão Matemática Financeira

25 Passo Ação Descrição 1 tecle FIN Limpa a memória financeira e tecle CF j Informa que o primeiro Fluxo é $ e tecle CF j Informa que o segundo Fluxo é $ e tecle CF j Informa que o terceiro Fluxo é $ e tecle CF j Informa que o quarto Fluxo é $ e tecle Informa que os juros são de 10% por período 7 tecle NPV Calcula o Valor Presente: 477,3 Exemplo: Calcule o Valor Presente do seguinte fluxo de caixa, considerando uma taxa de juros de 15% a.a.: (4.500) Resp: VP(15%) = 5.437, Taxas de Juros Em finanças trabalha-se com diversos tipos de taxas de juros: Efetiva, Nominal, Real,, Proporcional, Equivalente, e outras Taxa efetiva Taxa efetiva é aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com as unidades de tempo dos períodos de capitalização. 3% ao mês, capitalizados mensalmente 4% ao trimestre, capitalizados trimestralmente 6% ao semestre, capitalizados semestralmente 10% ao ano, capitalizados anualmente Taxa Nominal Taxa nominal é aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. É a taxa cotada por bancos, credores ou outros agentes do mercado financeiro. Dessa forma, se você estiver negociando com um gerente de banco, analista de mercado financeiro, ou um vendo Brandão Matemática Financeira

26 um anúncio de financiamento de automóvel na televisão, a taxa de juros mencionada é sempre uma taxa nominal. A taxa nominal é quase sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais ou mensais. A taxa nominal inclui a inflação estimada para o período. São exemplos de taxas nominais: 12% ao ano capitalizados mensalmente 24% ao ano capitalizados semestralmente 10% ao ano capitalizados trimestralmente A taxa nominal é bastante utilizada no mercado, entretanto o seu valor nunca é usado nos cálculos por não representar uma taxa efetiva. O que realmente interessa é a taxa efetiva embutida na taxa nominal, pois ela é que será efetivamente aplicada em cada período de capitalização. Para entendermos o significado de uma taxa nominal, vamos mostrar as taxas efetivas decorrentes das taxas nominais: a) 12% a.a. capitalizados mensalmente, significa uma taxa efetiva de: 12% aa.. = 1% ao mês 12 meses b) 24% a.a. capitalizados semestralmente, significa uma taxa efetiva de: 24% aa.. = 12% ao semestre 2 semestres c) 10% a.a. capitalizados trimestralmente, significa uma taxa efetiva de: 10% aa.. = 25%, 4 trimestres ao trimestre No nossos cálculos, devemos sempre trabalhar com as taxas efetivas correspondentes, ou seja, 1% ao mês, 12% ao semestre ou 2,5% ao trimestre, e nunca com taxas nominais. Conforme podemos observar, a obtenção da taxa efetiva embutida na taxa nominal feita no regime de juros simples. Evidentemente a taxa anual equivalente a essa taxa efetiva embutida é maior do que a taxa nominal que lhe deu origem, pois esta equivalência é feita no regime de juros compostos. Exercícios: 1) Qual é a taxa anual nominal equivalente a 3,5% efetivos ao mês? 2) Qual é a taxa mensal efetiva equivalente a 24% nominais ao ano? 3) Qual é a taxa mensal efetiva equivalente a 24% efetivos ao ano? 4) Qual é a taxa mensal equivalente a 10% nominais ao semestre? 5) Quanto você vai receber de juros em 4 meses se aplicar $2.500,00 a uma taxa 24% ao ano efetiva? Brandão Matemática Financeira

27 3.6.3 Taxa Real São as taxas utilizadas nas aplicações pós-fixadas. A taxa de juros real não inclui a inflação estimada para o período. Ela pode ser calculada a partir de uma taxa nominal ou efetiva, expurgando-se a inflação nela embutida através da seguinte fórmula: 1 1+ = + i r 1+ F 1 i r = + 1+ F 1 onde r = taxa de juros real i = taxa de juros nominal F = inflação no período Ex: Suponha um país onde a taxa de inflação mensal seja de 20% a.m. Se um empréstimo tem uma taxa mensal nominal de 26%, qual a taxa real deste empréstimo? 1 r = + 026, = , 1 5% Taxas proporcionais Duas ou mais taxas são ditas proporcionais, quando, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. O conceito de taxas proporcionais está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros simples. Assim, considerando o período de um ano, as seguintes taxas são proporcionais entre si: 1% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre, 12% ao ano. Podemos verificar isso calculando o montante obtido através da aplicação de $1000 por um ano a cada uma dessas taxas em regime de juros simples, utilizando a fórmula: S = P (1+ i.n) Período Taxa Formula Montante Final mês 1% S = 1000 (1+0,01 x 12) trimestre 3% S = 1000 (1+0,03 x 4) semestre 6% S = 1000 (1+0,06 x 2) ano 12% S = 1000 (1+0,12 x 1) Brandão Matemática Financeira

28 Exemplos: 1) Qual o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de $100, com uma taxa de juros de 12% a.a., no regime de juros simples? Resp: S = 100 ( 1 + 0,12 x 4 ) = 148 2) Qual é o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de $100, com uma taxa de juros de 6% ao semestre, no regime de juros simples? Resp: S = 100 ( 1 + 0,06 x 8 ) = 148 3) Qual é o montante acumulado no final de quatro anos, a partir de um principal de $100, com uma taxa de juros de 3% ao trimestre, no regime de juros simples? Resp: S = 100 ( 1 + 0,03 x 16 ) = 148 Conclusão: As taxas de 12% ao ano, 6% ao semestre e 3% ao trimestre são proporcionais Taxas equivalentes Duas ou mais taxas são ditas equivalentes quando, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos. O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos. Exemplo: 1) Qual o montante acumulado no final de um ano, a partir de um principal de $100,00, com uma taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos? Resp: FV = PV (1 + i ) n = 100,00 ( 1,01) 12 = $112,68 2) Qual o montante acumulado no final de um ano, a partir de um principal de $100,00, com uma taxa de juros de 12,683% a.a., no regime de juros compostos? Resp: FV = PV (1 + i ) n = 100,00 ( 1,01) 12 = $112,68 Conclusão: Os juros de 1% a.m. produziram um crescimento efetivo do dinheiro de 12,683% a.a. Assim, as taxas de 1% a.m. e 12,683 a.a. são taxas equivalentes. Fórmulas de equivalência no tempo: ( 1+ id) 360 = ( 1+ im) 12 = ( 1+ it) 4 = ( 1+ is) 2 = ( 1+ ia ) onde: id = Taxa de juros diária im = Taxa de juros mensal it = Taxa de juros trimestral is = Taxa de juros semestral ia = Taxa de juros anual Brandão Matemática Financeira

