É um dos modelos mais u3lizados para representar diversos problemas de Engenharia (cálculo estrutural, circuitos elétricos, processos químicos etc.) Conservação da carga: i 1 i 2 i 3 = 0 i 3 i 4 i 5 = 0 Conservação da energia: 5i 1 + 5i 2 = V 5i 2 7i 3 2i 4 = 0 2i 4 3i 5 = 0 94 É uma etapa presente na resolução de vários problemas, como por exemplo, interpolação, ajuste de curvas (regressão), integração e equações diferenciais. Portanto, é importante que se obtenha uma implementação eficiente do método para solução do sistema linear, pois esta é a fase que geralmente consome a maior parte do tempo de processamento necessário para resolver o problema. 95
Forma algébrica Neste capítulo estuda-se como encontrar a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2! a n1 x 1 + a n 2 x 2 +... + a nn x n = b n 96 Forma matricial Este sistema pode ser escrito na forma matricial Ax = b, como a seguir: matriz dos coeficientes a 11 a 12! a 1n a 21 a 22! a 2n " a n1 a n 2! a nn x 1 x 2 " x n b 1 b 2 = " b n vetor dos termos independentes vetor das incógnitas 97
Métodos de solução Métodos Diretos. São métodos que determinam a solução x de um sistema Ax = b realizando um número finito de operações aritmé3cas. A solução ob3da por um método direto é exata, a menos de erros de arredondamento (possivelmente come3dos quando implementa-se o método de solução no computador); Métodos Itera3vos. São métodos que, a par3r de uma aproximação inicial x 0, permitem obter uma seqüência de aproximações que converge para a solução x*, considerando uma precisão definida a priori. Neste caso, é importante estabelecer medidas que limitem a propagação dos erros de arredondamento, visando não comprometer a estabilidade numérica do método. 98 Sistemas equivalentes Um sistema linear pode ser transformado em outro, mais simples, com a mesma solução do sistema original. Isto pode ser ob3do através das seguintes operações elementares: Mul3plicar uma equação E i por uma constante α 0, u3lizando a equação resultante no lugar de E i. Mul3plicar uma equação E i por uma constante α 0 e adiciona-la à outra equação E j, u3lizando a equação resultante no lugar de E j. Trocar as equações E i e E j de posição. 99
Sistemas equivalentes Exemplo: E 1 : x 1 + x 2 + 3x 4 = 4 E 2 : 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 E 3 : 3x 1 x 2 x 3 + 2x 4 = 3 E 4 : x 1 + 2x 2 + 3x 3 x 4 = 4 E 2 E 2 2E 1 E 3 E 3 3E 1 E 4 E 4 + E 1 E 1 : x 1 + x 2 + 3x 4 = 4 E 2 : x 2 x 3 5x 4 = 7 E 3 : 4x 2 x 3 7x 4 = 15 E 4 : 3x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 8 E 3 E 3 4E 2 E 4 E 4 + 3E 2 100 Sistemas equivalentes E 1 : x 1 + x 2 + 3x 4 = 4 E 2 : x 2 x 3 5x 4 = 7 E 3 : 3x 3 + 13x 4 = 13 E 4 : 13x 4 = 13 O sistema de equações tem agora uma forma triangular e pode ser resolvido por um processo de subs3tuição retroa3va. De E 4 tem-se x 4 = 1. Subs3tuindo o valor ob3do de x 4 em E 3, obtém-se x 3 = 0. Os dois valores ob3dos são subs3tuídos em E 2, resultando x 2 = 2. Finalmente, subs3tuindose x 2 e x 4 em E 1 tem-se x 1 = 1. 101
Matriz expandida A matriz expandida [ A b ] é a matriz ob3da pela agregação do vetor dos termos independentes após a úl3ma coluna da matriz dos coeficientes. a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2! "! a n1 a n 2 a nn b n 102 Método da Eliminação de Gauss Fase 1 - Triangularização: Realizar operações elementares sobre as linhas da matriz expandida [ A b ] até transformar a parte da matriz dos coeficientes em uma matriz triangular superior. // Etapas da eliminação Para k = 1 até n-1 // Eliminar o coeficiente da variável x k das linhas seguintes Para i = k+1 até n m ik a ik /a kk ; // Atualizar a linha i da matriz expandida linha i linha i - m ik *linha k Fase 2 - SubsQtuição: Determinar o valor das incógnitas a par3r do sistema triangular resultante. 103
