3. Potencial gavitacional na supefície da Tea Deive a expessão U(h) = mgh paa o potencial gavitacional na supefície da Tea. Solução: A pati da lei de Newton usando a expansão de Taylo: U( ) = GMm, U( + h) = e h U( ) = temos ( h ) ν U( ) = U( ) + ( ν! h )U( ) + ( h )( h )U( ), ν= U( + h) U( ) + h GMm = U( ) + hgm.
3.. FORÇA GRAVITACIONAL DE UM ANEL 3 3. Foça gavitacional de um anel Calcule a foça gavitacional de um anel de densidade linea de massa λ = M/πR no eixo de simetia. Solução: O potencial gavitacional de um anel em tono do eixo de simetia ê z é Gm V ( ) = anel ρ( )dv λ = GmR anel x R cos φ dφ. y R sin φ z Paa uma massa de pova m localizada soe o eixo de simetia, = zê z, λ V ( ) = GmR anel R cos φ dφ λ = GmR anel R cos φ + R sin φ + z dφ R sin φ z λ λ = GmR anel R + z dφ = πgmr R + z = GMm R + z. O gadient dá a foça, F ( ) = V ( ) F z = V z = d dz GMm R + z = GMm s 3 z = GMm s cos α.
4 3.3 Potencial gavitacional de um disco Calcule o potencial de um disco fino homogêneo ao longo do eixo de simetia e a foça gavitacional que ele exece soe um massa m. Ajuda: Na integação soe a espessua a do disco utilize a elação: a f(z )dz af(). Solução: O potencial de uma distiuição de massa ρ( ) agindo soe uma massa de pova m localizada na posição é V ( ) = ρ( ) Gm d3 Agoa seja = zê z. = Gm disco a R π V (z) = πgmρ a = πgmρ a Paa um disco fino ρ(z) ρ aδ(z) ρ ( ) + (z z ) d dz dφ. R + (z z ) d dz ( R + (z z ) (z z )) dz. V (z) = πgmρ a( R + z z). A foça é F = d ( ) dz V (z) = πgmρ z a R + z.
3.4. POTENCIAL GRAVITACIONAL DE UMA CASCA ESFÉRICA 5 3.4 Potencial gavitacional de uma casca esféica Considee uma casca esféica com aio inteno a e aio exteno. a. Calcule o potencial gavitacional no inteio da esfea, dento do mateial da casca e foa da esfea. (Ajuda: Sustitui a distância ente a patícula de pova m e um ponto da distiuição de massa e faze uma distinção de casos paa as limites de integação paa essa vaiável de distância.). Calcule a foça soe uma patícula de pova. c. Especifica agoa paa uma esfea maciça. d. Especifica paa uma casca esféica muito fina. Solução: a. O potencial execido po uma distiuição de massa com a densidade ρ( ) soe uma patícula de massas m localizada n aposição é, V ( ) = ρ( ) Gm d3 Gm = ρ sin θ d dθ dφ. Sustituindo otemos V ( ) = casca casca R = + cos θ dr dθ = sin θ R, Gm ρ drd dφ = πρ Gm Rmax a R min drd. As limites de integação seguem dos valoes adotadas po R paa θ = esp. θ = π. Paa a temos que sempe é maio do que. Potanto, R =,.., +. Paa temos que sempe é meno do que. Potanto, R =,.., +. a d O esultado é V ( ) = πρ Gm d + a d a d a V ( ) = πρ Gm 3 3 3 3 a 3. A foça segue de F = V ( ) = ê V ( ) = ê πρ Gm a 3 a 3 3 3 paa 3 3 a 3 paa a a a a paa.. a a 4π c. Aplicando o esultado do potencial paa numa esfea maciça (a = e M = ρ V = ρ 3 3 ) temos, V ( ) = GMm { 3 3 3 paa {..
6 Aplicando o esultado da foça paa numa esfea maciça, F = ê GMm { M M paa {, onde M 4πρ 3 /3. d. Calculamos agoa o potencial paa numa casca fina, ρ( ) = ρ = σ δ( ) e M = σ 4π. Temos, { V ( ) = πρ Gm d { d paa = πσ { { Gm paa = GMm { paa Aplicando o esultado da foça paa numa casca fina, {. F = ê GMm { paa {.
