Marodinâmia de Creimento em uma Eonomia Solow-Swan om Migração: Uma Abordagem de Jogo Evoluionário "!#$ UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO SÓCIO-ECONÔMICO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS Campu Univeritário Trindade CEP 88049-970 Florianópoli Santa Catarina Tel.: (48) 331.9458 Fax.: (48) 331.9776
MACRODINÂMICAS DE CRESCIMENTO EM UMA ECONOMIA SOLOW- SWAN COM MIGRAÇÃO: UMA ABORDAGEM DE JOGOS EVOLUCIONÁRIOS Jaylon Jair da Silveira RESUMO Introduz-e no modelo Solow-Swan a migração omo uma dinâmia atifaing. A onluão geral etá de aordo om a abordagem tradiional: a araterítia da eonomia dométia (ED) no etado etaionário dependem do aldo migratório líquido. Entretanto, novo reultado ão obtido. A ED não pode trilhar ua trajetória de reimento equilibrado omo uma perpétua reeptora/forneedora líquida de mão-de-obra. Cao a ED apreente em eu etado etaionário um aldo migratório líquido nulo, o tamanho de ua população depende da ondiçõe iniiai (path dependene). O "efeito ongetionamento" da imigração líquida abre a poibilidade de exitênia imultânea da ED e do reto do mundo. PALAVRAS CHAVE Modelo Solow-Swan, migração, jogo evoluionário, dinâmia de repliação. ABSTRACT Migration a a atifaing dynami i introdued into the Solow-Swan model. The general onluion i in agreement with that of the traditional approah: the teady-tate feature of dometi eonomy depend on the net migration rate. However, there are new outome. The dometi eonomy annot be a perpetual hot/upplier of migrant in it balaned growth path. If the dometi eonomy how a zero-net migration rate in the teady tate, then the population level will depend on the initial ondition (path dependene). A "ongetion effet" reulting from net migration open the poibility of imultaneou exitene of the dometi eonomy and the ret of the world. KEY WORDS Solow-Swan model, migration, evolutionary game, repliator dynami, atifaing dynami. JEL Claifiation: E3, J61, O15, C79 Departamento de Eonomia e Programa de Pó-Graduação em Eonomia, Univeridade Etadual Paulita (UNESP), ampu de Araraquara. Endereço para orrepondênia: Fauldade de Ciênia e Letra, UNESP, Rod. Araraquara-Jaú, m 1, CEP 14800-901, CP 174, Araraquara, São Paulo. Endereço eletrônio: jaylon@flar.unep.br. Agradeço o omentário feito pelo profeore Alexandre Sartori Neto e Renato Perim Colitete, do Programa de Pó-Graduação em Eonomia da UNESP, e pelo profeore Gilberto Tadeu Lima, Gutavo Gome de Freita e Jorge Eduardo de Catro Soromenho, por oaião da apreentação de uma verão prévia dete trabalho no "Programa de Seminário Aadêmio de 5ª feira" do IPE/USP. Naturalmente, o erro remaneente ão de minha exluiva reponabilidade. 1
1. INTRODUÇÃO O preente trabalho toma omo ponto de partida o modelo de reimento eonômio Solow-Swan e introduz em tal enário o proeo de migração que e deenrola num ambiente de raionalidade limitada. Ea análie é realizada oniderando a migração omo um jogo evoluionário, repreentado formalmente por uma dinâmia de repliação, obtida a partir da interpretação da migração omo um proeo que e deenrola num ambiente de raionalidade limitada. 1 Ete texto etá organizado omo egue. Na próxima eção apreenta-e um modelo de reimento Solow-Swan om migração deenvolvido por Barro e Sala-i-Martin (001, ap. 9), o qual erá utilizado omo referênia na avaliação do reultado alançado no modelo propoto no preente artigo. Na tereira eção deriva-e uma dinâmia de repliação que dereve o fluxo migratório entre a eonomia dométia e o reto do mundo omo uma dinâmia evoluionária do tipo atifaing. Na quarta eção etuda-e a araterítia qualitativa do proeo que emerge da interação entre a dinâmia de repliação aoiada ao fluxo migratório e a equação fundamental de reimento Solow-Swan. Na quinta eção faz-e uma análie qualitativa da propriedade de onvergênia de uma extenão do modelo báio deenvolvido na eção anterior. Em tal extenão é levado em onideração um "efeito ongetionamento" que pode er gerado pela migração, devido à exitênia de um fator de produção fixo na eonomia, que leva ao apareimento de uma epéie de retorno dereente de eala. Na onideraçõe finai ão reumido o prinipai reultado do artigo.. MACRODINÂMICA DE CRESCIMENTO SOLOW-SWAN COM MIGRAÇÃO: UM MODELO DE REFERÊNCIA Como é bem onheido, o modelo de reimento Solow-Swan é ontruído omo uma parábola de uma eonomia fehada que produz um únio bem, que pode er utilizado tanto omo bem de onumo quanto omo bem de apital. Em tal enário é upoto que a poupança (S) é uma fração ontante e exogenamente determinada 0 < < 1 da renda (Y), que toda a poupança é onvertida automatiamente em invetimento ( I S ) e que a população (força de trabalho) ree a uma taxa exógena ontante n > 0. A poibilidade tenológia da eonomia ão intetizada numa função de produção neoláia bem omportada homogênea de grau um om progreo ténio exógeno do tipo Harrod-neutro: F F Y F( K, Lˆ), om > 0, 0 K Lˆ > F F, < 0 e < 0 K Lˆ xt para todo K > 0 e Lˆ >0, endo L ˆ Le a quantidade de trabalho em unidade de efiiênia 3 e x > 0 a taxa de progreo ténio aumentador de trabalho upota ontante e exogenamente determinada. Além dio, upõe-e que o etoque de apital apreenta uma taxa de depreiação exógena e ontante 0 < δ < 1. (.1) 1 O preente artigo inere-e, do ponto de vita metodológio, num onjunto de trabalho que tratam de quetõe láia dentro teoria eonômia utilizando-e de uma abordagem da teoria do jogo evoluionário. Entre tai trabalho pode-e itar: Prado (1999); Prado (001); Soromenho, Kadota e Prado (001); Bonomo, Carrao e Moreira (003); Prado, Kadota e Soromenho (003); Silveira (003) e Silveira e Sanon (003). Será uada aqui baiamente a mema notação de Barro e Sala-i-Martin (001). Uma exeção importante diz repeito à razão apital-trabalho em unidade de efiiênia, a qual ete autore aoiam o ímbolo ˆ e aqui, por onveniênia, erá utilizado implemente. 3 Daqui em diante onde for onveniente erá utilizado o termo "efetivo" omo inônimo de "unidade de efiiênia".
