MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE 2 ESTÁGIOS E ORDEM 2: SOLUÇÃO NUMÉRICA DE UM PROBLEMA DE VALOR INICIAL VIA MAPLET. J. M. Prira, O. A. Gonzatto Júnior, T. M. P. Garcia, C. G. A. Prira, A. M. Lobiro, Coinf/UTFPR, Campo Mourão, Brasil -mail: Juliana_m_p@hotmail.com Rsumo Nst trabalho dsnvolv-s o Método d Rung-Kutta d 2 stágios ordm 2 para rsolvr Problma d Valor Inicial (PVI). A partir d Rung-Kutta dduziu-s os Métodos d Eulr Modificado Mlhorado. Utilizou-s o Mapl 16 para programar uma Maplt para auxiliar o procsso d ncontrar a Solução Numérica do PVI, através dos Métodos d Eulr Modificado Mlhorado sboçar os sus rspctivos gráficos. A Maplt também aprsnta o gráfico da solução analítica do PVI quando a msma xist. Abstract This work was dvlopd thrung-kutta mthodof ordr2 and 2 stags for solving Initial Valu Problm (PVI). From th Rung-Kutta Mthods was dducd and Improvd Modifid Eulr. W usd th Mapl 16 for program a Maplt to aid th procss of finding th Numrical Solution of PVI, through th Modifid Eulr Mthods and Improvd and outlin thir rspctiv graphical. Th Maplt outlins th graph of th analytical solution whn th PVI it xists. Palavras-chav: Rung-Kutta, Mapl 16, Maplt. Introdução O studo das quaçõs difrnciais iniciou m mados do século XVII, com a dscobrta do cálculo por Nwton Libniz, d forma indpndnt. Os avanços na toria das quaçõs difrnciais crscram com o dsnvolvimnto dos conhcimntos adquiridos por Nwton, m Principia (1687), ao trabalhar com modlos spcíficos da física, contudo, os fragmntos studados d outrora, s tornaram uma ára bm dfinida cornt da matmática [1]. Para vitar o comportamnto dfnsivo tanto na matmática quanto m cálculo numérico dvido a quantidad xcssiva d contúdos ministrados num curto intrvalo d tmpo através d aula xpositiva [2]. Por isso, algumas instituiçõs d nsino utilizam softwars intrativos como frramnta adicional. Esta xpriência tm aprsntado êxito m paíss como o Japão [3]. Est trabalho visa contribuir com uma frramnta adicional, Maplt, qu modla introduz d forma intrativa, divrsificados contúdos da Matmática, principalmnt rlacionado à computação numérica, algébrica simbólica. A frramnta é o softwat Mapl 16, qu aprsnta um 1/9
assistnt para a construção d Maplts, tornando possívl a programação d procdimntos dsjados qu porvntura não vnham pré-instalados com o softwar, ou msmo s o softwar já possuir a Maplt é possívl aprimorá-la com o intuito d torná-la mais atrativa [4]. Dsta forma, criou-s uma Maplt capaz d dscrvr a solução numérica d um PVI juntamnt com sua solução algébrica, s sta xistir, proporcionando uma inovação tcnológica na ára da matmática. A Maplt programada com bas no Método d Rung-Kutta d 2 stágios ordm 2 foi utilizada para obtr a solução numérica d um PVI, aplicando-s, spcificamnt, os Métodos d Eulr Mlhorado Eulr Modificado a um problma d scoamnto d água m um tanqu na forma d um con. A strutura dss artigo sta organizada m sçõs dscritas brvmnt abaixo: Na sção IDEIA DA SOLUÇÃO NUMÉRICA xplica-s o procdimnto para ftuar a discrtização do domínio d um PVI para obtr a solução numérica. Na sção MÉTODO DE RUNGE- KUTTA DE 2 ESTÁGIOS E ORDEM 2 dduz-s ss método. Na sção APLICAÇÃO aprsnta-s um PVI qu srá rsolvido via Maplt. Na sção SOLUÇÃO DO PVI VIA MAPLET aprsnta-s a Maplt programada obtém-s com o uso dsta a solução numérica d um PVI. Na sção CONCLUSÃO, ncrra-s o trabalho fazndo uma anális da aplicação da frramnta criada. Idia da Solução Numérica A quação difrncial condição inicial, constitui um PVI { (1) A grand maioria das quaçõs ncontradas, na prática, não pod sr solucionada analiticamnt. O rcurso d qu s dispõ para s obtr uma aproximação da solução é o mprgo d métodos numéricos. Para isso, considra-s a squência d pontos dfinida por, ond com,, ond o comprimnto do subintrvalo,, é o tamanho do passo, os pontos são os pontos da malha é o númro d passos Uma propridad important dos métodos computacionais para a solução do PVI (1) é a discrtização, isto é, dsja-s obtr a solução aproximada do PVI não num intrvalo contínuo, mas sim num conjunto discrto d pontos { } tal qu. Dnota-s por uma aproximação para a solução analítica m, isto é, 2/9