29 Exemplo: 1) Qual a taxa mensal equivalente a taxa de 12% a.a.? (1 + im ) 12 = (1+ia) = = 1,12 (1 + im ) 12 = 1, im = (1,12) (1/12) im = (1,12) (1/12) - 1 im = 0,00948 ou seja 0,948 % a.m. 2) Quais as taxas anual, semestral trimestral e diária equivalentes à taxa de 3% a.m.? Colocando a taxa em base decimal mensal im = 3/100 = 0.03 Taxa anual (1 + im) 12 = (1 + ia) ( ) 12 = (1 + ia) = 1,4258 ia = = 42,58 % a.a. Taxa Semestral (1 + is) 2 = (1 + im) 12 (1 + is) = (1 + im) 6 is = (1 + im) 6-1 is = (1 + 0,03) 6-1 is = = 19,41 % a.s. Taxa trimestral (1 + it) = (1 + im) 3 it = (1 + im) 3-1 it = (1.03) 3-1 it = = 9,27 % a.t. Taxa diária (1 + id) 30 = (1 + im) id = {Raiz (30) de (1 + im)} -1 id = raiz (30) de (1,03) - 1 id = 0, = 0,0986 % a.d. Brandão Matemática Financeira

30 4. Equivalência de fluxos de caixa D ois ou mais fluxos de caixa são ditos equivalentes a uma determinada taxa de juros, se os seus valores atuais, calculados com essa mesma taxa, forem iguais. O estudo da equivalência de fluxos de caixa se faz no regime de juros compostos Convém ressaltar que se os fluxos de caixa tiverem o mesmo valor atual a uma determinada taxa de juros, então seus montantes após n períodos, obtidos com essa mesma taxa, serão necessariamente iguais. Assim a equivalência dos fluxos de caixa não precisa obrigatoriamente no período zero, isto é, com cálculo de valores atuais. Ela pode ser realizada em qualquer período n, desde que o período escolhido seja o mesmo para todos os fluxos. É importante destacar que a equivalência de fluxos de caixa depende da taxa de juros. Assim, se dois fluxos são equivalentes a uma certa taxa, essa equivalência deixará de existir se a taxa for alterada. Exemplo: 1) Analisamos quatro planos diferentes, porém equivalentes, de se financiar $1.000,00 a uma taxa de 10% a.a. Verificar se esses planos são equivalentes (quando descontados à taxa de 10% a.a.) pelo método do Valor Presente, VP. Ano Plano A Plano B Plano C Plano D 1 100,00 315,47 350, ,00 315,47 325, ,00 315,47 300, , ,00 315,47 275,00 Solução: Plano A: VP (10%) = 1.464,10 / (1,10) 4 = 1.000,00 Plano B: VP( 10%) = , 1 110, 2 110, 3 110, 4 = 90, , , ,314 = 1.000,00 Brandão Matemática Financeira

31 Plano C: 315, , , , 47 VP( 10%) = , 1 110, 2 110, 3 110, 4 = 287, , , ,654 = 1.000,00 Plano D: VP( 10%) = , 1 110, 2 110, 3 110, 4 = 318, , , ,828 = 1.000,00 Conclusão: Esses diversos fluxos de caixa são equivalentes, por terem o mesmo Valor Presente quando descontados a taxa de 10%. 4.1 Sistemas de Amortização Quando fazemos um financiamento de um bem, seja de automóvel, ou de uma casa, ou um empréstimo para uma empresa, é preciso determinar como serão pagos os juros e amortizações devidos ao longo do tempo. Por exemplo, pode-se determinar que o principal somente será pago ao final do prazo do empréstimo, ou ele pode ser amortizado durante a sua vigência. Assim, cada parcela de pagamento pode incluir tanto os juros do período quanto a amortização do principal. Os sistemas mais utilizados são: Pagamento no final O financiamento é pago de uma única vez no final. Os juros são capitalizados ao final de cada período (mês ou ano por exemplo). Esta modalidade de pagamento é utilizada em Papéis de renda fixa (Letras de Câmbio ou Certificados de Depósito com renda final) e Títulos descontados em banco comercial Sistema Americano É realizado o pagamento somente de juros ao final de cada período e ao final do prazo do empréstimo é pago, além dos juros do último período, também o principal integral. Esta modalidade é utilizada em papéis de renda fixa com renda paga periodicamente como letras de câmbio com renda mensal, certificados de depósito com renda mensal, trimestral, etc Sistema Price Esta modalidade de amortização consiste em uma série de pagamentos iguais e periódicos, conforme já visto anteriormente A parcela periódica de pagamentos Brandão Matemática Financeira

