UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Análise e um Controlaor Baseao no Jaobiano Estimao a Planta Através e uma Ree Neural Pero Berretta e Luena Orientaor: Prof. Dr. Fábio Meneghetti Ugulino e Araújo Co-orientaor: Prof. Dr. Anrés Ortiz Salazar Natal, RN, ezembro e 2005
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Análise e um Controlaor Baseao no Jaobiano Estimao a Planta Através e uma Ree Neural Pero Berretta e Luena Orientaor: Prof. Dr. Fábio Meneghetti Ugulino e Araújo Co-orientaor: Prof. Dr. Anrés Ortiz Salazar Dissertação e Mestrao apresentaa ao Programa e Pós-Grauação em Engenharia Elétria a UFRN (área e onentração: Automação e Sistemas) omo parte os requisitos para obtenção o título e Mestre em Ciênias. Natal, RN, ezembro e 2005
Análise e um Controlaor Baseao no Jaobiano Estimao a Planta Através e uma Ree Neural Pero Berretta e Luena Dissertação e mestrao aprovaa em 16 e ezembro e 2005 pela bana examinaora omposta pelos seguintes membros: Prof. Dr. Fábio Meneghetti Ugulino e Araújo (orientaor) Prof. Dr. Anrés Ortiz Salazar (Co-Orientaor) Prof. Dr. Anré Laurino Maitelli (Examinaor Interno) Prof. Dr. Osar Gabriel Filho (Examinaor Externo) i
Agraeimentos Agraeço aos meus pais pela motivação que me eram para realizar este trabalho. Agraeço ao meu orientaor, Prof. Dr. Fábio Meneghetti Ugulino e Araújo, que me aompanhou ese o iníio me orientano, ajuano e inentivano bastante. Da mesma forma, agraeço ao Prof. Dr. Anrés Ortiz Salazar e ao Prof. Dr. Anré Laurino Maitelli, que também estiveram presentes ese o iníio o trabalho. Agraeço ao Prof. Dr. Franiso as Chagas Mota e ao Prof. Dr. Arião Duarte Dória Neto por nossas isussões sobre este trabalho. Tenho um agraeimento espeial ao Prof. Dr. Osar Gabriel Filho, que, mesmo seno e outra instituição, olaborou om o trabalho. Agraeço também ao Eng. José Soares a Costa Neto pelo tempo que eiou para nossos estuos em sua asa. Meus agraeimentos também vão para o Eng. Wagner Augusto Frantz e para o Eng. Miray Teixeira e Araújo Júnior por me ajuarem na iagramação esta issertação e orreção e erros. Agraeço ao Prof. Dr. Allan e Meeiros Martins por seu inentivo e ajua. Também são mereeores o meu agraeimento o Prof. Dr. Felipe Mirapalheta e seu grupo e pesquisa que me ajuaram bastante om seus onheimentos. ii
Resumo Este trabalho apresenta uma análise a lei e ontrole baseaa em um esquema híbrio inireto usano ree neural, proposto iniialmente por O. Aetona, S. Sathanathan e L. H. Keel. Implementações essa lei e ontrole, para uma planta e nível e seguna orem, resultaram em um omportamento osilatório, mesmo om a onvergênia o ientifiaor neural. Tais resultaos motivaram a investigação a apliabiliae essa lei. A partir isso, foram feitas análises matemátias e estabiliae e iversas implementações, om plantas simulaas e om plantas reais, om a finaliae e se analisar o problema. A análise mostrou que a lei foi esenvolvia esprezano-se ertos omponentes a inâmia a planta a ser ontrolaa. Seno assim, para plantas one esses omponentes têm uma influênia signifiativa em sua inâmia, a lei tene a falhar. Palavras-have: Controle Inteligente, Controle Aaptativo, Rees Neurais, Inteligênia Artifiial. iii
Abstrat This work presents an analysis of the ontrol law base on an iniret hybri sheme using neural network, initially propose for O. Aetona, S. Sathanathan an L. H. Keel. Implementations of this ontrol law, for a level plant of seon orer, was resulte an osillatory behavior, even if the neural ientifier has onverge. Suh results ha motivate the investigation of the appliability of that law. Starting from that, ha been mae stability mathematial analysis an several implementations, with simulate plants an with real plants, for analyze the problem. The analysis has been showe the law was esigne being espise some omponents of ynami of the plant to be ontrolle. Thus, for plants that these omponents have a signifiant influene in its ynami, the law tens to fail. Intelligene. Keywors: Intelligent Control, Aaptive Control, Neural Networks, Artifiial iv
Sumário CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO... 1 CAPÍTULO 2 REDES NEURAIS... 5 2.1. ALGORITMO DE RETROPROPAGAÇÃO... 8 2.2. TREINAMENTO SEQÜENCIAL E POR LOTE... 10 2.3. ACELERANDO A CONVERGÊNCIA... 10 CAPÍTULO 3 ESQUEMA DE CONTROLE... 13 3.1. O IDENTIFICADOR NEURAL... 16 3.2. O CONTROLADOR... 18 3.3. ALGORITMO DO ESQUEMA DE CONTROLE HÍBRIDO INDIRETO... 20 CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE ESTABILIDADE PARA O ESQUEMA DE CONTROLE... 22 4.1. ANÁLISE MATEMÁTICA PARA PLANTAS DE PRIMEIRA ORDEM... 24 4.2. ANÁLISE MATEMÁTICA PARA PLANTAS DE ORDEM MAIOR QUE UM... 28 CAPÍTULO 5 RESULTADOS... 31 5.1. RESULTADOS DO CONTROLE SEM O IDENTIFICADOR NEURAL... 32 5.2. RESULTADOS PARA PLANTAS SIMULADAS... 35 5.3. RESULTADOS PARA PLANTAS IMPLEMENTADAS EM UM COMPUTADOR ANALÓGICO... 38 CAPÍTULO 6 CONCLUSÃO... 46 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 48 v
Lista e Figuras Figura 1.1 Planta e nível e seguna orem a Quanser, onfiguração #2....3 Figura 2.1 Moelo e MCulloh e Pitts e um neurônio...5 Figura 2.2 Moelo e um neurônio baseao no moelo e MCulloh e Pitts...6 Figura 2.3 (a) Gráfio a função linear om σ = 1. (b) Gráfio a função logístia om σ = 4. () Gráfio a função tangente hiperbólia om ρ = ρ = 1...7 Figura 2.4 Exemplo e uma ree MLP e onfiguração 5-2-3....7 Figura 3.1 Controle não-híbrio ireto em malha fehaa...14 Figura 3.2 Controle não-híbrio ireto em malha aberta....14 Figura 3.3 Controle não-híbrio inireto...15 Figura 3.4 Controle híbrio inireto...16 Figura 3.5 Estrutura e moelo NNARX....17 Figura 4.1 Controle híbrio inireto etalhao....23 Figura 4.2 Esquema e ontrole sem o ientifiaor neural....23 Figura 4.3 Esquema e ontrole sem o ientifiaor neural e om o álulo o erro fora o bloo o ontrolaor...25 Figura 4.4 Diagrama e bloos o esquema e ontrole no omínio e z....25 Figura 5.1 Teste para a = 1, 1 e b = 1...32 Figura 5.2 Teste para a = 1 e b = 1...32 Figura 5.3 Teste para a = 0, 9 e b = 1....33 Figura 5.4 Teste para a = 1, 1 e b = 1, 5....33 Figura 5.5 Teste para a = 1 e b = 1, 5....33 Figura 5.6 Teste para a = 0, 9 e b = 1, 5...33 Figura 5.7 Teste para a = 1, 1 e b = 0, 5....34 Figura 5.8 Teste para a = 1 e b = 0, 5....34 Figura 5.9 Teste para a = 0, 9 e b = 0, 5....34 Figura 5.10 Teste para a = 1, 1 e b = 1...36 Figura 5.11 Teste para a = 1 e b = 1...36 Figura 5.12 Teste para a = 0, 9 e b = 1....36 Figura 5.13 Teste para a = 1, 1 e b = 1, 5....37 Figura 5.14 Teste para a = 1 e b = 1, 5....37 Figura 5.15 Teste para a = 0, 9 e b = 1, 5...37 Figura 5.16 Teste para a = 1, 1 e b = 0, 5....38 Figura 5.17 Teste para a = 1 e b = 0, 5....38 Figura 5.18 Teste para a = 0, 9 e b = 0, 5....38 vi
