Cálculo I. Sacha Friedli Departamento de Matemática Universidade Federal de Minas Gerais

Cálculo I Sacha Friedli Departamento de Matemática Universidade Federal de Minas Gerais Versão: 6 de março de 0

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Sumário Fundamentos 3. Números reais.................................. 3.. Equações do primeiro e segundo grau................. 4.. Ordem e intervalos........................... 5..3 Valor absoluto.............................. 7..4 Inequações e sinal............................ 7. O plano cartesiano............................... 0.. Retas.................................... Círculos................................. 3.3 Trigonometria.................................. 4.3. Medir ângulos no plano......................... 4.3. Seno, cosseno e tangente........................ 6.3.3 Identidades trigonométricas...................... 8 Funções. Definição e Eemplos................................ Limitação................................ 3. Gráfico...................................... 4.. Potências inteiras: p.......................... 7.. Paridade................................. 9..3 Funções Trigonométricas........................ 9..4 Transformações............................. 3.3 Montar funções................................. 33.4 Composição, contradomínio e imagem..................... 34.4. Bijeção, função inversa......................... 37.4. Inversos das potências......................... 38.4.3 Funções trigonométricas inversas................... 39 3 Eponencial e Logaritmo 43 3. Eponencial................................... 44 3. Logaritmo.................................... 49 3.3 A base e =, 78.................................. 5 3.4 Funções trigonométricas hiperbólicas..................... 54 iii

SUMÁRIO 4 Limites 57 4. Limites lim ± f().............................. 57 4. Limites laterais: lim a ± f()......................... 64 4.3 Limites lim a f()............................... 67 4.4 Indeterminações do tipo 0 0........................... 68 (+h) 4.4. O limite lim n n h 0 h........................ 69 sen 4.4. O limite lim 0.......................... 69 4.5 Limites laterais infinitos, assíntotas verticais................. 70 4.6 Mudar de variável................................ 7 4.7 O limite e = lim ( + )......................... 7 4.8 Continuidade.................................. 73 4.8. O Teorema do valor intermediário................... 75 4.9 Limites e funções contínuas.......................... 77 4.0 Eercícios de revisão.............................. 78 5 Derivada 8 5. Retas e gráficos de funções........................... 8 5. Reta tangente e derivada............................ 83 5.. Pontos de não-diferenciabilidade.................... 85 5.. Derivabilidade e continuidade..................... 86 5.3 A derivada como função............................ 86 5.3. Derivar as potências inteiras: p.................... 87 5.3. Derivar as funções trigonométricas.................. 88 5.3.3 Derivar eponenciais e logaritmos................... 88 5.4 Regras de derivação............................... 89 5.4. Derivar as potências α ; eponenciação................ 9 5.4. Derivadas logarítmicas......................... 93 5.4.3 Derivar uma função inversa...................... 94 5.5 O Teorema de Rolle............................... 95 5.6 Derivada e Variação............................... 96 5.7 Linearização................................... 99 5.8 Derivação implícita............................... 00 5.9 Taa de variação, velocidade.......................... 0 5.9. Taas relacionadas........................... 04 5.0 Conveidade, concavidade........................... 05 5. Valores etremos................................ 08 5.. Etremos globais............................ 08 5.. Etremos locais............................. 0 5..3 Etremos em intervalos fechados.................... 5..4 Problemas de otimização........................ 3 5..5 A Lei de Snell.............................. 5 5. A Regra de Bernoulli-l Hôpital......................... 7 5.. Sobre o crescimento das funções no................ 5.3 Estudos de funções............................... A Soluções dos Eercícios 7 iv

Prefácio Oriundo principalmente do estudo da mecânica e da astronomia, o Cálculo, chamado também Cálculo infinitesimal, nasceu na segunda metade do século XVI, com os trabalhos de Newton e Leibnitz. Hoje em dia, ele é usado em todas as áreas da ciência, e fundamental nas áreas da engenharia. A presente apostila contém a ementa da matéria Cálculo I, como ensinada no Departamento de Matemática da UFMG. Ela tem como objetivo fornecer ao aluno um conhecimento básico dos conceitos principais do Cálculo que são: limites, derivadas e integral. Ela também prepara o aluno para as outras matérias que usam Cálculo I nos cursos de ciências eatas (física e matemática) e engenharia, tais como Cálculo II e III, EDA, EDB, EDC... A apostila começa com um capítulo sobre fundamentos, fazendo uma revisão de vários conceitos básicos em princípio já conhecidos pelo aluno: equações, inequações, plano cartesiano e trigonometria. A partir do Capítulo, o conceito de função é introduzido. A noção central de limite é abordada no Capítulo 4, e a de derivada no Capítulo 5. O resto do teto é sobre o objeto central desse curso: a noção de integral, o Teorema Fundamental do Cálculo, e as suas aplicações. O teto contém bastante eercícios, cuja compreensão é fundamental para a assimilação dos conceitos. As soluções, às vezes detalhadas, se encontram num apêndice. Essa apostila está em fase de elaboração. Qualquer sugestão, crítica ou correção é bem vinda: sacha@mat.ufmg.br. Sir Isaac Newton (Woolsthorpe-by-Colsterworth, 4 de janeiro de 643 Londres, 3 de março de 77). Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, de julho de 646 Hanôver, 4 de novembro de 76).

SUMÁRIO

Capítulo Fundamentos A good course is a course with many stupid questions. Wendelin Werner, medalhista Fields 006 Quem faz uma pergunta boba fica com vergonha 5 segundos. Quem não pergunta nada fica bobo para sempre... Um faineiro do ICE, 008 Cálculo lida com funções de uma ou mais variáveis reais. Portanto, ele necessita de uma compreensão boa das principais propriedades dos números reais, e suas manipulações na resolução de problemas elementares. Esse capítulo contém lembretes sobre a aritmética elementar dos números reais, assim como a descrição de certos conjuntos do plano cartesiano, como retas e círculos. Não pretendemos dar uma eposição completa sobre esses assuntos, mas apenas lembrar alguns fatos e estabelecer notações a respeito de coisas elementares conhecidas pelo leitor. A matéria desse capítulo será usada constantemente no restante da apostila: é importante o leitor verificar que ele consegue fazer todos os eercícios.. Números reais O conjunto dos números reais, R, pode ser visto como o conjunto dos pontos da linha real, que serão em geral denotados por letras minúsculas:, y, s, t, u, etc. R é munido de quatro operações aritméticas básicas: adição (+), subtração ( ), multiplicação ( ou ) e divisão (, ou simplesmente /). Lembremos a importância de dois números com papel relevante com respeito à adição e multiplicação. Primeiro, o elemento 0 ( zero ) é tal que + 0 = 0 + =, 0 = 0 = 0 para todo. Um real diferente de zero será às vezes chamado de não-nulo. Por outro lado, o elemento ( um ) é tal que = = para todo R. É importante lembrar que a divisão por zero não é definida. Portanto, símbolos do tipo /0 3