32 compreende os juros do período mais amortização de parte do principal. Esta modalidade é utilizada em financiamentos imobiliários e crédito direto ao consumidor (automóveis, eletrodomésticos). Este também é conhecido como o sistema Francês de amortização. Cálculo: a) Cálculo do valor da prestação constante (com o uso de tabelas ou de calculadoras) b) Cálculo dos juros do período pela aplicação da taxa do contrato sobre os valores do saldo (remanescente do principal) no inicio do período. c) Cálculo da amortização do principal pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros do período Observa-se que os juros de cada prestação vão diminuindo com o tempo, pois o principal remanescente vai se tornando cada vez menor. Como o valor da prestação é constante, a parcela de amortização de cada prestação vai aumentando ao longo do tempo Sistema de Amortização Constante (SAC) O financiamento é pago em prestações decrescentes. Cada parcela compreende pagamento de juros e da amortização de parte do principal. Esta modalidade é utilizada em financiamentos imobiliários e em financiamentos à empresas, por parte de entidades governamentais Cálculo: a) Cálculo da amortização do principal, que tem valor constante em todas as prestações, através da divisão do principal pelo número de prestações. b) Cálculo dos juros do período, pela aplicação da taxa do contrato sobre valor do saldo (remanescente do principal) no inicio do período c) Cálculo do valor da prestação pela soma da amortização do principal com os juros do período. Em cada período, o principal remanescente decresce do valor de uma amortização. Como todas as amortizações são iguais, esse decréscimo será uniforme, e, portanto os juros dos períodos também serão uniformemente decrescentes ao longo do tempo Sistema de Amortizações Mista - SAM O principal é pago por parcelas periódicas cujos valores correspondem a média do Sistema PRICE e do Sistema de Amortizações Constantes (SAC). É utilizada na liquidação de financiamentos da casa própria. Brandão Matemática Financeira

33 Exemplo: 1) Suponha um financiamento de $100,00 sobre o qual incidam juros à taxa de 5% a.a. e que o prazo do empréstimo seja de cinco anos. Calcule o juros, amortização e saldo devedor a cada ano em cada um dos seguintes sistemas de amortização: Pagamento ao Final Ano Saldo Inicial 100,00 Juros do ano 5,00 Saldo Final 105,00 Pagam no Final do Ano: Juros Amortização Total Saldo Devedor Final 100,00 105,00 Sistema Americano - Amortização ao Final Ano Saldo Inicial 100,00 Juros do ano 5,00 Saldo Final 105,00 Pagam no Final do Ano: Juros (5,00) Amortização Total (5,00) Saldo Devedor Final 100,00 100,00 Sistema Price - Pagamento Constante Ano Saldo Inicial 100,00 Juros do ano 5,00 Saldo Final 105,00 Pagam no Final do Ano: Juros (5,00) Amortização (18,10) Total (23,10) Saldo Devedor Final 100,00 81,90 Brandão Matemática Financeira

34 SAC - Sistema de Amortização Constante Ano Saldo Inicial 100,00 Juros do ano 5,00 Saldo Final 105,00 Pagam no Final do Ano: Juros (5,00) Amortização (20,00) Total (25,00) Saldo Devedor Final 100,00 80,00 SAM - Sistema de Amortização Misto Ano Saldo Inicial 100,00 Juros do ano 5,00 Saldo Final 105,00 Pagam no Final do Ano: Juros (5,00) Amortização (19,05) Total (24,05) Saldo Devedor Final 100,00 80,95 Brandão Matemática Financeira

35 Respostas: Pagamento ao Final Saldo Inicial 100,00 105,00 110,25 115,76 121,55 Juros do ano 5,00 5,25 5,51 5,79 6,08 Saldo Final 105,00 110,25 115,76 121,55 127,63 Pagam no Final do Ano: Juros (27,63) Amortização (100,00) Total (127,63) Saldo Devedor Final 100,00 105,00 110,25 115,76 121,55 0,00 Sistema Americano Saldo Inicial 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 Juros do ano 5,00 5,00 5,00 5,00 5,00 Saldo Final 105,00 105,00 105,00 105,00 105,00 Pagam no Final do Ano: Juros (5,00) (5,00) (5,00) (5,00) (5,00) Amortização (100,00) Total (5,00) (5,00) (5,00) (5,00) (105,00) Saldo Devedor Final 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 0,00 Sistema Price Saldo Inicial 100,00 81,90 62,90 42,95 22,00 Juros do ano 5,00 4,10 3,15 2,15 1,10 Saldo Final 105,00 86,00 66,05 45,10 23,10 Pagam no Final do Ano: Juros (5,00) (4,10) (3,15) (2,15) (1,10) Amortização (18,10) (19,00) (19,95) (20,95) (22,00) Total (23,10) (23,10) (23,10) (23,10) (23,10) Saldo Devedor Final 100,00 81,90 62,90 42,95 22,00 0,00 SAC Saldo Inicial 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 Juros do ano 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 Saldo Final 105,00 84,00 63,00 42,00 21,00 Pagam no Final do Ano: Juros (5,00) (4,00) (3,00) (2,00) (1,00) Amortização (20,00) (20,00) (20,00) (20,00) (20,00) Total (25,00) (24,00) (23,00) (22,00) (21,00) Saldo Devedor Final 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0,00 Brandão Matemática Financeira

36 SAM Saldo Inicial 100,00 80,95 61,45 41,47 21,00 Juros do ano 5,00 4,05 3,07 2,07 1,05 Saldo Final 105,00 85,00 64,52 43,55 22,05 Pagam no Final do Ano: Juros (5,00) (4,05) (3,07) (2,07) (1,05) Amortização (19,05) (19,50) (19,98) (20,47) (21,00) Total (24,05) (23,55) (23,05) (22,55) (22,05) Saldo Devedor Final 100,00 80,95 61,45 41,47 21,00 0, Exercícios: Sistemas de Amortização 1) Um determinado bem pode ser adquirido por $1.000,00 à vista ou, alternativamente, por 4 planos equivalentes de financiamento a taxa de 10% a.a. que apresentam os esquemas de pagamentos vistos na tabela a seguir, em forma de pagamentos anuais (em $): Ano Plano A Plano B Plano C Plano D 1 200,00 200,00 150,00 300, ,00 240,00 195,00 280, ,00 275,00 285,00 260, ,00 305,00 365,00 240, ,00 330,00 385,00 220,00 Elabore uma tabela para cada um destes 4 planos de financiamento que permita obter o desdobramento dos pagamentos anuais em juros e amortização, à taxa de 10% ao ano, e que, ainda, forneça o saldo devedor (remanescente do principal) ao final de cada ano, antes e depois de cada pagamento. 2) A firma pesqueira Peixão D Ouro contratou você para determinar qual será o valor de todas as suas dívidas no dia 30 de janeiro de 2004, considerando que todas as prestações dos seus diversos financiamentos estejam em dia nessa data. Você está em 30 de janeiro de 2001 (isto é hoje, para efeitos de seus cálculos). O panorama da Peixão D Ouro é o seguinte: a) Prédio do escritório central: Comprado em 30 de janeiro de 2001, com 20 anos de prazo para pagamento pelo sistema PRICE, com taxa de juros pré fixada de 8% ao ano. Custo do prédio: $ com 30% de entrada e o restante financiado. b) Barco de Pesca Priscilla, Rainha do Mar com casco cor de rosa com adornos na cor lilás degradé. A compra foi efetuada com 50% de entrada e com o restante financiado pelo Banco Mãos ao Alto. O barco novo custou $ (pagos ao estaleiro), em 30 janeiro de 1999, financiado pelo sistema SAC em 10 anos com taxa de juros pré fixada de 10% ao ano. Brandão Matemática Financeira

