Capítulo 1: Vetores Discussões iniciais; Aula 1 Noção intuitiva e definições; Notações. Noção intuitiva Existem grandezas, chamadas escalares, que são caracterizadas por um número (e a correspondente unidade): 20m² de área, 4m de comprimento, 7kg de massa,... Outras no entanto, requerem mais do que isso. Por exemplo, para caracterizarmos uma força ou uma velocidade, precisamos dar a direção, a intensidade (ou módulo) e o sentido. Tais grandezas são chamadas de vetoriais. Exemplos: velocidade, aceleração, momento, torque, peso, campo magnético, etc. Segmento orientado Definições Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado de extremidade. O segmento orientado de origem A e extremidade B será representado por AB e, geometricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento. Definições Direção e sentido Dois segmentos orientados não nulos AB e CD tem a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelos ou coincidentes
Definições Definições Segmentos equipolentes Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Se os segmentos AB e CD não pertencem à mesma reta, para que AB seja equipolente a CD é necessário que AB//CD e AC//BD, ou seja, ABCD deve ser um paralelogramo. Propriedades da equipolência Reflexiva: AB ~ CD Simétrica: Se AB ~ CD, então CD ~ AB Transitiva: Se AB ~ CD e CD ~ EF, então AB ~ EF Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB ~ CD. Se AB ~ CD, então AC ~ BD e temos um caso particular da propriedade simétrica, em que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo. Definições Definições Definição 1: Imagem geométrica ou representante de um vetor Definição 2:
Notações Notação - continuação a,b,c,... u,v,w... ou em negrito. Definições Definições Módulo ou Norma ( ) Versor Vetor nulo ( ) Vetor unitário Exemplo...
Definições Definições Vetor oposto Vetores colineares Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. São colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas, conforme as figuras. Proposição É dado um vetor u qualquer. Escolhido arbitrariamente um ponto P, existe um segmento orientado representando u com origem P, isto é, existeumpontobtalqueu=pb. Talrepresentaçãoéúnica. Definições Vetores coplanares Se os vetores não nulos u, v e w possuem representantes AB, CD e EF pertencentesaummesmoplanoπ,diz-sequeelessãocoplanares. Definições 3vetorespodemserounãocoplanares Dois vetores u e v são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes deuevpertencendoaumplanoπ quepassaporesteponto.
Vetores equiversos e contraversos Definições Capítulo 1: Vetores Aula 2 Dois vetores paralelos são equiversosse de mesmo sentido. Se de sentidos contrários, são contraversos Operações com vetores; Multiplicação de escalar por vetor; Ângulo entre vetores; Exemplos e exercícios. Exemplo... Operação de vetores Adição de vetores Adição ou soma Sejamosvetoresuevrepresentados pelossegmentosorientadosabebc. Propriedades Comutativa: u+ v= v+ u Associativa: (u+ v) + w= u+ (v+ w) Demonstre! Nulidade: Existe só um vetor nulo 0 tal que para todo o vetor vse tem: v+ 0= 0+ v= v Os pontos A e C determinam um vetor s que é, por definição, a soma dos vetoresuev,ouseja,s=u+v. Oposto: Qualquer que seja o vetor v, existe um só vetor v tal que v + (-v) = -v+ v= 0 Lei do cancelamento: u+ v= u+ w=v + w.
Demonstração Subtração de vetores Chama-se diferençade 2 vetores ue v, e se representa por d= u v, ao vetor u+ (-v). Dados 2 vetores u e v, representados pelos segmentos orientados AB e AC, respectivamente, é construído o paralelogramo ABDC. Asoma s=u+vérepresentadapelosegmentoorientadoad. Adiferença d=u vérepresentadapelosegmentoorientadocb. Operação de vetores Exemplos Graficamente, o vetor soma é o segmento orientado que fecha a poligonal, tendo por origem, a origem do primeiro vetor e por extremidade, a extremidade do último vetor. Conseqüências: a) Regra do Paralelogramo: b) Sob a forma de triplas: Dados os vetores
Exemplos Multiplicação por escalar Multiplicação por escalar Multiplicação por escalar Propriedades
Ângulo entre 2 vetores Ângulo entre 2 vetores Exemplos...
