Modelos discretos e contínuos

Modelos discretos e contínuos Joaquim Neto joaquim.neto@ufjf.edu.br Departamento de Estatística - ICE Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF) Versão 3.0 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 1 / 55

Sumário 1 Informações gerais Contato Referências Bibliográficas 2 Modelos discretos Distribuição uniforme discreta Distribuição de Bernoulli Distribuição binomial Distribuição geométrica Distribuição binomial negativa (Pascal) Distribuição hipergeométrica Distribuição de Poisson Processo de Poisson Valor esperado e variância de algumas distribuições discretas 3 Modelos contínuos Uniforme Normal Beta Gama Gama invertida Chi-quadrado t de Student F de Snedecor Valor esperado e variância de algumas distribuições contínuas Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 1 / 55

Informações gerais Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 2 / 55

Informações gerais Informações gerais Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 2 / 55

Contato Informações gerais Contato E-mail joaquim.neto@ufjf.edu.br Site pessoal http:// Site do Departamento de Estatística (UFJF) http://www.ufjf.br/estatistica Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 3 / 55

Informações gerais Referências Bibliográficas Referências Bibliográficas Barry, R. James (1981) Probabilidade: um curso em cível intermediário. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Projeto Euclides). Bussab, Wilton de O. & Morettin, Pedro A. (2005) Estatística Básica, 5 a ed. edn. São Paulo: Saraiva. Degroot, M. H. & Schervish, M. J. (2001) Probability and Statistics, 3rd Edition, 3 edn. Addison Wesley. Meyer, P. L. (2000) Probabilidade: Aplicações à Estatística, 2 ed. edn. LTC. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 4 / 55

Modelos discretos Modelos discretos Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 5 / 55

Modelos discretos Distribuição uniforme discreta Distribuição uniforme discreta Definição 1: Uma variável X tem distribuição uniforme discreta no conjunto {1, 2,..., n} se sua função de probabilidade for: { 1, se {1, 2,..., n} p() = n 0, caso contrário p() 0.15 0.20 0.25 0 1 2 3 4 5 6 F() 0.0 0.4 0.8 0 1 2 3 4 5 6 Função de probabilidade Função de distribução acumulada Figura: Função de probabilidade e função de distribuição acumulada de uma v.a. X com distribuição uniforme discreta no conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 6 / 55

Modelos discretos Distribuição de Bernoulli Distribuição de Bernoulli Suponhamos um eperimento com resultados que assumem apenas duas classificações (como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc). Seja X uma v.a. que assume apenas os valores 0 e 1, onde o 1 é associado a uma das classificações e o 0 é associado à outra classificação. Dizemos então que X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro θ [0, 1], onde θ = P([X = 1]). Para indicar a distribuição de Bernoulli, podemos também usar a notação X Ber(θ). Resultado 1: Se X Ber(θ) então sua função de probabilidade é dada por p() = θ, se = 1 1 θ, se = 0 0, caso contrário Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 7 / 55

Modelos discretos Distribuição de Bernoulli p() 0.0 0.4 0.8 1.0 0.0 1.0 2.0 F() 0.0 0.4 0.8 1.0 0.0 1.0 2.0 Função de probabilidade Função de distribução acumulada Figura: Função de probabilidade e função de distribuição acumulada de uma v.a. X, tal que X Ber(0.3). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 8 / 55

Distribuição binomial Modelos discretos Distribuição binomial Suponhamos agora n realizações independentes de um eperimento com resultados que assumem apenas duas classificações (como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc). Associando uma das classificações ao número 1 (sucesso) e a outra ao número 0 (fracasso), seja X a variável aleatória associada ao número de sucessos (uns) obtidos nas N realizações do eperimento. Se a probabilidade de sucesso em cada uma das realizações é a mesma e igual à θ, dizemos que X tem distribuição binomial com parâmetros n {1, 2,...} e θ [0, 1] ou usamos a notação X Bin(n, θ). Resultado 2: Se X Bin(n, θ) então sua função de probabilidade é dada por ( ) n θ p() = (1 θ) n, se = 0, 1, 2,..., n 0, caso contrário OBS: Suponhamos uma sequência X 1, X 2,..., X n de v.a. independentes tais que X i Ber(θ), i {1, 2,..., n}. A variável Y = n X i Bin(n, θ). i=1 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 9 / 55