37 c) Terreno comprado por $ junto ao Porto do Rio Seco para guarda e manuseio de cargas frigorificadas. O sistema adotado foi de pagamento de juros durante o financiamento com pagamento do principal apenas no final. O financiamento foi em 15 anos e o negócio foi fechado em 30 de janeiro de A taxa de juros adotada foi de 12% ao ano, fixos. 3) Abaixo temos a receita para a construção de um sistema de amortização, o qual calcula o valor das prestações período a período da seguinte forma: a) Características do Financiamento: $1.000,00, à taxa de 10% a.a. b) Cálculo da prestação: Os juros de cada ano devem ser calculados sobre o saldo devedor do inicio do ano imediatamente após o pagamento da prestação. c) A prestação de cada ano é obtida através da divisão do saldo devedor, imediatamente antes do pagamento, pelo número de prestações a pagar. Exemplo: A primeira prestação é igual a (1.000, ,00) / 5 = $220,00 Monte um quadro deste financiamento. 4) Desenvolva uma tabela de planos equivalentes de financiamentos, semelhante ao quadro na forma abaixo, de acordo com as seguintes condições: Principal financiado: $1.000 Prazo do financiamento: 5 trimestres Taxa de juros: 6% ao trimestre Regime de juros: Compostos Capitalização: Trimestral Os planos a serem considerados são os seguintes: Plano A: Plano B: Plano C: Plano D: Plano E: Pagamento ao final Pagamento periódico de juros Prestações iguais - Sistema PRICE Sistema de amortizações constantes - SAC Sistema de amortizações mistas - SAM Forma do quadro: Trimestre Saldo Inicial do Trimestre Juros do Trimestre Saldo Final Pag no Final do Trimestre: Juros Amortização Total Saldo Após Pagam Brandão Matemática Financeira

38 5. Desconto bancário D escontos bancários são operações de crédito que utilizam duplicatas e títulos. De modo geral, uma operação de desconto visa estabelecer o valor presente pelo qual determinado ativo que apresenta um valor numa data futura, o valor futuro pode ser negociado hoje. A fórmula para desconto é: VP = VF Juros VP = VF VF. i. n Exemplo: VP = VF (1 i. n) Uma duplicata com valor de face de $1.000,00 e prazo de vencimento de 2 meses é descontada com uma taxa de 4% ao mês. Determine o valor do desconto e o valor descontado deste titulo. Solução: Dados valor Futuro = 1.000, o prazo de 2 meses e taxa de 4% podemos fazer: VP = VF (1 i. n) VP = (1 0,04 x 2) VP = = 920 Valor do desconto = $80,00 Valor Presente do titulo descontado = $920,00 Exemplo: Vamos verificar agora quanto que o agente financeiro está recebendo como taxa de retorno por fazer este desconto de duplicata do exemplo 1 (anterior). Solução: Quem está investindo $920,00 para receber em 2 meses $1.000,00, está recendo efetivamente a seguinte taxa de juros compostos: PV 920 N 2 FV PMT 0 I??? Brandão Matemática Financeira

39 Resposta: A taxa de retorno é 4,26% ao mês. O que você pode concluir disto? 5.1 Exercícios: Desconto bancário 1) Você vendeu hoje uma mercadoria a um cliente por R$ ,00, com pagamento acertado para daqui a 2 meses (60 dias). O problema é que você precisa de dinheiro hoje para fechar a folha de pagamentos de sua firma. Você decide ir ao banco Forte e descontar a duplicata relativa à essa venda. Suponha que o gerente do banco Forte lhe informe que a taxa de desconto está fixada em 3% ao mês, a juros simples. Quanto você vai receber, se descontar essa duplicata? Resp: Você vai receber R$ 9.400,00. 2) Você é o cliente e foi ao banco para descontar, hoje, uma promissória no valor de face (valor escrito na promissória) de R$ ,00, com vencimento para daqui a 2 meses. O banco lhe creditou, hoje, em sua conta, R$ ,00, em virtude da operação de desconto. Qual é a taxa de desconto bancário em questão? Resp: A taxa de desconto bancário é de 5% ao mês. 3) Você trabalha em uma grande fabrica de escovas. Seus clientes são muitos e você sempre lhes concede prazo para que possam pagar suas contas. Supondo que você desconte uma duplicata no valor de R$15.000,00, com vencimento para daqui a 3 meses, junto a um banco que cobre uma taxa de desconto de 2% ao mês, quanto você deve receber hoje do banco ao realizar essa operação? Resp: Você deve receber hoje R$ ,00. 4) A alta administração do banco onde você trabalha determinou que as taxas para desconto de promissórias ou duplicatas sejam de 9% ao mês. Você recebe seu primeiro cliente do dia e ele quer descontar uma duplicata no valor (valor de face) de R$ ,00, com vencimento para daqui a 2 meses. Quanto você deve creditar hoje na conta do cliente, caso decida realizar a operação? Resp: Você deve creditar hoje R$ ,00 Brandão Matemática Financeira