Lista 1 :>) Capítulo 1: Vetores Aula 3 Combinação Linear Combinação linear; Linearmente dependente e independente; Bases; Exemplos e exercícios. a) Teorema
Combinação Linear Vetores LD e LI b) Coplanariedade de vetores representados por triplas Definições : Uma seqüência (v) é linearmente dependente se v = 0 e linearmente independentesev 0. Um par ordenado (u,v) é linearmente dependente se u e v são paralelos. Caso contrário,(u,v) é linearmente independente. Uma tripla ordenada (u,v,w)élinearmente dependente se u,vewsãoparalelos a um mesmo plano. Caso contrário,(u,v,w) é linearmente independente. Sen>3,qualquerseqüênciadenvetoresélinearmentedependente. Exemplos Vetores LD e LI a) duplas: :>0... Resolver depois b) triplas:
Solução exercício 2: AB = αac + βad B A = α(c A) + β(d A) ( 8, 1, 3 ) = α( 4, 6, 2 ) + β( 1, 4, 3 ) 8 = 4 α β 1 = 6 α+ 4β 3 = 2α+ 3β β = 8 4 α β = 8 4 (3/2) β = 2 3 = 2α+ 3( 8 4α) 2α+ 12α= 24 3 14α= 21 α= 3/2 Logo, os pontos A, B, C e D são coplanares. lista 1 :>) Expressão cartesiana
Expressão cartesiana Expressão cartesiana Logo, e são Linearmente dependentes. Exemplos...
Resolução exercício 4: Exercício AC= αab C A =α( B A ) ( 4, 12, 8 ) = α( x 1, y + 1, 2 ) α( x 1) = 4 4x 4 = 4 x = 2 α( y + 1 ) = 12 4y + 4 = 12 y = 4 2α= 8 α = 4 Bases Chama-se base de V³ toda tripla ordenada linearmente independente E=(e 1,e 2,e 3 ). Lista :>) Sendo E = ( e 1, e 2, e 3 ) uma base, todo vetor u é gerado por e 1, e 2, e 3, ouseja,existemescalaresa 1,a 2,a 3 taisque u = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 Diz-se que a 1 é a primeira coordenada de u na base E, a 2 é a segunda coordenadadeunabaseeea 3 éaterceiracoordenadadeunabasee.
Bases Bases 1) Exemplos 2) Exemplos Solução: Solução:
Capítulo 1: Vetores Aula 4 Produto escalar; Produto vetorial; Produto misto; Exemplos e exercícios. Definição Produto escalar Nulidade do produto escalar Produto escalar Exemplos... Módulo de um vetor Sinal do produto interno Exemplos...
Versorde um vetor Produto escalar Ângulo de dois vetores Produto escalar Distância entre dois pontos Em coordenadas, temos que Exemplos... Condição de ortogonalidade ou. Assim a distância entre 2 pontos A(x 1, y 1, z 1 ) e Dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar deles é nulo. B(x 2, y 2, z 2 ) é definida por: e portanto,. Exemplos... Exemplos... Propriedades: Produto escalar Produto escalar Exemplo:
Produto escalar Produto escalar Projeção de um vetor sendo essa a projeção da componente escalar de vem u. No entanto, a projeção ortogonal de v na direção de u necessita ainda ser multiplicada pelo versor de u, representado por u*, resultando: Produto escalar Produto escalar Expressão Cartesiana do produto escalar Exemplo :...
Produto escalar Exemplo lista...
a) b) Produto vetorial c) Produto vetorial d) Produto vetorial e) Produto vetorial
Produto vetorial Produto vetorial f) Exemplos... Produto Vetorial Produto Vetorial g) Expressão Cartesiana do produto vetorial Tal expressão pode ser escrita usando o determinante, na forma: Exemplos......
a) Definição: Produto Misto c) Interpretação geométrica: Produto Misto b) Nulidade do produto misto:
Produto Misto Convenção de sinais: Produto Misto Exemplo... Produto Misto d) Volume do tetraedro: Produto Misto
e) Propriedades: Produto Misto Produto Misto Duplo Produto vetorial Exemplo...