Modelos discretos Distribuição binomial Eemplo 1: Sabe-se que 30% dos animais submetidos a um certo tratamento não sobrevivem. Suponhamos que 10 animais são submetidos a este tratamento. Seja X o número de não sobreviventes. a) Construa o gráfico da função de probabilidade de X. b) Construa o gráfico da função de distribuição acumulada de X. Solução: Como X Bin(10, 0.3), sua função de probabilidade é dada por ( 10 p () = Com esta função, podemos construir a tabela abaio. ) 0.3 (1 0.3) 10. p() F() 0 0.028247 0.028247 1 0.121060 0.149308 2 0.233474 0.382782 3 0.266827 0.649610 4 0.200120 0.849731 5 0.102919 0.952651 6 0.036756 0.989407 7 0.009001 0.998409 8 0.001446 0.999856 9 0.000137 0.999994 10 0.000005 1.000000 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 10 / 55

Modelos discretos Distribuição binomial A partir da tabela, podemos construir os gráficos. a) p() 0.00 0.10 0.20 0 2 4 6 8 10 b) F() 0.0 0.4 0.8 0 2 4 6 8 10 Função de probabilidade Função de distribução acumulada Para eplorar um aplicativo da distribuição binomial, clique aqui. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 11 / 55

Modelos discretos Distribuição binomial Eemplo 2: Um lote de componentes eletrônicos é recebido por uma firma. Vinte componentes são selecionados, aleatoriamente e com reposição, para teste e o lote é rejeitado se pelo menos 3 forem defeituosos. Sabendo que 1% destes componentes são defeituosos, qual é a probabilidade da firma rejeitar o lote. Solução: Seja X uma v.a. associada ao número de componentes defeituosos dentre os selecionados e p() sua função de probabilidade. Como X Bin(20, 0.05), temos que ( 20 p (0) = 0 ( 20 p (1) = 1 ( 20 p (2) = 2 ) 0.01 0 (1 0.01) 20 = 0.817907 ) 0.01 1 (1 0.01) 19 = 0.1652337 ) 0.01 2 (1 0.01) 18 = 0.01585576 Sabemos também que o lote é rejeitado se X 3 e, portanto, a probabilidade de rejeição é dada por P ([X 3]) = 1 P ([X < 3]) = 1 P ([X 2]) = 1 (P ([X = 0]) + P ([X = 1]) + P ([X = 2])) = 1 (p (0) + p (1) + P (2)) = 1 (0.817907 + 0.1652337 + 0.01585576) = 0.0010035 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 12 / 55

Distribuição geométrica Modelos discretos Distribuição geométrica Suponhamos que um eperimento com resultados que assumem apenas duas classificações (como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc) é realizado sucessivas vezes. Seja X a v.a. associada ao número de fracassos até obter o primeiro sucesso. Se a probabilidade de sucesso em cada uma das realizações é constante e igual à θ, dizemos que X tem distribuição geométrica com parâmetro θ [0, 1]. Resultado 3: Se X tem distribuição geométrica com parâmetro θ, sua função de probabilidade é dada por { (1 θ) θ, se = 0, 1, 2,... p () = 0, caso contrário Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 13 / 55

Modelos discretos Distribuição geométrica p() 0.00 0.10 0.20 0 5 10 15 20 25 30 F() 0.0 0.4 0.8 0 5 10 20 30 Função de probabilidade Função de distribução acumulada Figura: Gráficos para X com distribuição geométrica de parâmetro θ = 0.2. Para eplorar um aplicativo da distribuição geométrica, clique aqui. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 14 / 55

Modelos discretos Distribuição geométrica Eemplo 3: A probabilidade de se encontrar um determinado semáforo aberto é igual a 20%. Qual é a probabilidade de passar pelo semáforo sucessivas vezes e encontrá-lo aberto pela primeira vez na quinta passagem? Solução: Sejam X o número de passagens antes de encontrar o semáforo aberto pela primeira vez e p() a função de probabilidade de X. Como X tem distribuição geométrica de parâmetro θ = 0.2, temos p(4) = (1 0.2) 4 0.2 = 0.08192. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 15 / 55