Figura 5.19 Computaor analógio GP-6 a Comyna....39 Figura 5.20 Teste para a = 0,9531 e b = 9,531....42 Figura 5.21 Teste para a = 0 e b = 10...43 Figura 5.22 Teste para a = 1,054 e b = 10,54....43 Figura 5.23 Teste para a = 0,9531 e b = 14,3....43 Figura 5.24 Teste para a = 0 e b = 15...43 Figura 5.25 Teste para a = 1,054 e b = 15,8....44 Figura 5.26 Teste para a = 0,9531 e b = 4, 766....44 Figura 5.27 Teste para a = 0 e b = 5....44 Figura 5.28 Teste para a = 1,054 e b = 5,268...44 vii
Capítulo 1 Introução Há alguns anos, a inteligênia artifiial (IA) vem seno uma área bastante promissora para ontribuir om a área e ontrole. Um bom motivo para isso, é que há uma erta ifiulae em se ontrolar sistemas não-lineares ou variantes no tempo om as ténias onvenionais e ontrole, e a inteligênia artifiial poe suprir essa falta. As rees neurais artifiiais (RNA), ou simplesmente rees neurais, são um bom exemplo e ferramenta a inteligênia artifiial que esempenha esse importante papel e omplementar ou substituir o ontrole onvenional. Isso se á evio à sua aaptabiliae através o aprenizao, generalização o mesmo e não-lineariae. O primeiro sistema e ontrole neural foi provavelmente um esenvolvio por Wirow e Smith [1] em 1963. Eles usaram uma ree neural Aaline para estabilizar e ontrolar o ato e equilibrar um pênulo invertio em ima e um arro. O arro se movia ao longo e um trilho uniimensional finito e reto. O ontrolaor foi exigio para equilibrar o pênulo invertio na posição vertial, manteno a posição o arro entro e ertos limites. Outras emonstrações e ontrole neural foram apresentaas posteriormente por outros autores omo, por exemplo, Waltz e Fu [2] em 1965; Mihie e Cahmbers [3] em 1968; e Barto et al. [4] em 1983. Um grane interesse em usar rees neurais para ontrole somente omeçou em torno e 1987. A partir a primeira Conferênia o IEEE (Institute of Eletrial an Eletronis Engineers), tem-se um signifiativo aumento e onferênias e artigos e jornais publiaos sobre ontrole. Esses artigos têm emonstrao que as rees neurais poem ser apliaas om 1
suesso para ontrole e sistemas não-lineares om inâmia esonheia [5]. Várias novas estruturas e ontrole neural foram propostas. Por exemplo, feebak error learning por Kawato et al. [6] em 1987, neural internal moel ontrol por Hunt e Sbarbaro [7] em 1991, neural preitive ontrol por Willis et al. [8] em 1992, forwar an inverse moeling por Joran e Jaobs [9] em 1990, neurofuzzy por Harris et al. [10] em 1993, generalize an speialize learnings por Psaltis et al. [11] em 1988. A partir e 1992, oorreu um aumento no uso e rees neurais om outros ontrolaores. Esses tipos e estruturas híbrias tentam tirar vantagem os pontos fortes e iferentes ontrolaores e evitar as falhas os esquemas e ontrole neural puros [5]. Conforme Narenra [12], em 1992, o ontrole aaptativo e sistemas não-lineares usano rees neurais iria evoluir, em termos gerais, na mesma ireção que o ontrole aaptativo e sistemas lineares seguiu nas últimas uas éaas. Em 2001, O. Aetona, S. Sathananthan e L. H. Keel partiiparam e um projeto patroinao pela NASA (National Aeronautis an Spae Aministration) e publiaram um artigo [13] na Proeeings of the Amerian Control Conferene, em Arlington, propono uma lei e ontrole baseaa no jaobiano a planta, ou seja, na erivaa parial a saía a planta om relação à entraa. Eles utilizaram uma ree neural RBF (e função e base raial), om treinamento em tempo e exeução, para ientifiar a planta, possibilitano o álulo o jaobiano a partir o moelo ientifiao a planta. Assim, o sistema e ontrole poe se auto-ajustar para atener a novos parâmetros e projeto ou à variação a planta. A estrutura e moelo o ientifiaor neural utilizao foi o NNARX (Neural Network AutoRegressive, external input) [14]. Já em 2003, A. L. Maitelli e O. Gabriel Filho [15] também hegaram a essa mesma lei e ontrole, porém, eles utilizaram uma ree neural MLP (multilayer pereptron) para ientifiar a planta. O algoritmo e treinamento a ree neural utilizao foi o e retropropagação [16]. Em ambas as publiações, o funionamento o sistema e ontrole foi valiao para uma planta não-linear e seguna orem simulaa, seguino uma referênia que variava no tempo. 2
Em 2005, implementamos esse esquema e ontrole para ontrolar uma planta simulaa e nível e seguna orem a Quanser [17], onfiguração #2, representaa na Figura 1.1. Os resultaos foram insatisfatórios, apesar e mostrar erta efiáia, evio à saía a planta fiar osilano em torno a referênia e não onvergir para ela. Saía 2 Saía 1 L 1 Orifíio Méio L 2 REGULAR L 2 BOMBA Orifíio Méio Figura 1.1 Planta e nível e seguna orem a Quanser, onfiguração #2. Devio a esse omportamento, resolveu-se investigar o que estava aonteeno e testar o sistema e ontrole om a planta real a Quanser [18]. Resultaos semelhantes foram obtios. Algumas vezes, o sistema fiava osilano muito evio ao sinal e ontrole ter valores absolutos muito granes seno saturaos para não anifiar o equipamento. Isso fazia om que o sinal e ontrole fiasse om uma forma e ona retangular. Então, resolveu-se testar om outras plantas a Quanser que estavam isponíveis no Laboratório e Engenharia e Computação e Automação (LECA), a Universiae Feeral o Rio Grane o Norte (UFRN). O esquema e ontrole foi testao em um servo-motor [19] e as mesmas araterístias foram observaas. Mais testes foram feitos om a planta ball an beam [19] e o ontrolaor não onseguiu ontrolar aequaamente. Para se entener melhor o que estava aonteeno, foi feita uma análise om plantas lineares e primeira orem simulaas (em um omputaor igital) e reais (em um omputaor analógio [20]). Foi usao um moelo genério e plantas lineares e primeira orem om atraso unitário para se analisar o omportamento resultante em várias plantas atribuino-se valores para os parâmetros o moelo genério. Uma breve introução às rees neurais é apresentaa no Capítulo 2, one também, o algoritmo e retropropagação é omentao. O Capítulo 3 trata o esquema e ontrole 3
[13],[15]; a estrutura e moelo utilizaa omo ientifiaor neural; e a lei e ontrole. No Capítulo 4, é feita uma análise matemátia e estabiliae para a lei e ontrole e a eterminação as onições e estabiliae para plantas lineares e primeira orem om atraso unitário, seno as prinipais ontribuições este trabalho. Outra ontribuição que foi feita é a valiação a lei e ontrole através e análises gráfias por meio e simulação omputaional e e implementação prátia e plantas feitas em um omputaor analógio. Alguns resultaos previamente obtios são mostraos e omentaos no Capítulo 5. O Capítulo 6 traz a onlusão e alguns omentários sobre suas perspetivas. 4
