Introdução ao Controle Automático de Aeronaves Momentos Aerodinâmicos. Atmosfera Padrão. Equações nos eixos do Vento. Dinâmica Longitudinal. Leonardo Tôrres torres@cpdee.ufmg.br Escola de Engenharia Universidade Federal de Minas Gerais/EEUFMG Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 1
Momentos Aerodinâmicos Os momentos aerodinâmicos são determinados de maneira independente das forças aerodinâmicas: L = qs w b w C l Rolamento; M = qs w c w C m Arfagem; N = qs w b w C n Guinada; Os coeficientes C l, C m e C n possuem tabelas próprias. Obs.: (i) De forma semelhante aos coeficientes das forças aerodinâmicas, as deflexões δ e, δ a e δ r das superfícies de controle irão produzir alterações nestes coeficientes, conduzindo ao surgimento de acelerações angulares. (ii) Envergadura: b w. Corda média da asa c w. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 2
Momento/Torque Total Para determinar o momento total atuando no veículo, é preciso considerar as seguintes parcelas: T ABC = [ L,M,N] + }{{} Momentos aero. + T thrust }{{} Momento tracao ( r aero. ref r C.G. ) F aero }{{} Forcas aero. + sendo que r aero. ref corresponde ao ponto, na estrutura da aeronave, em relação ao qual se mediu, originalmente, os momentos aerodinâmicos e as forças aerodinâmicas. Ou seja, originalmente r aero. ref = r C.G.. Entretanto, como o C.G. pode mudar de lugar, as forças aerodinâmicas podem produzir momentos adicionais. (1) Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 3
Momento da Força de Tração O momento produzido pelo motor depende da posição do propulsor (hélice ou bocal do jato) em relação ao C.G.: Alguns casos: T thrust = ( r motor r C.G. ) F thrust Motores abaixo do C.G. tendem a produzir momento de arfagem positivo. Motores no alto da empenagem vertical tendem a produzir momento de arfagem negativo. Em uma aeronave bimotor, a perda de um motor irá produzir momento de guinada. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 4
Sistema de Coordenadas Estrutural As posições do ponto de referência aerodinâmico r aero. ref., do motor r motor, e do C.G. r C.G. são representadas no referencial estrutural. Note que a origem deste referencial não é importante, pois necessitamos apenas dos valores dos deslocamentos ( r aero. ref. r C.G. ) e ( r motor r C.G. ). Entretanto, é necessário multiplicar as coordenadas x e z por -1, para que o resultado seja corretamente representado no eixo ABC. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 5
Atmosfera A atmosfera da terra é composta por diversas camadas: Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 6
Atmosfera - Troposfera As forças aerodinâmicas estão suscetíveis a variações atmosféricas. As principais variáveis a serem observadas na troposfera (até 11km acima do nível do mar, onde voam os aviões) são: 1. Densidade do ar ρ; 2. Velocidade do som (efeitos de compressibilidade) a; 3. Pressão estática P stat ; 4. Temperatura T atm. Para lidar com essas variações ao longo de toda a superfície da terra (diferentes climas e condições atmosféricas), definiu-se a chamada atmosfera padrão. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 7
Atmosfera Padrão O modelo para a troposfera: T = T +ch; P = P ( T T ) g cr ; ρ = ρ ( T T ) g cr 1 ; a = γrt; sendo T = 288,15K(15 o C), P = 11325N/m 2, g = 9,81m/s 2, ρ = 1,225kg/m 3, c = -,65K/m, R = 287,4J/kg/K e γ = 1,4. H é a altura em relação ao nível do mar, em metros. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 8