Capítulo 2: Retas e planos em R³ Aula 5 Coordenadas Cartesianas 1. Sistema Cartesiano Ortogonal Coordenadas Cartesianas; Equações da reta; Exemplos e exercícios. 95 96
Coordenadas Cartesianas Coordenadas Cartesianas Particularidades: 97 98 Equações da reta Equações da reta Exemplo... 99 100
Equações da reta Equações da reta Exemplo... 101 102 Equações da reta Equações da reta Exemplo... 103 104
Equações da reta Equações da reta 105 106 Equações da reta Solução: Equações da reta Exemplo: 107 108
109 110 Capítulo 2: Retas e planos em R³ Aula 6 Posições relativas a retas; Paralelismo e ortogonalidade; Condição de coplanariedade; Exemplos e exercícios. 111 112
Posições relativas entre 2 retas Posições relativas entre 2 retas a) Coplanares e paralelas c) Reversas Exemplo... b) Coplanares e concorrentes Exemplo... 113 Exemplo... 114 Paralelismo e ortogonalidade Paralelismo e ortogonalidade b) Condição de ortogonalidade a) Condição de paralelismo Observação 115 116
Condição de coplanariedade Exemplo... 117 118 119 120
Capítulo 2: Retas e planos em R³ Aula 7 Equação geral do plano A) O plano é geradopor um ponto e dois vetores. Equação geral do plano; Casos especiais; Equação segmentária do plano; Exemplos e exercícios. (1) 121 122 Equação geral do plano B) O plano é individualizadopor dois pontos e um vetor. Equação geral do plano B) O plano é formadopor 3 pontos não colineares. (2) (3) 123 124
Equação geral do plano A resolução de cada determinante apresentado por (1), (2) ou(3)conduzaumaequaçãolinearde3variáveis: ax+ by+ cz+ d = 0 denominada equação geral do plano. Exemplo... 125 126 Casos especiais 2. caso. Casos especiais 1. caso. 127 128
3. caso. Casos especiais 4. caso. Casos especiais 129 Continua... 130 Casos especiais Casos especiais 131 132
Casos especiais - Exemplo Intersecção do plano com os eixos coordenados Exemplo... 133 134 Exemplo Equação segmentária do plano (1) 135 136
Equação segmentária do plano Exemplo (2) Substituindo (1) em (2) obtemos: Exemplo... 137 138 Capítulo 2: Retas e planos em R³ Aula 8 Vetor normal; Paralelismo e ortogonalidade Exemplos e exercícios. 139 140
Vetor normal Vetor normal Equação do plano que passa por um ponto e é ortogonal a um vetor. Demonstração: 141 Exemplo... 142 Exemplo Paralelismo e ortogonalidade 143 144
Paralelismo e ortogonalidade Paralelismo e ortogonalidade 145 146 complementares 147 148
A figura abaixo representa um galpão, na qual os números correspondem as suas dimensões. Pergunta-se 149 150 151 152
Capítulo 2: Retas e planos em R³ Distância entre ponto e reta Aula 9 Distâncias entre ponto e reta; Distâncias entre ponto e plano; Distâncias entre duas retas; Ângulo entre planos; Exemplos e exercícios. 153 Exemplo... 154 Distância de um ponto a reta Distância entre ponto e plano Exemplo... 155 Exemplo... 156
Distância entre duas retas Distância entre duas retas 157 Exemplo... 158 Ângulo entre planos 159 160
Capítulo 3: Cônicas Aula 10 Parábola; Definições; Forma reduzida; Exemplos e exercícios. 161 162 Cônicas Parábola 163 164
Parábola Equação canônica para V = 0 (origem) Parábola 165 166 Parábola Parábola Observação: 167 168
Parábola Equação canônica para V = ( X0, Y0 ) Parábola 169 170 Parábola Aplicações: Parábola 171 172
Parábola Parábola 173 174 Parábola Exemplo 175 176
177 178 Capítulo 3: Cônicas Aula 11 Definição: Elipse Elipse; Definições; Forma reduzida; Exemplos e exercícios. 179 180
Elipse Equação na forma reduzida com centro em (0,0): Elipse. Observação: Se a forma canônica é dada por: Exemplo... senão, 181 182 Excentricidade: Elipse Elipse Equação canônica cujo centro está em ( X0, Y0 ) 183 184
Elipse Aplicações: Elipse 185 186 Elipse 187 188
189 190 191 192
Capítulo 3: Cônicas Aula 12 Definição: Hipérbole Hipérbole; Definições; Forma reduzida; Exemplos e exercícios. 193 194 Hipérbole Hipérbole Elementos: Excentricidade: 195 196
Hipérbole Equação canônica com hipérbole centrada na origem Hipérbole Equação canônica com hipérbole centrada na origem Observação: 197 198 Hipérbole Identificação de uma hipérbole com centro na origem Hipérbole Equação canônica com hipérbole centrada em (Xo,Yo) Exemplo: Exemplo: 199 200