Capítulo 2 Rees Neurais Para se entener o funionamento e uma ree neural, é importante entener antes o funionamento e um neurônio artifiial. Um neurônio artifiial é um moelo aproximao e um neurônio biológio. Warren MCulloh, neurofisiologista, e Walter Pitts, matemátio, propuseram um moelo e neurônio (Figura 2.1) que é base para grane parte as rees neurais hoje em ia. b k (bias) x 1 w k1 Função e ativação Sinais e entraa x 2 x m w k2 w km Σ υ k Junção aitiva ϕ( ) Saía y k Pesos sináptios Figura 2.1 Moelo e MCulloh e Pitts e um neurônio. Um moelo e neurônio bastante utilizao que é uma pequena variação o moelo e MCulloh e Pitts é o mostrao na Figura 2.2. Matematiamente não há grane iferença, porém, ela existe na interpretação o bias ( b k ), que passa a ser onsierao omo um peso sináptio e uma entraa fixa om valor um, e na função e ativação ϕ, que eixa e ser exlusivamente o tipo limiar e passa a ser uma função matemátia qualquer. 5
Entraa fixa x 0 = 1 x 1 w = b (bias) k0 k w k0 w k1 Função e ativação Sinais e entraa x 2 x m w k2 w km Σ υ k Junção aitiva ϕ( ) Saía y k Pesos sináptios Figura 2.2 Moelo e um neurônio baseao no moelo e MCulloh e Pitts. Com esse moelo mostrao a Figura 2.2, poemos efinir alguns parâmetros: m υ = w x (2.1) k j= 0 kj j yk ( υ ) = ϕ (2.2) k one υ k é o ampo loal inuzio o neurônio k; y k é a saía o neurônio k; {w kj } é o onjunto e pesos que ligam nós j à entraa o neurônio k; o peso w k0 é o bias (b k ) o neurônio k; ϕ(υ k ) é a função e ativação, que, para os algoritmos e treinamento que utilizam sua erivaa, omo o e retropropagação isutio neste apítulo, eve ser uma função ontinuamente erivável. Nesse aso, as funções mais utilizaas são efinias nas expressões (2.3), (2.4) e (2.5): ( υ) = σ υ, σ > 0 ϕ (2.3) ϕ 1 1+ e ( υ) =, σ > 0 σ υ (2.4) ( υ) = ρ tanh ( σ υ), ( ρ, σ ) > 0 ϕ (2.5) one ρ e σ são onstantes. A expressão (2.3) efine uma função linear; a expressão (2.4) efine a função logístia, uma função não-linear o tipo sigmóie unipolar om amplitue entro o intervalo [ 0 ;1] ; e a expressão (2.5) efine a função tangente hiperbólia, função não-linear o tipo sigmóie bipolar om amplitue entro o intervalo [ ρ;ρ]. O termo sigmóie é evio ao 6
gráfio a função possuir um formato semelhante a um s. Na Figura 2.3 são mostraos gráfios as três funções. (a) (b) () Figura 2.3 (a) Gráfio a função linear om = 1 Gráfio a função tangente hiperbólia om ρ = ρ = 1. σ. (b) Gráfio a função logístia om σ = 4. () Uma ree neural onsiste em uma ree e neurônios om entraas onetaas a nós e fonte (valores externos) ou omputaionais (saías e neurônios). Existem várias arquiteturas e rees neurais, porém aqui só será aboraa a arquitetura as rees MLP (MultiLayer Pereptron). Um MLP onsiste em uma ree neural organizaa em amaas. A amaa e entraa é uma amaa e nós e fonte, ou seja, não possui neurônios, já a amaa e saía e as amaas oultas (esonias ou intermeiárias), são onstituías e neurônios (nós omputaionais). A Figura 2.4 ilustra um exemplo e MLP e onfiguração 5-2-3 (ino nós na amaa e entraa, ois nós na amaa oulta, três nós na amaa e saía). Camaa e entraa (nós e fonte) Camaa oulta (neuônios) Camaa e saía (neurônios) Sinal e entraa Sinal e saía Figura 2.4 Exemplo e uma ree MLP e onfiguração 5-2-3. Uma observação importante a se fazer é que aa neurônio a ree neural MLP tem um bias, que é um peso orresponente a uma entraa fixa, e valor igual a um, que está implíita na representação a ree neural, e não está seno onsieraa uma entraa externa, mas um parâmetro interno a ree. Uma forma prátia e se implementar o bias em um MLP 7
é aiionano um nó e valor fixo igual a um em aa amaa a ree, exeto na amaa e saía. 2.1. Algoritmo e Retropropagação Para treinarmos um MLP, uma as alternativas é utilizar o algoritmo e retropropagação (bak-propagation) [16]. Consiere o erro na saía o neurônio j, na iteração n (i.e. a apresentação o n-ésimo exemplo e treinamento), omo seno: e j ( n) ( n) y ( n), o neurônio j é um nó e saía = (2.6) j j one j (n) é o valor esejao para a saía y j (n) o neurônio j na iteração n. O valor instantâneo a energia o erro para o neurônio j é efinio omo seno 1 e 2 2 j 1 e ( n ). 2 2 j O valor instantâneo ξ ( n) a energia total o erro é obtio somano-se os termos n e toos os neurônios a amaa e saía. Poemos então esrever ξ 1 = j (2.7) 2 2 ( n) e ( n) j C one o onjunto C inlui toos os neurônios a amaa e saía a ree. Consieremos que N represente o número total e parões (exemplos) ontios no onjunto e treinamento. Para se obter a energia méia o erro quarátio, soma-se os ξ ( n) para toos os n e epois ivie-se pelo tamanho o onjunto N, omo segue: N 1 ξ = ξ (2.8) me N n= 1 ( n) O objetivo o proesso e aprenizagem é ajustar os parâmetros livres a ree (pesos e bias) para minimizar a função e usto ξ me [16]. Para isso, é utilizaa a orreção w ji (n) apliaa ao peso w ji (n) na iteração n; a orreção é efinia por 8
( n) =η ( n) y ( n) w (2.9) ji δ j i one o graiente loal a amaa l é efinio por ( + 1 ) ( l+ ) j k n wkj ( n) ( l ) ( l ) j n ϕ j υ j ( n) ( l ) l υ ( n) δ e, neurônio j a amaa e saía l ( l) δ = j ( n) 1 (2.10) ϕ j, neurônio j a amaa oulta l k em que k são os neurônios a amaa e saía e o apóstrofo em ϕ j ( ) representa a ifereniação em relação ao argumento. As funções efinias pelas equações (2.11), (2.12) e (2.13), a seguir, expressam a erivaa as funções e ativação representaas nas equações (2.3), (2.4) e (2.5) respetivamente: ϕ υ = σ (2.11) = σ y ( n) 1 y ( n) ϕ υ j j (2.12) σ ϕ ( υ ) = ρ y j ( n) ρ y j ( n) ρ + (2.13) O ajuste os pesos sináptios a ree na amaa l é feito e aoro om a seguinte equação: ( 1) l l l ji ji ji w n + = w n + w n (2.14) Devio a um problema e onvergênia para um mínimo loal, aonselha-se utilizar a orreção omo seno [16]: w ( l ) ( l ) ( l 1 ) ( l n = δ n y ( n) + α w ) ( n 1) ji η (2.15) j i ji one η é o parâmetro a taxa e aprenizagem e α é o parâmetro e momento [16]. O valor para α e 0,95, por exemplo, é sugerio por Demuth e Beale [21]. 9