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS ou 0/0 não fazem sentido. No entanto, 0/ = 0 para todo 0. Os subconjuntos de R serão em geral denotados usando letras maiúsculas. Por eemplo, A = {0,, } é o conjunto que contém os três números reais 0, e, e B = (0, ) é o intervalo aberto que contém todos os reais entre 0 e (ver abaio). O conjunto dos números naturais é N:={,, 3,... }, e o conjunto dos inteiros é Z:={..., 3,,, 0,,, 3,... }. As operações entre conjuntos são: interseção ( ), união ( ), diferença (\). O conjunto vazio será denotado por... Equações do primeiro e segundo grau Considere a equação do primeiro grau: + 4 = 7. (.) Resolver essa equação significa achar o(s) valor(es) da variável para os quais a igualdade em (.) é verdadeira. Esse conjunto de valores será denotado por S e chamado conjunto de soluções. A resolução é bem conhecida: isolando obtemos uma única solução =. Portanto, o conjunto das soluções de (.) é S = { }. Considere em seguida a equação do segundo grau: = 9. (.) Aqui, sabemos que eistem duas soluções, = ± 9 = ±3, logo S = {+3, 3}. Agora, já que um número negativo não possui raiz quadrada, a equação = 4 não possui nenhuma solução: S =. Finalmente, possui uma única solução: S = {0}. = 0 Um outro jeito de entender (.) é de escrevê-la 9 = 0 e de fatorar o polinômio 9, obtendo um produto de dois fatores: ( 3)( + 3) = 0. Para o produto de dois fatores (aqui, 3 e + 3) ser zero, é necessário que pelo menos um deles seja nulo. Se for o primeiro, 3 = 0, então = 3. Se for o segundo, + 3 = 0, logo = 3. De modo geral, para ser solução de uma equação da forma ( α)( β) = 0, (.3) 4

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS pelo menos um dos fatores, ( α) ou ( β), deve ser igual a zero, o que implica = α ou = β. Portanto, o conjunto das soluções de (.3) é dado por S = {α, β}. Olhemos agora para a equação do segundo grau da forma geral Se a = 0, essa equação é do primeiro grau, a + b + c = 0. (.4) b + c = 0, e a sua única solução é dada por = c (supondo b 0). Isto é, S = { c }. Por outro b b lado, se a 0, então dividindo (.4) por a, e completando o quadrado obtemos: Portanto, 0 = + b a + c a = ( + b a ) ( b a ) + c a ( + b a ) = ( b a ) c a = b 4ac 4a. Defina :=b 4ac. Se < 0, não tem soluções: S =. Se 0, podemos tomar a raiz quadrada em ambos lados dessa última epressão, e obter Isto é, + b a = ± a. = b± a. (.5) Resumindo: quando a 0, o conjunto das soluções de (.4) é dado por se < 0 (zero soluções) S = { b a } se = 0 (uma solução) { b± } se > 0 (duas soluções). a Eercício.. Resolva as seguintes equações.. =. = 3. = + 4. ( + )( 7) = 0 5. = 6. = 7. = 0 8. 6 3 = 3( + ) Eercício.. Eiste um triângulo retângulo de área 7 e de perímetro?.. Ordem e intervalos Eiste em R uma relação de ordem: dois reais, y podem ser comparados usando os seguintes símbolos: = y: é igual a y, y: é diferente de y, 5

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS y: é maior ou igual a y, > y: é estritamente maior que y, y: é menor ou igual a y, < y: é estritamente menor que y. Por eemplo, os reais não- A ordem permite definir subconjuntos elementares de R. negativos R + são definidos por R + :={ R : 0}, (leia-se: o conjunto dos números reais R tais que seja 0) e os reais positivos por R +:={ R : > 0}. Podem também ser definidos conjuntos particulares chamados intervalos. Começaremos com os intervalos limitados. Se a < b são dois números reais, o intervalo fechado é definido como [a, b]:={ R : a b} Leia-se: [a, b] é definido como o conjunto dos números reais tais que seja maior ou igual a a, e menor ou igual a b. O intervalo aberto é definido como (a, b):={ R : a < < b} Observe que (a, b) pode ser considerado como obtido a partir de [a, b] retirando as etremidades: (a, b) = [a, b]\{a, b}. Definam-se também os intervalos semi-abertos (ou semi-fechados) [a, b):={ R : a < b}, (a, b]:={ R : a < b}. Graficamente, representaremos esses intervalos da seguinte maneira: a [a, b) b c [c, d] d e (e, f] f R Introduziremos também intervalos não-limitados: os semi-infinitos fechados (, a]:={ R : a}, [c, + ):={ R : c}, e os semi-infinitos abertos (, a):={ R : < a}, (c, + ):={ R : > c}. Por eemplo,... (, a] a c (c, + )... R Observe que + e não são números reais propriamente ditos; + (respectivamente ) é somente um símbolo usado para representar a idéia (meio abstrata) de um número maior (respectivamente menor) do que qualquer real. Eercício.3. Simplifique as epressões, usando as notações introduzidas acima. 6

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS. A = { R : 4}. B = { : 0} { : < } 3. C = { : } { : < 0} 4. D = { : } { : } 5. E = { : } [0, + ) 6. F = [, ] ( ; ] 7. G = [0, ] [0, ] [0, ] [0, ]... 3 4 8. H = [0, ] [, ] [, 3] [3, 4].....3 Valor absoluto Informalmente, o valor absoluto de um número real, denotado por, representa o seu valor equivalente positivo. Por eemplo, 5 = 5, 3 = 3, e 0 = 0. Formalmente, { se 0 := (.6) se < 0. Por eemplo, com essa definição, já que 3 < 0, temos 3 = ( 3) = 3. Observe que por definição, a a a [ a, a]. (.7) Eercício.4. Quais das epressões abaio são verdadeiras (para qualquer )? Justifique. =, =, =. Usaremos o valor absoluto para definir a distância entre dois números reais:..4 Inequações e sinal Considere a inequação do primeiro grau: d(, y):= y.. (.8) Como antes, resolver essa inequação significa achar todos os valores de para os quais a epressão em (.8) se torne verdadeira. Por eemplo, = 0 é solução, pois o lado esquerdo vale 0 =, que é. Mas em geral uma inequação pode possuir mais de uma solução, às vezes possui infinitas soluções. O conjunto de todas as soluções, também denotado por S, pode ser calculado da seguinte maneira. Primeiro, o conjunto S das soluções não é modificado ao adicionarmos (ou subtrairmos) epressões iguais em ambos lados de uma inequação. Assim, adicionando em cada lado de (.8), obtemos +. Podemos em seguida subtrair em ambos lados:. Agora, o conjunto S das soluções não é modificado ao multiplicarmos (ou dividirmos) ambos lados de uma inequação por um número positivo. Assim, dividindo ambos lados da 7

