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Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão Licenciatura em Informática Fundamentos de Geometria Analítica e Álgebra Linear Profª Sheila R. Oro Este texto foi escrito com base na bibliografia indicada no Plano de Ensino desta disciplina. O objetivo deste texto é auxiliar as atividades dos alunos em sala de aula e agilizar a abordagem dos temas. De nenhuma maneira a leitura ou consulta da bibliografia está descartada, isto é dever do aluno. REFERÊNCIAS BILIOGRÁFICAS BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R.; FIGUEIREDO, V. L.;WETZLER, H. G. Álgebra linear. 3. ed. Harbra: São Paulo, 1980. ANTON, Howard; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. LIPSCHUTZ, SEYMOUR. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1974. BOULOS, P; CAMARGO, I. Geometria Analítica um tratamento vetorial. 3. ed. Pearson: São Paulo, 2005. COELHO, F. U.; LOURENÇO, M. L. Um Curso de Álgebra Linear. 2. ed. 2001. HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Álgebra linear. São Paulo: EDUSP/POLÍGONO, 1971. KOLMAN B.; HILL D. R. Introdução a Álgebra Linear com Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2008. LAY, D. C. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 1 MATRIZES 1.1 Introdução Os conceitos relativos ao estudo das matrizes aparecem naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas, ordenando, simplificando e fornecendo diferentes métodos de resolução para estes. 1.2 Caracterização Uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Exemplo 1: podemos representar numa tabela as características de um grupo de pessoas: Altura (m) Peso (kg) Idade (anos) Indivíduo 1 1,72 85 42 Indivíduo 2 1,68 70 35 Indivíduo 3 1,76 72 38 Indivíduo 4 1,65 53 30 Abstraindo o significado de linhas e colunas da tabela, temos a matriz: [1,72 85 42 1,68 70 35 1,76 72 38 1,65 53 30 Essa disposição ordenada dos dados em forma de matriz é absolutamente indispensável em problemas com grande número de variáveis e de observações. 1

Definição: Uma matriz A de ordem m x n é um arranjo retangular de mn números reais (ou complexos) arrumados em m linhas horizontais e n colunas verticais. Notação genérica: a 11 a 12 a 1n a A=[ 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A i-ésima linha da matriz A é [a i1 a i2 a in, com 1 i m. [a 1 j A j-ésima coluna da matriz A é, para 1 j n: a 2 j. a mj A ordem da matriz do Exemplo 1 é 4 x 3, isto é, possui 4 linhas e 3 colunas. Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos primeiramente o número da linha e, em seguida, o da coluna em que ele está. Nos referimos ao elemento que está na i- ésima linha e j-ésima coluna da matriz A como elemento (i,j) ou coeficiente (i,j). Sendo assim, representamos genericamente essa matriz na forma A= [a ij. No exemplo 1, o número 72 corresponde ao elemento a 32 da matriz dada. Quando m = n, dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n e os elementos a 11,a 22,...,a nn formam a diagonal principal de A. Quando m = 1, isto é, quando A só possui uma linha, é denominada matriz linha. E quando n = 1, isto é, quando A só possui de uma coluna, dizemos que A é uma matriz coluna. Uma matriz quadrada em que todos seus elementos fora da diagonal principal são nulos, isto é, a ij = 0 para i j, é chamada de matriz diagonal. Quando esta matriz possuir todos os elementos da diagonal principal unitários, ou seja, a ij = 0 para i j e a ij = 1 para i = j, será denominada matriz identidade. 1 0... 0 0 1... 0............ I=[ 0 0... 1 Uma matriz quadrada é dita triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, m = n e a ij = 0, para i > j. E é triangular inferior quando m = n e a ij = 0, para i < j. Se a matriz possui m = n e a ij = a ji dizemos que esta é uma matriz simétrica. Neste caso, a parte superior da matriz é uma reflexão da parte inferior. Definição: Duas matrizes m x n, A a ij e b ij B, são ditas iguais se a ij = para 1 i m e 1 j n, isto é, se os elementos correspondentes forem iguais. Exemplo 2: As matrizes A=[ 1 2 1 2 3 4 w = -1, x = -3, y = 0 e z = 5. [ 1 2 w e B= 2 x 4 0 4 5 y 4 z bij são iguais somente se 2

