1 a experiência Escoamento ao redor de um cilindro 1) Força de Arrasto sobre um cilindro Quando um fluido escoa ao redor de um objeto, exerce sobre este uma força que pode ser decomposta em uma componente paralela à direção da corrente (Arrasto) e outra perpendicular (Sustentação). Essa força tem origem no atrito viscoso e na distribuição de pressão ao redor do objeto. Um cilindro imerso numa corrente de fluido apresenta uma área projetada num plano normal à direção da corrente que é dada pelo produto de seu comprimento pelo diâmetro. Quando o fluido se move na direção do cilindro, é defletido para passar ao seu redor, e temos o aparecimento de uma região de alta pressão na frente do cilindro, ao redor de um ponto de estagnação. Se o fluido seguisse exatamente o contorno do cilindro e apresentasse viscosidade nula (fluido ideal), teríamos também o aparecimento de um ponto de estagnação na parte traseira do cilindro, e os efeitos da pressão na parte da frente do objeto seriam equilibrados pela pressão na parte de trás, resultando em um arrasto nulo. Isso é o que chamamos de escoamento potencial ou ideal (fig. 1a). Na realidade, não é isso o que acontece. Ocorre separação da camada limite na região de recuperação da pressão na parte de trás do cilindro. Isso gera o aparecimento de uma região recirculação e baixa pressão na parte de trás do cilindro. A diferença entre a alta pressão ao redor do ponto de estagnação e a baixa pressão da esteira é a principal responsável pela força de arrasto (fig 1b). Na fig. 2 podemos ver um exemplo da distribuição de pressão ao redor de um cilindro. Fig.1) Comparação dos escoamentos ideal e real ao redor de um cilindro. Figura retirada de Potter e Wiggert (2004).
1,5 1 0,5 0 Cp -0,5 0 100 200 300-1 -1,5-2 Teta (graus) Fig. 2) Distribuição do coeficiente de pressão C p =2p/(ρ U 2 ) ao redor de um cilindro para Re=4000. A experimentação e a análise dimensional permitem verificar que existe uma relação entre o chamado coeficiente de arrasto C D e o n o de Reynolds Re, dados por: C Fx = ; 2 U ρ A 2 A D = ρ U D Re = µ bd Nas expressões acima, D é o diâmetro do cilindro e b é sua envergadura. O valor encontrado frequentemente na literatura, para 200 < Re < 3 10 5, é Cd 1.2. A relação entre C D e Re pode ser observada na fig. 3 para cilindros e esferas. Observa-se que para Re>3 10 5, no caso de um cilindro liso, ocorre uma queda sensível no valor do coeficiente de arrasto.
Fig. 3) Coeficiente de arrasto C D como uma função de Re para cilindros e esferas. Figura retirada de Potter e Wiggert (2004). Essa queda no coeficiente de arrasto que ocorre quando aumentamos Re, também chamada de crise do arrasto (drag crisis), está relacionada com as propriedades da camada limite antes do ponto de separação. A camada limite laminar tem pouca resistência à separação. Como resultado, a região de separação e baixa pressão é maior. A camada limite turbulenta tem maior resistência à separação, gerando uma região de baixa pressão que é menor. Podemos ver na fig. 4 a diferença entre as regiões de separação que ocorrem no escoamento ao redor de uma esfera quando (a) a camada limite é laminar antes do ponto de separação e (b) quando a camada limite sofreu transição e está turbulenta antes do ponto de separação.
(a) (b) Fig. 4) Efeito da turbulência na separação: (a) separação com camada limite laminar; (b) separação com camada limite turbulenta. Figura retirada de Potter e Wiggert (2004). Na fig. 5, temos uma representação do fenômeno análogo para cilindros circulares. Fig. 5) Efeito da turbulência na separação: (a) separação com camada limite laminar; (b) separação com camada limite turbulenta. Figura retirada de White (2002). 2) Emissão de vórtices e vibração induzida pelo escoamento Objetos rombudos como um cilindro circular permitem visualizar o fenômeno de emissão de vórtices. Neste fenômeno vórtices são emitidos de forma periódica e alternada entre lados opostos do objeto (fig. 6).
Fig. 6) Fenômeno de emissão de vórtices. Figura retirada de Potter e Wiggert (2004). A freqüência de emissão de vórtices pode ser expressa, através da análise dimensional, através do chamado n o de Strouhal St, dado por: St = fd U Fig. 7) Conceito de número de Strouhal universal. Figura retirada de Blevins (1990).
Alguns autores acham que existe um número de Strouhal universal, baseado na distância L entre pontos de separação. Esse St universal teria um valor ao redor de 0,20. A figura 7 mostra para uma placa inclinada a variação do número de Strouhal baseado no comprimento da placa D como função do ângulo de inclinação. Para um cilindro circular, observa-se que essa freqüência adimensional varia com o Re. A fig. 8 permite visualizar essa variação. Fig. 8) Variação de St como uma função de Re para um cilindro circular. Figura retirada de Norberg (2003). Percebe-se que para 200<Re<10 5 o número de St é essencialmente constante, St=0,20. Essa emissão periódica de vórtices causa vibração induzida pelo escoamento. Se temos uma estrutura cilíndrica com amortecimento c e rigidez k, ela vai vibrar com um movimento dado pela solução da equação: m & y&+ c y& + k y = F y Onde F y é a força de sustentação sobre o cilindro (fig. 9).
Fig. 9) Vibração induzida pelo escoamento. Usualmente, os resultados de medidas ou cálculos de amplitude de vibração são plotados como função da chamada velocidade reduzida, dada por: V r U T = D n U = D f n Onde T n e f n são o período e a freqüência naturais do sistema massa-mola-amortecedor. A fig. 10 mostra um exemplo de resposta do sistema. 1,2 1 0,8 Ay/D 0,6 0,4 0,2 0 0 5 10 15 Vr Fig. 10) Resultados de amplitude de vibração como função da velocidade reduzida. Resultados de Khalak e Williamson (1997).
Questões propostas a) Porque o escoamento se separa quando temos gradiente desfavorável de pressão? b) Porque a camada limite laminar tem menor resistência à separação que a camada limite turbulenta? c) Olhando para a fig. (3), explique porque, para um cilindro ou esfera rugosos, a crise do arrasto ocorre para um Re menor do que para cilindros ou esferas lisos. d) Olhando para a mesma figura, explique porque cilindros e esferas carenados tem coeficientes de arrasto menores que cilindros e esferas comuns. e) O que é o n o de Strouhal? f) O que é o n o de Strouhal universal? Por que o n o de Strouhal baseado no diâmetro é maior para o caso em que a camada limite do escoamento ao redor de um cilindro circular é turbulenta do que quando a camada limite é laminar? g) Observando a fig. (8), estime a freqüência de desprendimento de vórtices de um cabo telefônico de 2cm de diâmetro, sujeito a uma corrente de ar (ν=1,5 10-5 m 2 /s) de 15 m/s. Bibliografia Blevins, R. D., Flow induced vibration, Van Nostrand Reinhold,1990. Khalak, A., Williamson, C. H. K., Fluid forces and dynamics of a hydroelastic structure with very low mass and damping., Journal of Fluids & Structures, num. 11, 1997. Norberg, C., Fluctuating lift on a circular cylinder: review and new measurements, Jounal of Fluids & Structures, num. 17, pp. 57-96, 2003. Potter, M. C., Wiggert, D. C., Mecânica dos Fluidos, Thomson, 2004. White, F. M., Mecânica dos Fluidos, Editora McGRaw Hill, 4ª edição, 2002