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS inequação por obtemos, isto é. Assim, qualquer real menor ou igual a torna a desigualdade em (.8) verdadeira. Logo, S = (, ]. Observe que (.8) pode também ser resolvida subtraindo em ambos lados,. (.9) Passando para o lado direito e para o lado esquerdo obtemos, o que equivale a. (.0) Vemos que (.0) é obtida a partir de (.9) trocando os sinais (i.é. multiplicando ambos lados por ), e trocando o sentido da desigualdade. Eemplo.. Resolvamos agora uma inequação do segundo grau: 3 + > 0. (.) Primeiro, o polinômio do lado esquerdo da desigualdade em (.) pode ser fatorado: 3 + = ( )( ). Assim, (.) é equivalente a ( )( ) > 0. (.) Observe agora que para o produto de dois números ser > 0, eles têm que ser ambos nãonulos e ter o mesmo sinal. Portanto, a resolução de (.) passa pelo estudo do sinal de e. Isso pode ser feito como em (.8). Por um lado, < 0 se <, = 0 se =, e > 0 se >. Por outro lado, < 0 se <, = 0 se =, e > 0 se >. Isso pode ser resumido nas duas primeiras linhas da seguinte tabela: ( )( ) 0 + + 0 + + 0 0 + A terceira linha foi obtida multiplicando os sinais de e : ( )( ) > 0 se <, ( )( ) = 0 se =, ( )( ) < 0 se < <, ( )( ) = 0 se =, e ( )( ) > 0 se >. Assim, S = (, ) (, + ) dá todas as soluções de (.). Eercício.5. Resolva as seguintes inequações.. > 4 5. 3 + 3. 8 < 3 4 4. 0 > 0 5. 6. > + 7. > 8. 9. 0. + 0 < 0 8. ( + 7) 0. 3 + > 0 3. ( + 3) 0 4. +3

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS Eercício.6. Quantos números inteiros n eistem tais que 3n 5n < 4? Eercício.7. Quantos números primos p eistem tais que 0 p 3 p + 8? Podemos também resolver inequações que envolvem valores absolutos: Eemplo.. Resolvamos Sabemos que pela definição do valor absoluto, { se, = + se, 3. (.3) Logo, a resolução de (.3) passa pela resolução de duas inequações mais simples. primeira é 3, e deve ser considerada somente para os tais que. Isso dá um primeiro conjunto de soluções: S = [5, + ) (os reais que são ao mesmo tempo maiores ou iguais a 5 e maiores ou iguais a ). A segunda é + 3, e deve ser considerada somente para os tais que, o que dá um segundo conjunto de soluções S = (, ]. Assim, o conjunto de todas as soluções de (.3) é dado por S = S S : S = (, ] [5, + ). Um jeito mais geométrico (mas equivalente) de resolver o problema é de escrever (.3) como: d(, ) 3. Assim, podemos interpretar as soluções de (.3) como sendo os reais cuja distância ao ponto é maior ou igual a 3, que são todos os reais a esquerda de ou a direita de 5: S = (, ] [5, + ). Eercício.8. Resolva as seguintes inequações. A. + 7 0. < 0 3. + 3 > 0 4. 3 < 3 5. 3 4 0 6. 7. + 0 8. + < Estudar o sinal de uma epressão que depende de uma variável significa determinar os valores de para os quais a epressão é positiva/negativa. Eemplo.3. Estudemos o sinal da epressão 3 + 3. Como 3 + 3 = ( + 3), o sinal da epressão inteira é obtido a partir dos sinais das partes e + 3. + 3 ( + 3) 3 0 + + 0 + 0 + + 0 + 0 + 9

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS Assim vemos que 3 + 3 é > 0 (estritamente positiva) se ( 3, 0) (0, ), ela é < 0 (estritamente negativa) se < 0, e é = 0 (nula) se { 3, 0}. Mais tarde resolveremos inequações onde aparecem, e estudaremos o sinal de outras epressões, como funções trigonométricas, raizes ou logaritmos. Eercício.9. Estude o sinal das seguintes epressões. 5 +. 5 + 3. ( 5) 4. 5 5. + 48 6. ( + ) +. O plano cartesiano O plano cartesiano, em geral denotado por R, é o conjunto dos pares P = (, y) de reais, e y, chamados respectivamente de abscissa (ou primeira coordenada) e ordenada (ou segunda coordenada). y P = (, y) O conjunto dos pontos cuja primeira coordenada é nula, isto é, o conjunto dos pontos da forma P = (0, y), é chamado de eio y, ou eio das ordenadas. O conjunto dos pontos cuja segunda coordenada é nula, isto é, o conjunto dos pontos da forma P = (, 0), é chamado de eio, ou eio das abscissas. Os eios e y formam duas retas perpendiculares, e dividem o plano em quatro quadrantes: o o 3 o 4 o Mais eplicitamente, em termos das coordenadas, o = {(, y) : 0, y 0}, o = {(, y) : 0, y 0}, 3 o = {(, y) : 0, y 0}, 4 o = {(, y) : 0, y 0}. Se P = (, y) e Q = (, y ), a distância Cartesiana entre P e Q é calculada usando o Teorema de Pitágoras: 0

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS P y y d(p, Q) Q d(p, Q):= ( ) + (y y ). Eercício.0. Descreva os seguintes subconjuntos do plano em termos das suas coordenadas cartesianas.. semi-plano acima do eio,. semi-plano a esquerda do eio y, 3. quadrado de lado centrado na origem, 4. reta vertical passando pelo ponto (, 0), 5. reta horizontal passando pelo ponto ( 3, 5), 6. reta horizontal passando pelo ponto (3, 5), 7. faia vertical contida entre o eio y e a reta do item (4), 8. círculo de raio centrado na origem. 9. disco (cheio) de raio centrado em (, )... Retas Já vimos, no Eercício.0, como epressar retas horizontais e verticais. Uma reta vertical é o conjunto formado pelos pontos (, y) cuja primeira coordenada é igual a um número fio a R; a sua equação se escreve: = a. y (a, 0) equação da reta: = a Por outro lado, uma reta horizontal é o conjunto formado pelos pontos (, y) cuja segunda coordenada y é igual a um número fio b R; a sua equação se escreve: y = b. (0, b) y equação da reta: y = b

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS As retas horizontais e verticais são descritas por somente um parâmetro (o a para uma reta vertical, ou o b para uma reta horizontal). Para as outras retas do plano, que não ficam necessariamente paralelas a um dos eios, é preciso usar dois parâmetros, m e h, chamados respectivamente inclinação (ou coeficiente angular) e ordenada na origem, para especificar a dependência entre e y: y y = m + h. inclinação: m ordenada na origem: h equação da reta: y = m + h O significado da inclinação m deve ser entendido da seguinte maneira: partindo de um ponto qualquer da reta, ao andar horizontalmente uma distância L para a direita, o deslocamento vertical da reta é de ml. Por eemplo, para uma reta de inclinação (observe que todo os triângulos da seguinte figura são semelhantes), 0.5 4 0.6 0.3 Observe que se a inclinação é negativa, então o deslocamento vertical é para baio. Se P = (, y) e Q = (, y ) são dois pontos de uma reta não vertical de inclinação m, então y y = m. (.4) Essa relação pode ser usada também para calcular a inclinação de uma reta. Eemplo.4. Procuremos a equação da reta r que passa pelos pontos P = (, 3) e Q = (3, 0): P y Q Como r não é vertical, a sua equação é da forma y = m + h. A inclinação pode ser calculada usando (.4): m = 0 (3) = 3. (Pode também observar que para andar de 3 ( ) 4