1.3 Operações com Matrizes 1.3.1 Adição: Se A e B são matrizes de mesma ordem, m x n, então a soma A + B á a matriz m x n cujos elementos são as somas dos elementos correspondentes de A e B. A+B= [a ij +b ij m n Exemplo 3: Um fabricante de determinado produto produz três modelos A, B, e C. Cada modelo é manufaturado parcialmente na fábrica F 1 e depois terminado na fábrica F 2. O custo total de cada produto é a soma do custo de produção com o custo de transporte. Os dados dos custos (R$) de cada modelo em cada fábrica são apresentados a seguir. Custo de produção F 1 =[ 32 40 50 80 modelo A modelo B 70 20 modelo C Custo de Transporte Custo de produção F 2 =[ 40 60 50 50 Custo de Transporte modelo A modelo B 130 20 modelo C A matriz F 1 + F 2 fornece os custos totais de produção e de transporte para cada produto. Os custos totais de produção e de transporte para o modelo C do produto são, respectivamente, R$200,00 e R$40,00. Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, temos: i) A + B = B + A (comutatividade) ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade) iii) A + 0 = A (0 denota a matriz nula m x n) 1.3.2 Multiplicação por Escalar: Se r é um escalar e A é uma matriz, então o múltiplo escalar ra é a matriz cujos elementos são r vezes os elementos correspondentes de A. Exemplo 4: Se r = -3 e A=[ 2 0 1 1 r. A= [ra ij m n 5 1 3 3 então ra= [ 6 0 3 3 15 3 9 9. Se A e B são matrizes m x n, escrevemos A + (-1)B como A B e chamamos esta matriz da diferença de A e B. Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem m x n e os números k e r, temos: i) k(a + B) = ka +kb (distributiva em relação à soma de matrizes) ii) (k + r)a = ka + ra(distributiva em relação à soma de escalares) iii) k(ra) = (kr)a (composição de produtos) iv) 0.A = 0 (o produto do número zero pela matriz A resulta na matriz nula 0) 1.3.3 Transposta de uma matriz: Se A é uma matriz m x n, então a transposta de A, denotada por A T (ou simplesmente A ), é definida como a matriz n x m que resulta da permutação das linhas com as colunas de A, ou seja, a primeira coluna de A T é a primeira linha de A, a segunda coluna de A T é a segunda linha de A, e assim por diante. 3

De modo geral, podemos dizer que a entrada na linha i e coluna j de A T é a entrada na linha j e coluna i de A; ou seja, ( A T ) ij =( A ) ji. Exemplo 5: Seja A=[ 1 4 3 1 0 6 0 1 3 1. 2 8 5 2 1 =[ 1 A transposta dessa matriz será B=A T 6 2 4 0 8 3 1 5 1 3 2 0 1 1 Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem m x n, temos: i) Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual à sua transposta, isto é, se A = A. ii) A = A (A transposta da transposta de uma matriz é ela mesma) iii) (A + B) = A + B. (A transposta de uma soma é igual à soma das transpostas) iv) (ka) = k A (k é um escalar qualquer) 1.3.4 Traço de uma matriz: Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A, denotado por tr(a), é definido pela soma das entradas na diagonal principal de A. O traço de A não é definido se A não é uma matriz quadrada. 2 3 3 5 1 1 2 9 Exemplo 6: Seja 6 5 5 2 A=[ 1 0 4 8.. Calculamos o traço de A fazendo: tr(a) = 2 + 1 + 5 + 8 = 16 1.3.5 Produto de matrizes: Se A= [a ij é uma matriz m x p e B= [b ij é uma matriz p x n, então o produto AB é a matriz C c ij de ordem m x n definida por c ij =a i1 b 1 j +a i 2 b 2 j +... +a ip b pj = k=1 p a ik b kj (1 i m,1 j n ) A regra acima, denominada regra da linha-por-coluna, nos informa que para obter a entrada na linha i e coluna j de AB, destacamos a linha i de A e a coluna j de B. Multiplicamos as entradas correspondentes desta linha e desta coluna e então somamos os produtos resultantes. Exemplo 7: Calcular AB, onde A=[ 2 3 1 5 e B= [ 4 3 6 1 2 3. Multiplicando a primeira linha de A pela primeira coluna de B e somando os resultados, obtemos: 2.4 + 3.1 = 8 + 3 = 11 Multiplicando a primeira linha de A pela segunda coluna de B e somando os resultados, obtemos: 2.3 + 3.(-2) = 6-6 = 0 4