Método da Eliminação de Gauss Após a triangularização, a matriz dos coeficientes vai estar na forma: a 11 a 12! a 1n a 22! a 2n " # a nn Dessa forma, após a triangularização, pode-se facilmente calcular o determinante da matriz A como a 11 a 22... a nn Uma vez que as operações de eliminação dependem apenas da matriz dos coeficientes, vários sistemas de equações lineares que u3lizam a mesma matriz dos coeficientes podem ser resolvidos simultaneamente. Exemplo: Ax 1 = b 1, Ax 2 = b 2,..., Ax m = b m. [ A b 1 b 2... b m ] 104 Fatoração LU Em alguns casos, entretanto, os vetores de termos independentes não são conhecidos desde o início, implicando em várias aplicações do Método da Eliminação de Gauss. Em vista disso, propõe-se aplicar as etapas da eliminação apenas à matriz dos coeficientes, visando fatorá-la como o produto de duas matrizes triangulares: A = LU onde L é uma matriz triangular inferior com diagonal unitária, e U é uma matriz triangular superior. Assim, o sistema linear Ax = b será escrito como LUx = b, podendo então ser resolvido em dois estágios: Ly = b (como L e b são conhecidos, determina-se y) Ux = y (como U e y são conhecidos, determina-se x) 105
Fatoração LU As matrizes L e U podem ser ob3das pela aplicação da fase de triangularização do Método da Eliminação de Gauss: L será a matriz composta pelos mul3plicadores; U é a matriz resultante do processo de eliminação. Exemplo. Determinar os fatores L e U de: 2 3 1 A = 4 4 3 2 3 1 106 Fatoração LU 1ª etapa: m 21 = a 21 /a 11 = 4/2 = 2 m 31 = a 31 /a 11 = 2/2 = 1 2ª etapa: m 32 = a 32 /a 22 = 6/ 2 = 3 2 3 1 0 2 1 0 6 2 2 3 1 0 2 1 0 0 5 1 0 0 1 0 0 Então: L = m 21 1 0 = 2 1 0, e U = m 31 m 32 1 1 3 1 2 3 1 0 2 1 0 0 5 107
Fatoração LU Exemplo: Resolver o sistema a seguir pelo método de fatoração LU: 2 3 1 x 1 5 4 4 3 x 2 = 3 2 3 1 1 Resolver dois sistemas triangulares, em seqüência: 1 0 0 y 1 5 Ly = b 2 1 0 y 2 = 3 1 3 1 1 Ux = y y 3 2 3 1 0 2 1 0 0 5 x 1 x 2 x 3 5 = 7 15 x 3 y 1 = 5 y 2 = 3 2y 1 = 7 y 3 = 1 y 1 3y 2 = 15 x 1 = (5 3x 2 + x 3 )/2 = 1 x 2 = ( 7 + x 3 )/( 2) = 2 x 3 = 3 108 Método de Gauss-Jordan Através de operações elementares pode-se ainda transformar uma matriz triangular em uma matriz diagonal unitária. O Método de Gauss-Jordan é uma extensão do Método de Gauss que visa transformar a matriz dos coeficientes A em uma matriz iden3dade I. Quando aplicado sobre a matriz expandida [ A b ], este método produzirá o seguinte efeito: [ A b ] [ I x ] Este método pode então ser aplicado para: Resolver sistemas: [ A b ] [ I x ] Determinar a inversa de uma matriz: [ A I ] [ I A -1 ] Ambos: [ A b I ] [ I x A -1 ] 109
Propagação de erros Em cada etapa k do processo de eliminação, admi3u-se que o elemento pivô a kk é diferente de 0. Se a kk = 0, pelo menos um dos demais coeficientes da coluna k deve ser diferente de zero, sendo necessário portanto mudar a ordem das equações. Entretanto, se a kk 0, o valor absoluto do mul3plicador correspondente será muito grande, aumentando a propagação dos erros de arredondamento. 110 Técnicas de pivotamento Isso pode ser evitado escolhendo-se como pivô um elemento com valor absoluto elevado, através da aplicação das seguintes estratégias: Pivotamento parcial: na etapa k, o pivô será escolhido como o elemento de maior valor absoluto na coluna k da sub-matriz resultante, procedendo à troca das linhas se necessário; Pivotamento completo: na etapa k, o pivô será escolhido como o elemento de maior valor absoluto da sub-matriz resultante, procedendo à troca de linhas e colunas se necessário. Com isso, os mul3plicadores assumem apenas valores no intervalo [ 1, 1], contribuindo para a estabilidade do processo. 111
