Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 03 Aula 8 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 4 - Distribuições Contínuas (Notas de Aula) Distribuição Uniforme Usada comumente nas situações em que não há razão para atribuir probabilidades diferentes a um conjunto possíveis de valores da variável aleatória em um determinado intervalo. Uma variável aleatória contínua X, definida no intervalo [a, b], tem distribuição Uniforme se sua função densidade de probabilidade for especificada por f(x) = { k para a x b 0 para x < a ou x > b O valor de k pode ser obtido da seguinte forma Logo, f(x) = b a k dx = k x b a= k = b a para a x b b a Sua Função de distribuição F (X) é dada por 0 para x < a ou x > b x a b a ds = x a b a
Sua média E(X) e Variância V (X) são dados por E(X) = b+a e V (X) = (b a) Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no intervalo [0,]. Qual a probabilidade de que esteja entre e,5? Distribuição Normal A distribuição Normal, também conhecida por distribuição Gaussiana, segunda lei de Laplace, Laplace, Laplace-Gauss, de Moivre, é uma família importante das distribuições contínuas de probabilidade, aplicável em muitas áreas (JOHNSON e KOTZ, 970). Suas propriedades, além de fundamentar decisões, medir e prevenir riscos e até explicar curiosidades, descrevem bem variáveis como comprimento de pinos e diâmetros de discos, altura, peso, inteligência e tempo de gestação de seres vivos, rendas e despesas de famílias ou categorias profissionais, rendimentos de máquinas e campos de trigo, qualidade do ar, velocidade de molécula, distribuições diamétricas e volumétricas de árvores, etc. Cada membro dessa família pode ser definido por dois parâmetros, locação e escala: a média µ e a variância σ, respectivamente. A distribuição normal padrão possui média zero e variância um (JOHNSON e KOTZ, 970). Uma variável normal, de modo geral, retrata bem fenômenos cujo efeito final corresponde à soma de múltiplas causas ou é afetado por diversas variáveis independentes (típico de variáveis físico químicas, socioeconômicas, psicossociais, etc). Carl Friedrich Gauss em 809 se tornou associado com essa distribuição quando ele analizou dados astronomicos, e definiu a equação desta densidade de probabilidade. Ela é frequentemente chamada de curva de sino porque o gráfico da sua densidade de probabilidade se assemelha um sino (JOHNSON e KOTZ, 970). Definição: Dizemos que uma v.a. X possui uma distribuição Normal (ou Gaussiana) com média µ e variância σ ( < µ < e σ > 0) se X possuir uma distribuição contínua com função densidade de probabilidade dada por: f(x) = σ π e ( ) x µ σ para < x <. Média E(X) = µ V (X) = σ Usaremos a seguinte notação: X N(µ, σ )
. Distribuição Normal Padrão A distribuição normal com média zero (µ = 0) e variância um (σ = ) é denominada distribuição normal padrão N(0, ). A função densidade de probabilidade de uma distribuição normal padrão é em geral representada por φ(x) e dada por φ(x) = e x π Se uma variável X tem uma distribuição normal com média µ e variância σ, então a variável Z = X µ σ Z é chamada de Variável Normal Reduzida, Normal Padronizada ou Variável Normalizada. As probabilidades para uma distribuição normal com qualquer média e variância podem ser determinadas através de Tabelas de uma distribuição normal padrão. Como ilustração, na Figura é apresentado o gráfico da função normal representada com diferentes parametrizações. Figura : Densidade da distribuição normal segundo diferentes parametrizações. 3
Exemplos do uso da Tabela. Seja X N(00, 5). Calcular a) P (00 X 06) b) P (89 X 07) c) P (X 4) d) P (X 08) Resolução µ = 00 e σ = 5, Z = X 00 5. a) P (00 X 06) = P (0 Z, ) = P (Z, ) P (Z 0) = 0, 8849 0, 5000 = 0, 3849 b) P (89 X 07) = P (, Z, 4) = P (Z, 4) P (Z, ) = 0, 99 0, 039 = 0, 9053 c) P (X 4) = P (Z, 8) = 0, 998 d) P (X 08) = P (Z, 6) = P (Z, 6) = 0, 945 = 0, 0548. Supor uma população em que o peso dos indivíduos seja distribuido normalmente com média 68 kg e desvio padrão 4 kg. Determinar a proporção de indivíduos a) abaixo de 66 kg b) acima de 7 kg c) entre 66 e 7 kg a) P (X < 66) = P (Z < 0, 5) = 0, 3085 b) P (X > 7) = P (Z > ) = P (Z ) = 0, 843 = 0, 587 c) P (66 < X < 7) = P ( 0, 5 < Z < ) = P (Z < ) P (Z < 0, 5) = 0, 843 0, 3085 = 0, 538 4
Exercícios. A dureza H de uma peça de aço pode ser pensada como uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [50,70] da escala Rockwel. Calcular a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60.. A variável aleatória X tem distribuição uniforme com parâmetros a = 5 e b = 0. Calcule as probabilidades: a) P (X < 7) b) P (8 < X < 9) c) P (X > 8, 5) 3. A distribuição da altura de plantas de Amaranthus hybridus, X, pode ser aproximada por uma distribuição normal de média 9,7 cm e desvio padrão,7 cm. A probabilidade de uma planta apresentar altura: a) entre 9,7 e 3,0 cm? b) acima de 3,0 cm? c) abaixo de 30,0 cm? 4. Certo tipo de armazenados de bateria dura, em média, três anos, com desvio padrão de 0,5 ano. Assumindo que a vida dos armazenadores é distribuída normalmente, encontre a probabilidade de que certo armazenador dure pelo menos,3 anos. 5. Uma indústria elétrica fabrica lâmpadas que têm vida útil, antes de queimarem, normalmente distribuída com média igual a 800 horas e desvio padrão de 40 horas. Encontre a probabilidade de que uma lâmpada queime entre 778 e 834 horas. 6. Certa máquina fabrica resistores elétricos com uma resistência média de 40 ohms e desvio padrão de ohms. Supondo que a resistência siga uma distribuiçao normal e que pode ser medida para qualquer grau de acuidade, qual é a porcentagem de resistores que terão uma resistência excedendo 43 ohms? 7. O diâmetro de uma cabo elétrico é normalmente distribuído com média 0,8 e desvio padrão 0,0. Qual é a probabilidade de que o diâmetro ultrapasse 0,8? 8. As massas das peças de um determinado lote têm distribuição normal, com média de 65,3 g e desvio padrão de 5,5 g. Encontre a probabilidade de peças com massas: a) entre 60 e 70 g; b) superiores a 63, g. 5