Multiplicando a primeira linha de A pela terceira coluna de B e somando os resultados, obtemos: 2.6 + 3.3 = 12 + 9 = 21 Multiplicando a segunda linha de A pela primeira coluna de B e somando os resultados, obtemos: 1.4 + (-5).1 = 4-5 = -1 Multiplicando a segunda linha de A pela segunda coluna de B e somando os resultados, obtemos: 1.3 + (-5).(-2) = 3 + 10 = 13 Multiplicando a segunda linha de A pela terceira coluna de B e somando os resultados, obtemos: 1.6 + (-5).3 = 6-15 = -9 Portanto: 11 0 21 AB=[ 1 13 9 Propriedades: Seja A mxn, e sejam B e C com as ordens corretas de modo que as somas e os produtos estejam definidos: i) A(BC) = (AB)C (associativa da multiplicação) ii) A(B + C) = AB + AC (distributiva à esquerda) iii) (B + C)A = BA + CA (distributiva à direita) iv) k(ab) = (ka)b = A(kB) (para todo escalar k) v) I m A = A = AI n (elemento neutro da multiplicação de matrizes) vi) (AB) T = B T A T Observações: i) Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa. Isto é, AB BA. ii) As leis do cancelamento não valem para o produto de matrizes. Isto é, se AB = AC, então não podemos concluir que sempre B = C. iii) Se o produto AB for a matriz nula, não se pode concluir, em geral, que A = 0 ou B = 0. Uma matriz pode ser subdividida em blocos ou particionada em matrizes menores inserindo retas horizontais e verticais entre linhas e colunas selecionadas. Esta forma de trabalho pode ser útil em vários cálculos envolvendo matrizes. Exemplo 8: A matriz A=[a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 pode ser particionada como A=[ A 11 A 12 A 21 A. 22 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a Poderíamos, também, escrever A=[a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 = a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 [ A11 A12 A13 A 21 A 22 A. 23 É claro que a subdivisão pode ser feita de muitas maneiras diferentes, o que nos permite realizá-la da forma como for mais conveniente. 5

0 1 0 0 2 3 1 Exemplo 9: Sejam A=[1 e 2 0 4 0 0 1 0 3 Calcular AB, usando a multiplicação em blocos. 0 1 0 0 2 3 1 A=[1 2 0 4 0 0 1 0 3 = [ A11 A12 A 21 A 22 3 3 0 1 2 1 6 12 0 3 7 5 Então, AB=C=[ 0 12 0 2 2 2 9 2 7 2 2 1 2 0 0 1 1 1 0 1 1 1 2 2 B=[ 1 3 0 0 1 0 3 1 2 1 0 1 2 0 0 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 3 0 0 1 0 B=[ 3 1 2 1 0 1 =[ C11 C12 C 21 C 22 =. [ B11 B12 B 21 B 22 Onde C 11 =A 11 B 11 +A 12 B 21 =[ 1 0 0 2 [ 2 0 0 0 1 1 + [ 1 0 3 1[ 1 3 0 3 1 2 = [ 3 3 0 6 12 0 A forma mais rápida de se obter AB computacionalmente depende da forma como as matrizes são armazenadas na memória do computador. Os algoritmos padrões de alto desempenho, como o LAPACK, calculam AB por colunas. Uma versão do LAPACK, codificado em C ++, calcula AB por linhas. O tratamento em blocos é muito útil ao se trabalhar com matrizes que exigem alta capacidade de processamento de um computador (ou programa). Nesse caso, para multiplicar duas matrizes em blocos, mantêm-se as matrizes no disco e traz-se para a memória apenas os blocos necessários para os produtos das submatrizes. Estes últimos, podem ser armazenados no disco assim que se formam. A divisão deve ser feita de modo que os produtos dos blocos correspondentes estejam definidos. Geralmente, computadores com processadores em paralelo usam matrizes em blocos para fazer cálculos matriciais mais rapidamente. 1.3.6 Potências de Matriz: Se A é uma matriz n x n e se k é um inteiro positivo, então A k denota o produto de k cópias de A, A k = A A... A k Interpretamos A 0 como I n, a matriz identidade de mesma ordem de A. 1.4 A Inversa de uma Matriz 1.4.1 Definição Definição: Dada uma matriz quadrada A, se pudermos encontrar uma matriz B de mesmo tamanho tal que AB = BA = I, então diremos que A é inversível e que B = A -1 é uma inversa de A. Se for possível encontrar a tal matriz B, então diremos que A é nãoinversível ou singular. 6