40 6. Análise de Projetos de Investimento O s projetos de investimento de uma empresa podem ser representados como uma série de fluxos de caixa, onde os valores negativos representam as saídas de caixa, ou os investimentos e custos a serem incorridos, enquanto que os valores positivos representam o retorno liquido que o projeto oferece em cada período, já deduzidos todos os custos, taxas, impostos associados ao projeto. Em termos gerais, um fluxo de caixa de projeto tem a seguinte representação: j CF 0 CF 1 CF 2 CF 3... CF j 6.1 Valor Presente Líquido Diz-se que um projeto é economicamente viável quando os seus ganhos são maiores que o investimento necessário para implantá-lo. Como geralmente os ganhos de um projeto estão distribuídos ao longo de uma série de períodos, é necessário "descontar" esses fluxos, isto é, calcular o seu Valor Presente, até o instante zero que é o momento atual onde a decisão de investir ou não está sendo tomada. A diferença entre o Valor Presente do fluxo de caixa do projeto, o investimento necessário, é chamado de Valor Presente Líquido, ou VPL. Assim, podemos dizer que o VPL é a soma de todas os fluxos, positivos ou negativos, de um projeto, descontados até o instante zero. Este VPL representa o valor do projeto, e aceita-se o projeto caso VPL seja > 0. Isto representa uma firma trocando um ativo (caixa, dinheiro em espécie) por outro ativo (projeto) que acredita-se ter maior valor. Se isto se confirmar, os acionistas irão se beneficiar do montante da diferença. Caso VPL < 0, isto significa que o custo do projeto é maior do que os seus retornos, e ele não deve ser realizado. Em análise de projetos, a taxa de desconto a ser utilizada no fluxo é o custo de capital da empresa. Este custo de capital é a média ponderada da taxa de juros que os credores cobram da empresa, e da taxa de retorno que os acionistas esperam receber no futuro da empresa. Fórmula Geral: n FC VP = j ( 1 + i ) j = 1 j Brandão Matemática Financeira

41 Exemplo: 1) Suponha um projeto com duração de seis anos, que demande um investimento único inicial no valor de $ e que forneça um fluxo de caixa, livre de taxas e impostos conforme diagrama a seguir. O custo de capital para o levantamento dos $ juntos aos bancos é de 10% a.a. Qual é o Valor Presente Líquido deste projeto? CF 0 CF 1 CF 2 CF 3 CF 4 CF 5 CF 6 (10000) CF1 CF CF CF VPL = CF + + i b1 g b1+ ig b1+ ig b1+ ig VPL = , 11, 11, 11, 11, 11, VPL = Isto significa que este projeto gera fluxos de caixa suficientes para pagar o custo do projeto à taxa de 10% a.a. e ainda deixa um resultado líquido (VPL) de $740 para os investidores. Utilizando a HP 12c: Passo Ação Descrição 1 tecle FIN Limpa a memória financeira e tecle CF e tecle CF j Informa que o primeiro Fluxo é $ e tecle CF j Informa que o primeiro Fluxo é $ e tecle CF j Informa que o primeiro Fluxo é $ e tecle CF j Informa que o segundo Fluxo é $ e tecle CF j Informa que o terceiro Fluxo é $ e tecle CF j Informa que o quarto Fluxo é $ e tecle Informa que o Custo de Capital é 10% ao ano 7 tecle NPV Calcula o Valor Presente: 740 Brandão Matemática Financeira

42 Nota: Cálculo do Valor Presente Líquido no Excel A planilha Excel oferece diversas funções de matemática financeira que simplificam o cálculos matemáticos necessários. No entanto, o uso da função VPL requer alguns cuidados para que se obtenham resultados corretos. Como Excel considera que os fluxos sempre se iniciam no ano 1, o fluxo do instante zero nunca deve ser incluído na fórmula do VPL - este valor deve ser somado a parte, fora da fórmula. Assim, a solução para o exemplo acima no Excel seria: 6.2 Taxa Interna de Retorno - TIR A taxa interna de retorno é a taxa à qual o fluxo de caixa descontado de um projeto é igual ao Valor de Investimento, ou seja, o Custo do projeto. Nesse caso, necessariamente o VPL de um projeto descontado à TIR é zero. Podemos afirmar então que a TIR é o maior custo de oportunidade que um projeto pode suportar. Aceita-se um projeto se sua TIR for maior que o custo de oportunidade. A maior vantagem da TIR é que ela dá os mesmos resultados que o método do VPL na maioria das vezes, mas conflita em alguns casos. Como não existe fórmula analítica para a TIR, a única maneira de achá-la é por tentativas, alterando a taxa de desconto passo a passo até obtermos VPL = 0. Para calcular a TIR do exemplo anterior, utilizamos a função IRR (TIR) da calculadora, teclando IRR e a calculadora nos dá o valor de 12,2%. 6.3 Taxa Interna de Retorno Modificada O método da TIR pressupõe que todos os fluxos de caixa positivos são reinvestidos à taxa interna de retorno do projeto. Essa premissa é válida desde que não haja uma grande discrepância entre a taxa interna de retorno e a taxa de desconto utilizada para o projeto. Quando isso ocorre, os resultados obtidos tendem a ser menos confiáveis, e podem induzir a erros de avaliação. Além disso, o método da TIR pode levar a múltiplas taxas internas para um mesmo projeto, caso haja mais de uma inversão de sinal no fluxo de caixa do projeto. Essas taxas múltiplas, embora matematicamente corretas, não tem significado financeiro relevante para o processo de decisão de investimento. Brandão Matemática Financeira