Modelos discretos Distribuição binomial negativa (Pascal) Distribuição binomial negativa (Pascal) Suponhamos que um eperimento com resultados que assumem apenas duas classificações (como sucesso-fracasso, masculino-feminino, cara-coroa, etc) é realizado sucessivas vezes. Seja X a variável aleatória associada ao número de fracassos até observar r sucessos. Se a probabilidade de sucesso em cada uma das realizações é a mesma e igual à θ, dizemos que X tem distribuição binomial negativa com parâmetros r {1, 2, 3,...} e θ [0, 1] ou usamos a notação X BN(r, θ). Resultado 4: Se X BN(r, θ) então sua função de probabilidade é dada por ( ) + r 1 θ p () = r 1 r (1 θ), se {0, 1, 2,...} 0, caso contrário OBS: Note que a distribuição geométrica é um caso particular da distribuição binomial negativa, para r = 1. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 16 / 55

Modelos discretos Distribuição binomial negativa (Pascal) p() 0.00 0.02 0.04 0.06 0 10 20 30 40 F() 0.0 0.4 0.8 0 10 20 30 40 Função de probabilidade Função de distribução acumulada Figura: Gráficos para X BN(5, 0.3). Para eplorar um aplicativo da distribuição binomial negativa, clique aqui. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 17 / 55

Modelos discretos Distribuição binomial negativa (Pascal) Eemplo 4: Em uma linha de produção, a probabilidade de um determinado componente ser defeituoso é de 0.1%. Qual é a probabilidade de se produzir 4 componentes defeituosos antes de 20 perfeitos. Solução: Sejam X uma v.a. associada ao número de componentes defeituosos antes de 20 perfeitos e p() a função de probabilidade de X. Como X BN(20, 0.9), temos que ( + 20 1 p () = 20 1 Logo, a probabilidade procurada é dada por ( 4 + 20 1 p (4) = 20 1 ) 0.9 20 (1 0.9), para {0, 1, 2,...}. ) 0.9 20 (1 0.9) 4, para {0, 1, 2,...} = 0.1076561. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 18 / 55

Modelos discretos Distribuição hipergeométrica Distribuição hipergeométrica Suponhamos que n elementos são selecionados aleatoriamente e sem reposição de uma população finita com A elementos do tipo I e B elementos do tipo II. Seja X uma v.a. associada ao número de elementos do tipo I selecionados. Neste caso, dizemos que X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros A, B e n. Resultado 5: Se X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros A, B e n, então sua função de probabilidade é dada por p () = ( )( ) A B n ( ), se {ma (0, n B),..., min (n, A)} N A + B n 0, caso contrário Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 19 / 55

Modelos discretos Distribuição hipergeométrica Eemplo 5: Uma firma compra lâmpadas por lotes de 30 unidades. Suponha que em um determinado lote há 25 lâmpadas perfeitas. Sete lâmpadas deste lote são selecionadas aleatoriamente e sem reposição. a) Qual é a probabilidade de selecionar menos de 4 lâmpadas perfeitas? b) Construa o gráfico da função de probabilidade de X. c) Construa o gráfico da função de distribuição acumulada de X. Solução: a) Sejam X uma v.a. associada ao número de lâmpadas perfeitas selecionadas e p() sua função de probabilidade. Como X tem distribuição hipergeométrica, temos que p () = ( )( ) 25 5 7 ( ), se {ma (0, 7 5),..., min (7, 25)} N 25 + 5 7 0, caso contrário Logo, a probabilidade de selecionar menos de 4 lâmpadas perfeitas é dada por P[X < 4] = p(2) + p(3) = 0.57962% Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 20 / 55

Modelos discretos Distribuição hipergeométrica b) p() 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 2 4 6 8 10 c) F() 0.0 0.4 0.8 0 2 4 6 8 10 Função de probabilidade Função de distribução acumulada Para eplorar um aplicativo da distribuição hipergeométrica, clique aqui. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 21 / 55