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS P até Q, é necessário andar 4 passos para a direita, e 3 passos para baio, logo m = 3.) 4 Portanto, a equação é da forma y = 3 + h. Falta achar h, que pode ser calculado 4 usando o fato de r passar pelo ponto P : 3 = 3 ( ) + h (daria na mesma usando o 4 ponto Q). Assim, h = 9, e r é descrita pela equação: 4 y = 3 4 + 9 4. Ao multiplicarmos ambos lados por 4 e rearranjando podemos colocar a equação da reta na sua forma genérica: 3 + 4y 9 = 0. Eercício.. Considere a reta r do Eemplo.4. Escolha alguns pares de pontos P e Q em r, e verifique a fórmula (.4). Ache os valores de e y para que os pontos R = (, 00) e T = (6, y) pertençam a r. Eercício.. Determine a equação da reta que passa pelos pontos dados.. (0, 0), (, ). (, ), (00, ) 3. ( 3,.57), ( 3, 3) 4. (, ), (, 3) 5. (333, 7), ( 40, 63) Eercício.3. Faça um esboço, no plano cartesiano, da reta descrita pela equação dada.. r : = 4. r : y = 3/ 3. r 3 : + y = 0 4. r 4 : y = 4 Observe que retas paralelas têm a mesma inclinação. Eercício.4. Dê a equação da reta r, paralela a r, que passa pelo ponto P.. r : y = 5 +, P = (, 5).. r : 4 3y + 6 = 0, P = (3, 5). Eercício.5. Mostre que se r tem inclinação m 0, e r tem inclinação m = m, então r e r são perpendiculares. Eercício.6. Determine quais das seguintes retas são paralelas ou perpendiculares. r : + y = 0, r : + y + = 0, r 3 : y = 3, r 4 : 3 + 6y 3 = 0. Em seguida, esboce as retas e verifique... Círculos Considere o círculo γ de centro C = (, ) e de raio R = : y γ C 3

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS Por definição (ver o Eercício.0), γ é definido pelo conjunto dos pontos P cuja distância euclidiana a C é igual a : d(p, C) =. Isso significa que as coordenadas (, y) de P são ligadas pela seguinte epressão: ( ) + (y ) =. Equivalentemente, γ é descrito pela seguinte equação: ( ) + (y ) = 4. Observe que, epandindo os fatores ( ) e (y ), essa última epressão pode ser escrita na forma genérica: + y 4y + = 0. Em geral, um círculo de raio R > 0 centrado em C = ( 0, y 0 ) é descrito pela equação ( 0 ) + (y y 0 ) = R. (.5) Um problema clássico é de achar o centro e o raio a partir da forma genérica. Eemplo.5. Considere o círculo γ descrito pela sua equação genérica + y + 6 8y = 0. (.6) Para achar o seu centro e o seu raio, completemos os quadrados: + 6 = ( + 3) 9, y 8y = (y 4) 6. Logo, (.6) pode ser escrita como (+3) 9+(y 4) 6 = 0, isto é: ( + 3) + (y 4) = 5 5. Portanto, γ é centrado em C = ( 3, 4), de raio R = 5. Eercício.7. Determine quais das equações a seguir definem um círculo. Quando for o caso, calcule o centro e o raio.. + (y + ) = 9. + y = 3. + y = 6 4. + y + + y + = 0 5. + y + + = 0 6. = y +.3 Trigonometria A trigonometria estabelece relações precisas entre os ângulos e os lados de um triângulo. Definiremos as três funções (mesmo se a própria noção de função será estudada no próimo capítulo) trigonométricas elementares, sen (seno), cos (cosseno) e tan (tangente), e daremos as suas propriedades básicas. Nos próimos capítulos olharemos mais de perto as propriedades analíticas dessas funções..3. Medir ângulos no plano Para começar, é importante escolher uma unidade (como metros para comprimentos, ou litros para volumes) para medir um ângulo determinado pela abertura entre duas retas. Descreveremos as duas unidades mais usadas, graus e radianos. Os ângulos serão medidos a partir de uma reta horizontal, em sentido antihorário. A abertura mínima, naturalmente, é definida como valendo zero, qualquer que seja a unidade. O que precisa ser definido é o valor do ângulo total. Se o ângulo for medido em graus, esse ângulo total é definido como valendo 360 graus: 4

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 360 o 0 o Uma vez que o ângulo total foi fiado, a medição dos outros se faz proporcionalmente: a metade do ângulo total vale 80 graus, o ângulo reto mede 90 graus, etc. A vantagem dessa unidade é que os ângulos mais usados em geometria tomam valores inteiros: 30, 60, 90, 80, 70, etc. 50 o 80 o 0 o 90 o 60 o 30 o 360 o 0 o 40 o 70 o 300 o 330 o Observe que apesar da posição do ângulo total coincidir com o ângulo nulo, eles devem ser considerados como distintos. Um outro jeito natural de medir ângulos parte da seguinte idéia: desenhe o círculo de raio centrado na origem e, partindo do ponto (, 0) (que corresponde a um ângulo de 0), ande ao longo do círculo no sentido antihorário. Quando tiver percorrido uma distância igual ao raio do círculo (isto é, ), o ângulo correspondente é definido como sendo de (um) radiano: rad 0 Observe que o ângulo total corresponde à circunferência de um círculo de raio : π. Em geral, nessa apostila, os ângulos serão medidos em radianos. Se a medida de um ângulo em graus é α g e em radianos é α r, a conversão se faz da seguinte maneira: como o ângulo total mede 360 graus e π radianos, temos 360 = αg π α r. Portanto, α g = 80 π α r, ou α r = π 80 α g. (.7) Assim, verifica-se por eemplo que um ângulo de 90 graus corresponde a.57... radianos. π 90 = π = 80 Eercício.8. O ponteiro dos minutos de um relógio mede 0 centímetros. Qual distância a ponta desse ponteiro percorreu depois de uma hora e 5 minutos? 5