2.2. Treinamento Seqüenial e por Lote Há ois moos e se treinar uma ree neural MLP utilizano o algoritmo e retropropagação: seqüenial ou por lote. O treinamento seqüenial é feito om a apresentação e um exemplo e aa vez para ajustar toos os pesos, repetino esse proesso até atingir uma tolerânia esejaa para a energia méia o erro quarátio ξ me ou um número eterminao e iterações ou uma tolerânia esejaa para o erro máximo absoluto. Já no treinamento por lote, toos os exemplos são apresentaos e então os pesos sináptios são ajustaos amaa por amaa, a partir a amaa e saía até a amaa e entraa; esse proeimento se repete até que uma tolerânia esejaa para a energia méia o erro quarátio ξ me seja atingia ou que se atinja um número máximo e iterações eterminao ou uma tolerânia para o erro máximo absoluto. O treinamento seqüenial, e uma forma geral, é mais rápio, que o treinamento por lote. Porém, o treinamento por lote faz o erro osilar em intervalos pequenos, omparaos om os intervalos e osilação no treinamento seqüenial, na busa o mínimo global. Levano em onsieração essas araterístias, foi esolhio o métoo e treinamento seqüenial para a implementação o sistema. Seguno Haykin [16], é uma boa prátia tornar aleatória a orem e apresentação os exemplos e treinamento no treinamento seqüenial. É bom também tornar aleatórios os valores iniiais para os pesos a RNA em um intervalo pequeno e e simétrio, por exemplo, [ 1;1 ]. 2.3. Aelerano a onvergênia Uma heurístia para aelerar a onvergênia é sugeria por Demuth e Beale [21]. Ela sugere a utilização e um parâmetro a taxa e aprenizagem η variável. Esse η é ajustao a seguinte forma: 10
Se a variação, e uma époa para outra, a função e usto ξ me estiver e 0 a 4%, o parâmetro a taxa e aprenizagem η não sofre alteração; se for inferior a 0%, será aumentao em 5%; se for maior que 4%, será reuzio em 30%. Haykin [16] já apresenta quatro heurístias iferentes para aelerar a onvergênia a aprenizagem por retropropagação e um MLP. São elas: Caa parâmetro ajustável eve ter seu próprio parâmetro a taxa e aprenizagem (η ). Caa η eve poer variar e uma iteração para outra. Quano a erivaa a função e usto ξ me em relação ao peso sináptio w tem o mesmo sinal algébrio para iterações onseutivas o algoritmo, o parâmetro η para aquele peso partiular eve ser aumentao. Quano o sinal algébrio a erivaa a função e usto ξ me em relação a um peso sináptio partiular w alterna-se para várias iterações onseutivas o algoritmo, o parâmetro η para aquele peso eve ser reuzio. Essas heurístias que sugerem a variação o parâmetro a taxa e aprenizagem, além e aelerar a onvergênia, ajuam a evitar que os pesos sináptios, quano ajustaos, façam a função e usto osilar passano pelo mínimo a aa iteração o algoritmo e treinamento sem onvergir para ele ou sem atingir a tolerânia estipulaa, pois, quano isso oorre, o parâmetro a taxa e aprenizagem é reuzio para iminuir o passo. Um algorítimo e treinamento que implementa essas últimas quatro heurístias é o elta-bar-elta [22]. Ele utiliza um treinamento por lote em que, a aa iteração, os parâmetros a taxa e aprenizagem sejam alteraos e aoro om a variação o sinal a erivaa a função e usto ξ me om relação aos pesos w. Para omplementar essas quatro últimas heurístias, poe-se aresentar outra: Somente o parâmetro a taxa e aprenizagem e o sinal a erivaa a função e usto ξ me om relação ao peso sináptio w evem ser usaos para ajustá-lo, e não o valor e ξ me. 11
Essa última heurístia evita que os pesos as amaas oultas sejam ajustaos e forma mais lenta que na amaa e saía. Quano se usa o valor a erivaa a função e usto ξ me om relação ao peso w para ajustá-lo, quanto mais próximo w estiver a amaa e entraa, menor será o valor e ξ me, fazeno om que o ajuste e w seja menor, tornano mais lenta a onvergênia a ree. Além isso, o valor e ξ me não tem relação alguma om o valor ótimo para o ajuste o peso w, poeno ter valores altos e baixos urante o treinamento epeneno o seu anamento. Isso até atrapalha no ajuste o valor ótimo para o parâmetro a taxa e aprenizagem e w. O algoritmo Rprop (Resilient propagation) [23] engloba essa última heurístia às outras quatro anteriormente itaas, trabalhano no moo e treinamento por lote. Com uma pequena moifiação o algoritmo RPROP, Igel e Hüsken [24] onseguiram uma melhora notável no esempenho o treinamento e uma ree neural, esse algoritmo foi hamao e irprop (improve Rprop). 12
Capítulo 3 Esquema e Controle Diversas estratégias e ontrole neural já foram propostas, seno assim, não é viável avaliar profunamente toas elas. É importante se fazer uma pré-avaliação para se ter noção as mais promissoras antes a esolha e uma espeífia para se aprofunar e esobrir as falhas e omo orrigi-las. Neste apítulo, serão mostraas as araterístias mais relevantes e alguns esquemas e ontrole neural aaptativo a fim e se fazer uma esolha e um para se aprofunar. Os esquemas e ontrole neurais aaptativos são aqueles que utilizam o treinamento a ree neural (ou as rees neurais) em tempo real (on-line) para se aaptar à planta a ser ontrolaa. Essa opção e se esolher um ontrole aaptativo foi feita na busa e um ontrolaor mais genério possível, one possa se aaptar às iversas plantas que for ontrolar. Existem uas ategorias e ontrole aaptativo [25]: inireto e ireto. No ontrole aaptativo inireto, os parâmetros a planta são estimaos em tempo real e usaos para alular os parâmetros o ontrolaor. Esse esquema também é enominao e ontrole aaptativo explíito, porque o seu projeto é baseao em um moelo explíito a planta. Já no ontrole aaptativo ireto, o moelo a planta é parametrizao em termos os parâmetros o ontrolaor que são estimaos iretamente sem álulos intermeiários envolveno parâmetros estimaos a planta. Esse esquema também é enominao e ontrole aaptativo implíito porque seu projeto é baseao na estimação e um moelo implíito a planta. Os esquemas e ontrole usano ree neural, também poem ser iviios em ois grupos [5]: não-híbrios e híbrios. Os esquemas e ontrole neural não-híbrios são 13
ontrolaos somente pelas rees neurais. Já os esquemas e ontrole neural híbrios, utilizam rees neurais trabalhano om outros ontrolaores. Controle não-híbrio ireto Nos esquemas não-híbrios iretos, omo os a Figura 3.1 e Figura 3.2 [5], o treinamento a ree neural (ontrolaor neural) tem omo objetivo zerar a iferença entre o valor esejao para a saía a planta (referênia) e a saía a planta, e não a iferença entre um valor esejao para a saía a ree neural e a saía a ree neural. Isso implia na neessiae e retro-propagar o erro através a planta, ou seja, é neessário obter a saía a planta para aa iteração o algoritmo e treinamento. Assim, só é possível se fazer um ajuste nos pesos a ree neural uma vez a aa períoo e amostragem, pois a saía a planta só é lia a aa períoo e amostragem. Figura 3.1 Controle não-híbrio ireto em malha fehaa. Figura 3.2 Controle não-híbrio ireto em malha aberta. Controle não-híbrio inireto Nos esquemas não-híbrios iretos, evio ao algoritmo e treinamento o ontrolaor neessitar as saías a planta para se alular o erro e ajustar os pesos, e, omo a saía só é lia a aa períoo e amostragem, só é possível se fazer uma orreção e pesos por períoo e amostragem. 14