Hipérbole Hipérbole Aplicações: 201 202 Hipérbole d) Na construção de usinas atômicas, barras retilíneas se cruzam para obter estruturas extremamente forte, uma vez que podemos mostrar que o hiperbolóide de uma folha gerado pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo transverso é também gerado por umareta, ou seja pode ser considerado como sendo formado por uma união de retas(superfície regrada). 203 204
Resp1.: 205 206 Complementares Complementares 207 208
complementares Capítulo 3: Quádricas Aula 13 Definições gerais; Identificação; Gráficos e equações; Esfera, (Parabol,Elips,Hiperbol)-óide; Exemplos e exercícios. 209 210 Quádricas Quádricas 1. Definição: 2. Exemplos: 211 212
Gráficos Esfera 3. Equações de Curvas em R 3 : 213 Exemplos... 214 Elipsóide Para esboçar o gráfico das quádricas é útil determinar a intersecção da superfície com planos paralelos aos planos coordenados. Essas curvas são denominadas traços(ou secções transversais) da superfície. Elipsóide Exemplo: Utilize traços para fazer o esboço da quádrica com equação A figura abaixo mostra como representar no esboço alguns traços para indicar a forma da superfície. Essa superfície é chamada elipsóide, visto quetodososseustraçossãoelipses.noteasimetriaemrelaçãoacadaplano coordenado; isto é reflexo do fato de só aparecerem potências positivas de x, yez. Gráfico gerado usando a seguinte equação: 215 216
Parabolóide Exemplo: Utilize traços para esboçar a superfície z= 4x² + y². Impondo x = 0, obtemos z = y², de forma que no plano yz a intersecção da superfície é uma parábola. Parabolóide Sabendo a forma dos traços podemos esboçar a figura abaixo. Pelo fato de os traços serem parábolas e elipses, a quádrica é denominada parabolóide elíptico. Se tomarmos x = k (uma cte), obteremos z = y² + 4k². Isto significa que se deslocarmos o gráfico para um plano paralelo ao plano yz obteremos uma nova parábola com concavidade voltada para cima. Da mesma forma, tomando y = k, o traço é z = 4x² + k², que corresponde novamente a uma parábola com concavidade para cima. Impondo z = k, obteremos os traços horizontais 4x² + y² = k, que reconhecemos como uma família de elipses. 217 218 Hiperbolóide Exemplo: Esboce a superfície z = y²-x² Os traços nos planos verticais x = k são parábolas z = y² x² com concavidade voltada para cima. Hiperbolóide Os traços movidos para suas posições nos planos corretos geram os gráficos. Ostraçosemy=ksãoparábolasz=-x²+k²,comconcavidadevoltada para baixo. Ostraçoshorizontaissãoy² x²=k,umafamíliadehipérboles. Na figura abaixo desenhamos esses traços e mostramos como eles aparecem quando colocados nos planos corretos na figura do próximo slide. Os3gráficosjuntosformamasuperfíciez=y² x²,umparabolóidehiperbólico. 219 220
Equações A idéia de usar os traços para desenhar a superfície é empregada em programas que fazem gráficos tridimensionais. Na maioria desses programas os traços nos planos verticais x = k e y = k são apresentados para valores de k igualmente espaçados, e partes do gráfico são eliminadas utilizando-se a técnica de remover linhas escondidas. A tabela a seguir mostra gráficos de computador de seis quádricas básicas na forma padrão. Todas as superfícies são simétricas em relação ao eixo z. Se uma quádrica é simétrica em relação a um eixo diferente, sua equação se modifica de modo apropriado. 221 222 Equações Como identificar a superfície quádrica? As equações das sup. quádricas tem certas características que tornam possível identificar as quádricas que são deduzidas dessas equações por reflexões. Essas características identificatórias, mostradas na tabela, são baseadas em escrever a equação da sup. quádrica de tal forma que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo e que haja um 1 ou 0 no lado direito. Verifique a veracidade das assertivas a seguir: 223 224
225 226 Capítulo 4: Sist. de Eq. Lineares Aula 14 Introdução; Eliminação de Gauss; Formas escalonadas; Exemplos e exercícios. 227 228