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS Um ângulo negativo será interpretado como medido no sentido horário: +α α.3. Seno, cosseno e tangente Para poder definir as ligações entre os ângulos e os lados de um triângulo, é necessário fazer umas simplificações. Trabalharemos com um triângulo retângulo, isto é, que possui um ângulo reto. Considere então o seguinte triângulo ABC, retângulo em C: A α c b Com respeito a α, b é chamado de cateto adjacente, a de cateto oposto, e c de hipotenusa. Se dois lados forem conhecidos, o terceiro pode ser calculado usando o Teorema de Pitágoras, e o valor do ângulo α é determinado. Como qualquer triângulo semelhante a ABC tem os mesmos ângulos, α é determinado uma vez que um dos quocientes a, b, ou c c a for conhecido. A ligação entre α e esses quocientes é chamada respectivamente seno, b cosseno e tangente de α, e denotada por Observe que a seguinte relação sempre vale: sen α:= a c, cos α:=b c, tan α:=a b. tan α = sen α cos α Em alguns casos simples, sen α, cos α e tan α podem ser calculados manualmente. B a C (.8) Eemplo.6. Considere α = π (= 4 45o ). Para calcular sen π, cos π e tan π, consideremos 4 4 4 o seguinte triângulo: π 4 sen π 4 =, cos π 4 =, tan π 4 = =. Eercício.9. Montando em cada caso um triângulo apropriado, calcule sen π 3, cos π 3, tan π 3, sen π 6, cos π 6, tan π 6. Para energar geometricamente sen α, cos α e tan α, é útil usar um triângulo cuja hipotenusa é de tamanho c =. Isto é, o ponto B do triângulo da figura anterior é posicionado no círculo de raio centrado na origem, chamado círculo trigonométrico. As funções trigonométricas podem então ser medidas efetivamente olhando para os comprimentos da seguinte figura: 6

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS α cos α B sen α tan α Observe como sen α, cos α e tan α mudam à medida que B se movimenta ao longo do círculo. Em particular, B pode dar uma volta completa no círculo, o que permite etender as funções trigonométricas a qualquer ângulo 0 α π, e também para valores maiores ou até negativos. Os sinais das funções trigonométricas mudam dependendo do quadrante ao qual B pertence: o : sen α 0 cos α 0 tan α 0 3 o : sen α 0 cos α 0 tan α 0 o : sen α 0 cos α 0 tan α 0 4 o : sen α 0 cos α 0 tan α 0 Várias propriedades podem ser obtidas a partir do círculo trigonométrico. Por eemplo, observe que α e α têm o mesmo cosseno, mas que ao transformar α em α, o seno muda de sinal. Portanto, cos( α) = cos α, sen( α) = sen α, tan( α) = tan α. (.9) Eercício.0. Prove as identidades: cos(π α) = cos α, sen(π α) = sen α, tan(π α) = tan α. (.0) cos(π + α) = cos α, sen(π + α) = sen α, tan(π + α) = tan α. (.) cos( π α) = sen α, sen( π α) = cos α, tan( π α) = cotan α. (.) cos( π + α) = sen α, sen( π + α) = cos α, tan( π + α) = cotan α. (.3) A cotangente, definida por cotan α:=, apareceu naturalmente. tan α Eercício.. Complete a seguinte tabela graus 0 30 45 60 90 0 50 80 0 40 70 300 330 360 π π π π π 5π 7π 4π 3π 5π π rad 0 π π 6 4 3 3 6 6 3 3 6 sen 0 0 0 cos 0 tan 0 0 0 7

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS.3.3 Identidades trigonométricas As identidades do Eercício.0 deram algumas ligações entre seno, cosseno e tangente. O Teorema de Pitágoras dá também a relação Provaremos agora a identidade usando o seguinte desenho: cos α + sen α =. (.4) sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β, (.5) A α O β α B C E D Observe que sen(α + β) = d(a, C) = d(a, B) + d(b, C). Usando o ponto E (projeção ortogonal de A no segmento OD) e olhando para o triângulo OEA, temos d(o, E) = cos β e d(a, E) = sen β. Observe também que o ângulo BAE vale α. Portanto, d(a, B) = d(a, E)/ cos α = sen β/ cos α e d(b, E) = d(a, B) sen α. Por outro lado, d(b, C) = d(o, B) sen α, mas como temos o que prova (.5). d(o, B) = d(o, E) d(b, E) = cos β d(a, B) sen α = cos β sen β sen α = cos β sen β tan α, cos α sen(α + β) = sen β cos α + sen α( cos β sen β tan α ) = sen β cos α + sen α cos β sen β sen α cos α = sen α cos β + sen β cos α, 8

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS Eercício.. Prove as identidades: Eercício.3. Prove as identidades: sen(α β) = sen α cos β cos α sen β (.6) cos(α + β) = cos α cos β sen α sen β (.7) tan α + tan β tan(α + β) = tan α tan β (.8) cos(α β) = cos α cos β + sen α sen β (.9) tan α tan β tan(α β) = + tan α tan β. (.30) sen(α) = sen α cos α (.3) cos(α) = cos α sen α = cos α = sen α, (.3) tan α = sen α + cos α. (.33) Eercício.4. Calcule a equação da reta r que passa pelo ponto (, ), cujo ângulo com a horizontal é igual a 60 o. Eercício.5. Resolva:. cos = 0. sen = 3. sen = cos 4. sen = sen 5. sen + 3 sen = 6. sen 7. cos < 8. (cos + sen ) = 9. sen() = sen. 9

CAPÍTULO. FUNDAMENTOS 0

Capítulo Funções O conceito de função será o principal assunto tratado neste curso. Neste capítulo daremos algumas definições elementares, e consideraremos algumas das funções mais usadas na prática, que são as funções trigonométricas e as potências (eponenciais e logaritmos serão estudadas no próimo capítulo). Também começaremos a falar de gráfico de uma função desde a Seção.. A noção de função aparece, na prática, quando uma grandeza depende de uma outra. Por eemplo: Uma partícula evolui na reta. A trajetória é uma função que dá a sua posição em função do tempo: t (t). O volume e a superfície de uma esfera são duas funções que dependem ambas do raio: r 4 3 πr3, r 4πr. Um gás está contido num recipiente hermeticamente fechado, de temperatura fia mas de volume variável. A pressão no recipiente é função do volume: v p(v).. Definição e Eemplos Como visto acima, uma função f (de uma variável real) é um mecanismo que, a um número real, chamado entrada (ou variável), associa um outro número real construído a partir de, denotado f() e chamado saída (ou imagem). Essa associação costuma ser denotada: f(). Neste curso, a entrada e a saída serão ambos números reais. Veremos em breve que cada função precisa ser definida com um domínio. Eemplo.. A função multiplicação por dois (por eemplo 3 6, 3 6), a função valor absoluto (por eemplo 3 3, 3 3), a função