Distribuição de Poisson Modelos discretos Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é utilizada para eplicar probabilisticamente o número de ocorrências em um eperimento aleatório. Definição 2: Uma v.a. X tem distribuição de Poisson com taa média de ocorrências θ > 0, se sua função de probabilidade for p () = { ep( θ)θ!, se = 0, 1, 2,... 0, caso contrário. Para indicar a distribuição de Poisson, podemos usar a notação X Poiss(θ). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 22 / 55

Modelos discretos Distribuição de Poisson p() 0.00 0.10 0.20 0 5 10 15 F() 0.0 0.4 0.8 0 5 10 15 Função de probabilidade Função de distribução acumulada Figura: Gráficos para X Poiss(4). Para eplorar um aplicativo da distribuição de Poisson, clique aqui. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 23 / 55

Processo de Poisson Modelos discretos Processo de Poisson Consideremos o número de ocorrências de um determinado evento por região ou intervalo. Hipótese 1 (incrementos estacionários) A probabilidade de ocorrências em uma região depende apenas do tamanho da região (e não de sua localização). Hipótese 2: (incrementos independentes) O número de ocorrências em regiões disjuntas são independentes. Hipótese 3: Os ocorrências são registradas sozinhas e não simultaneamente. Se as hipóteses acima são satisfeitas, então o número de ocorrências X em uma região de tamanho t tem distribuição Poiss(θt), onde θ é a taa média de ocorrências por unidade de medida da região e θt é a taa média de ocorrências da região. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 24 / 55

Modelos discretos Processo de Poisson Eercício 1: Suponhamos que a chegada de navios a um porto segue um processo de Poisson, com número médio de chegadas em 6 horas igual a 12. a) Qual é a probabilidade de eatamente 2 navios chegarem em 3 horas. b) Qual é a probabilidade de pelo menos 2 navios chegarem chegarem em 2 horas. Solução: a) Seja X o número de navios que chegam em 3 horas. Como chegam em média 12 navios em 6 horas, a taa média de ocorrências por hora é de θ = 12/6 = 2 navios por hora. Assim, X Poiss(θt), ou seja, X Poiss(2 3) e P([X = 2]) = ep( 6)62 2! = 4.461754%. b) Seja Y o número de navios que chegam em 5 horas. Consequentemente, Y Poiss( 12 2) Poiss(4) e 6 P([X 2]) = 1 P([X = 0]) P([X = 1]) = 1 ep( 4)40 ep( 4)41 0! 1! = 1 9.157% = 90.843%. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 25 / 55

Modelos discretos Processo de Poisson Eemplo 6: Seja X uma v.a. tal que X Bin(3, 0.4). Calcule o valor esperado de X? Solução: Temos que p () = 3! (3 )!! 0.4 0.6 3 para = 0, 1, 2, 3. Consequentemente, p(0) = 0.216, p(1) = 0.432, p(2) = 0.288 e p(3) = 0.064. Assim, E(X ) = 0p(0) + 1p(1) + 2p(2) + 3p(3) = 0 0.216 + 1 0.432 + 2 0.288 + 3 0.064 = 1.2 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 26 / 55

Modelos discretos Processo de Poisson Eemplo 7: Seja X uma v.a. tal que X Bin(3, 0.4). Calcule a variância de X? Solução: Temos que p () = 3! (3 )!! 0.4 0.6 3 para = 0, 1, 2, 3. Consequentemente, p(0) = 0.216, p(1) = 0.432, p(2) = 0.288 e p(3) = 0.064. Além disso, E(X ) = 0p(0) + 1p(1) + 2p(2) + 3p(3) = 0 0.216 + 1 0.432 + 2 0.288 + 3 0.064 = 1.2 Por fim, Var (X ) = (0 1.2) 2 p (0) + (1 1.2) 2 p (1) + (2 1.2) 2 p (2) + (3 1.2) 2 p (3) = 0.72. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 27 / 55