Efeitos de Compressibilidade Uma importante variável a ser observada para quantificar efeitos de compressibilidade no escoamento do ar, em torno do veículo, é o chamado número de Mach M: sendo que: M < 1 M > 1 M = V T a Regime subsônico; Regime supersônico;,8 < M < 1,3 Regime transônico; M > 5 Regime hipersônico. Obs.: (i) M muda a medida em que nos elevamos na atmosfera, mesmo para velocidadev T constante! (ii) Efeitos de compressibilidade do ar já são facilmente detectáveis em regime transônico. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 9
Velocidade do Avião em Relação a Atmosfera A velocidade v do avião em relação ao solo pode ser expressa de duas maneiras: v ABC = [U; V; W] e v W = [V T ; ; ] sendo que v ABC = S v W = R W2ABC v W, e: S = cαcβ cαsβ sα sβ cβ sαcβ sαsβ cα logo: U = V T cos(α)cos(β); V = V T sin(β); W = V T sin(α)cos(β) (2) Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 1
Velocidade do Avião em Relação a Atmosfera De forma semelhante: V T = U 2 +V 2 +W 2 α = atan2 ( ) W ( U ; V β = asen ; V T ) (3) E esta velocidade coincide com a velocidade da aeronave em relação a atmosfera, se considerarmos que a atmosfera está parada em relação ao solo não há ventos. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 11
Velocidade do Avião em Relação a Atmosfera Entretanto, como incluir o efeito de ventos nas direções Norte (N), Leste (E) e Descendente (D)? Neste caso, a velocidade do avião em relação ao solo v ABC será diferente da velocidade do avião em relação a atmosfera v ABC : v ABC = v ABC + W ABC v ABC = v ABC R NED2ABC WNED, sendo W NED um vetor de novas entradas no modelo, que correspondem às velocidades da atmosfera em relação ao solo: W NED = W N W E W D. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 12
Velocidade do Avião em Relação a Atmosfera No cômputo das forças e momentos que agem sobre a aeronave, deve-se utilizar a velocidade U U W N v ABC = V = V R NED2ABC W E, (4) W W bem como nos cálculos de intensidade e direção do escoamento de ar usados para se determinar as forças e momentos aerodinâmicos, deve-se considerar a presença de ventos: v W = V T W D V T = (U ) 2 +(V ) 2 +(W ) 2 α = atan2 β = asen ( W ) ( U V V T ) Note que tanto v ABC, quanto v W representam a velocidade de translação da aeronave em relação ao solo. Os efeitos da atmosfera em movimento aparecerão no cálculo das forças e momentos aerodinâmicos ao se considerar V T, α e β (ou U, V e W ), ao invés de V T, α e β (ou U, V e W ). ; ; (5) Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 13
Equações de Translação Eixos do Vento Como as forças aerodinâmicas têm um papel determinante na dinâmica de uma aeronave, é interessante escrever as equações de translação nos eixos do Vento. Multiplicando ambos os lados da equação das forças pela matriz de rotação S = R ABC2W : S vabc = (S ω ABC ) (S v ABC )+ 1 M S FABC, S (Ṡ v W +S v W ) = ω W v W + 1 M F W, S Ṡ v W + v W = ω W v W + 1 M F W, sendo que v W = V T ; v W = V T e ω W = S P Q R = P W Q W R W. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 14
Equações de Translação Eixos do Vento É possível mostrar que: S Ṡ v W + v W = V T βv T αv T cosβ. Além disso, lembrando que B = R NED2ABC, tem-se F W = D C L }{{} F Aero. +S B Mg }{{} F Peso +S F T cosα T F T senα T }{{} F propulsao. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 15
Equações de Translação Eixos do Vento Na equação anterior, assumiu-se que a força propulsiva está contida no plano x z do eixo ABC, inclinada em relação a linha de referência da fuselagem de um ângulo α T : F T α T AY 14 Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 16