por. O objtivo é ntão dtrminar aproximaçõs da solução vrdadira nos pontos da malha, sndo a solução numérica uma tabla d valors d pars. Métodos d Rung-Kutta Dfinição 1: O Método gral d Rung- Kutta d stágios é dfinido por (2) ond (3) ond (4) ( ) (5) com (6) sndo. Para s obtr Métodos d Rung-Kutta dv-s dtrminar as constants da Dfinição 1. Dtrmina-s stas constants comparando a xpansão da função, dfinida por (3), m potências d, com a função do Método d Taylor. Tm-s (7) no sntido d obtr Métodos d dtrminada ordm. Métodos d Rung-Kutta d 2 Estágios Ordm 2 Considra-s inicialmnt obtr Métodos d Rung-Kutta d 2 stágios. Dv-s tomar ntão, na Dfinição 1 considrando para simplificar a notação, tm-s (8) ond (9) ond (10) (11) Sndo, tm-s d (11) qu, (12) Aplicando o dsnvolvimnto m séri d Taylor m (12), ou sja para a função d duas variávis obtém-s [ (13) ] 3/9
Substituindo (10) (12) na quação (9), tm-s [ ] (22) [ (14) qu pod sr scrita como ] Dnotando (15) (16) substituindo m (14), obtém-s (17) Expandindo m séri d Taylor [5] m torno do ponto, substituindo, tm-s (18) ond (19) (20) (21) Substituindo (19), (20) (21) m (18) tms (23) Comparando com, tm-s { (24) Rsolvndo ss sistma obtém-s o Método d Rung-Kutta d ordm 2, pois na Dfinição 1 tm-s, portanto, impõ-s a igualdad até trmos d. Além disso, como o sistma (25) possui duas quaçõs três incógnitas, st possui infinitas soluçõs, portanto, pods afirmar qu xistm infinitos métodos d Rung-Kutta d 2 stágios ordm 2. Atribuindo-s um valor para uma das constants m (24) obtém-s as outras duas, m função dsta. Os métodos d Rung-Kutta d 2 stágios ordm 2 mais usados são obtidos tomando-s: ; m (25) obtêm-s. Daí substituindo os valors (8), (9), (10) (11) tm-s (25) ond (26) 4/9
( ) (27) qu é conhcido como Método d Eulr Modificado. ; Substituindo-s m (24) obtêm-s. Daí substituindo os valors (8), (9), (10) (11) tm-s (28) ond (29) (30) qu é conhcido como Método d Eulr Mlhorado. Ao comparar (17) com (23) obsrv qu para obtr um método d Rung-Kuta d 2 stágios ordm 3, é ncssário rsolvr o sistma Nsta sção aprsnta-s um problma qu srá rsolvido postriormnt via Maplt. Problma: A água flui d um tanqu cônico invrtido com um orifício circular, com uma vlocidad (32) ond é o raio do orifício, é altura do nívl do líquido mdido dsd o vértic do con, é a ára da sção transvrsal do tanqu a unidads acima do orifício conform mostra a Figura 1. Suponha qu, qu o tanqu tnha um nívl inicial d água d um volum inicial d. Calcul o nívl d água dpois d com [6]. R z R m { (31) x r x z O sistma (31) só pod sr rsolvido impondo svras condiçõs sofr a função,, portanto não xistm Métodos d Rung-Kutta d 2 stágios ordm 3. Aplicação Figura 1. Sção transvrsal do con. Solução Obsrvando a Figura 1 obtêm-s as sguints rlaçõs trigonométricas ond: 5/9
: raio da sção transvrsal do tanqu a unidads acima do orifício. : raio da sção transvrsal do tanqu a unidads acima do vértic. : altura mdida dsd o vértic do con até o orifício. como : raio do orifício : altura do nívl do líquido mdido dsd o vértic do con no instant. : ára da sção transvrsal a unidads acima do orifício. : altura do nívl da água mdida dsd o vértic do con no instant inicial. : volum do con d altura. : aclração da água. : vlocidad da água. Como o volum do con d altura é dado por sndo, no instant inicial, tm-s, portanto. Substituindo o valor d m (32), tm s Portanto, tm-s o sguint PVI { (33) Na próxima sção obtém-s a solução do PVI. Solução do PVI via Maplt A sguir é aprsntado, o funcionamnto da Maplt programada via softwar Mapl 16, capaz d solucionar um PVI d forma analítica numérica. Sndo, sta última plos métodos numéricos d Eulr Modificado Eulr Mlhorado. Na Figura 2, visualiza-s a tla inicial da Maplt com sus principais atributos. o qu implica qu. Das rlaçõs trigonométricas, tm-s, d ond sgu qu, logo 6/9