Modelos discretos Valor esperado e variância de algumas distribuições discretas Valor esperado e variância de algumas distribuições discretas Se X U({1, 2,..., n}), então E(X ) = n + 1 2 e Var(X ) = n2 1 12. Se X Ber(θ), então E(X ) = θ e Var(X ) = θ(1 θ). Se X Bin(n, θ), então E(X ) = n θ e Var(X ) = nθ(1 θ). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 28 / 55

Modelos discretos Valor esperado e variância de algumas distribuições discretas Se X tem distribuição geométrica com probabilidade de sucesso θ (definição baseada no número de realizações até o primeiro sucesso), então E(X ) = 1 θ e Var(X ) = 1 θ θ 2. Se X tem distribuição geométrica com probabilidade de sucesso θ (definição baseada no número de fracassos até o primeiro sucesso), então E(X ) = 1 θ θ e Var(X ) = 1 θ θ 2. Se X tem distribuição hipergeométrica com A elementos do tipo I, B elementos do tipo II e n realizações, então ( ) B E(X ) = n A + B e Var(X ) = nab (A + B) 2 A + B n A + B 1. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 29 / 55

Modelos discretos Valor esperado e variância de algumas distribuições discretas Se X tem distribuição Poiss(θ), então E(X ) = θ e Var(X ) = θ. Se X tem distribuição BN(r, θ), então E(X ) = rθ 1 θ e Var(X ) = rθ (1 θ) 2. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 30 / 55

Modelos contínuos Modelos contínuos Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 31 / 55

Modelos contínuos Uniforme Uniforme Definição 3: Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição uniforme no intervalo (a, b) se tem densidade p() dada por p () = { 1 b a, se a < < b 0, caso contrário. Notação: X U(a, b). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 32 / 55

Normal Modelos contínuos Normal Definição 4: Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição normal de média µ e variância σ 2 > 0 se tem densidade p() dada por p () = ( ( ) 2πσ 2) 1 2 ep 1 ( µ) 2 2 σ 2, com R. Notação: X N(µ, σ 2 ). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 33 / 55

Modelos contínuos Normal p X () 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 6 2 0 2 4 6 p X () 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 6 2 0 2 4 6 p X () 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 6 2 0 2 4 6 Densidade de uma N(0, 1). Densidade de uma N(0, 1) em preto e densidade de uma N(3,1) em azul. Densidade de uma N(0, 1) em preto e densidade de uma N(0,4) em azul. Figura: Densidades de distrinuições normais. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 34 / 55

Modelos contínuos Normal F X () 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 6 2 0 2 4 6 F X () 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 6 2 0 2 4 6 F X () 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 6 2 0 2 4 6 Função de distribuição de uma N(0, 1). Função de distribuição de uma N(0, 1) em preto e função de distribuição de uma N(3,1) em azul. Figura: Funções de Distribuição Acumulada. Função de distribuição de uma N(0, 1) em preto e função de distribuição de uma N(0,4) em azul. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 35 / 55

Modelos contínuos Normal Propriedades da normal Se X N(µ, σ 2 ), então E(X ) = µ e Var(X ) = σ 2. Se uma v.a. X tem distribuição normal, então Y = ax + b também tem distribuição normal, a, b R. Resultado 6: Como consequência das propriedades acima, temos que Se X N(µ, σ 2 ), então ax + b N(aµ + b, a 2 σ 2 ), Se X N(0, 1), então ax + b N(b, a 2 ) e Se X N(µ, σ 2 ) então X µ σ N(0, 1). Prova:... Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 36 / 55

Beta Modelos contínuos Beta Definição 5: Dizemos que uma v.a. tem distribuição beta de parâmetros α > 0 e β > 0 se tem densidade p() dada por { B (α, β) 1 p () = α 1 (1 ) β 1, se 0 < < 1 0, caso contrário, onde Γ (α) = Notação: X Be(α, β). B (α, β) = 0 e Γ (α) Γ (β) Γ (α + β) β α α 1 ep ( β) d. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 37 / 55