Já no esquema não-híbrio inireto a Figura 3.3, é possível se fazer vários ajustes e pesos urante um períoo e amostragem, pois existe um moelo a planta ientifiao por uma ree neural que poe ser usao para se ter uma saía estimaa a planta sem a neessiae e se esperar o próximo períoo e amostragem. O treinamento o ontrolaor poe ser feito juntano o ientifiaor já treinao om o ontrolaor e fixano-se os pesos o ientifiaor. Outra forma e se fazer o treinamento é alulano o jaobiano o ientifiaor já treinao (jaobiano estimao) e utilizano omo se fosse o jaobiano a planta e assim fazse o treinamento utilizano o jaobiano estimao omo se estivesse retro-propagano o erro através a planta. Figura 3.3 Controle não-híbrio inireto. Controle híbrio inireto Para evitar a neessiae e treinamento e uas rees neurais utilizaas no esquema e ontrole não-híbrio inireto, poe-se utilizar um esquema e ontrole híbrio inireto substituino-se o ontrolaor neural por uma lei e ontrole omo mostrao na Figura 3.4, eliminano, assim, o tempo gasto no treinamento o ontrolaor neural, e, onseqüentemente, reuzino o tempo utilizao urante um períoo e amostragem possibilitano sua reução. Esse foi o esquema e ontrole esolhio para ser avaliao neste trabalho, om uma lei e ontrole que utiliza o jaobiano o moelo ientifiao pela ree neural [13],[15]. 15
Figura 3.4 Controle híbrio inireto. 3.1. O Ientifiaor Neural Ientifiação e um sistema é a tarefa e inferir uma esrição matemátia, um moelo, e um sistema inâmio a partir e uma série e meias o sistema [14]. Existem vários motivos para se estabeleer esrições matemátias e sistemas inâmios. Apliações típias abrangem simulação, preição, eteção e falha e esenvolvimento e sistema e ontrole. As estruturas e moelo baseaas em ree neural, apropriaas para ientifiação e sistemas não-lineares, são generalizações as estruturas e moelo linear. Elas são araterizaas por seu vetor e regressão, ou seja, por um vetor que ontém as variáveis usaas para se estimar a saía o sistema. Algumas estruturas e moelo linear são: FIR (Finite Impulse Response), ARX (AutoRegressive, external input), ARMAX (AutoRegressive, Moving Average, external input), OE (Output Error) e SSIF (State Spae Innovations Form). Depeneno a esolha o vetor e regressão, iferentes estruturas e moelo neural emergem. Se o vetor e regressão for seleionao omo para moelos ARX, a estrutura e moelo é hamaa NNARX (Neural Network ARX). Do mesmo moo, NNFIR, NNARMAX, NNOE e NNSSIF. As estruturas e moelo NNFIR e NNARX são BIBO (Boune Input, Boune Output entraa limitaa, saía limitaa) estáveis por não possuírem realimentação a saía estimaa. Porém, o vetor e regressão a estrutura NNFIR não possui valores atrasaos a 16
saía a planta, exigino um número maior e valores a ser usao no vetor e regressão omposto somente e valores atrasaos a entraa a planta. Isso faz a estrutura e moelo NNARX a estrutura preferia quano o sistema a ser moelao é eterminístio ou o nível e ruío é insignifiante [14]. Devio a esses motivos, a estrutura e moelo esolhia para ientifiar a planta foi NNARX. A expressão matemátia a estrutura e moelo não-linear estenia NNARX é esrita omo yˆ [ k + ] = f ( y[ k + 1],..., y[ k + n], u[ k], u[ k 1],..., u[ k + n] ), (3.1) one ŷ é a saía estimaa a planta, k é o instante atual, = n y nu é o atraso a planta, n y é a orem a saía a planta, n u é a orem a entraa a planta, n = n y é a orem a planta, f é uma função, que poe ser não-linear, mapeaa pela ree neural, y é a saía a planta e u é a entraa a planta. A Figura 3.5 ilustra a estrutura e moelo NNARX. y[ k + 1]...... y[ k + n] u[ k] u[ k 1] u[ k + n] Ree Neural y^ [ k + ] Figura 3.5 Estrutura e moelo NNARX. A RNA utilizaa para mapear a função f foi um MLP que possui três amaas: a amaa e entraa om nós e fonte; a amaa oulta, om neurônios om função e ativação tangente hiperbólia; e a amaa e saía om um neurônio om função e ativação linear. Aqui, vale lembrar que aa neurônio a ree neural MLP tem um bias, que é um peso orresponente a uma entraa fixa, e valor igual a um, implíita na representação a ree neural. Essa entraa está seno onsieraa um parâmetro interno a ree, por isso não aparee omo uma entraa externa na representação a estrutura e moelo NNARX. 17
3.2. O Controlaor A iéia os trabalhos [13] e [15] para se ontrolar uma planta, está em se obter uma variação o sinal e ontrole que resulte em uma variação na saía a planta, fazeno om que sua saía onvirja para a referênia. O jaobiano [ k ] J + a planta isretizaa é a erivaa, ou seja, taxa e variação, a saía y [ k + ] om relação à entraa u [ k] representar o jaobiano no instante k + 1 omo segue [15]:. Poe-se J [ k + 1] y = [ k + 1] u[ k 1] y [ k + 1] u[ k 1] utilizano o métoo e Euler [26] para aproximar a erivaa, temos [ k ] [ k + 1] Isolano-se u [ k] e substituino [ k ] [ k + ] y[ k + 1] u[ k] u[ k 1] y J = (3.2) y + pelo seu valor esejao (e referênia) r +, temos a expressão a lei para o álulo o sinal e ontrole u no instante k : r[ k + ] y[ k + 1] u [ k] = u[ k 1] + (3.3) J[ k + 1] A lei e ontrole aa pela expressão (3.3) também poe ser euzia a partir a série e Taylor [26]. Seno f ( x ) uma função om m + 1 erivaas ontínuas, a série e Taylor para um ponto x próximo e * x é representaa pela seguinte expressão: ( * ) ( * x x x x ) * * * * * m * 2 3 f x = f x + f x x x + f x + f x + 2! 3! * x x + f x + Rm+ 1 x m! m (3.4) one R ( x) m 1 + tem qualquer uma as seguintes formas (ε é um ponto entre x e * x ): 18
m+ 1 R x = f Se for onsierao que [ k ] ( * x x ) m+ 1 ε ( m + ) m+ 1 1! 1 x m ( n+ 1 R ) m+ 1 x = x t f ( t) t * m! x anteriormente para se obter a lei e ontrole, poe-se fazer [13]: y + só epene e u[ k ], omo também foi feito [ ] = [ + ] x u k f x y k [ 1] = [ + 1] * * x u k f x y k e assim, substituino esses valores na série e Taylor trunaa no termo e primeira orem, temos [ ] [ 1] [ 1] ( [ ] [ 1] ) y k + = y k + + J k + u k u k (3.5) Isolano-se u [ k] e substituino y [ k + ] pelo seu valor esejao [ k ] expressão a lei e ontrole (3.3). r +, hega-se à Levano em onsieração que a planta a ser ontrolaa é esonheia ou varia no tempo, pelo prinípio a equivalênia à erteza, poe-se utilizar no lugar os parâmetros a planta, os parâmetros o moelo ientifiao pela ree neural. Assim, a lei e ontrole fia e aoro om a expressão a seguir: r[ k + ] yˆ[ k + 1] u [ k] = u[ k 1] + (3.6) Jˆ[ k + 1] one ŷ é a saía a planta estimaa pela ree neural e Ĵ é o jaobiano estimao a planta, que, para uma estrutura e moelo NNARX om um MLP e três amaas e nós (uas e neurônios), é ao por 19