CAPÍTULO. FUNÇÕES quadrado (por eemplo 3 9, 3 69), e a função valor inteiro, onde é o maior número inteiro menor ou igual a (por eemplo 3 3,.5, 3.45 4), são todas bem definidas para qualquer real R. Eemplo.. Para definir a função inverso,, é preciso evitar uma divisão por zero, isto é, somente pegar uma entrada R \ {0}. Assim, a função f() = é bem definida uma vez que escrita da seguinte maneira:, é preciso ecluir os valores em que o denomi- Do mesmo jeito, para definir f() = nador é zero: f : R \ {0} R. f : R \ {, +} R. Os dois últimos eemplos mostram que em geral, uma função deve ser definida junto com o seu domínio, que dá os valores de para os quais f() é definida. O domínio será em geral denotado por D: f : D R f(). O domínio será, em geral, importante para garantir que f() seja bem definida. Mas às vezes, poderemos escolher um domínio particular somente por razões específicas, ou pelas eigências de um problema. Eemplo.3. As funções trigonométricas encontradas no Capítulo podem ser consideradas como funções no sentido acima. O seno, por eemplo, associa ao ângulo α de um triângulo retângulo a razão do lado oposto sobre a hipotenusa: α sen α. Aqui vemos que, pela origem geométrica do problema, é necessário especificar os valores possíveis de α: para o triângulo ser bem definido, o ângulo precisa tomar valores entre 0 e π (de fato, é delicado falar de lado oposto para um ângulo nulo ou maior que π ). Para indicar que a função assim definida pega a sua entrada no intervalo (0, π ), escreveremos sen : (0, π ) R α sen α. No entanto vimos que, usando o círculo trigonométrico, o seno de qualquer ângulo (mesmo negativo) pode ser definido, o que permite etender ele à reta real inteira: sen : R R α sen α. A função cosseno se define de maneira análoga. Mas, com a tangente, uma restrição é necessária. De fato, tan α = sen α e, a divisão por zero sendo proibida, a tangente não é cos α definida para ângulos α R tais que cos α = 0. Logo (veja o Eercício.5), tan : R \ { π ± kπ, k Z} R α tan α.

CAPÍTULO. FUNÇÕES Eemplo.4. A função raiz. Seja a R, e considere a equação z = a. (.) Sabemos (ver Seção..) que se a < 0, essa equação não possui soluções, se a = 0 ela possui a única solução z = 0, e se a > 0, ela possui duas soluções: z = a e z = a. Nesses dois últimos casos, quando a 0, definiremos a função raiz de a como sendo a solução positiva de (.), isto é, + a. Quando a < 0, a função raiz de a não é definida. Assim, a função raiz f() = é bem definida somente quando 0, o que se escreve da seguinte maneira: f : R + R. Por eemplo, para achar o domínio da função, é necessário que 0, isto é, que. Logo, f : (, ] R. Eercício.. Determine os domínios das seguintes funções:. +3 40. 5. 6. 9. 8 0. 8 3. cos 4. sen 3. 7.. 5. 4. + + 8.. 6. +.. Limitação Vimos que a função f() = é bem definida quando 0, mas observemos agora o que acontece com f() para os valores de perto de 0. Por eemplo, para os valores de positivos = 0., = 0.0,... = 0, = 00, = 000,..., = 0000000.... 0. 0.0 0.00 0.000000 Assim, vemos que a medida que > 0 se aproima de zero, atinge valores positivos arbitrariamente grandes. O mesmo fenômeno acontece para os valores de < 0: atinge valores negativos arbitrariamente grandes. Diz-se que a função é não-limitada. Uma função f com domínio D é dita limitada se eistir um número finito M > 0 tal que f() M D. Eemplo.5. A função seno é limitada. De fato, pela definição (olhe para o círculo trigonométrico), sen, isto é, sen para todo. Aqui podemos pegar M =. 3

CAPÍTULO. FUNÇÕES Eemplo.6. Como visto acima, a função f() = é não-limitada no seu domínio D = R\{0}. Do mesmo jeito, a função f() = (Eemplo.) é não-limitada, pois toma valores arbitrariamente grandes quando se aproima de + ou. Eemplo.7. Considere f() =. Observe que f é sempre não-negativa, e que o + numerador é menor do que o denominador para qualquer : +. Logo, o que prova que f é limitada (com M = ). 0 f() = + + + =, Eercício.. Determine quais das funções abaio são limitadas. Quando for o caso, dê um valor para M... tan 3. 5. + 3 + 4. 6. + sen. Gráfico Um dos nossos objetivos é de entender, pelo menos de maneira qualitativa, a dependência de uma função f() em relação à sua variável. Uma jeito de proceder é de representar a função no plano cartesiano, via o seu gráfico. O gráfico permite etrair a informação essencial contida na função, de maneira intuitiva, pois geométrica. Seja f uma função com domínio D. Esboçar o gráfico de f consiste em traçar todos os pontos do plano cartesiano da forma (, f()), onde D. Por eemplo, se f tem um domínio D = [a, b], (, f()) a b Ao varrer o seu domínio [a, b], o ponto (, f()) traça o gráfico de f. Eemplo.8. Retas não-verticais são gráficos de um tipo particular. Por eemplo, se f() = + tem domínio D = [0, ), o seu gráfico é um pedaço da reta de inclinação com ordenada na origem igual a : y 0 4

CAPÍTULO. FUNÇÕES Eemplo.9. Façamos o esboço da função f() =, com domínio D = [, ]. Lembre que pela definição de valor absoluto em (.6), = se 0, e = se < 0. Portanto, o gráfico de f é: ) entre e 0, a reta de inclinação passando pela origem, ) entre 0 e, a reta de inclinação passando pela origem: f() Os dois gráficos acima eram compostos essencialmente de retas. eemplo um pouco diferente. Vejamos agora um Eemplo.0. Considere f() = com D = [, ]. Como esboçar o gráfico? Por eemplo, os pontos (0, f(0)) = (0, 0), (, f()) = (, ), e (, f( )) = (, 4 ) pertecem ao gráfico. Traçando o gráfico completo: f() A curva obtida, chamada parábola, será usada inúmeras vezes nesse curso. Observação.. O gráfico acima foi feito com um computador. Primeiro, o computador escolhe pontos entre e +, digamos < < < n <, e calcula as posições ( j, f( j )). Em seguida, ele traça a linha poligonal formada pelos segmentos ligando ( j, f( j )) a ( j+, f( j+ )). Esse procedimento é chamado interpolação. Por eemplo, escolhendo n = 3, 5 ou 9 pontos no intervalo [, ]: Quando o número de pontos escolhidos é grande e j+ j é pequeno, a linha poligonal dá uma idéia do que deve ser o verdadeiro esboço (o gráfico do Eemplo.0 foi feito com n = 50, e já não dá mais para perceber que a curva é na verdade uma linha poligonal). 5