Modelos contínuos Beta p X () 0 2 4 6 α = 10 e β = 10 α = 0.1 e β = 0.1 α = 4 e β = 0.1 α = 4 e β = 2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 F X () 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 α = 10 e β = 10 α = 0.1 e β = 0.1 α = 4 e β = 0.1 α = 4 e β = 2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Figura: Densidades e funções de distribuição Be(α, β), para diferentes valores de α e β. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 38 / 55

Gama Modelos contínuos Gama Definição 6: Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição Gama com parâmetros α > 0 e β > 0 se tem densidade p() dada por p () = { β α Γ(α) α 1 ep ( β), se > 0 0, caso contrário, onde Γ (α) = 0 β α α 1 ep ( β) d. Notação: X Ga(α, β). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 39 / 55

Modelos contínuos Gama p X () 0.0 0.2 0.4 0 5 10 15 20 α = 1 e β = 2 α = 2 e β = 2 α = 3 e β = 2 α = 5 e β = 1 α = 9 e β = 0.5 F X () 0.0 0.4 0.8 0 5 10 15 20 α = 1 e β = 2 α = 2 e β = 2 α = 3 e β = 2 α = 5 e β = 1 α = 9 e β = 0.5 Figura: Densidades e funções de distribuição Ga(α, β), para diferentes valores de α e β. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 40 / 55

Gama invertida Modelos contínuos Gama invertida Definição 7: Dizemos que uma variável aleatória tem distribuição Gama Invertida (ou Gama Inversa) com parâmetros α > 0 e β > 0 se tem densidade p() dada por onde p () = { β α ( 1 Γ(α) ) α+1 ( ( ep β 1 )), se > 0 0, caso contrário Γ (α) = 0 β α α 1 ep ( β) d., Notação: X GI (α, β). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 41 / 55

Modelos contínuos Gama invertida p X () 0.0 1.0 2.0 α = 1 e β = 0.5 α = 2 e β = 1 α = 3 e β = 1 α = 3 e β = 5 0.0 1.0 2.0 3.0 F X () 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 α = 1 e β = 1 α = 2 e β = 1 α = 3 e β = 1 α = 3 e β = 5 0.0 1.0 2.0 3.0 Figura: Densidades e funções de distribuição GI (α, β), para diferentes valores de α e β. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 42 / 55

Modelos contínuos Gama invertida Propriedades da Gama Se X Ga(α, β) e a R então ax Ga ( ) α, β a. Relação entre a Gamma e a Gamma Invertida Se X Ga(α, β) então 1 X GI (α, β). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 43 / 55

Chi-quadrado (χ 2 ) Modelos contínuos Chi-quadrado Definição 8: Uma v.a. X tem distribuição chi-quadrado (χ 2 ) com n > 0 graus de liberdade se tem densidade p() dada por ( 2) 1 n 2 p (y) = Γ( n 2) n 2 1 ep ( 1 2 ), se > 0, 0, caso contrário onde ( n ) Γ = 2 0 ( ) n 1 2 n 2 1 ep ( 12 ) 2 d. Notação: X χ 2 n. OBS: X χ 2 n se, e somente se, X Ga ( n 2, 1 2). Assim, podemos dizer que a distribuição χ 2 é um caso particular da gama. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 44 / 55

Modelos contínuos Chi-quadrado Sejam X 1, X 2,..., X n variáveis aleatórias independentes, de modo que X i N(0, 1) i {1, 2,..., n}. A variável aleatória X = n i=1 X 2 i tem distribuição χ 2 com n graus de liberdade. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 45 / 55

Modelos contínuos Chi-quadrado p X () 0.0 0.4 0.8 0 2 4 6 8 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 F X () 0.0 1.0 2.0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 0 2 4 6 8 Figura: Densidades e funções de distribuição χ 2 n, para diferentes graus de liberdade (n). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 46 / 55