yˆ[ k + 1] y Jˆ[ k + 1] = = u[ k 1] yn y υ = υ (3) (3) 1 1 (3) (1) 1 yn+ 1 (3) P (2) (2) y ϕ 1 j υ j (3) = (3) w (2) (1) 1, j υ1 j= 0 υ j yn+ 1 (3) 1 (1) + 1 P y ϕ Jˆ[ k + 1] = w w υ (3) (2) 1 j (2) (3) (3) (2) j, n+ 1 1, j (3.7) 1 j= 0 υ j one p é o número e neurônios a amaa oulta, y υ (3) 1 (3) 1 é a erivaa a função e ativação o neurônio a amaa e saía (tereira amaa e nós) om relação ao seu ampo loal inuzio, ϕ υ (2) j (2) j são as erivaas as funções e ativação os neurônios a amaa oulta (seguna amaa e nós) om relação aos seus respetivos ampos loais inuzios. 3.3. Algoritmo o Esquema e Controle Híbrio Inireto O algoritmo o esquema e ontrole, apresentao a seguir, é uma esrição resumia mostrano apenas os proeimentos mais relevantes para a implementação. Detalhes o treinamento a ree neural e a ientifiação foram omitios no algoritmo por questão e simplifiação. É importante lembrar que na ientifiação, existe um número e exemplos máximo que eve ser efinio, e, quano esse limite é atingio, elimina-se o exemplo mais antigo para manter o número e exemplos entro o limite. Se a iniialização os pesos a ree neural NNARX for aleatória, o sinal e ontrole gerao iniialmente também será aleatório e servirá para exitar a planta, gerano uma saía, e assim, obtém-se o primeiro par e exemplos (entraa/saía) para o treinamento. 20
Programa Controle_Neural Iníio NNARX.Iniializar; Algoritmo o esquema e ontrole Repetir Iníio r[k + ] = Ler_Referênia; y[k] = Ler_Saía_a_Planta; y_estimao[k + 1] = NNARX.Estimar_Saía( k + 1 ); J_Estimao[k + 1] = Calular_Jaobiano_Estimao( k + 1 ); u[k] = Calular_Sinal_e_Controle; Apliar_Sinal_e_Controle( u[k] ); Fim Fim NNARX.Ientifiar_Planta; Próximo_Instante; No algoritmo, foi seguio um eterminao parão e representação: as palavras reservaas o algoritmo estão representaas em negrito; em itálio, são as variáveis; e as funções estão em formato normal. 21
Capítulo 4 Análise e Estabiliae para o Esquema e Controle Foi mostrao [17], no Congresso Brasileiro e Rees Neurais, em 2005, que o esquema e ontrole em questão não ateneu às neessiaes para a simulação o ontrole e nível em um sistema e tanques aoplaos a Quanser. A saía o sistema fiava sempre osilano perto a referênia, mas não onvergia. Por esse motivo, o esquema foi investigao na planta real e o mesmo problema foi verifiao. Testes foram feitos em outras plantas reais a Quanser omo Ball an Beam e Servomotor, e o esquema e ontrole também não teve esempenho satisfatório. Isso motivou a realização a investigação o problema através e análises matemátias, mostraas neste apítulo, e através e análises gráfias, mostraas no Capítulo 5. A Figura 4.1 mostra o esquema e ontrole om mais etalhes o que a Figura 3.4 para uma melhor avaliação. 22
Figura 4.1 Controle híbrio inireto etalhao. Para se analisar a lei e ontrole sem a influênia o ientifiaor neural, é suposto que o moelo a planta é sempre ientifiao sem erro. Para isso, basta utilizar os parâmetros a própria planta no lugar os parâmetros o ientifiaor neural que são usaos pela lei e ontrole. Assim, a lei e ontrole utilizaa seria a a expressão (3.3) e não a expressão (3.4) seguino o esquema a Figura 4.2. Figura 4.2 Esquema e ontrole sem o ientifiaor neural. 23
4.1. Análise Matemátia para Plantas e Primeira Orem O moelo genério, as plantas lineares isretas analisaas aqui, e que foram simulaas no Capítulo 5, é esrito pela expressão (4.1), onsierano o atraso = 1. [ ] [ k ] = a y[ k] bu[ k] y +1 + (4.1) Como a lei e ontrole foi euzia partino o prinípio que y[ k ] + só epene e u k, ela seria perfeita para a planta om a = 0, fazeno sua saía ir para a referênia no primeiro instante em que o sinal e ontrole atuasse e manteno-a na referênia nos instantes seguintes. Porém, quano a 0 onsieração toos os parâmetros a inâmia a planta., em eterminaos asos a lei falha porque não leva em Poemos mostrar que a estabiliae, neste aso, não epene e b, epene somente e a, fazeno uma análise e estabiliae no omínio e z. A expressão (4.3) mostra a função e transferênia a planta no omínio e z. [ + 1] = [ ] + [ ] = + y k a y k bu k Y z z ay z bu z P z Y z b = U z z a (4.3) Para failitar o entenimento, poe-se separar o álulo o sinal e erro a lei e ontrole e alular antes. A Figura 4.3 mostra omo fia o esquema om essa nova interpretação. A Figura 4.4 mostra o iagrama e bloos o esquema e ontrole no omínio e z. 24
Figura 4.3 Esquema e ontrole sem o ientifiaor neural e om o álulo o erro fora o bloo o ontrolaor. Figura 4.4 Diagrama e bloos o esquema e ontrole no omínio e z. A expressão (4.4) mostra a função e transferênia o ontrolaor no omínio e z, e k = r k + y k + 1 e o jaobiano J [ k + 1 ] = b. onsierano o erro [ ] [ ] [ ] u U [ k] = u[ k 1] ( z) = U ( z) C z [ k] e + b 1 E z + ( z) b z = b( z 1) U z (4.4) E z Juntano o ontrolaor om a planta, a função e transferênia fia e aoro om a expressão (4.5). Y z z G ( z) = C ( z) P( z) = E z z a z (4.5) ( )( 1) 25
Consierano o iagrama e bloos o esquema e ontrole mostrao na Figura 4.4, é possível alular uma função e transferênia geral o esquema e ontrole em malha fehaa [27] omo mostra a expressão (4.6). S z 2 Y z G z z = = (4.6) R z z 1+ G z z a z + a Para um sistema isreto ser estável, basta que as raízes o polinômio araterístio isreto (enominaor a função e transferênia no omínio e z ), quano igualao a zero, fiquem entro o írulo e raio unitário om entro na origem o plano artesiano omplexo z, ou seja, basta que os pólos tenham móulo menor que um [29]. 2 Para a equação z a z + a = 0 o nosso exemplo, one 2 a ± a 4 a z = (fórmula e 2 Básara), a onição z < 1 eve ser atenia para que o sistema seja estável, omo mostra a Figura 5.3, Figura 5.6 e Figura 5.9. Com isso, nota-se que a estabiliae epene apenas o valor e a para a planta e moelo genério que obeee à expressão (4.1). Caso z = 1, o sistema é osilatório, omo poe ser observao na Figura 5.2, Figura 5.5 e Figura 5.8. E, se z >1, o sistema é instável, omo mostra a Figura 5.1, Figura 5.4 e Figura 5.7. Como não fia fáil e se efinir as onições e estabiliae om relação aos parâmetros e um sistema e orem maior que um a partir os pólos, poe-se utilizar o ritério e estabiliae e Jury [28] para se fazer isso. Critério e estabiliae e Jury Consierano o polinômio araterístio e uma planta linear isreta representao a seguinte forma: n n 1 Q z = a z + a 1z + + a1z + a0, a > 0, (4.7) n n n poemos utilizar a seguinte tabela para se fazer o teste e Jury: 26