Refinamento itera3vo Os erros de arredondamento causados pelo uso de computadores podem implicar que a solução do sistema Ax = b ob3da por um método direto não seja exata. Define-se r = b A x como o vetor resíduo referente à solução aproximada x encontrada pelo método direto. Então, o vetor r representa o quanto a solução calculada deixa de sa3sfazer ao sistema de equações original. Seja v = x x o vetor diferença entre a solução verdadeira x e a solução aproximada x. Dessa forma, Av = A(x x ) = Ax A x = b A x = r. Portanto, pode-se (teoricamente) resolver o sistema Av = r, determinando o vetor v e, conseqüentemente, a solução verdadeira x = x + v. 112 Refinamento itera3vo A dificuldade é que, como novamente é preciso resolver um sistema de equações lineares, ao invés do valor verdadeiro v, será ob3do um valor aproximado v, o que jus3fica a necessidade de emprego de um processo itera3vo: Seja x uma solução inicial do sistema Ax = b; Repetir: Calcular r = b A x ; Resolver o sistema Av = r, determinando v ; Fazer x = x + v ; Enquanto r 2 ε; r 2 = r i 2 A melhor forma para resolver os sistemas envolvidos é u3lizar a fatoração LU da matriz A. n i=1 113
Refinamento itera3vo Exemplo: O sistema linear abaixo tem como solução exata x = [1, 1, 1] T : 3.3330 15920 10.333 x 1 15913 2.2220 16.710 9.6120 x 2 = 28.544 1.5611 5.1791 1.6852 8.4254 Aplicando-se a eliminação de Gauss obtém-se a solução aproximada x = [1.20010, 0.99991, 0.92538] T, com arredondamento para cinco dígitos. O resíduo será: 15913 3.3330 15920 10.333 1.20010 0.00518 r = 28.544 2.2220 16.710 9.6120 0.99991 = 0.27413 8.4254 1.5611 5.1791 1.6852 0.92538 0.18616 r 2 = 0.3314 x 3 114 Refinamento itera3vo Resolvendo-se o sistema linear Av = r dado por: 3.3330 15920 10.333 2.2220 16.710 9.6120 1.5611 5.1791 1.6852 tem-se como solução v = [ 0.20008, 0.89987 10 4, 0.07461] T e a nova aproximação x para a solução do sistema será: x = x + v = [1.00000, 1.00000, 0.99999] T Como o resíduo ob3do com a nova aproximação atende r 2 < 10 5, o processo irá calcular apenas mais uma nova correção v, produzindo uma nova aproximação x que é suficientemente exata, considerando a precisão definida. v 1 v 2 v 3 0.00518 = 0.27413 0.18616 115
Métodos itera3vos Técnicas itera3vas envolvem um processo que transforma um sistema Ax = b em um sistema equivalente da forma x = Cx + d, para alguma matriz C e algum vetor d fixos. Uma técnica itera3va para resolver o sistema linear Ax = b começa com uma aproximação inicial x [0] e gera uma seqüência de aproximações que converge para a solução x, de acordo com o processo itera3vo: até que max { x [k +1] [k i x ] i } < ε. 1 i n x [k+1] = Cx [k] + d, k = 0, 1, 2, 3,... 116 Método de Gauss-Jacobi Supondo que a 11, a 22,..., a nn são diferentes de zero, podemos escrever: x 1 = (b 1 a 12 x 2... a 1n x n ) /a 11 x 2 = (b 2 a 21 x 1... a 2n x n ) /a 22! x n = (b n a n1 x 1... a n,n 1 x n 1 ) /a nn Seja x 1 [k],..., x n [k] a k-ésima aproximação para a solução do sistema. Podese, então, estabelecer o método itera3vo de Gauss-Jacobi: [k x +1] 1 = (b 1 a 12 x [k] [k 2... a 1n x ] n ) /a 11 [k x +1] 2 = (b 2 a 21 x [k] [k 1... a 2n x ] n ) /a 22! [k n = (b n a n1 x ] 1... a n,n 1 x [k] n 1 ) /a nn 117