43 O método da Taxa interna de retorno modificada (MIRR) evita esses dois problemas. Os fluxos negativos são trazidos a valor presente, enquanto que os fluxos positivos são levados a valor futuro no último períodos do fluxo. Com os valores concentrados no instante zero e no período final, o cálculo da taxa interna se torna fácil e direto. Observe que para levar os fluxos positivos para o seu valor futuro no período final, é mais fácil concentrá-los todos no instante zero, para depois projetá-lo para o instante final. a) Projetos mutuamente exclusivos com escalas de investimento muito diferentes. (Taxa de Desconto = 10%) 0 1 TIR VPL (1000) % TIR VPL (10.000) % b) Projetos com grandes diferenças de prazo, ou padrões de fluxo de caixa muito diferentes. (Taxa de Desconto = 10%) TIR VPL 33% (9.000) n TIR VPL 20% (9.000) Exemplo: 1) Calcule o TIR e a TIR Modificada para o seguinte fluxo de caixa. Adote uma taxa de desconto de 14%: TIR VPL 21.86% (40.000) VP (14%) Entradas = ,40 VF (14%) Entradas = ,30 VP(14%) Saídas = (40.000) Fluxo final: TIRM 18.45% (40.000) Brandão Matemática Financeira

44 6.4 Exercícios: 1) Um projeto de investimento apresenta o seguinte fluxo de caixa: (4.000) a) Determine o seu VPL, considerando uma taxa de desconto de 10%. b) Determine o seu VPL para taxas de desconto variando entre 0% e 90%. Taxa Desc VPL Taxa Desc VPL c) Trace o gráfico da curva VPL x Taxa de Desconto VPL % % 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Taxa Desc d) Identifique a Taxa Interna de Retorno desse projeto. Brandão Matemática Financeira

45 2) O gerente da VJC Produções Artísticas está analisando a proposta de lançamento do disco de um novo artista de música tecno-cool-metal. Ele sabe que o lançamento de um disco requer um grande investimento inicial em promoção e marketing, e que essa moda de música tecno-cool-metal deve durar 5 anos somente (felizmente). O fluxo de caixa deste projeto está apresentado abaixo. Considerando que os acionistas da VJC esperam receber um retorno de 15% no seu investimento na empresa, calcule o VPL, a Taxa Interna de Retorno (TIR). Deve o gerente investir neste projeto? (6.500) Resp: VPL(15%) = 1220,27, TIR = 22,2% 3) Para uma determinada obra pública há a alternativa de se adotar um encanamento de 20cm ou 30cm. O encanamento de 20cm tem um custo inicial de $ e o custo anual de bombeamento é estimado em $ O encanamento de 30cm tem um custo inicial de $ e um custo anual de bombeamento de $ O serviço de tal equipamento será utilizado por 20 anos; nenhum valor residual é esperado para ambos os tipos ao final desse período. Considerando uma taxa de desconto de 10% a.a., qual encanamento deve ser utilizado? Resp: 20cm:VPL(10%) = , 30cm:VPL(10%) = ) Uma propriedade que contém lojas e escritório está à venda por $ Estima-se que durante um período de 20 anos a renda proveniente dos aluguéis das lojas e escritório atingirá por ano $890, e que as despesas com impostos, manutenção, condomínio, etc, atingirão por ano $380. Estima-se ainda que ao final dos 20 anos, a propriedade poderá ser vendida por $ Considerando uma taxa de desconto de 10% a.a., decida se vale a pena esse investimento. Informe também qual é o retorno que poderia obter com o negócio. Resp: VPL(10%) = (989.19), TIR = 7.95% 5) Para os dois projetos mutuamente exclusivos abaixo, calcule o VPL e a TIR, adotando-se uma taxa de desconto de 10%. Como você explica a discrepância observada nos resultados obtidos pelos dois métodos? A) (24.000) B) (24.000) Resp: A: VPL = 7.698,7, TIR = 24,1% B: VPL = ,8, TIR = 21,7% Brandão Matemática Financeira

46 6) A Globaltec S.A está decidindo que tipo de empilhadeiras a serão adotadas para a movimentação de carga nos seus armazéns para substituir as suas velhas empilhadeiras a diesel. Existem duas alternativas: empilhadeiras elétricas e a gás, e como ambas realizam as mesmas funções, a empresa irá escolher apenas um tipo. As empilhadeiras elétricas são mais caras, porém tem um custo de manutenção e operação menor: o seu preço unitário é de $23.000, enquanto empilhadeiras a gás custam $ cada. O custo de capital da empresa é de 12%, e a vida útil estimada de ambos os tipos de empilhadeira é de 6 anos. A economia líquida gerada pela empilhadeira elétrica representa um benefício anual de fluxo de caixa de $7.000, e a da empilhadeira a gás é de $5.400 anuais, já consideradas as despesas de depreciação. Qual é o VPL, a TIR e a TIRM de cada alternativa? Qual modelo deve a empresa escolher? Resp: Elétrica: VPL(12%) = 5.779,85, TIR = 20,5%, TIRM = 16,3% Gás: VPL(12%) = 5.201,60, TIR = 22,2%, TIRM = 17,1% 7) O estudo de viabilidade econômica de um projeto de privatização de uma estatal conduziu aos seguintes fluxos de caixas. Calcule o VPL e a rentabilidade do projeto. (Valores em R$ milhões). Considere uma taxa de desconto de 10% a.a. Ano Pagamentos (investimento) Recebimentos (retorno) Resp: VPL= ; TIR = 13,4% 8) Você pretende investir na firma Celadar que deve pagar três fluxos de caixa $1.100,00 em t=1, $1.500,00 em t=2 e $2.500,00 em t=3. Após o terceiro período a firma não paga mais nenhum fluxo de caixa, não vale nada e nem tem valor terminal. A taxa de desconto apropriada para descontar os fluxos de caixa é 20% ao ano. A firma Celadar está a venda por $ Qual é o VPL e a TIR para o investidor que comprar a Celadar? Você compraria esta empresa? Resp: VPL(20%) = $405,09, TIR = 27,33%. Sim. 9) A firma NOVASTAR está à venda por $ Os fluxos de caixa líquidos após taxas e impostos que a firma promete pagar aos seus proprietários no futuro é de $ por anos pelos próximos 20 anos de sua vida útil. Considerando que a taxa de desconto para esta firma seja 10% ao ano, qual é o VPL desta operação de venda se levada a cabo pelos valores mencionados acima? Você investiria nesse projeto? Resp: $ ,21. Sim. 10) Você tem um projeto de investir na firma Unicom Ltda. que deve pagar três fluxos de caixa $1.100 em t=1, $1.200 em t=2 e $1.300 em t=3. Após o terceiro período (ano) a firma não paga mais nenhum fluxo de caixa, não vale nada e nem tem valor terminal. A Unicom está à venda por $ Qual é o VPL e a TIR da deste investimento? Supondo que o custo do capital para financiar o projeto seja 12% ao ano vale a pena investir no projeto? Resp: VPL (12%) = ($135,91), TIR = 9,42%. Não. Brandão Matemática Financeira