Tabela 4.1 Tabela para o teste e estabiliae e Jury z 0 z 1 a 0 a 1 2 a n an 1 n 2 b 0 b 1 2 bn 1 bn 2 n 3 0 1 2 n 2 n 3 n 4 2 z a n k z n 1 z a 1 n k z a n an n a a 0 a a k 1 b bn k bn 1 b bk 1 b 0 n k k 2 l l l l 0 1 2 3 l l l l 3 2 1 0 m 0 m 1 m 2 one os elementos e aa linha par a tabela são os elementos a linha preeente em orem reversa; e os elementos as linhas ímpares são efinios omo b k a a b b =, =, a a b b 0 n k 0 n 1 k k n k n 1 k 0 n 2 k k =, n 2 k (4.8) As onições neessárias e sufiientes para o polinômio Q ( z ) não ter raízes fora o írulo e raio unitário, om a n > 0, são as seguintes: Q 1 > 0 n Q 1 1 > 0 a b 0 < a n > b 0 n 1 > 0 n 2 m > 0 n 3 > m 0 2 (4.9) 2 No aso o polinômio araterístio Q( z) = z a z + a o sistema e ontrole ompleto om uma planta e primeira orem e atraso unitário, a tabela Jury é 27
0 z a 1 2 z z a 1 Para a onição Q ( 1) > 0, temos 2 Para a onição Q 1 1 > 0, temos 1 a + a = 1 > 0 1 1+ a + a = 1+ 2a > 0 a > 2 Para a onição a0 < a2, temos a < 1 1< a < 1 Juntano toas as onições, temos as seguintes onições e estabiliae para o sistema: 1 < a < 1 (4.10) 2 4.2. Análise Matemátia para Plantas e Orem Maior que Um Para plantas e maior orem, funiona a mesma lógia: o únio omponente a inâmia a planta que é levao em onsieração no álulo o sinal e ontrole é o jaobiano, portanto, plantas que poeriam ser ontrolaas, aso esses parâmetros tivessem sio levaos em onsieração na elaboração a lei e ontrole, poem não ser ontrolaas. Também é possível provar isso analisano o polinômio araterístio o sistema e ontrole om essa planta. Consierano uma planta isreta e orem n e atraso om a função e transferênia a seguinte forma: P z Y z n n 1 βn z + βn 1z + + β1z + β0 U z n n 1 z + αn 1z + + α1z + α0 = =, (4.11) 28
om o polinômio o numeraor n n 1 P z β z + β z + + β z + β (4.12) NUM n n 1 1 0 e o enominaor DEN n n 1 P z z + α z + + α z + α, (4.13) n 1 1 0 one βn é o jaobiano a planta, temos C z z = ( z 1) U z (4.14) E z βn Para failitar o entenimento om plantas e orem maior que um, poe-se representar a função e transferênia o ontrolaor omo segue: C z = z βn ( z 1) (4.15) Assim, temos C ( z) P ( z) G z P NUM = = β n z z ( z 1) P ( z) DEN S z PNUM z PNUM z z z βn βn Y ( z) G ( z) ( z 1) PDEN ( z) ( z 1) PDEN ( z) = = = 1 R( z) z 1+ G ( z) z P ( z) P ( z) z ( z 1) PDEN ( z) + z βn 1 βn 1+ z z 1 P z z 1 P z ( ) NUM NUM DEN ( ) DEN S z = P NUM β n ( 1) ( z) P ( z) NUM z PDEN z + z βn (4.16) 29
Consierano o polinômio araterístio o sistema representao pela função e transferênia a expressão (4.16), temos P = + ( 1) ( z) NUM Q z z PDEN z z βn β z + β z + + β z + β = ( z 1)( z + αn 1z + + α1z + α0 ) + z β n n 1 n n 1 n n 1 1 0 n ( αn 1 αn 2 αn 1 α0 α1 α0 ) n + 1 ( 1) n n 1 Q z = z + z + z + + z + β β β z + z + + z + z βn βn βn n n 1 n 1 1 + 1 0 (4.17) Pela expressão (4.17), perebe-se que os oefiientes o polinômio araterístio o sistema em malha fehaa são função e uma relação os oefiientes o sinal e entraa a planta (sinal e ontrole). Assim, a estabiliae o sistema e ontrole epene os oefiientes o sinal e saía a planta e e uma razão os oefiientes o sinal e entraa e o jaobiano, ou seja, epene os seguintes termos: β β β α α α β β β n 1 n 1,, 1, 0,,, 1, 0 (4.18) n n n Com isso, poe-se onluir que evio à lei e ontrole não onsierar os outros oefiientes o moelo a planta além o jaobiano βn, não há omo saber o quanto será a influênia as parelas que ontém esses oefiientes para se gerar um sinal e ontrole que orrija o erro e, ao mesmo tempo, anule a influênia essas parelas. Assim, quano a influênia as parelas que não ontém o jaobiano tiver valor absoluto maior que o valor absoluto a influênia a parela que o ontém, a lei tene a falhar. Isso já era esperao, pois, omo foi ito no Capítulo 3, a lei e ontrole foi riaa onsierano que a saía a planta [ + ] só epene a entraa [ ] y k entraas nos instantes anteriores. u k, e assim, esonsierano os outros termos, saías e 30
Capítulo 5 Resultaos Para omprovar a análise realizaa, foram feitos testes om plantas lineares baseaas na expressão (4.1). O ientifiaor neural foi valiao fazeno-se a previsão a saía a planta e omparano om a saía real obtia. Ele funionou omo esperao. Seno assim, não havia erro e programação om ele, então, o problema em questão só poeria estar surgino evio à lei e ontrole. Toa a implementação e programa omputaional foi feita através o C++ Builer 5 Entertprise, a Borlan. Os primeiros testes foram feitos para verifiar o funionamento a lei e ontrole. Para tanto, o ientifiaor neural foi eliminao para não influeniar nos resultaos e no seu lugar e se utilizar seus parâmetros na lei e ontrole, foram utilizaos os parâmetros a planta simulaa. A seção 5.1 mostra os resultaos esses testes. A seção 5.2 mostra os resultaos as simulações om o ientifiaor neural. Já a seção 5.3, mostra os resultaos o esquema e ontrole seno usao para plantas implementaas em um omputaor analógio. O sinal a referênia utilizao foi o mesmo utilizao por Aetona et al. [13] e Maitelli e Gabriel Filho [15] om uma pequena iferença: para = 0 expressão (5.1). k, r [ k] = 0, onforme mostrao na r 1 π k π k π k 1 + sen + sen + sen 0, para k = 0, 1, 2, [ k] = 2 50 100 150, para k = 1,2,3, (5.1) 31
5.1. Resultaos o Controle Sem o Ientifiaor Neural Nesta seção, serão mostraos os resultaos os testes feitos om o objetivo e verifiar a funionaliae a lei e ontrole. A melhor forma para isso é utilizar os parâmetros a planta simulaa na lei e ontrole ao invés e utilizar os parâmetros o moelo ientifiao pela ree neural. Isso faz om que os resultaos obtios reflitam a efetiviae a lei e ontrole inepenente o ientifiaor neural. Os primeiros resultaos om a utilização os parâmetros o moelo a planta simulaa na lei e ontrole foram obtios para plantas om b = 1 e a om valores iferentes. A Figura 5.1 mostra o resultao para a = 1, 1, a Figura 5.2 mostra o resultao para a = 1 e a Figura 5.3 mostra o resultao para a = 0, 9. Figura 5.1 Teste para a = 1, 1 e = 1 b. Figura 5.2 Teste para a = 1 e = 1 b. 32
Figura 5.3 Teste para a = 0, 9 e = 1 b. Nos testes om b = 1, 5, a Figura 5.4 mostra o resultao para a = 1, 1, a Figura 5.5 mostra o resultao para a = 1 e a Figura 5.6 mostra o resultao para a = 0, 9. Figura 5.4 Teste para a = 1, 1 e = 1, 5 b. Figura 5.5 Teste para a = 1 e = 1, 5 b. Figura 5.6 Teste para a = 0, 9 e = 1, 5 33 b.