) % & ' ( A partir de tai premia pode-e deduzir a onheida equação fundamental de reimento Solow-Swan om progreo ténio Harrod-neutro: 4 f (, (.) endo K / Lˆ a razão apital-trabalho efetivo e f ( F(,1) a função de produção na forma inteniva em unidade de efiiênia. Barro e Sala-i-Martin (001, ap. 9) inorporam a migração neta verão padrão do modelo Solow-Swan. No retante deta eção apreenta-e tal extenão que erá utilizada no preente artigo omo um modelo de referênia. Supondo que a populaçõe da eonomia dométia (L) e do reto do mundo reem a mema taxa ontante n > 0, a taxa de variação da população dométia pode er exprea omo egue: L nl M, (.3) na qual M é a migração líquida por unidade de tempo. Quando M > 0 a taxa de variação da força de trabalho dométia upera a do reto do mundo, ou eja, a eonomia dométia é uma reeptora líquida de mão-de-obra. Quando M < 0 o opoto oorre, de maneira que a eonomia torna-e uma forneedora líquida de mão-de-obra. Geralmente o migrante não arregam onigo grande quantidade de apital fíio, ma levam uma quantidade oniderável de apital humano. Como em Barro e Sala-i-Martin (001, p. 86-87), trabalhar-e-á om um oneito amplo de apital que inorpore ete doi tipo. Seja κ a quantidade de apital que ada migrante arrega onigo. A variação no etoque de apital agregado da eonomia dométia, portanto, paa a depender também do aldo migratório, ito é: K F ( K, Lˆ) δ K κm. (.4) Utilizando (.1), (.3) e (.4) a equação fundamental de reimento Solow-Swan om migração pode er erita omo egue: f ( ( κ ) m, (.5) na qual κ é a quantidade de apital em unidade de efiiênia que ada migrante arrega onigo e m M / L o fluxo migratório líquido em unidade de população dométia. Seguindo Barro e Salai-Martin (001, p. 88) aumir-e-á que o reto do mundo enontra-e próximo ao etado etaionário de maneira que κ pode er oniderado ontante. Ete autore argumentam que o fluxo migratório líquido mantém uma relação poitiva om o diferenial de alário reai efetivo entre a eonomia dométia e o reto do mundo e potulam a eguinte função migração (Barro e Sala-i-Martin, 001, p. 88): m m(, om m ( > 0 para todo > 0. (.6) Suponha-e ontante o alário do reto do mundo em um nível ω > 0. Uma elevação da razão apital-trabalho efetivo da eonomia dométia aumenta o eu alário real efetivo. Ito melhora, por ua vez, o diferenial de alário efetivo em favor da eonomia dométia e, onequentemente, aumenta o aldo migratório líquido deta eonomia. Seja o valor da razão apital-trabalho efetivo que torna nulo o aldo migratório líquido, ou eja, tal que m ( ) 0. 5 Para valore < ( > ), portanto, a eonomia é um reeptora (forneedora) líquida de mão-de-obra. 4 Como de praxe, um ponto obre uma variável qualquer z india ua taxa de variação intantânea om relação ao tempo t, ito é, z dz / dt. 5 A exitênia de tal valor é upota por Barro e Sala-i-Martin (001, p. 88). Se exite ele é únio, poi m ( > 0 para todo > 0. 3
10/., - Coniderando a função migração (.6) e a equação fundamental de reimento Solow-Swan om migração (.5), a equação diferenial que paa a governar a tranição de etado da eonomia dométia é: f ( ( κ ) m(. (.7) A exitênia e uniidade da trajetória de reimento equilibrado pode er demontrada, omo fizeram Barro e Sala-i-Martin (001, p. 89-90), om bae em um diagrama de reimento reproduzido na Figura 1 adiante. [FIGURA 1 AQUI] Dete diagrama e pode extrair informaçõe obre o omportamento da taxa de reimento da razão apital-trabalho efetivo, determinada a partir de (.7): f ( ξ(, (.7-a) na qual ξ( [1 ( κ / ] m(. A partir da hipótee obre tenologia (.1) egue que o produto médio do apital f ( / é uma função etritamente dereente da razão apital-trabalho efetivo. 6 Coniderando a ondiçõe de Inada 7 fia garantido que: lim f ( / e lim f ( / 0. (.8) 0 A taxa de depreiação efetiva, 8 ( δ n x) ξ(, é uma função etritamente reente da razão apital-trabalho efetivo, poi Barro e Sala-i-Martin (001, p. 89) upõem que > κ e κ κ ξ ( m( 1 m ( > 0 para qualquer m (. (.9) Dede que > κ e < egue que: lim [1 ( κ / ] m( < 0 κ e lim [1 ( κ / ] m( > 0. (.10) A partir do limite (.8) e (.10) e da ontinuidade de (.7-a), infere-e pelo teorema do valor intermediário que exite um valor > κ tal que a taxa de reimento da razão apital-trabalho efetivo é nula. Dado que a produtividade média do apital é uma função etritamente dereente da razão apital-trabalho efetivo, a uniidade de é deorrênia direta da upoição (.9). 9 6 d f ( [ f ( ] F < 0, poi f ( > 0 por hipótee. d Lˆ F F F F 7 Que ão lim lim e lim lim 0. Eta ondiçõe impliam lim f ( K 0 K Lˆ 0 Lˆ K ˆ K L Lˆ 0 lim f ( 0 (f. Barro e Sala-i-Martin, 001, p. 16-17). 8 Na qual já e enontra inorporado o efeito da migração obre o etoque de apital dométio. d [ f ( ] 9 Poi upondo (.9) fia garantido que ξ ( < 0 para todo d > κ. e 4
Nota-e que a priori exitem trê poívei onfiguraçõe do etado etaionário. Cao < ter-e-á m ( ) < 0 e, portanto, a eonomia dométia erá perpetuamente uma forneedora líquida de mão-de-obra. Se > (f. Figura 1) ter-e-á m ( ) > 0 e, portanto, a eonomia dométia erá uma reeptora líquida de mão-de-obra em eu etado etaionário. Finalmente, ao a eonomia dométia apreentará um aldo migratório nulo e ua população reerá a mema taxa que o reto do mundo. É importante friar que nete modelo não e determina a ditribuição da população mundial entre a eonomia dométia e o reto do mundo. A etabilidade aintótia da trajetória de reimento equilibrado pode er demontrada utilizando-e novamente o diagrama de reimento da Figura 1. Se < ( > ) a produtividade média do apital upera a (é uperada pela) taxa de depreiação efetiva e, portanto, a razão apitaltrabalho efetivo ree (deree). Enfim, e a razão apital-trabalho efetivo iniial difere da razão apital-trabalho efetivo do etado etaionário a eonomia onverge aintotiamente para eta última. Como vito, o modelo expoto neta eção trata a determinação do fluxo migratório om bae em uma função migração potulada. Há vária forma de prover mirofundamento para tal função. O preente trabalho propõe derivá-la omo uma dinâmia de repliação, deduzida a partir da hipótee de que quanto mai baixo é o alário efetivo numa eonomia maior a proporção de indivíduo inatifeito que migram para outra eonomia em bua de maiore alário. Cabe alientar que a função migração a er derivada na próxima eção não terá omo argumento apena a razão apital-trabalho efetivo da eonomia dométia, ma também a fração da população mundial que pertene a eonomia dométia. Ito implia a onideração explíita da influênia da ditribuição da população mundial obre o proeo de aumulação de apital da eonomia dométia. 