Convergência do Método de Gauss-Jacobi Teorema (critério das linhas): Seja o sistema com n equações lineares: n j =1 a ij j i e seja α i =, i = 1,..., n. a ii n a ij x j = b i i =1,...,n j =1 Se max {α i i = 1,..., n } < 1, então o Método de Gauss-Jacobi converge, qualquer que seja a aproximação inicial (condição suficiente). Uma matriz que sa3sfaz o critério das linhas é denominada matriz estritamente diagonal dominante. 118 Convergência do Método de Gauss-Jacobi Exemplo: Seja o sistema: x 1 + 3x 2 + x 3 = 2 5x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 3 6x 2 + 8x 3 = 6 A matriz dos coeficientes desse sistema não sa3sfaz o critério das linhas, pois α 1 = ( 3 + 1 )/ 1 > 1. Entretanto, permutando-se a 1 a e 2 a linhas: 5x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 3 x 1 + 3x 2 + x 3 = 2 6x 2 + 8x 3 = 6 tem-se um sistema que é equivalente ao sistema original, mas agora a matriz dos coeficientes sa3sfaz o critério das linhas. 119
Método de Gauss-Seidel Melhora o desempenho do Método de Gauss-Jacobi, u3lizando as aproximações para x i [k+1] (i = 1, 2,..., i 1) já ob3das no cálculo das componentes seguintes: [k x +1] 1 = (b 1 a 12 x [k] 2 a 13 x [k] [k 2... a 1n x ] n ) /a 11 [k 2 = (b 2 a 21 1 a 23 x ] [k 3... a 2n x ] n ) /a 22 [k 3 = (b 3 a 31 1 a 32 2... a 3n x ] n ) /a 33! [k n = (b n a n1 1 a n 2 2... a n,n 1 x +1] n 1 ) /a nn Forma geral: i 1 n [k +1] i = b i a ij x j a ij x j j =1 j =i+1 [k] a ii, i =1, 2,...,n 120 Convergência do Método de Gauss-Seidel O critério das linhas pode ser u3lizado para análise de convergência do Método de Gauss-Seidel, entretanto um outro critério suficiente (menos exigente) pode ser estabelecido para este método. Teorema (critério de Sassenfeld). Seja o sistema linear Ax = b e sejam: β 1 = a 12 + + a 1n a 11 β i = a i1 β 1 + + a i,i 1 β i 1 + a i,i+1 + + a in a ii, i = 2,..., n. Se max { β i i = 1,..., n } < 1, então o método de Gauss-Seidel converge, qualquer que seja a aproximação inicial. Além disso, quanto menor for o valor de β, mais rápida será a convergência. 121
Convergência do Método de Gauss-Seidel Exemplo: Este sistema pode ser resolvido pelo Método de Gauss-Seidel? 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 9 x 2 + x 3 =1 x 1 + 3x 3 = 3 A matriz dos coeficientes desse sistema não sa3sfaz o critério das linhas e nem o critério de Sassenfeld: α 1 = β 1 = ( 3 + 1 )/ 2 > 1. Entretanto, permutando-se a 1 a e 3 a linhas e a 1 a e 3 a colunas: 3x 3 + x 1 = 3 x 3 x 2 =1 3x 3 + x 2 + 2x 1 = 9 tem-se um sistema que é equivalente ao sistema original, mas agora a matriz dos coeficientes sa3sfaz, pelo menos, o critério de Sassenfeld. 122 Métodos diretos métodos itera3vos. Métodos diretos: Mais eficientes em sistemas de pequeno porte, com matrizes de coeficientes densas (poucos elementos nulos). Com a fatoração LU, sistemas com a mesma matriz de coeficientes são resolvidos mais rapidamente. Métodos itera3vos: Melhor desempenho com matrizes de coeficientes esparsa (poucos elementos não nulos), devido ao menor número de operações aritmé3cas por iteração. São pouco vulneráveis à propagação de erros de arredondamento, pois u3lizam os coeficientes originais da matriz. Na existência de convergência, soluções mais precisas são ob3das de forma mais rápida. 123