47 11) Qual é o Valor Presente de um projeto que paga 4 fluxos de caixa iguais no valor de $850 em t=1, t=2, t=3 e t=4 respectivamente. Considere que a taxa apropriada para desconto é de 8% por período de tempo. Resp: $2.815,31 12) Qual é o VPL e a TIR de um projeto que custa $2.350 e paga 4 fluxos de caixa iguais de $850 em t=1, t=2, t=3 e t=4 respectivamente. Considere que a taxa apropriada para desconto é de 8% por período de tempo. Resp: VPL = $465,31, TIR = 16,605% 13) Qual é a TIR do projeto QUASAR? O projeto Quasar promete pagar $4.500 em t=1, $5.400 em t=2 e $3.200 em t=3. O custo de implementação do projeto Quasar é $6.000 Resp: TIR = 55,158 14) Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa de 2% a.m., no regime de juros compostos, a partir de um principal igual a $ ? Resp: $ ,26 15) Um cidadão investiu $ nesta data, para receber $14.257,60 daqui a um ano. Qual a taxa de rentabilidade mensal de seu investimento? Resp: 3.00% ao mês 16) Um lojista coloca na vitrine um fogão de 6 bocas com o seguinte cartaz: Pechincha: $420,00. Em apoio ao novo plano econômico do governo vendemos sem juros! Só hoje! Pague em 3 parcelas iguais (0, 30 e 60 dias) sem juros ou à vista com 30% de desconto! A loja está fazendo propaganda enganosa ou não? Porque? Resp: Sim, porque o lojista está cobrando juros apesar de afirmar o contrário. A taxa de juros cobrada é 51,08% ao mês. 17) Uma empresa contraiu um empréstimo no regime de juros compostos, a taxa de 3,5% a.m. para ser liquidado em dois pagamentos. O primeiro pagamento será de $ e deverá ocorrer no final do quinto mês. O segundo pagamento será de $ e deverá ocorrer no final do décimo segundo. Esse empréstimo poderia, entretanto, ser liquidado com um único pagamento de $ ,45. Determinar em que mês este pagamento deveria ser realizado para que a taxa de 3,5% a.m. fosse mantida. Resp: n = 20 18) O Banco de Comércio Internacional empresta dinheiro à 2,5% ao mês ou seja na linguagem bancária 7,5% ao trimestre juros simples, entretanto, exige que os juros sejam pagos por ocasião da liberação do empréstimo, Assim assina-se uma nota promissória de $4.000 com vencimento dentro de 3 meses, e o banco libera ao financiado apenas $3.700 pois os $300 de juros são descontados no ato ($4.000 x 0,075 = $300). Qual a taxa mensal efetiva cobrada nessa operação, a juros compostos? Qual seria a taxa mensal efetiva cobrada caso o pagamento dos juros ($300) fosse no vencimento da promissória? Isto é, o banco liberaria $4.000 e no final do trimestre você pagaria $4.000 mais $300. Resp: 2.63 % e 2,44 %. 19) Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, a juros compostos de 1,8% a.m., de forma que possa retirar $ ao final do 3o. mês e $ ao final do 14o. mês. Qual o menor valor da aplicação que permitiria essas retiradas? Resp: $ ,87 20) Considere a seguinte operação de crédito: Brandão Matemática Financeira

48 Valor do empréstimo: $ Taxa de Juros: 20% a.a., devidos no final Prazo: 30 meses Comissão de Crédito: 5% sobre o valor do empréstimo, na liberação Calcule a efetiva taxa de juros anual da operação. Dica: Mantenha a taxa anual (20% ao ano) e use o período como sendo 2,5. Se você trabalha com uma HP 12C, tecle STO EEX para colocar a máquina na posição de calcular período fracionário com juros compostos. A máquina indica esta posição mostrando no visor um pequeno c no lado direito. Resp: = 22,4875 % ao ano 21) A aplicação em um fundo de renda fixa aumenta sua aplicação em 50% ao fim de 5 meses. Qual é a taxa de juros que esta aplicação paga mensalmente? Resp: i = 8,45% ao mês 22) Considere que a taxa de juros para financiamento ao consumidor está girando em torno de 3% ao mês. Esta é a taxa cobrada pelo seu cartão de crédito para o financiamento de suas despesas. Você quer fazer o seguro de seu automóvel importado. O corretor de seguros lhe oferece um seguro que pode ter o prêmio pago à vista no valor de $ (dinheiro, cheque ou cartão de crédito) ou então pode ser pago em 4 parcelas (1+ 3 mensais) iguais no valor de $ Se você decidir fazer o seguro qual será sua forma de pagamento caso não tenha condições de pagar à vista? Isto é você pagará com cartão ou pelo financiamento direto da seguradora? Resp: Deve escolher o plano da seguradora. 23) Você quer poupar para suas férias de fim de ano. Pretende gastar US$ por mês durante 2 meses em Orlando Florida. Faltam 12 meses para suas férias. Você hoje não tem nada na poupança. A caderneta de poupança com clausula de correção cambial que você tem, paga 1% ao mês. Quantos dólares você deverá poupar cada mês até o dia da viagem para realizar seu sonho? Dica: Considere que você faz todos os seus gastos com cartão de crédito e que todo mês você quita suas dívidas com o cartão de crédito. Considere que seu cartão vence no dia 30 de cada mês. Resp: Deve colocar na poupança o equivalente a US$ 776,82 todo mês. 24) Você quer construir um prédio com 10 andares com 6 apartamentos por andar. O preço de venda de cada apartamento à vista (quando pronto) é de $ A obra demora um ano desde o início até estar completamente acabada. Você poderá vender apartamentos na planta dando ao comprador um desconto de 20% sobre o preço à vista. Os custos previstos são de $ para a construção e de $ para o terreno. Assuma que todos os custos devem ser pagos hoje (à vista). Você e seus sócios dispõem de um total de $ Os bancos podem lhe emprestar até um máximo de $ cobrando uma taxa de juros de 30% ao ano. a) Assuma que você tomar o valor máximo do empréstimo. Esse projeto é interessante para você e seus sócios? b) Existe alternativa de financiamento que seja mais interessante para você? c) Quanto vai ser a taxa de retorno sobre o capital próprio? (capital próprio é o dos sócios) Brandão Matemática Financeira