3. A MIGRAÇÃO ENTRE A ECONOMIA DOMÉSTICA E O RESTO DO MUNDO COMO UMA DINÂMICA SATISFICING Neta eção deriva-e um modelo de jogo evoluionário que determina o fluxo migratório líquido da eonomia dométia a ada período upondo livre mobilidade de trabalho. Dividir-e-á, portanto, a população mundial em dua parte: uma dela a proporção 3 da população mundial que trabalha na eonomia dométia e a outra a proporção retante, 1 4, que trabalha no reto do mundo. Embora poa oorrer heterogeneidade de alário efetivo entre a eonomia dométia e o reto do mundo, upõe-e que há uniformidade de alário efetivo na eonomia dométia, bem omo no reto do mundo. Conidera-e que um trabalhador típio da eonomia dométia ao reeber eu alário efetivo f ( o ompara om um nível alvo w d que o atifaria, 10 daqui em diante intetiamente denominado meta alarial. Se o alário efetivo ganho pelo trabalhador dométio for igual ou uperior a eta meta alarial ele não ogitaria emigrar. Entretanto, ao a meta alarial não eja alançada o trabalhador dométio torna-e um emigrante em potenial. 11 Analogamente, um trabalhador do reto do mundo que reebe um alário efetivo ω ao omparar om ua meta alarial w rm ó e tornará um potenial imigrante para a eonomia dométia ao eu alário efetivo eja inferior a ua meta alarial. A meta alarial de um indivíduo qualquer depende, entre outra oia, de araterítia idioinrátia omo, por exemplo, o grau om que deeja melhorar eu padrão de vida ou aender oialmente. Aumir-e-á que tal meta é determinada aleatoriamente de maneira independente entre o indivíduo e no tempo. Mai preiamente, upõe-e que a meta alariai, 10 Em Vega-Redondo (1996, p. 91) o nível de referênia do payoff é denominado target level of atifation. 11 A derivação de uma atifiing dynami aoiada ao fluxo migratório expota adiante egue a mema linha da derivação de uma atifiing dynami geral enontrada em Vega-Redondo (1996, p. 91). 5
F K ; < : K 5 E A tanto da eonomia dométia omo do reto do mundo, ejam uniformemente ditribuída. Seja f ( ) a função denidade de probabilidade uniforme, definida por: e uporte [ a, a] 6 7 1/ a, e a wi a f ( wi ), om i d, rm (3.1) 0, ao ontrário, endo a max{ f (, ( κ, ] R } ω o máximo diferenial de alário efetivo entre a eonomia dométia e o reto do mundo e a maior razão apital-trabalho efetivo apreentada pela eonomia dométia ao longo da ua trajetória de reimento. Obtém-e, então, a eguinte função de ditribuição aumulada: F( w ) 8 i wi a 1 wi a dz, (3.) a a om w i f ( na eonomia dométia e w i ω no reto do mundo. A função (3.) fornee a probabilidade de eleionar aleatoriamente um indivíduo da i-éima eonomia uja meta alarial ( w i ) eja menor ou igual ao alário efetivo vigente neta eonomia ( w i ). Portanto, a probabilidade de obervar um indivíduo da i-éima eonomia que reebeu um alário abaixo de ua meta alarial é dada por: a wi 1 F( wi ). (3.3) a Em outra palavra, om eta probalidade enontra-e aleatoriamente um indivíduo da eonomia i não atifeito om eu alário e que etá reviando ua eolha relativa à região onde trabalhar. A probabilidade de um emigrante de qualquer parte do reto do mundo eolher a eonomia dométia em análie é upota omo endo igual à fração da população mundial trabalhando na eonomia dométia ( 9 ). 1 Logo, oniderando (3.3), a imigração etimada para a eonomia dométia em unidade de população mundial é:?>@ a ω (1 a : ) Dede que a eonomia mundial etá dividida em dua regiõe, a probabilidade do emigrante da eonomia dométia eolher qualquer outra eonomia para trabalhar oinide om a fração da população mundial que etá trabalhando no reto do mundo ( 1 ). Portanto, dada a probabilidade (3.3), a emigração da eonomia dométia em unidade de população mundial é etimada em: G H a [ f ( ] C D (1 B )B a Normalizando, em perda de generalidade, a ontante a em um, o aldo migratório líquido da eonomia dométia ( IJ ), obtido da diferença entre o influxo (3.4) e o efluxo (3.5), é expreo omo: 13 KL ( 1 )[ f ( ω]. (3.6) (3.4) (3.5) 1 Eta formulação pode er vita omo repreentando um proeo de imitação direta, no qual ada agente revior adota a etratégia de um outro agente obervado ao aao (Weibull, 1995, ap. 4). 13 Seria poível apreentar uma derivação alternativa da dinâmia de repliação (3.6) baeada em uto de mudança aleatório, que inluiria não ó uto monetário explíito ma também uto piológio gerado pela migração. Uma derivação neta linha pode er enontrada em Silveira e Sanon (003, Apêndie 1). 6
M O O P Ea equação diferenial é uma dinâmia de repliação, 14 que apreenta a propriedade de monotoniidade no payoff. 15 Ou eja, a proporção om que a etratégia "trabalhar na eonomia dométia" é adotada aumenta (diminui) e, e omente e, o payoff deta etratégia (o alário efetivo da eonomia dométia) upera o (é uperado pelo) payoff da etratégia "trabalhar no reto do mundo" (o alário efetivo do reto do mundo). Deduzida a dinâmia de repliação aoiada ao proeo de migração, abe etabeleer expliitamente a relação entre tal dinâmia e a função migração potulada em (.6). Para um dado intante iniial t 0 a população mundial enontra-e em um nível N > 0 0. Como a população mundial ree a uma taxa ontante e exógena n > 0, a população mundial em um dado intante t erá: t 0 N n( t t 0 ) N 0e. (3.7) Lembrando que L denota a população da eonomia dométia no intante t, a fração da população mundial trabalhando na eonomia dométia ou, equivalentemente, a população dométia em unidade de população mundial no intante t é: L N e 0 n( t A partir de (3.8) infere-e que: t 0 ). (3.8) L N N n, (3.9) L então, oniderando (.3) e a definição m M / L, onlui-e que a taxa de reimento da fração da população mundial reidindo na eonomia dométia é igual ao fluxo migratório líquido em unidade de população dométia, ou eja: PQ m. (3.10) Coniderando a dinâmia de repliação (3.6) e a relação (3.10), fia demontrado que a função migração (.6) etá endo ubtituída por: m ( 1 R )[ f ( ω]. (3.6-a) Ea função migração é uma expreão do proeo migratório om fundamento miroeonômio oriundo de diferença idioinrátia entre a meta alariai do trabalhadore. Como na função migração potulada em (.6), na função migração (3.6-a) um aumento da razão apital-trabalho efetivo dométia, ao elevar o alário real dométio, aumenta o fluxo migratório líquido para uma dada ditribuição da população mundial, poi: d d [ f ( ] f ( > 0 para todo > 0. (3.11) Além dio, oberva-e que o nível do aldo migratório líquido depende do tamanho da população do reto do mundo e do diferenial de alário efetivo entre a eonomia dométia e o reto do mundo. 14 Sobre tal dinâmia onulte Hofbauer e Sigmund (1998, ap. 7), Vega-Redondo (1996, ap. 3) e Weibull (1995, ap. 3). 15 Tal propriedade deempenha um papel na modelagem de proeo evoluionário em um ambiente oial análogo ao meanimo de eleção natural. 7