CAPÍTULO. FUNÇÕES O mesmo método permite usar o computador para esboçar o gráfico de qualquer função f : D R. Todos os gráficos dessa apostila foram feitos com esse método de interpolação. Enfatizemos que as ferramentas matemáticas desenvolvidas mais longe no curso, em particular a noção de derivada, permitirão etrair informações a respeito do gráfico de uma função dada, sem usar o computador. Isso será o objetivo do estudo de funções. Lá, o computador será usado somente como meio de verificação. Um problema inverso é de procurar uma função cujo esboço tenha características específicas. Eemplo.. Procuremos agora a função cujo gráfico é a metade superior do círculo de raio R = 4 centrado na origem: 4 4 Lembre (Seção..) que o círculo completo de raio 4 centrado na origem, γ, é formado pelos pontos (, y) tais que +y = 6. A função procurada será obtida isolando y nessa última relação. Para y = 6 ter soluções (aqui, y é a incógnita), é preciso impor que 6 0, o que implica 4 4. Assim, o domínio da função procurada é D = [ 4, 4] (como podia se adivinhar olhando para a figura acima). Assim, quando D, a equação acima possui duas soluções y = + 6 e y = 6. Para selecionar o semi-círculo superior, escolhamos a solução positiva. Portanto, a função cujo gráfico é dado pelo semi-círculo acima é: f : [ 4, 4] R 6. Eemplo.. Como a função valor absoluto, funções podem ser definidas por trechos. Por eemplo, com D = [, ), o gráfico da função { se < 0, f() = se 0 <, é formado pela reta de inclinação m = que passa pela origem entre = e = 0, e pela parte do semi-círculo de raio centrado na origem entre = 0 e = : Observe que essa função possui uma descontinuidade em = 0: ao variar entre pequenos valores < 0 e pequenos valores > 0, f() pula de valores perto de zero para valores perto de. 6

CAPÍTULO. FUNÇÕES Eercício.3. Dê uma função (e o seu domínio) cujo gráfico seja:. a reta horizontal que passa pelo ponto (, ). a parte inferior do círculo de raio 9 centrado em (5, 4) 3. a parte do círculo de raio 5 centrado na origem que fica estritamente acima da reta de equação y = 3 4. a parte do círculo de raio 5 centrado na origem contida no quarto quadrante Eercício.4. Esboce os gráficos das seguintes funções (todas com D = R):. f() = se, f() = caso contrário,. g() =, 3. h() =, 4. i() =, 5. j() =. Eercício.5. Determine quais curvas abaio são (ou não são) gráficos de funções. Quando for um gráfico, dê a função associada. 0.. Potências inteiras: p Já esboçamos o gráfico da função f() = no Eemplo.0. Vejamos agora o caso mais geral de uma potência f() = p, onde p Z (ecluiremos o caso p = 0, que corresponde a f() = ). Potências positivas Para potências positivas inteiras, p > 0, temos p = (p vezes), logo o domínio de p é sempre D = R. Quando p é positiva e par, isto é, p {, 4, 6,... }, então p 0 para todo, e os gráficos são da forma: p p = : p = 4 : p = 6 : 7

CAPÍTULO. FUNÇÕES Observe que todos os gráficos passam pela origem e pelos pontos (, ) e (, ), e que a função é não-limitada: toma valores arbitrariamente grandes longe da origem. Vemos também que quanto maior o p, mais rápido p cresce. Quando a potência p é positiva e ímpar, isto é, p {, 3, 5,... }, então há uma mudança de sinal: p 0 para 0, p 0 para 0. Os gráficos são da forma: p p = : p = 3 : p = 5 : Potências negativas A potência negativa p = já foi encontrada no Eemplo.. Se p < 0, escreveremos p = q com q > 0. Assim, p = q, que não é definida em = 0: f : R \ {0} R q Quando a potência q é par, isto é, q {, 4, 6,... }, então q gráficos são da forma: 0 para todo 0, e os q = : q q = 4 : q = 6 : Observe que para cada uma dessas funções, ao se aproimar de 0, f() cresce e toma valores arbitrariamente grandes: é não-limitada. Diremos (mais tarde) que há uma assíntota vertical em = 0. Também, quando toma valores grandes, f() decresce e toma valores arbitrariamente pertos de zero. Diremos (mais tarde) que a função tende a zero no infinito, e que a reta horizontal y = 0 é assíntota horizontal. Quando a potência é ímpar, a mesma mudança de sinal acontece, e os gráficos têm propriedades parecidas: 8

CAPÍTULO. FUNÇÕES q = : q q = 3 : q = 5 :.. Paridade Observemos algumas simetrias nos gráficos das funções p da seção anterior. Primeiro, para os valores de p pares, o gráfico de p é simétrico com respeito ao eio y, o que segue do seguinte fato: ( ) p = p. Por outro lado, para os valores de p ímpares, o gráfico de p é simétrico com respeito à origem (por uma rotação de 80 o ), o que segue do fato seguinte: ( ) p = p. De modo geral, uma função f é par se e ímpar se f( ) = f(), f( ) = f(),. Por eemplo, vimos que o cosseno é uma função par, cos( ) = cos, e que o seno é uma função ímpar: sen( ) = sen. Mas f() = + não é nem par, nem ímpar. De fato, basta achar um ponto no qual a propriedade não é verificada. Por eemplo, f( ) = 0, que não é igual nem a f(), nem a f(). Eercício.6. Determine quais das funções f abaio são pares ou ímpares (justificando a sua resposta). Quando não for nem par nem ímpar, dê um contra-eemplo.. 3 5 3. sen 5. sen(sen ) 7. sen + cos. 4. sen(cos ) 6. sen cos 8...3 Funções Trigonométricas Começemos com o gráfico de sen, para [0, π]: 9

CAPÍTULO. FUNÇÕES sen sen sen π π Se o seno for considerado na reta real toda, obtemos: 4π sen π π 4π Observemos nesse gráfico que o seno é uma função ímpar, e periódica, de período π: sen( + π) = sen, R. Geometricamente: o gráfico completo (para R) é obtido usando translações do gráfico da figura anterior (hachurado, feito para [0, π]). Essa propriedade pode ser provada analiticamente, usando (.): sen( + π) = sen(π + ( + π)) = sen( + π) = sen. Considerações análogas se aplicam ao cosseno: cos cos cos π π Quando considerado na reta real, o cosseno é par, e também tem período π: 4π cos π π 4π O esboço da função tangente é um pouco mais delicado. Como foi visto no início do capítulo, tan = sen é bem definida somente se é diferente de π ± kπ. Isso implica a cos presença de assíntotas verticais no gráfico: 30

CAPÍTULO. FUNÇÕES tan tan tan π π Quando considerado na reta real, tan π π Observemos que o período da tangente é π (e não π!), como foi visto em (.):..4 Transformações tan( + π) = tan, R. O gráfico de uma função f permite obter os gráficos de outras funções, via transformações elementares. Para simplificar, nesta seção consideraremos somente funções cujo domínio é a reta toda. Eemplo.3. Considere o gráfico da função f() =, a parábola do Eemplo.0. Qual é a função g cujo gráfico é o gráfico de f transladado de 3 unidades para a direita? +3 3 Vemos que o valor tomado por g em = + 3 deve ser o mesmo que o valor tomado por f em : g( ) = f(). Como = 3, g( ) = f( 3). Logo, a função procurada é g() = ( 3). 3