Nos testes om b = 0, 5, a Figura 5.7 mostra o resultao para a = 1, 1, a Figura 5.8 mostra o resultao para a = 1 e a Figura 5.9 mostra o resultao para a = 0, 9. Figura 5.7 Teste para a = 1, 1 e = 0, 5 b. Figura 5.8 Teste para a = 1 e = 0, 5 b. Figura 5.9 Teste para a = 0, 9 e = 0, 5 b. Com as observações os resultaos anteriores, perebe-se que o esquema e ontrole funiona para ertos asos e falha para outros. Uma observação poe ser feita a respeito os parâmetros a planta em questão: omo emonstrao na seção 4.1, levano em onsieração 1 valores maiores que, quano a < 1, o ontrolaor umpre sua função fazeno a saía a 2 planta onvergir para a referênia; aso ontrário, ele falha. Isso inepene o valor e b, pois ele, neste aso, orrespone ao jaobiano a planta e é eliminao pelo sistema e 34
ontrole. No aso essas plantas e primeira orem om atraso unitário, somente o valor e a vai efinir se o sistema por ompleto será ou não estável. 5.2. Resultaos para Plantas Simulaas Depois os testes utilizano os próprios parâmetros a planta na lei e ontrole, foram feitos testes om os parâmetros o ientifiaor neural. Assim, a lei e ontrole utilizaa nos testes seguintes é esrita pela expressão (3.4). Levano em onsieração que o ientifiaor neural é treinao para pouos instantes, não é neessário utilizar uma estrutura e moelo não-linear para se ientifiar uma planta não-linear. Pois, supõe-se que o sistema, para aquele pequeno intervalo e tempo em que o moelo será utilizao, é sufiientemente linear. Seno assim, foi utilizaa uma ree neural linear no ientifiaor neural para se fazer os testes seguintes. Como uma ree neural linear não neessita e mais e uma amaa e neurônios [16], foi utilizaa somente uma. E, omo o sistema a ser ientifiao é e únia entraa e únia saía (SISO), é neessário apenas um neurônio nessa amaa e saía. O motivo e se utilizar uma ree neural linear, é que houve problema em alguns testes feitos om uma ree neural não-linear. O problema é que, algumas vezes, os neurônios a amaa oulta fiavam saturaos, valeno ρ ou ρ para a função e ativação tangente hiperbólia, ou valeno 0 ou 1 para função e ativação logístia. Quano se alulava o jaobiano estimao, ele valia zero evio às erivaas as funções e ativação valerem zero quano saturaas. O jaobiano estimao não poe ser zero, pois no álulo o sinal e ontrole ele é usao em um enominaor e uma fração. Se o jaobiano for zero, signifia que a saía a planta não varia om uma variação a entraa, portanto, a planta não poe ser ontrolaa. Outros ois motivos para se utilizar a ree neural linear é por seu tempo e treinamento ser menor e não há neessiae e se alular o jaobiano estimao, pois seu valor já está explíito no peso ligao à entraa u [ k]. Além isso, as plantas usaas nos testes seguintes foram lineares, não neessitano e um ientifiaor não-linear. 35
O algoritmo e treinamento utilizao para o ientifiaor neural foi o bakpropagation seqüenial om parâmetro e momento α = 0, 95 e om o parâmetro a taxa e aprenizagem aaptativo iniiano em η = 0, 01. O número máximo e exemplos foi três. Assim, a aa novo exemplo que surge, o mais antigo é eliminao o onjunto e exemplos e treinamento para manter no máximo três. O moelo geral as plantas usaas nos testes segue a estrutura a expressão (4.1). Nos testes para plantas om b = 1, a Figura 5.10 mostra o resultao para a = 1, 1, a Figura 5.11 mostra o resultao para a = 1 e a Figura 5.12 mostra o resultao para a = 0, 9. Figura 5.10 Teste para a = 1, 1 e = 1 b. Figura 5.11 Teste para a = 1 e = 1 b. Figura 5.12 Teste para a = 0, 9 e = 1 b. 36
Nos testes om b = 1, 5, a Figura 5.13 mostra o resultao para a = 1, 1, a Figura 5.14 mostra o resultao para a = 1 e a Figura 5.15 mostra o resultao para a = 0, 9. Figura 5.13 Teste para a = 1, 1 e = 1, 5 b. Figura 5.14 Teste para a = 1 e = 1, 5 b. Figura 5.15 Teste para a = 0, 9 e = 1, 5 b. Nos testes om b = 0, 5, a Figura 5.16 mostra o resultao para a = 1, 1, a Figura 5.17 mostra o resultao para a = 1 e a Figura 5.18 mostra o resultao para a = 0, 9. 37
Figura 5.16 Teste para a = 1, 1 e = 0, 5 b. Figura 5.17 Teste para a = 1 e = 0, 5 b. Figura 5.18 Teste para a = 0, 9 e = 0, 5 b. Os resultaos utilizano o ientifiaor neural foram semelhantes aos resultaos utilizano os próprios parâmetros a planta. Porém, observou-se que o omportamento ifere nos primeiros instantes, pois, neles, a ree neural aina não tem ientifiao perfeitamente a planta. 5.3. Resultaos para Plantas Implementaas em um Computaor Analógio O motivo e se implementar as plantas em um omputaor analógio, é que a planta se torna um sistema físio real, sujeito a ruíos e apresentano não-lineariaes quano seus 38