W U T T S T V O fluxo migratório líquido erá nulo ao toda a população mundial eja ompletamente aborvida pela eonomia dométia ( 1) ou a razão apital-trabalho efetivo atinja o nível, definido impliitamente por: f ( ) f ( ) ω 0, (3.1) no qual o alário efetivo dométio iguala-e ao alário efetivo do reto do mundo. Como erá demontrado na dua próxima eçõe, o valor exere no modelo evoluionário aqui propoto o memo papel que o deempenhado pelo valor no modelo de referênia apreentado na eção anterior. Como Barro e Sala-i-Martin (001, p. 88) fizeram om repeito ao valor, erá aumido que o valor exite. Sua uniidade deorre de (3.11). Finalmente, abe alientar que Barro e Sala-i-Martin (001, p. 88, nota 4) adotam a eguinte premia om repeito à função migração (.6): aumimo que imigração e emigração não oorrem imultaneamente, tal que migração líquida e bruta oinidem. Geralmente, a heterogeneidade do apital humano ou de outra variávei poderia fazer om que fluxo bruto exedeem fluxo líquido (Tradução e grifo do autor). Na função migração (3.6-a), entretanto, há imigração e emigração imultaneamente na eonomia dométia devido à heterogeneidade do indivíduo om relação à meta alarial. Aim, a equalização entre o alário efetivo da eonomia dométia e do reto do mundo, que torna o aldo migratório líquido nulo, ignifia implemente que influxo e efluxo de migrante na eonomia dométia e ontrabalançam. Ou eja, memo om a igualação do alário efetivo entre a eonomia dométia e o reto do mundo há indivíduo neta regiõe que etão inatifeito om eu alário e migram em bua de melhore remuneraçõe. Em poe da dinâmia de repliação (3.6) e da nova função migração (3.6-a), o próximo pao é analiar a impliaçõe da interação do proeo migratório e a dinâmia de reimento Solow-Swan numa eonomia aberta à migração. 4. A INTERAÇÃO ENTRE A DINÂMICA MIGRATÓRIA SATISFACING E A DINÂMICA DE CRESCIMENTO SOLOW-SWAN Introduzindo (3.6-a) na equação fundamental de reimento om migração (.7) reulta uma equação de reimento que junto à dinâmia de repliação (3.6) paam a determinar a trajetória de reimento da eonomia dométia: TU f ( (1 (1 )[ f ( ω]. )[ f ( ω]( κ ), O epaço de etado dete itema é o onjunto Θ {(, V ) R : 0 < 1e > κ > 0}. Se no etado etaionário houver um diferenial de alário efetivo entre a eonomia dométia e o reto do mundo não nulo, oorre um tipo extremo de ditribuição da população mundial. Nee último a população do reto do mundo é ompletamente aborvida pela eonomia dométia ( 1) e a razão apital-trabalho efetivo é igual à razão apital-trabalho efetivo etaionária Solow-Swan, definida impliitamente pela onheida ondição: (4.1) f ( ) 0, (4.) 8
` X Y Z X Y X que torna a razão apital-trabalho efetivo dométia etaionária. 16 Do ponto de vita da teoria do jogo evoluionário, ee etado etaionário pode er araterizado omo um equilíbrio de etratégia pura, poi nele todo o indivíduo adotam a etratégia "trabalhar na eonomia dométia". Se no etado etaionário o alário reai efetivo da eonomia dométia e do reto do mundo ão iguai, há um aldo migratório nulo e um únio valor da razão apital-trabalho efetivo, definido impliitamente por (3.1), tal que a eonomia dométia iguala o invetimento per apita e a depreiação líquida, independentemente da ditribuição da população mundial. Em outra palavra, há um ontinuum de ponto de equilíbrio {(, ) Θ R : } e no etado etaionário o alário reai efetivo da eonomia dométia e do reto do mundo forem iguai. Com exeção do ponto (,1) o demai ponto do ontinuum {(, ) Θ R : } ão, do ponto de vita da teoria do jogo evoluionário, equilíbrio de etratégia mita, já que exitem tanto indivíduo que adotam a etratégia "trabalhar na eonomia dométia" quanto indivíduo que optam pela etratégia "trabalhar no reto do mundo". O reultado obre a exitênia de equilíbrio no itema (4.1) expoto no doi último parágrafo ão intetizado na propoição 1 adiante e demontrado formalmente no Apêndie 1. PROPOSIÇÃO 1. Sejam e valore definido impliitamente por (3.1) e (4.), repetivamente. Se então o itema (4.1) apreenta, upondo f ( κ ) κ > 0, um únio etado de equilíbrio iolado (,1) Θ. Se então exite um ontinuum de equilíbrio, ou eja, todo o ponto pertenente ao ubonjunto {(, ) Θ R : } ão etado de equilíbrio do itema (4.1). PROVA: Apêndie 1. A araterítia qualitativa da dinâmia gerada pelo itema (4.1) enontram-e intetizada no diagrama de fae na Figura - Coniderando a dinâmia de repliação (3.6), o fluxo migratório líquido é nulo em qualquer etado no qual a fração da população mundial trabalhando na eonomia dométia eja igual a um. Além dio, qualquer etado araterizado por uma razão apital-trabalho efetivo igual a gera também um fluxo migratório líquido nulo, poi o alário efetivo dométio e iguala ao alário efetivo do reto do mundo. Portanto, no lou na [\ forma de um "T" definido pelo onjunto {(, Y ) Θ : 1} {(, ) Θ : } tem-e 0. Para etado no quai > o alário real efetivo dométio é uperior ao alário real efetivo do reto do mundo havendo, onequentemente, um aldo migratório líquido para a eonomia dométia, ou [\ ]^ eja, > 0. Se < o opoto aontee, ito é, < 0. A partir da primeira equação em (4.1) obtém-e a expreão que define a iolina _ 0, daqui em diante denominada urva de demaração : na qual 1 ψ (, (4.3) f ( ψ ( ), (4.4) [ f ( ω]( κ ) definida em todo Θ tal que [ f ( ω]( κ ) 0. Como, por hipótee, > κ, a urva de demaração é definida para qualquer. 16 Ete etado etaionário é parametrizado pelo memo onjunto de variávei exógena que o etado etaionário do modelo Solow-Swan de uma eonomia fehada om progreo ténio Harrod-neutro. Além dio, o efeito de tai variávei exógena obre o etado etaionário ão idêntio no doi ao. 9