CAPÍTULO. FUNÇÕES De modo geral, suponha f() definida para todo, e a 0 um número fio. Defina a função g por g():=f( a). Então o gráfico de g é obtido transladando horizontalmente o gráfico de f de a unidades. Apesar do sinal, a translação é para a direita se a > 0, e para a esquerda se a < 0. Por outro lado, se b R, h():=f() + b é uma função cujo gráfico é o gráfico de f transladado verticalmente de b unidades. A translação é para cima se b > 0, para baio se b < 0. Eemplo.4. Esbocemos o gráfico da função f() = +. Completando o quadrado, f() = ( + ). Portanto, o gráfico de f é obtido a partir da parábola pela composição de uma translação horizontal de uma unidade para a esquerda, e em seguida uma translação vertical de uma unidade para baio: + (, ) É claro que o gráfico de g():= f() é obtido fazendo a refleão do gráfico em relação ao eio, e que o gráfico de h():=f( ) é obtido fazendo a refleão do gráfico em relação ao eio y. Portanto, se f é par, h e f têm o mesmo gráfico. Eercício.7. Considere uma função f definida na reta toda, e a reta vertical r : = a. Dê a função g cujo gráfico é obtido pelo gráfico de f por refleão em relação à reta r. Faça a mesma coisa com uma reta horizontal. Finalmente, estudemos o que acontece com g():= f(). Sabemos que o gráfico de g é o mesmo que o de f em todos os pontos onde f() 0. Por outro lado, quando f() < 0, então g() = f(), isto é, o gráfico de g em é o de f refletido em relação ao eio. Em outras palavras: o gráfico de f é obtido refletindo todas as partes do gráfico de f negativas, tornando-as positivas. Eemplo.5. Como é a parábola transladada de uma unidade para baio, o gráfico de é dado por: Eercício.8. Interprete todas as identidades trigonométricas do Eercício.0 como tranformações dos gráficos de sen, cos e tan. Eercício.9. Esboce os gráficos das seguintes funções: 3

CAPÍTULO. FUNÇÕES. f() = sen 3. h() = 5. j() = sen. g() = + 4. i() = sen 6. k() = ( ) Eercício.0. Uma partícula de massa m é lançada da origem com uma velocidade v = ( v h ) v v. A resolução da segunda equação de Newton mostra que a sua trajetória é dada pela função y() = g ( v h ) + v v v h, onde g é o campo de gravitação. Descreva essa trajetória. Em particular, calcule ) a qual distância a partícula vai cair no chão, e compare essa distância quando g é a constante de gravitação na superfície da terra (g = 9.8m/s ), ou na superfície da lua (g =.63m/s, seis vezes menor do que na terra) ) o tempo de vôo, ) as coordenadas (, y ) do ponto mais alto da trajetória. Um gráfico permite (em princípio) resolver uma inequação graficamente. Eemplo.6. Considere a inequação do Eemplo. (último capítulo), > 3. Com f() = e g() = 3, o conjunto das soluções da inequação, S, pode ser interpretado como o conjunto dos pontos onde o gráfico de f fica estritamente acima do gráfico de g: f() > g(). Como o gráfico de g é uma reta horizontal e o de f é o gráfico de transladado de duas unidades para a direita, f y g 5 vemos que todos os pontos em (, ) (5, ) satisfazem a essa condição, que é o que tinha sido encontrado anteriormente. Eercício.. Resolva graficamente:.. > 3. <.3 Montar funções Será sempre necessário, no estudo de certos problemas, montar uma função que satisfaça a algumas condições. Eercício.. Uma esfera é pintada com uma tinta cujo custo é de R$0, 00 por metro quadrado. Epresse o custo total da tinta necessária em função do raio (medido em metros) da esfera, T (r). Em seguida, a esfera é enchida de concreto, a R$30, 00 o metro cúbico. Epresse o custo total de concreto necessário em função da superfície (medida em metros quadrados) da esfera, C(s). 33

CAPÍTULO. FUNÇÕES Eercício.3. Considere um ponto P = (a, b) na reta y+ =. Epresse d(a) (respectivamente d(b)), a distância de P ao ponto Q = (, ) em função de a (respectivamente b). Eercício.4. Um recipiente cônico é criado girando o gráfico da função em torno do eio y. O objetivo é usar esse recipiente para criar um medidor de volumes (digamos, em metros cúbicos). Eplique como que a marcação do eio y deve ser feita: m 3, m 3,... Faça um esboço desse medidor. Eercício.5. Uma corda de tamanho L é cortada em dois pedaços. Com o primeiro pedaço, faz-se um quadrado, e com o segundo, um círculo. Dê a área total (quadrado + círculo) em função do tamanho do primeiro pedaço. Dê o domínio dessa função. Eercício.6. Um triângulo ABC é isócelo em A, com AB = AC =. Dê a área do triângulo em função do ângulo entre AB e AC. Em seguida, esboce essa função no seu domínio, e ache o ângulo para o qual a área é máima. Eercício.7. Considere a reta r : y = +, e os pontos P = (, 0), Q = (t, 0), t >. Seja R t a região delimitada pela reta r, pelo eio, e pelas retas verticais passando por P e Q. Esboce R t, e epresse a sua área A(t) em função de t. Eercício.8. Considere uma pirâmide Π de altura H, cuja base é um quadrado de lado L (H e L são constantes). Considere em seguida a pirâmide truncada Π obtida cortando Π horizontalmente, na altura de um ponto P na aresta lateral, como na ilustração. S P B Epresse o volume e a área da superfície de Π em função da distância = P B..4 Composição, contradomínio e imagem Sejam f e g duas funções reais. Definemos a composição de f com g como a nova função f g definida por (f g)():=f(g()). Isto significa que para calcular (f g)()), calculamos primeiro g(), g(), e em seguida aplicamos f: g() f(g()). 34

CAPÍTULO. FUNÇÕES Eercício.9. Sejam f() =, g() =, h() = +. Calcule + (f g)(0), (g f)(0), (f g)(), (g f)(), f(g(h( ))), h(f(g(3))). Como foi observado no eercício anterior, f g é em geral diferente de g f. Às vezes será necessário considerar uma função complicada como sendo uma composta de funções mais elementares: Eemplo.7. A função + pode ser vista como a composta + +, que significa que + = f(g()), com g() = + e f() =. Observe que podia também escrever + +, que dá a decomposição + = f(g(h())), onde h() =, g() = +, f() =. Eercício.0. Para cada função f a seguir, dê uma decomposição de f como composição de funções mais simples.. sen() 3. sen( ) 4.. sen Eercício.. Considere { + 3 se 0, f():= se < 0, Calcule f g e g f. g():= tan() { + se 3, se < 3. Lembramos que uma função é sempre definida junto com o seu domínio: f : D R g(). Em f : D R, o R foi colocado para indicar que qualquer que seja, f() é sempre um número real. Em outras palavas: a imagem de qualquer D por f é um número real. Vejamos em alguns eemplos que esse conjunto R pode ser mudado por um conjunto que represente melhor a função. Eemplo.8. Considere f : R R. Como 0 qualquer que seja R, vemos que a imagem de qualquer R por g é positiva. Logo, podemos rescrever a função da seguinte maneira: f : R [0, ). 35