49 7. Material Complementar 1) Uma distribuidora está oferecendo uma taxa de 2% a.m. nos seguintes papéis de sua carteira: Prazo de resgate Valor do resgate 3 meses $ meses $ meses $3.000 Um determinado investidor deseja investir nos três papéis (um de cada) nas condições oferecidas. Qual o valor do cheque e que ele deverá fazer para a corretora para fechar a operação? Não considere taxas, nem comissões e nem impostos. Resp: $5228,54 2) Em 30/03/XX uma empresa deseja liquidar uma nota promissória de $ vencida há 12 meses, e ainda antecipar a liquidação de uma nota promissória de $ , que tem 21 meses a decorrer até o seu vencimento. Calcular o valor do pagamento a ser feito nessa data, para liquidar as duas notas promissórias, levando-se em consideração uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, e admitindo que todos os meses tem 30 dias. Não considerar a existência de multa sobre a nota vencida, nem descontos excepcionais sobre a antecipação do pagamento das notas não vencidas. Resp: $ ,08 3) Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, a juros compostos de 2% a.m., de forma que possa retirar $ no final do sexto mês e $ no final do décimosegundo mês. Qual o menor valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos meses indicados? Resp: $ ) No exercício anterior, caso a segunda retirada, a de $20.000, fosse no final do trigésimo mês, qual o menor valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos meses indicados? Resp: $19.921,13 5) Determinar o valor atual do seguinte fluxo de caixa, para uma taxa de juros compostos de 3% a.m.: Mês 0 = Mês 1 = Mês 2 = Mês 3 = Mês 4 = Mês 5 = Mês 6 = Resp: - $6.131,67 6) Uma empresa tem uma dívida com um banco de investimentos que deverá ser liquidada em dois pagamentos, sendo o primeiro de $ no final do décimo segundo mês e o segundo de $ no final do décimo oitavo mês. Sabendo-se que nesses dois valores já foram computados juros compostos a uma taxa de 2% a.m., determinar : Brandão Matemática Financeira

50 a) O valor que deve ser pago ao banco para a quitação imediata da dívida b) Os valores de dois pagamentos iguais, no final do nono e do décimo oitavo meses que poderiam ser aceitos pelo banco como uma reformulação da dívida, à mesma taxa de juros. Resp: a) Imediata $ ,82 b) ,88 7) Uma empresa contraiu um empréstimo no regime de juros compostos, à taxa de 2,5% a.m. para ser liquidado em dois pagamentos. O primeiro pagamento será de $ e deverá ocorrer no final do sexto mês. O segundo pagamento será de $ e deverá ocorrer no final do décimo mês. Esse empréstimo poderia, entretanto, ser liquidado com um único pagamento de $ ,20. Determinar em que mês deveria ser efetuado esse pagamento, para que a taxa de 2,5% ao mês fosse observada. Resp: mês 15 8) Um banco de investimentos deseja realizar um empréstimo para uma determinada empresa, que deverá liquidá-lo no final do nono mês pelo valor de $ ,18. Determinar o valor que deve ser abatido no ato da contratação, uma vez que a empresa deseja limitar esse pagamento final em $ , sabendo-se que o banco opera no regime de juros compostos, à taxa de 3% a.m. Resp: $80.299,91 9) Suponha que uma debênture lançada em 31/Janeiro/1983, com valor de face de $1.000, pagando 15% a.a. (coupon com vencimento todo 30/Janeiro, último dia do ano de aplicação), e com um prazo de maturidade para 15 anos, ou seja, 30/Janeiro/1998. Suponha que a época do lançamento, as taxas para papéis de risco semelhante eram 15% a.a. Essa debênture paga portanto $150 a.a. e $1.150 no final do décimo quinto ano. Agora você está em 31/Janeiro/1994, e as taxas de mercado para papéis com risco equivalente estão fixadas em 9% a.a. A que valor esta debênture deverá estar sendo negociada hoje no mercado? Resp: $1.194,38 10) Certa pessoa obteve um empréstimo de $ , taxa de juros simples de 42% a.a.. Algum tempo depois, tendo encontrado quem lhe emprestasse $ à taxa de juros simples de 36% a.a., liquidou a dívida inicial (não obrigatoriamente no valor do novo empréstimo) e, na mesma data, contraiu o novo débito (no valor de $ ). Dezoito meses após o primeiro empréstimo, saldou sua obrigação e verificou ter pago um total, sobre os dois planos, de $ de juros. Determinar os prazos do primeiro e segundo empréstimos. Resp: N1 = 10, N2 = 8 11) Dois capitais foram colocados a juros simples. O primeiro à taxa de 20% a.a. e o segundo à taxa de 40% a.a.. Calcule os capitais, sabendo que a soma deles é $ e que eles produziram, num ano, juros totais de $ Resp: C1 = $ e C2 = $ Brandão Matemática Financeira