f pon j i f ml pon f a ml de Para grafar a urva de demaração deve-e etabeleer previamente a poiçõe relativa e no eixo do plano de fae. Suponha que no etado etaionário Solow-Swan a eonomia dométia eja uma reeptora líquida de mão-de-obra, ou eja, > (f. Figura -a). Coniderando (4.3) e (4.4), para > tem-e ψ ( ) 0 e, portanto, 1. A urva de d demaração, omo deveria er, ruza a urva de demaração b (iolina 0 ) no etado etaionário om etratégia pura,1). ( [FIGURA AQUI] Supondo 0 < e 1 infere-e que a parte eonomiamente relevante da urva de demaração enontra-e na região {(, ) Θ : < }. Obervando a equação diferenial aoiada à razão apital-trabalho efetivo em (4.1), vê-e que para qualquer ( κ, ] o invetimento per apita upera a taxa de depreiação líquida e, omo o alário efetivo dométio é menor ou igual ao alário efetivo do reto do mundo, o aldo migratório líquido negativo reforça ete efeito do invetimento, de modo que a razão apital-trabalho efetivo ree, ito é, g > 0. Exatamente o opoto aontee e (, ), ou eja, h < 0. Enfim, o ubepaço de etado {(, ) Θ : < } é onde a eonomia dométia pode apreentar uma razão apital-trabalho efetivo etaionária ( g 0 ). A inlinação da urva de demaração no ubepaço {(, ) Θ : < } derivando a função (4.3) om relação à razão apital-trabalho efetivo: ψ (. (4.5) 0 é obtida endo: [ f ( ( δ n x)][ f ( f ( ω]( κ) [ f( ( δ n x) ][ f ( f ( ω f ( ( κ)] ψ (. [ f ( f ( ω] ( κ) No intervalo (, ) tem-e f ( ( δ n x) > 0, f ( f ( ω > 0, f ( < 0 e κ > 0, porém a expreão f ( ( δ n x) apreenta inal indeterminado. Logo, a função (4.5) pode não er monotônia no intervalo, ). ( A função (4.4) apreenta o eguinte omportamento na fronteira do intervalo, ] : ( lim ψ ( f ( ) ( κ ) lim 1 f ( ω f ( ) ( κ )., lim f ( 0 lim ψ ( 0. (4.6) [ f ( ) f ( ) ω]( κ ) [ f ( ) f ( ) ω]( κ ) Pelo teorema do valor intermediário, então, infere-e que exite um w tal que ψ ( w ) 1. Suponha que w é únio. Como f ( ( δ n x) ψ ( ) < 0, (4.7) [ f ( ) f ( ) ω]( κ) 10
r q y w deve-e ter ψ ( < 0 em uma vizinhança em torno de w, poi do ontrário Dea forma, oniderando (4.5), onlui-e que em uma vizinhança à direita de w não eria únio. w a urva de a demaração é poitivamente inlinada. Em uma vizinhança ufiientemente pequena de urva de demaração é também poitivamente inlinada, poi por (4.5) e (4.7): lim 0 [ f ( ( δ n x)] limψ ( > 0. (4.8) [ f ( ) f ( ) ω]( κ) Portanto, a urva de demaração pode apreentar uma reverão de inlinação omente no interior do intervalo, ], omo ilutrado na Figura -a. Se io oorre ou não, dada a uniidade do ponto ( w,0) ( w, é irrelevante para a onluõe qualitativa obre a dinâmia do itema que eguem. Para e ter 0 < 1 a função ψ deve obedeer a retriçõe 0 ψ ( < 1. Dede que f ( ( δ n x) 0, f ( f ( ω > 0 e κ > 0 no intervalo, ], a retrição anterior é atifeita e para todo, ]: ( ( f ( ( δ n x) < [ f ( f ( ω]( κ), (4.9) ondição ea upota válida daqui em diante. No intervalo, ) tem-e: ( tvu [ f ( f ( ω]( κ)] > 0, (4.10) o que india que para uma dada razão apital-trabalho efetivo aumento da fração de indivíduo reidindo na eonomia dométia gera uma expanão da taxa de variação da razão apital-trabalho efetivo. Ponto loalizado na região {(, ) Θ : < } e abaixo (aima) da urva de demaração, então, apreentam uma taxa de variação da razão apital-trabalho efetivo negativa (poitiva). Io ompleta a ontrução do diagrama de fae da Figura -a. Na hipótee de que a eonomia dométia eja uma forneedora líquida de mão-de-obra no etado etaionário Solow-Swan, ou eja, <, uma análie análoga à realizada anteriormente (f. Apêndie ) permite onluir que o etado etaionário om etratégia pura (,1) torna-e um repulor e a eonomia dométia tende à extinção. Há ainda uma tereira poibilidade, a aber, a de que a eonomia dométia apreente um aldo migratório líquido nulo, ou eja, que. Nete ao a urva de demaração oinide om a urva de demaração x havendo, omo já demontrado, um ontinuum de equilíbrio que orreponde ao onjunto {(, ) Θ : }. Aim, para qualquer razão apital-trabalho efetivo menor que a razão apital-trabalho efetivo Solow-Swan, a eonomia dométia apreentará z{ um aldo migratório líquido negativo ( < 0 ) e um invetimento per apita uperior à depreiação líquida ( > 0 ). O repetivo inai e invertem ao a razão apital-trabalho efetivo da eonomia dométia eja maior que a razão apital-trabalho efetivo Solow-Swan (f. Figura -). Em uma, e no etado etaionário Solow-Swan a eonomia dométia é uma reeptora líquida de força de trabalho tal eonomia aborverá toda a população mundial. Cao a eonomia dométia eja uma fonte líquida de força de trabalho no etado etaionário Solow-Swan, então ela tende à extinção. Finalmente, e a eonomia dométia apreentar um aldo migratório líquido nulo no etado etaionário Solow-Swan a ditribuição da população mundial no etado etaionário dependerá do etado iniial da eonomia dométia. A partir da análie qualitativa realizada 11
anteriormente pode-e etabeleer a eguinte propoição onernente ao omportamento dinâmio do modelo: PROPOSIÇÃO. Se no etado etaionário om etratégia pura (,1) Θ tem-e f ( ) f ( )] ω > 0, então (,1) Θ é globalmente aintotiamente etável. Se f ( ) f ( )] ω < 0, então (,1) Θ é intável, mai preiamente um ponto de ela ujo ramo etável é o lou {(, ) Θ : e } 1}, e } para qualquer ondição iniial ( 0, 0 ) int Θ tem-e 0. Se f ( ) f ( )] ω 0, então a eonomia dométia onverge para um do etado etaionário om etratégia mita do ubepaço {(, ) Θ : < 1e < }, a depender da ondição iniial ( 0, 0 ) int Θ. PROVA: Apêndie. O reultado qualitativo relativo à dinâmia do modelo enuniado na propoição anterior diferem do reultado de livro-texto (f. Barro e Sala-i-Martin, 001, ubeção 9.1.1). Em primeiro lugar, no modelo aqui propoto não pode haver oexitênia da eonomia dométia om o reto do mundo ao a primeira eja uma reeptora ou forneedora líquida de mão-de-obra, ou eja, a eonomia dométia não pode er uma "perpétua" forneedora ou reeptora de mão-de-obra. Em ontrate, no modelo apreentado na egunda eção não aparee ea retrição, a eonomia dométia pode er uma forneedora ou reeptora líquida de mão-de-obra ad infinitum. Em egundo lugar, ao a eonomia dométia eja repreentativa do reto do mundo, ou eja, apreente um aldo migratório líquido nulo devido à igualação do alário reai efetivo, o tamanho relativo da eonomia dométia depende da ondiçõe iniiai deta eonomia. Em outro termo, há um fenômeno de path dependene, ou eja, o tamanho relativo da população dométia no etado etaionário depende da ditribuição iniial da população mundial. No modelo de referênia não e extraiu qualquer onluão obre o tamanho relativo da população dométia. Em uma, om o modelo ontruído neta eção ão alançado o memo reultado relativo à etabilidade aintótia do etado etaionário Solow-Swan om migração e, além dio, obtido reultado adiionai obre a ditribuição relativa da população mundial. A onluão de que a eonomia dométia pode er indefinidamente uma forneedora ou reeptora líquida de mão-de-obra, no ao do modelo de referênia, e e extinguir ou aborver toda a população mundial, no ao do modelo evoluionário aqui apreentado, não ão reultado empiriamente razoávei. Para reolver ete problema de predição, Barro e Sala-i-Martin (001, ubeção 9.1.3), inpirado em Braun, introduzem uma forma de retorno dereente de eala na eonomia dométia, upondo que um aumento da população ongetiona um reuro diponível em quantidade fixa, tal omo reuro naturai ou oferta de ben públio. Com eta nova upoição, o reultado não ondizente om a evolução hitória da eonomia ão eliminado no modelo de referênia. Na próxima eção erá avaliada tal hipótee de retorno dereente gerado pela migração é também apaz de eliminar a prediçõe irrealita do modelo evoluionário aqui deenvolvido. 