Figura 2. Tla inicial da Maplt. 1. Adicionar a EDO do PVI (Campo para qu o usuário digit a EDO dsjada). 2. Insrir os xtrmos do intrvalo ond o PVI srá calculado. 3. Insrir a quantidad s subintrvalos qu srá divido o intrvalo 4. Insrir a condição inicial do PVI. 5. Esboçar o gráfico da solução analítica, caso xist. 6. Aprsntar a solução numérica para o Método d Eulr Modificado; grar a tabla d aproximação numérica plotar o gráfico ponto a ponto, a partir dos valors da tabla. 7. O Método Eulr Mlhorado é análogo ao passo 6. 8. Comparar os rsultados do Método Eulr Modificado, Eulr Mlhorado a solução analítica, plotando sus rspctivos gráficos. 9. Mostrar os gráficos grados por cada método d solução. 10. Mostrar a tabla d rsultados dos métodos numéricos. Na Figura 3, visualiza-s a utilização dos itns 5 6, com a xibição gráfica da solução analítica dos rsultados numéricos para o método d Eulr Modificado do problma aprsntado na sção Aplicação. Figura 3. Esboço do gráfico da solução analítica tabla d valors da solução numérica. 7/9
Além disso, pod-s também analisar a solução numérica para ambos os métodos vrificando graficamnt a assrtividad dos valors quando dispostos próximos à solução analítica, obsrv a solução para o método d Eulr Modificado. Na Figura 4 é aprsntado o conjunto d pontos da solução sobr a curva da solução analítica. Figura 4. Solução numérica plo método d Eulr Modificado. Ainda, é possívl ralizar uma anális comparativa ntr os dois métodos sus rsultados, bastando clicar no botão Comparar. Então a Maplt organizará uma tabla com os rsultados obtidos por ambos os métodos para cada passo com a solução analítica, s xistir, ao lado, conform ilustrado na Figura 5. Figura 5. Solução numérica plo método d Eulr Mlhorado. Conclusão Obsrvou-s ao dsnvolvr o método d Rung-Kutta d 2 stágios ordm 2, m particular, o método d Eulr Mlhorado o Método d Eulr Modificado uma quantidad xcssiva d cálculos para obtr uma mlhor aproximação da solução analítica d um PVI. Ao utilizar a Maplt programada via Mapl 16, para rsolvr o 8/9
PVI m qustão, obtv-s uma otimização do tmpo para obtr a solução numérica uma mlhor prcisão, visto qu, ao aumntar a quantidad d subintrvalo não há um custo opracional tão lvado. Obsrvou-s um ntusiasmo significativo no uso da Maplt pla comunidad acadêmica da rgião, como projto d xtnsão. A contribuição dst trabalho consist na possibilidad d incntivar a utilização d softwars matmáticos como frramnta d nsino, d cooprar como complmnto às aulas d cálculo numérico. Agradcimntos Ess trabalho foi dsnvolvido com o apoio da Fundação Araucária UTFPR campus Campo Mourão. Rfrências [1] Robinson, J. C. (2004), An Introduction to Ordinary Diffrntial Equations, Nw York: Cambridg Univrsity Prss. [2] Dias, T. C. (1999) O Ensino do Cálculo Difrncial Intgral o Pnsamnto Rvrsívl, Brasília, 1999. [3] Chitos, Institut of Scinc and Tchnology, In: Th PC-Mastro Projct, 2004. [4] Ebrhart, C. (1998), Problm Solving with Mapl, Dpartmnt of Mathmatics: Univrsity of Kntucky. [6] Burdn, R. L., Fairs, J. D. (2003), Anális Numérica, L. F. Mllo, Ed., São Paulo: Pionira Thomson Larning. [7] Hoffmann, L. D., Bradly, G. L. (2002), Cálculo: Um Curso Modrno Suas Aplicaçõs, 7ª d., Rio d Janiro: S.A.. [8] Zill, D. G.; Culln, M. R. (2001), Equaçõs Difrncias, 3ª d., vol. II, São Paulo: Parson Makron Books. 9/9