Equações de Translação Eixos do Vento Combinando as expressões anteriores, obtém-se V T = 1 M [F T cos(α+α T )cosβ D]+g 1 ; β = α = 1 [ F MV T cos(α+α T )senβ C]+ g 2 R T V W ; T 1 MV T cosβ [ F Tsen(α+α T ) L]+ g 3 V T cosβ + Q W cosβ ; (6) sendo g 1 g 2 = S B ; g 3 g onde g = 9,86m/s 2. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 17
Movimento Longitudinal As equações (6) podem ser consideravelmente simplificadas para um caso especial em que: A força lateral é nula C = ; Não há derrapagem β = ; As asas estão niveladas φ = ; Não há momento de rolamento e a velocidade angular P = ; Não há momento de guinada e a velocidade angular R =. Ou seja, toda a dinâmica da aeronave se manifesta somente no plano XZ do referencial ABC: a aeronave pode somente subir, descer, cabrar ( θ > ) e picar ( θ < ). Diz-se que as equações irão representar o Movimento Longitudinal. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 18
Movimento Longitudinal Fazendo ψ = (aeronave apontada para o norte), para fins de simplificação, podemos escrever: 1. β = (e β = ); 2. S = R ( α) = 3. Portanto, g 1 g 2 g 3 cα sα 1 sα cα = S B g e B = R (θ) = = g sen(θ α) cos(θ α) cθ sθ 1 sθ cθ ;γ = θ α 4. Além disso, ω W = S Q = Q W Q W = Q. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 19
Movimento Longitudinal As equações (6) podem ser reescritas como: V T = 1 M [F T cos(α+α T ) D] g sen(θ α) α = 1 [ F MV T sen(α+α T ) L]+ 1 g T V cos(θ α)+q. T (7) Além disso, as equações cinemática e dinâmica de rotação se reduzem a: θ = Q; Q = M J y ; (8) sendo que M é o momento total de arfagem (aerodinâmico + devido à tração, conforme equação (1)); e J y é o momento de inércia em torno do eixo Y do referencial ABC. Para encontrarmos um conjunto auto-contido de equações diferenciais, é preciso incluir a equação de evolução da altitude H, pois as forças L e D, e o momento M dependem da densidade do ar e, portanto, da altitude. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 2
Movimento Longitudinal A equação de variação da altitude pode ser escrita a partir da equação cinemática que relaciona a variação de posição da aeronave com sua velocidade em relação ao solo: p NED = B v ABC. Lembrando que β =, tem-se: v ABC = U W = V T cosα V T senα B v ABC = V T cos(θ α) V T sen(θ α). Logo, a variação da posição vertical (sentido de crescimento para baixo) pode ser escrita como: ṗ D = V T sen(θ α). (9) Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 21
Movimento Longitudinal Como a altitude é contabilizada no sentido contrário ao sentido de crescimento do eixo Z do referencial NED, devemos multiplicar a equação (9) por 1 para obtermos: Ḣ = V T sen(θ α). (1) A dinâmica longitudinal pode então ser representada por somente 5 equações diferenciais: V T = 1 M [F T cos(α+α T ) D] g sen(θ α) 1 α = [ F MV T sen(α+α T ) L]+ 1 g T V cos(θ α)+q; T θ = Q; Q = M J y ; (11) Ḣ = V T sen(θ α); sendo que γ = (θ α) é o ângulo de trajetória de vôo. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 22
Modelo Longitudinal: Incorporação de Ventos Como visto anteriormente, nas equações (11) a presença de rajadas de vento, ou qualquer outro deslocamento de ar atmosférico em relação ao solo, pode ser incorporada computando-se as forças e momentos aerodinâmicos usando-se as variáveis V T e α : em que V T = (U ) 2 +(V ) 2 +(W ) 2 α = atan2 ( W U ) ; U V W = V T cos(α) R NED2ABC V T sin(α) W N W D = V T cos(α) W N cos(θ)+w D sin(θ). V T sin(α) W N sin(θ) W D cos(θ) Note que para a análise do movimento longitudinal se considera que não existem ventos que levariam β, i.e. há somente ventos verticais e horizontais, e não há ventos laterais. Dep. Eng. Eletrônica EEUFMG p. 23