5. A INTERAÇÃO ENTRE O PROCESSO MIGRATÓRIO E A DINÂMICA DE CRESCIMENTO NA PRESENÇA DE UM EFEITO CONGESTIONAMENTO Seguindo Braun (1993 apud Barro e Sala-i-Martin, 001, p. 300) admite-e que a eonomia dométia é dotada de um dado etoque fixo e exogenamente determinado de um fator de produção, omo por exemplo reuro naturai ou um bem livre qualquer diponível ao reidente em uma quantidade fixa. Além dio, upõe-e que a dotação per apita dete reuro fixo afeta o produtividade do fatore de produção utilizado pela firma da eonomia dométia. Em termo formai, onidera-e que a firma dométia defrontam-e om uma função de produção do tipo: ˆ)( Y F( K, L R / L), (5.1) 1
ƒ Š Ž na qual R > 0 é uma ontante exógena, que repreenta o etoque fixo de um fator de produção, é uma ontante exógena tal que 0 < < 1 e F ( K, L ˆ ) a função de produção neoláia bem omportada epeifiada em (.1). Cada firma dométia toma omo dada a população da eonomia 17 e, portanto, produz ujeita a uma função de produção om retorno ontante de eala. Todavia, a eonomia omo um todo apreenta retorno dereente de eala om relação ao etoque de apital e à população, poi o reimento da população gera um ongetionamento na utilização do fator fixo R. 18 A função (5.1) pode er exprea na forma inteniva em unidade de efiiênia omo egue: f ( ( R / ), (5.) na qual f ( F(,1) e R R / N. Será aumido, omo fizeram Barro e Sala-i-Martin (001, p. 30), que a taxa natural de reimento da população mundial é nula ( n 0). Com bae nea nova função de produção (5.), o itema (4.1) tranforma-e em: ƒ f ( ( R / ) ( δ x) (1 (1 ){[ f ( ]( R / ) ){[ f ( ]( R / ω}. ) ω}( κ ), Ee novo itema ainda tem omo epaço de etado Θ {(, ) R : 0 < 1}. Ea verão etendida do modelo apreenta apena um etado etaionário om etratégia pura. Nee a população do reto do mundo é ompletamente aborvida pela eonomia dométia ( 1) e a razão apital-trabalho efetivo é igual à razão apital-trabalho efetivo etaionária Solow- Swan, agora definida impliitamente pela nova ondição: f ( ) R ( δ x) 0, (5.4) que torna a razão apital-trabalho efetivo dométia etaionária. O itema (5.3) apreenta, também, um únio etado etaionário om etratégia mita. Nete etado etaionário exitem tanto indivíduo optando pela etratégia "trabalhar na eonomia dométia" quanto indivíduo adotando a etratégia "trabalhar no reto do mundo". Tal equilíbrio, denotado por (, ), é definido pelo eguinte onjunto de ondiçõe: 19 Œ [ f ( ) f ( )] R ˆ ω 1 (5.3), (5.5) f ( ) f ( ) f ( ) ( δ x) 0. (5.6) ω A ondição (5.5), obtida da egunda equação em (5.3), fornee o valor da fração de indivíduo da população mundial que etão adotando a etratégia "trabalhar na eonomia dométia" que gera um alário efetivo dométio igual ao alário efetivo do reto do mundo. A ondição (5.6), obtida a 17 Ou eja, toma omo exógeno o termo ( R / L). 18 1 Faça G( K, L) F( K, Lˆ)( R / L). Logo, oniderando (.1), G( βk, βl) β G( K, L) para todo β > 0. Por hipótee, 0 < < 1, então 0 < 1 < 1. A função de produção (5.1), portanto, apreenta retorno dereente de eala om repeito a K e L. 19 A derivação deta ondiçõe aparee no tranorrer da demontração deenvolvida no Apêndie 3. 13
partir de primeira equação em (5.3), define impliitamente a razão apital-trabalho efetivo tal que o invetimento per apita iguala-e à taxa de depreiação efetiva quando o alário efetivo dométio é igual ao alário efetivo do reto do mundo. A propoição adiante intetiza a argumentação apreentada no parágrafo anteriore, expliitando formalmente a ondiçõe ufiiente para exitênia do etado etaionário de etratégia pura e mita. PROPOSIÇÃO 3. Seja o valor definido impliitamente por (3.1). Supondo f ( κ ) R ( δ x) κ > 0, exite um únio equilíbrio de etratégia pura (,1) Θ, endo definido impliitamente por (5.4). Além dio, há um únio equilíbrio de etratégia mita (, ) Θ definido pela ondiçõe (5.5) e (5.6) e [ f ( ) f ( )] R < ω. PROVA: Apêndie 3. A eonomia dométia poderá aborver toda a população mundial ao ela e enontre ufiientemente próxima do etado etaionário de etratégia pura e apreente um alário efetivo maior que o do reto do mundo. Em outra palavra, e a eonomia dométia for uma reeptora líquida de mão-de-obra no etado etaionário de etratégia pura tal etado é um atrator loal do itema eonômio. Entretanto, ao a eonomia eja uma forneedora de mão-de-obra no etado etaionário de etratégia pura, por apreentar um alário efetivo inferior ao alário efetivo do reto do mundo, memo que e enontre ufiientemente próxima a tal trajetória de reimento equilibrado om extinção do reto do mundo, ela não onvergirá para eta última. Em outro termo, ob a hipótee de que a eonomia dométia eja uma forneedora líquida de emigrante no etado etaionário de etratégia pura tal etado torna-e um repulor loal do itema eonômio. Independentemente da poição da eonomia dométia, no que diz repeito ao aldo migratório líquido, 0 o etado etaionário om etratégia mita erá um atrator loal do itema eonômio. Ou eja, e a eonomia dométia enontrar-e ufiientemente próxima da trajetória de reimento equilibrado om etratégia mita ela onvergirá para eta última. Segue uma íntee do reultado de onvergênia diutido até aqui. PROPOSIÇÃO 4. Se no etado etaionário om etratégia pura f ( ) f ( )] R ω > 0 então o ponto de equilíbrio (,1) Θ erá loalmente aintotiamente etável. Se f ( ) f ( )] R ω < 0 então o ponto de equilíbrio (,1) Θ erá loalmente intável, mai preiamente um ponto de ela ujo ramo etável erá o lou {(, ) Θ : e 1}. O etado etaionário om etratégia mita PROVA: Apêndie 4. (, ) Θ é loalmente aintotiamente etável. Quando a eonomia dométia na vizinhança do etado etaionário om etratégia pura apreenta um alário efetivo maior que o alário efetivo do reto do mundo, o itema eonômio apreenta dua bae loai de atração: uma em torno do etado etaionário om etratégia pura e outra em torno do etado etaionário om etratégia mita. Mai uma vez aparee no modelo a propriedade de path dependene, ou eja, a depender do etado iniial da eonomia dométia ela poderá onvergir para uma ou outra deta trajetória de reimento equilibrado. 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS 0 Forneedora ou reeptora líquida de mão-de-obra. 14