Modelos contínuos Chi-quadrado Propriedades da χ 2 Se X χ 2 n e Y χ 2 m então (X + Y ) χ 2 m+n. Se X χ 2 n e Y χ 2 m então (Z = X Y ) χ 2 m n, desde que Z 0 e n > m Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 47 / 55

t de Student Modelos contínuos t de Student Definição 9: A distribuição t de Student (ou simplesmente t) com n > 0 graus de liberdade é definida pela razão de duas variáveis aleatórias. Especificamente, se Y N(0, 1) e Z χ 2 n com Y e Z independentes, então tem distribuição t com n graus de liberdade. X = Y Z n (1) Notação: X t n. Se X t n, então sua densidade é dada por p () = Γ ( ) n+1 2 nπ ) (n+1) (1 + 2 2 n Γ ( n 2 ), para R Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 48 / 55

Modelos contínuos t de Student p X () 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 4 2 0 2 4 6 t n = 1 n = 2 n = 5 n = 1000 F X () 0.0 0.4 0.8 4 2 0 2 4 6 t n = 1 n = 2 n = 5 n = 1000 Figura: Densidades e funções de distribuição t n, para diferentes valores de n. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 49 / 55

F de Snedecor Modelos contínuos F de Snedecor Definição 10: A distribuição F de Snedecor (ou simplesmente F) com n > 0 e m > 0 graus de liberdade é definida pela razão de duas variáveis aleatórias independentes com distribuição χ 2 central, ambas divididas pelos seus respectivos graus de liberdade. Especificamente, se Y χ 2 n e Z χ 2 m com Y e Z independentes, então X = tem distribuição F com n e m graus de liberdade. Notação: X F n,m. Y n Z m Se X F n,m, então sua densidade é dada por Γ( n+m ) ( 2 n ) n p () = Γ( n )Γ( 2 m ) 2 ( n 1) ( 2 1 + n m m ) (n+m) 2, se > 0 2 0, caso contrário. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 50 / 55

Modelos contínuos F de Snedecor p X () 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 n 1 = 1 e n 2 = 1 n 1 = 2 e n 2 = 1 n 1 = 5 e n 2 = 2 n 1 = 100 e n 2 = 1 n 1 = 100 e n 2 = 100 0 1 2 3 4 5 F X () 0.0 1.0 2.0 n 1 = 1 e n 2 = 1 n 1 = 2 e n 2 = 1 n 1 = 5 e n 2 = 2 n 1 = 100 e n 2 = 1 n 1 = 100 e n 2 = 100 0 1 2 3 4 5 Figura: Densidades e funções de distribuição F n,m, para diferentes valores de n e m. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 51 / 55

Modelos contínuos F de Snedecor Relação entre a t e a F Elevando ao quadrado a equação (1), temos T 2 = X 2 1 Y n Como X 2 χ 2 1 e Y χ2 n, então T 2 F 1,n. Ou seja, o quadrado de uma v.a. com distribuição t n tem distribuição F 1,n. Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 52 / 55

Modelos contínuos Valor esperado e variância de algumas distribuições contínuas Valor esperado e variância de algumas distribuições contínuas Se X U(a, b), então E(X ) = b + a 2 e Var(X ) = (b a)2. 12 Se X N(µ, σ 2 ), então Se X Be(α, β), então E(X ) = µ e Var(X ) = σ 2. E(X ) = α α + β e Var(X ) = αβ (α + β) 2 (α + β + 1). Se X Ga(α, β), então E(X ) = α β e Var(X ) = α β 2. Se X GI (α, β), então E(X ) = β α + 1 e Var(X ) = β 2 (α 1) 2 (α 2). Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 53 / 55

Modelos contínuos Valor esperado e variância de algumas distribuições contínuas Se X χ 2 n, então Se X t n, então E(X ) = n + λ e Var(X ) = 2(n + 2λ). Se X F n,m, então E(X ) = µ para n > 1 e Var(X ) = n para n > 2. n 1 E(X ) = m m 2 para m > 2 e Var(X ) = 2m2 (n + m 2) para n > 4. n(m 4)(m 2) 2 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 54 / 55

Modelos contínuos Valor esperado e variância de algumas distribuições contínuas Fim! Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 55 / 55

Modelos contínuos Valor esperado e variância de algumas distribuições contínuas (Barry, 1981) (Bussab and Morettin, 2005) (Meyer, 2000) (Degroot and Schervish, 2001) Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 55 / 55