4 3.7 (F..) Potencial gavitacional dento da Tea Calcule a foça gavitacional que uma patícula de massa m fica sujeita quando colocada no inteio da Tea, a uma distância de seu cento. Solução: a. O potencial execido po uma distiuição de massa com a densidade ρ( ) soe uma patícula de massas m localizada n aposição é, V ( ) = ρ( ) Gm d3 Gm = ρ sin θ d dθ dφ. Sustituindo otemos V ( ) = esfea esfea R = + cos θ dr dθ = sin θ R, Gm ρ drd dφ = πρ Gm Rmax R min drd. As limites de integação seguem dos valoes adotadas po R paa θ = esp. θ = π. Paa a temos que sempe é maio do que. Potanto, R =,.., +. Paa temos que sempe é meno do que. Potanto, R =,.., +. V ( ) = πρ Gm { d + d d paa {. O esultado é usando as elações M 4πρ 3 /3 e g GM/. A foça segue de { V ( ) = πρ Gm 3 3 = GMm = mg { 3 3 { 3 { paa { paa { paa. F = V ( ) = ê V ( ) = ê { gm = ê gm paa { GMm GMm 3 {. paa {
44 3.9 (F..3) Esfea maciça com cavidade esféica Faz-se uma cavidade esféica numa esfea de chumo de aio R tal que sua supefície toque a supefície extena da esfea maciça e passe pelo cento dessa. A massa pimitiva da esfea de chumo é M. Qual seá a foça que a esfea com a cavidade ataiá uma massa m a uma distância d do cento da esfea extena, de modo que a massa e o cento da esfea e da cavidade estejam alinhados? (Questão etiada do exame olímpico da Univesidade Estatal de Moscow (946)). Solução: O potencial dessa constução é V ( ) = Gρ m dv = Gρ m const esfea R = V esfea ( ) V cavidade ( ) = GMm ( ) ( ) 3 R R + GMm R 3 ( ) R/ (R/) = GMm ) (3 + R R ( R). dv + Gρ m cavidade dv
3.. (F..4) ATALHO EVITANDO A TERRA 45 3. (F..4) Atalho evitando a Tea Mosta que num túnel cavado atavés da Tea, ao longo de uma coda e não ao longo de um diâmeto, o movimento de um ojeto seá hamônico simples. Solução: Dento de uma ésfea maciça a foça de gavitação é F = GMm 3 ê. Seguinte a lei de Hooke a popocionalidade F poduz um movimento hamônico.
46 3. (F..5) Foça gavitacional dento de uma casca Mosta atavés de agumentos geométicos que uma patícula de massa m colocada no inteio de uma casca esféica de densidade unifome de massa fica sujeia a uma foça nula, qualque que seja a posição da patícula. O que aconteceia se a densidade supeficial de massa não fosse constante? Solução: Usando coodenadas esféicas, podemos dividi a casca esféica em elementos de massa dm = σr sin θdθdφ, tal que dm = π π σr sin θ dθ dφ = 4πR σ = M. Cada elemento de massa gea um campo gavitacional no luga dento da casca de g( ) = GM ê. Potanto, paa cada elemento de massa centado na posição θ, φ existe um elemento centado na posição oposta π θ, π+φ tendo o mesmo ângulo sólido e execindo uma foça de intensidade igual mas dieção oposta.
3.. (F..6) MOVIMENTO BALÍSTICO Gavitação 47 3. (F..6) Movimento alístico 6- Considee o movimento de um míssel intecontinental, lançado segundo inclinação θ como mostado na Fig..4, com velocidade v, na posição Considee o movimento de um míssel intecontinental, lançado segundo inclinação θ como mostado na figua, indicada. com Calcule velocidade a tajetóia v, na do posição copo. indicada. Calcule a tajetóia do copo. y v θ R α x Solução: Fig..4 Figua 3.: 7- Tês copos idênticos de massa M estão localizados nos vétices de um tiângulo eqüiláteo de lado L. A que velocidade eles devem move-se se todos giam so a influência da gavidade mútua, em uma óita cicula que cicunsceve o tiângulo, mantido sempe eqüiláteo? 8- Considee um anel maciço de aio R e massa M. Colocamos uma patícula de massa m a uma distância d do plano do anel de modo que quando solto o copo tem tajetóia soe a eta pependicula ao plano do anel passando pelo cento do mesmo. Calcule o movimento do copo de massa m (<<M). 9- Um copo de massa m é colocado a uma distância do cento de um planeta de massa M e aio R. Calcule a velocidade como função de. - Considee duas massas m e m com atação gavitacional. Com que velocidade angula elas devem oda tal que a distância d ente elas fique constante? - Um copo de massa m é colocado a uma distância do cento de um planeta de massa M e aio R. Calcule a enegia potencial paa. Suponha que a densidade de massa do planeta seja unifome e que a massa S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calo e ondas
48 3.3 (F..7) Rotação de tês copos Tês copos idênticos de massa M estão localizados nos vétices de um tiângulo equiláteo de lado L. A que velocidade eles devem move-se se todos giam so a influência da gavidade mútua, em uma óita cicula que cicunsceve o tiângulo, mantido sempe equiláteo? Solução: Com a distância de cada copo do ponte de oigem, a distância ente os copos é L = cos 6 = 3. A foça centipeta que deve agi soa uma das tês massa é A foça de gavitação ente os copos é F = Mv ê. F = GMM L ê. O equilíio demanda F = F + F 3. Potanto, o que dá Mv = GMM L v = GM L. cos 6,