Nete trabalho apreentou-e um modelo de reimento eonômio do tipo Solow-Swan om migração. O fluxo migratório foi modelado omo um jogo evoluionário, mai preiamente omo uma dinâmia de repliação, a partir da hipótee de que o trabalhadore apreentam diferença idioinrátia om repeito a ua meta alariai. O reultado alançado em parte orroboram o obtido na abordagem tradiional. Ou eja, a araterítia de longo prazo da eonomia dométia dependem fundamentalmente do eu aldo migratório líquido no etado etaionário. Todavia, novo reultado foram obtido. Na verão em efeito ongetionamento do modelo evoluionário a eonomia dométia onverge para o etado etaionário e aborver ompletamente a população do reto do mundo, o que aontee e ela apreentar nee etado um alário efetivo uperior ao do reto do mundo. Se a eonomia dométia em eu etado etaionário apreentar um alário efetivo inferior ao do reto do mundo, toda ua população aabará emigrando para ee último. O modelo evoluionário em efeito ongetionamento, portanto, põe em evidênia a impoibilidade de exitênia da eonomia dométia omo um itema ditinto do reto do mundo, deduzida no modelo de referênia em efeito ongetionamento. Em outra palavra, o modelo evoluionário em ongetionamento torna explíita, diferentemente do modelo de referênia em ongetionamento, a impoibilidade da eonomia dométia trilhar ua trajetória de reimento equilibrado omo uma perpétua reeptora ou forneedora líquida de mão-de-obra. No modelo de referênia em ongetionamento infere-e a oexitênia da eonomia dométia e do reto do mundo omente e oorrer a homogeneização do alário efetivo entre ea dua regiõe, quando a eonomia dométia enontrar-e em eu etado etaionário. Ea mema onluão é extraída do modelo evoluionário em ongetionamento. Todavia, do modelo evoluionário é inferido um reultado adiional, a aber, o tamanho relativo da população da eonomia dométia depende da ondiçõe iniiai dea última. A poibilidade de extinção da eonomia dométia ou do reto do mundo não é utentada pelo fato. Uma da aua deta predição é enontrada na hipótee implíita de que o reimento (delínio) populaional aelerado pela imigração (emigração) líquida não aarreta um ongetionamento (deongetionamento) do fatore/reuro fixo da eonomia dométia. A inorporação do efeito ongetionamento ao modelo evoluionário não exlui a poibilidade de fuão da eonomia dométia e do reto do mundo em uma únia eonomia, ao a eonomia dométia apreente um diferenial de alário efetivo atrativo em eu etado etaionário. Entretanto, a introdução do efeito ongetionamento trouxe à tona a poibilidade de onvergênia para um etado etaionário om a exitênia imultânea da eonomia dométia e do reto do mundo. Uma omparação mai preia entre a prediçõe do modelo de referênia e o modelo evoluionário poderia er alançada atravé da omparação da propriedade de onvergênia dee último om a repetiva propriedade de onvergênia do modelo de referênia. Para finalizar, abe detaar a poibilidade de uma outra extenão do preente trabalho, a aber, o etudo da dinâmia reultante do aoplamento da dinâmia repliadora aqui derivada e do modelo de Ramey om migração. Eta eria uma maneira de tetar a robutez do reultado obtido no preente trabalho quando a poupança paa a er uma variável endógena. APÊNDICE 1: PROVA DA PROPOSIÇÃO 1 Um etado de equilíbrio do itema (4.1) é uma olução do eguinte itema: 15
œ ž Ÿ š f ( (1 )[ f ( ω]( κ ) 0, (1 )[ f ( ω] 0. (A.1) Coniderando a egunda equação do itema (A.1) onlui-e que eta é atifeita e 1 ou f ( ω 0. Na preente demontração parte-e da premia de que exite uma razão apital-trabalho efetivo, definida impliitamente por (3.1), tal que o fluxo migratório líquido é nulo. Dada a exitênia de ua uniidade é oneqüênia do fato de que d [ f ( ] f ( > 0, devido à premia de rendimento fíio marginai dereente d e merado de trabalho perfeitamente ompetitivo. Exitênia do ponto de equilíbrio (,1) Θ : Se 1 então a primeira equação de (A.1) reduz-e a: f ( 0, (A.) a qual pode er tranformada para > κ > 0 em: f ( 0. (A.-a) Portanto, bata prova que exite um valor > κ > 0 tal que (A.-a) é atifeita. Uando a regra de L Hôpital e o fato de que lim f ( 0 (uma da ondiçõe de Inada) infere-e que lim [ f ( / ] 0 e, portanto: Como, por hipótee: f ( lim ( δ n x) < 0. (A.3) f ( κ ) > 0 κ (A.4) e f ( é ontínua em qualquer 0 infere-e, baeado no teorema do valor intermediário, que exite um > κ > 0 tal que (A.-a) é atifeita. Uniidade do ponto de equilíbrio (,1) Θ : Dede que a produtividade fíia marginal do trabalho é etritamente poitiva, ito é, f ( > 0 então: f ( [ f ( ] < 0 (A.5) e, portanto, o lado equerdo de (A.-a) é uma função etritamente dereente de. Logo, é únio. Exitênia de um ontinuum de equilíbrio: Para que f ( ω 0 deve-e ter, oniderando (3.1),. Se f ( ω 0, então a primeira equação de (A.1) reduz-e a: f ( 0. (A.6) 16
± ± «ª ² ² Eta última equação é atifeita e, e omente e,. Logo, a únia maneira de amba a ondiçõe erem atifeita é ter-e. Se ito aonteer a olução do itema (A.1) independe do valor que a variável aume em Θ. Portanto, todo o ponto pertenente ao onjunto {(, ) Θ : } ão ponto de equilíbrio do itema (4.1). ; APÊNDICE : PROVA DA PROPOSIÇÃO PARTE 1: O equilíbrio,1) é globalmente aintotiamente etável e f ( ) f ( )] ω > 0. ( A ontrução do diagrama de fae dete ao foi realizada na eção quatro. A análie do autovalore da matriz Jaobiana da linearização em torno do etado etaionário (,1) etá de aordo om a onluõe qualitativa globai obtida. A matriz Jaobiana da linearização em torno do etado etaionário,1) é dada por: ( J (1, ujo autovalore ão: ) f ( ) 0 ( f ( ) ( f ( f ( ) ) ω)( f ( ) ω) κ ), (A.7) f ( ) 0 e [ f ( ) f ( ) ]. (A.8) 1 < ω O egundo autovalor é negativo e >. De (A.8) infere-e, então, que o etado etaionário (,1) é um orvedouro da linearização em ua vizinhança quando >, poi todo o autovalore aoiado pouem parte reai negativa. Aim, om bae no teorema de Hartman- Grobman, onlui-e que o etado etaionário (,1) é um atrator loal e > (f. Figura -a). PARTE : O equilíbrio (,1) Θ é intável e f ( ) f ( ] ω < 0 e 0 e (, 0 0) int Θ. Poiionamento da urva de demaração no plano de fae: Suponha < (f. Figura -b). Coniderando (4.3) e (4.4), para < tem-e ψ ( ) 0 e, portanto, 1. Logo, o ponto (,1) pertene à urva de demaração. Suponha 0 < 1. Para qualquer κ, ] tem-e f ( > 0 e f ( ω < 0, logo ( f ( (1 )[ f ( ω]( κ ) > 0. Para qualquer (, ) tem-e f ( < 0 e f ( ω > 0, logo f ( (1 )[ f ( ω]( κ ) < 0. Portanto, a urva de demaração é um ubonjunto do ubepaço {(, ) Θ : < }. Inlinação da urva de demaração : A inlinação da urva de demaração no ubepaço {(, ) Θ : < } é dada por (4.5). No intervalo (, ) tem-e f ( < 0, f ( f ( ω < 0, f ( < 0 e κ > 0, porém a expreão f ( ( δ n x) apreenta inal indeterminado. Logo, a função (4.5) pode não er monotônia no intervalo, ). A função (4.4) apreenta o eguinte omportamento na fronteira do intervalo, ) : [ ( lim f ( 0 lim ψ ( 0, [ f ( ) f ( ) ω]( κ ) [ f ( ) f ( ) ω]( κ ) 17