Exemplo 10: Se A=[ 2 5 3 7 [ e C= 7 5 3 2, então AC=[ 2 5 7 5 3 7 [ CA=[ 7 5 3 2 [ 2 5 Assim, C = A -1. 3 2 = [ 1 0 0 1 0 1 3 7 = [ 1 0 Exemplo 11: A matriz A=[ 1 4 0 2 5 0 é singular. 3 6 0 11 b 12 b 13 Seja B=[b b 21 b 22 b 23 uma matriz 3x3 qualquer. b 31 b 32 b 33 A terceira coluna de BA é [b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 [ 0 [ 0 0 = 0. Assim, BA I 0 0 Para determinar a inversa de uma matriz, basta resolver o sistema linear AB = I. Exemplo 12: Seja A=[ 3 4 5 6. Determine a inversa de A. =[ Seja B=A 1 b 11 b 12. Então, se existir B, teremos AB = I. Ou seja, b 21 b 22 [ 3 4 5 6 [ b 11 b 12 b 21 b 22 = [ 1 0 0 1 {3 b11+4 b21=1 5 b 11 +6 b 21 } =0 3 b 12 +4 b 22 =0 5 b 12 +6b 22 =1 =[ 3 2 Resolvendo o sistema de equações, obtemos B=A 1 5 3. 2 2 Teorema 1: Seja A=[ a b c d. Se ad bc 0, então A é inversível e A 1 = 1 ad bc [ d b c a. Se ad bc 0, então A é singular. A grandeza ad bc é chamada de determinante de A. A matriz [ d b c a é denominada matriz adjunta de A. 7

O teorema acima nos fornece um método prático para encontrar a inversa de uma matriz de ordem 2. Exemplo 13: Usando o teorema 1, vamos calcular a inversa da matriz A do exemplo 12. A=[ 3 4 5 6 A 1 1 = 3. 6 4. 5 [ 6 4 5 3 = 1 2 [ 6 4 5 3 [ 3 2 = 5 3 2 2 Propriedades: Seja A uma matriz quadrada: i) Se A tem uma inversa, essa inversa é única. ii) Seja A uma matriz inversível. A inversa da matriz inversa de A é a própria matriz A. ( A 1 ) 1 =A iii) Seja A uma matriz inversível. A inversa da transposta de A é igual à transposta da inversa de A. ( A T ) 1 =( A 1 ) T iv) Se A e B são matrizes inversíveis de mesmo tamanho, então a matriz resultante do produto AB também é inversível, e a inversa de AB é o produto das inversas de A e B com a ordem invertida. ( AB ) 1 =B 1 A 1 1.4.2 Método Prático para Determinar A -1 Vamos desenvolver, agora, um método prático para encontrar A -1. Se a matriz A nxn é dada, procuramos uma matriz B nxn tal que Denotando as colunas de B b ij j b 2 j x... j =[b1 b ij... b nj AB=BA=I n por matrizes n x 1: x 1, x 2,..., x n, onde para (1 j n). Denotando as colunas de I n por matrizes n x 1: e 1, e 2,..., e n, onde j-ésima linha. 8