º ¹ ¼ Ã ³ µ À ³ µ lim ψ( f ( ) ( δ n x) ( κ) lim 1 f ( ω f ( ) ( δ n x) ( κ).( ) (A.9) Pelo teorema do valor intermediário, então, infere-e que exite um w tal que ψ ( w ) 1. Suponha que w é únio. Como < então: f ( ( δ n x) ψ ( ) > 0. (A.10) [ f ( ) f ( ) ω]( κ) Portanto, deve-e ter ψ ( > 0 em todo w ε, ) para um ε > 0 ufiientemente pequeno, ( w poi do ontrário w não eria únio. Dea forma, oniderando (4.5), onlui-e que: 0 ψ ( < 0 para w ε, ). ( w Em uma vizinhança ufiientemente pequena de poitivamente inlinada, poi por (4.5) e (4.7): já que lim» 0 a urva de demaração é também [ f ( ) ( δ n x)] limψ ( < 0, (A.11) [ f ( ) f ( ) ω]( κ) <. Portanto, a urva de demaração pode apreentar uma reverão de inlinação omente no interior do intervalo, ), omo ilutrado na Figura -b. Se io oorre ou não, dada a uniidade do ponto ( w,0) itema. [ w, é irrelevante para a onluõe qualitativa obre a dinâmia do Determinação da onfiguração da linha direionai do ampo vetorial: No intervalo, ) tem-e: ( ½ ¾ [ f ( f ( ω]( κ)] < 0, (A.1) portanto ponto loalizado na região {(, ) Θ : < } e abaixo (aima) da urva de demaração apreentam Á < 0 ( Â > 0 ). Io ompleta a ontrução do diagrama de fae da Figura -b. Análie de etabilidade loal via linearização: Coniderando (A.7) e (A.8) infere-e que o etado etaionário,1) é um ponto de ela da linearização em ua vizinhança quando <, já que o autovalore aoiado pouem parte reai om inai opoto. Aim, om bae no teorema de Hartman-Grobman, onlui-e que o etado etaionário (,1) é um ponto de ela loal e < (f. Figura -b). PARTE 3: O ubepaço {(, Ã ) Θ: < 1e < } é um atrator global e f ( ) f ( )] ω 0 ( 18
Î Ç Ç Ä Ç Ç Í Ì ÜÛÚ Ö Ï ÕÔÓ Ì Ì Ë Æ Ê ÙØ Ð ÒÑ Ì Ì Å É Ì Î Suponha. Nete ao, oniderando a primeira equação em (4.1), a iolina  0 é o lou {(, ) Θ : }. Aim, para qualquer < tem-e f ( > 0 e f ( ω < 0, logo f ( (1 )[ f ( ω]( κ ) > 0 e ÇÈ ( 1 )[ f ( ω] < 0. Para qualquer > tem-e f ( < 0 e f ( ω > 0, então f ( (1 )[ f ( ω]( κ ) < 0 e ÇÈ ( 1 )[ f ( ω] > 0. Ea ombinação da eta direionai (f. Figura -) demontra que o ubepaço {(, Ë ) Θ: < 1e < } é um atrator global. ; APÊNDICE 3: PROVA DA PROPOSIÇÃO 3 Um etado de equilíbrio de (5.3) é uma olução do eguinte itema: f ( ( R / (1 ) ( δ x) (1 ){[ f ( ]( R / ) ){[ f ( ]( R / ω} 0. ) ω}( κ ) 0, (A.13) Dede que > 0 infere-e que a egunda equação do itema (A.13) é atifeita e 1 [ f ( ]( R / ) ω 0. Exitênia do ponto de equilíbrio de etratégia pura (,0) : Se 1 então a primeira equação em (A.13) reduz-e a: f ( R ( δ x) 0, (A.14) ou a qual pode er tranformada para > κ > 0 em: f ( R ( δ x) 0. (A.14-a) Portanto, bata prova que exite um valor > κ > 0 tal que (A.14-a) é atifeita. Uando a regra de L Hôpital e o fato de que lim f ( 0 (uma da ondiçõe de Inada) infere-e que lim [ f ( R / ] 0 e, portanto: Como, por hipótee: f ( R lim ( δ x) ( δ x) < 0. (A.15) f ( κ ) R κ ( δ x) > 0 (A.16) e f ( é ontínua em qualquer 0 infere-e, baeado no teorema do valor intermediário, que exite um > κ > 0 tal que (A.14-a) é atifeita. Uniidade do ponto de equilíbrio de etratégia pura (,0) : Dede que a produtividade fíia marginal do trabalho efetivo é etritamente poitiva, ito é, [ f ( ]( R / ) > 0 então: f ( R R [ f ( ] ( δ x) < 0 (A.17) 19
æ ß ú ð âá éè ç ï ó õô ù e, portanto, o lado equerdo de (A.14-a) é uma função etritamente dereente de. Logo, é únio. Exitênia do ponto de equilíbrio de etratégia mita (, ) : Se 0 < Þ < 1 então a egunda equação de (A.13) é atifeita e, e omente e, [ f ( ]( R / ) ω 0. Supondo f ( 0 pode-e erever: äãå f ( à R ω 1 Introduzindo (A.18) em (A.13) reulta: Ý. (A.18) f ( ëêì f ( µ ( ) ( δ x) 0. (A.19) ω Portanto, bata provar que exite um valor > κ > 0 tal que (A.19) é atifeita. Seja o valor definido impliitamente por (3.1). Dede que > κ > 0 abe-e que: f ( ) lim µ ( > 0. (A.0) Uando a regra de L Hôpital e o fato de que lim f ( 0 (uma da ondiçõe de Inada) infere-e que: lim [ f ( / ] 0. (A.1) d Além dio, dado que [ f ( ] f ( > 0 deorre que o alário dométio efetivo é d uma função etritamente reente da razão apital-trabalho efetivo e, portanto: lim[ f ( ]. (A.) O limite (A.1) e (A.) permitem onluir que: ñ ò lim µ ( lim f ( öø f ( ( δ x) ω í î. (A.3) Como f ( é uma função 1 C em qualquer 0 teorema do valor intermediário, que exite um, a partir de (A.0) e (A.3) infere-e, baeado no > > κ tal que vale (5.6). Sendo aim, por (A.18) exite para ada um únio valor bem definido de > 0 dado por (5.5). Coniderando (5.5), para que e tenha < 1 a eguinte ondição deve er atifeita: f ( ) f ( ) R < ω. (A.4) Uniidade do ponto de equilíbrio de etratégia mita (, ) : Dede que f ( > 0 e f ( < 0 então: [ f ( ] ( δ x) f ( µ ( ) < 0 (A.5) ω û 0
ÿ û þý ü e, portanto, µ ( é uma função etritamente dereente de. Logo, onequentemente, oniderando (5.5), o ponto (, ) é únio. ; é únio, APÊNDICE 4: PROVA DA PROPOSIÇÃO 4 A matriz Jaobiana da linearização em torno do etado etaionário,1) é dada por: da qual obtém-e: e f ( ) R ( δ x) {[ f ( ) f ( )] R ω}( κ) f ( ) R J(1, ) (A.6) 0 {[ f ( ) f ( )] R ω} detj(,1) [ ( ) ( δ )]{[ ( ) f R x f f ( )] R ω}, trj(,1) f ( ) R ( δ x) {[ f ( ) f ( )] R ω}. ( (A.7) Dado (A.7), dede que f ( ) R ( δ x) < 0, onlui-e que o ponto de equilíbrio (,1) erá um orvedouro da linearização em ua vizinhança ao f ( ) f ( )] R ω > 0, poi ob a hipótee de que a eonomia dométia é uma forneedora líquida de mão-de-obra nete etado etaionário teme det J (,1) > 0 e trj (,1) < 0. Pelo teorema de Hartman-Grobman, então, onlui-e que o ponto de equilíbrio (,1) do itema (5.3) é um atrator loal e f ( ) f ( )] R ω > 0. Quando a eonomia dométia é reeptora líquida de mão-de-obra no etado etaionário em quetão, ito é, e f ( ) f ( )] R ω < 0, então o ponto de equilíbrio (,1) erá um ponto de ela da linearização em ua vizinhança, já que det J (,1) < 0. O ramo etável erá o lou {(, Θ : 1e }. Conequentemente, pelo teorema de Hartman-Grobman, onlui-e que o ponto de equilíbrio (,1) do itema (5.3) é um repulor em uma vizinhança dete ponto ontida no onjunto {(, ) Θ : e < 1} e f ( ) f ( )] R ω < 0. A matriz Jaobiana da linearização em torno do etado etaionário (, ) é dada por: J(, ) ( δ x) {( 1 f ( ) )( ( δ x) [ f ( ) ) f ( )( (1 κ) [ f ( )( ) f ( )] ) f ( )]} da qual obtém-e: e ((1 ) ω( κ) ( δ x) ) (1 ) ω ( δ x) 3 detj(, ) (1 ) { ω[ f ( ) f ( )] ( δ x)( ) f ( )} > 0, f ( ) (A.9) ( δ x) trj(, ) {(1 )( ) f ( )( κ) [ f ( ) f ( )]} (1 ) ω < 0. f ( ), (A.8) 1