O problema de encontrar uma matriz B nxn = A -1 tal que AB = I n é equivalente ao problema de encontrar n matrizes (cada uma delas nx1) x 1, x 2,..., x n,tais que Ax j =e j, com 1 j n. Então, encontrar B é equivalente a resolver n sistemas lineares (cada uma com n equações e n incógnitas. Cada um desses sistemas pode ser resolvido pelo método de redução de Gauss-Jordan. Para resolver o primeiro sistema linear, formamos a matriz aumentada do sistema [A e 1 e encontramos a matriz escada reduzida por linhas que é equivalente por linhas a ela. Fazemos o mesmo e 2,..., e n. Entretanto, a matriz dos coeficientes de cada um desses sistemas é sempre A, de modo que podemos resolver todos esses sistemas simultaneamente. Vamos formar a matriz n x 2n [A e 1 e 2... e n = [A I n e colocá-la em sua forma escada reducida por linhas, [C D. A matriz n x n C é a matriz em forma escada reduzida por linhas que é equivalente por linhas a A. Temos duas possibilidades: I Se C = I n, então B = D = A -1. Isto é obtivemos a inversa de A. II Se C I n, então C terá uma linha nula e D não pode ter uma linha nula. Logo A é singular, isto é, não existe inversa da matriz A. Resumindo o método prático para calcular a inversa de A: Etapa 1: Forme a matriz aumentada n x2n [A I n juntando a matriz identidade à matriz A. Etapa 2: Coloque a matriz obtida na Etapa 1 em sua forma escada reduzida por linhas usando operações elementares nas linhas. Lembre-se de que qualquer operação feita em uma linha de A tem que ser feita também na linha correspondente de I n. Etapa 3: Suponha que a Etapa 2 produziu a matriz [C D em forma escada reduzida por linhas. (a) Se C = I n, então D = A -1. (b) Se C I n, então C tem uma linha nula. Neste caso, A é singular e A -1 não existe. Exemplo 14: Encontrar a inversa da matriz A=[ 1 1 1 0 2 3 5 5 1. Etapa 1: [A I 3 = [ 1 1 1 1 0 0 0 2 3 0 1 0 5 5 1 0 0 1. Etapa 2: Colocamos a matriz obtida na Etapa 1 em sua forma escada reduzida por linhas: [ 1 1 1 1 0 0 0 2 3 0 1 0 Some (-5) vezes a primeira linha à terceira para obter 5 5 1 0 0 1 [ 1 1 1 1 0 0 0 2 3 0 1 0 Multiplique a segunda linha por ½ para obter 0 0 4 5 0 1 [ 1 1 1 1 0 0 0 1 3/2 0 1/2 0 Some (-1) vez a segunda linha à primeira para obter 0 0 4 5 0 1 9

[ 1 0 1/2 1 1/2 0 0 1 3/2 0 1/2 0 Multiplique a terceira linha por (-1/4) para obter 0 0 4 5 0 1 [ 1 0 1/2 1 1/2 0 0 1 3/2 0 1/2 0 Some (-3/2) vezes a terceira linha à segunda para obter 0 0 1 5/4 0 1/4 [ 1 0 1/2 1 1/2 0 0 1 0 15/8 1/2 3/8 Some (1/2) vez a terceira linha à primeira para obter 0 0 1 5/4 0 1/4 [ 1 0 0 13/8 1/2 1/8 0 1 0 15/8 1/2 3/8 0 0 1 5/4 0 1/4 13/8 1/2 1/8 Etapa 3: Como C = I 3, concluímos que D = A -1. Portanto, A 15/8 1/2 3/8 1[ 5/4 0 1/4 É fácil verificar que AA -1 = A -1 A = I 3. 10