EMBAP ESCOLA DE MÚSICA E BELAS ARTES DO PARANÁ DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA Profª Eliane Dumke e-mail: eliane.dumke@gmail.com Aula 10 (material didático produzido por Paula Rigo) Estudo de propriedades dos quadriláteros e construções Quadrilátero é a figura constituída por quatro pontos do plano, os vértices, e pelos seis segmentos que os unem. Supõe-se que dos quatro pontos não há três que sejam colineares. Diagonais de um quadrilátero são os segmentos de reta que unem dois vértices opostos. Apótema de um quadrilátero regular é a designação dada à linha que partindo do centro geométrico da figura é perpendicular a um dos seus lados. Nomenclatura 4 Vértices: A, B, C, D 4 Lados: [AB], [BC], [CD], [AD] 4 Ângulos internos: ABC, BCD, CDA, DAB 2 Diagonais: [AC], [BD] Vértices consecutivos: A e B, B e C, C e D, D e A Vértices opostos: A e C, B e D Lados consecutivos: [AB] e [BC], [BC] e [CD], [CD] e [AD], [AD] e [AB] Lados opostos: [AB] e [CD], [AD] e [BC] Relações entre os ângulos de um Quadrilátero A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é geometricamente igual a um ângulo de 360º. α + β + γ + δ = 360º Classificação dos Quadriláteros Quadrilátero convexo Quadrilátero côncavo Quadrilátero estrelado Chama-se quadrilátero convexo, àquele que define um domínio convexo (1). Quadrilátero côncavo é aquele que define um domínio côncavo (1). Observa-se que o quadrilátero estrelado também é um quadrilátero côncavo. (1) Um domínio plano diz-se convexo quando o segmento de reta definido por dois quaisquer dos seus pontos interiores é um subconjunto do domínio; no caso contrário diz-se côncavo.
Propriedades dos Trapézios Trapézios, no sentido lato, são quadriláteros em que dois lados opostos são paralelos. Os lados são as bases e se forem desiguais uma é a base maior e a outra a base menor. Classificação dos Trapézios Trapézio isósceles Trapézio retângulo AB = CD α = β α = 90º Trapézio escaleno Um trapézio isósceles é aquele cujos lados opostos não paralelos são iguais. Um trapézio retângulo é aquele em que um dos lados opostos não paralelos é perpendicular às bases. Um trapézio escaleno é aquele cujos lados opostos não paralelos são desiguais. Relações de um Trapézio Isósceles 1 - Num trapézio isósceles os ângulos adjacentes à mesma base são geometricamente iguais: a = δ e β = γ 2 - As diagonais de um trapézio isósceles são geometricamente iguais: [AC] [BD] 3 - A mediana de um trapézio isósceles é paralela às bases do trapézio e o seu comprimento é igual à semi-soma das bases: AD//BC//EF EF = AD + BC 2 Linhas notáveis de um Trapézio Bases de um trapézio são os lados opostos paralelos. Diagonal de um trapézio é o segmento de reta cujos extremos são dois vértices opostos do quadrilátero. Altura de um trapézio é o segmento de reta perpendicular às bases e compreendido entre elas. Mediana do trapézio é o segmento de reta cujos extremos são os pontos médios dos lados opostos não paralelos.
Propriedades dos Paralelogramos Paralelogramos são trapézios cujos lados opostos são paralelos e geometricamente iguais. Classificação dos Paralelogramos Paralelogramo Retângulo AB = CD e AD = BC (todos os ângulos são geometricamente iguais) α = γ e β = δ α = β = γ = δ = 90º Losango (todos os lados são geometricamente iguais) AB = BC = CD = DA Quadrado (todos os lados e ângulos são geometricamente iguais) AB = BC = CD = DA α = γ e β = δ α = β = γ = δ = 90º Retângulo é o quadrilátero cujos lados consecutivos são perpendiculares. Losango é o quadrilátero cujos lados são todos iguais. Quadrado é o retângulo cujos lados são todos iguais. Relações de um Paralelogramo 1 - Os ângulos opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais e os ângulos internos consecutivos de cada lado são suplementares: BAD BCD ( ABC) + ( BCD) = 180º ABC ADC ( BAD) + ( ADC) = 180º 2 - Os lados opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais: [AB] [CD] [AD] [BC] 3 - As diagonais de um paralelogramo dividem-se em duas partes geometricamente iguais: [AO] [OC] [BO] [OD] O é o ponto médio de [AC] e [BD]
4 - Uma diagonal de um paralelogramo divide-o em dois triângulos geometricamente iguais: [ABC] [ACD] Linhas notáveis de um Paralelogramo Base de um paralelogramo é qualquer um dos seus lados. Diagonal de um paralelogramo é o segmento de reta cujos extremos são dois vértices opostos do quadrilátero. Altura de um paralelogramo é o segmento de reta perpendicular à base e compreendida entre ela e o lado paralelo oposto. Exercícios para a pasta continuação Exercício nº45 Construir um quadrado sendo conhecido seu lado AB=4,5cm. 1. Seja o lado AB=4,5cm. 2. Traça-se uma horizontal indefinida e marca-se nela a medida do lado AB. 3. Pelos pontos A e B levantam-se duas perpendiculares, e, em seguida, com centro em A e raio AB corta-se a perpendicular que passa por A no ponto D. 4. Com o mesmo raio e já agora com centro em B corta-se a perpendicular que passa por B no ponto C. 5. Unindo-se os pontos A, B, C e D entre si, teremos construído o quadrado pedido. Exercício nº46 Construir um quadrado conhecendo-se sua diagonal=6cm. 1. Seja esta diagonal AB=6cm 2. Sobre uma horizontal, marca-se o segmento AB. 3. Levanta-se uma perpendicular pelo meio do segmento (mediatriz), e marcando-se nela para cima e para baixo do ponto O as distâncias OC e OD, que são justamente a metade de AB. 4. Unindo os pontos A, B, C e D teremos o quadrado pedido. Exercício nº47 Construir um quadrado conhecendo-se seu apótema=3cm. 1. Seja o apótema OX=3cm. 2. Sobre uma horizontal indefinida marca-se AB igual à duas vezes OX. Este segmento é o lado do quadrado pedido. 3. Repetir procedimento de construção de quadrado, dado seu lado.
Exercício nº48 Construir um quadrado conhecendo-se a soma da sua diagonal com um lado=5cm. 1. Seja esta soma o segmento r=5cm 2. Constrói-se um quadrado qualquer 1E2A e prolonga-se a sua diagonal. 3. Marca-se sobre a diagonal a distância AC igual ao segmento r. 4. Centro em E, e com raio E2, descreve-se um arco que vai cortar AC em D. 5. Une-se D a 2. Traça-se uma paralela a 2D pelo ponto C; esta paralela corta o prolongamento do lado do quadrado no ponto B. 6. A distância AB é o lado do quadrado pedido. 7. Repetir procedimento de construção de quadrado, dado seu lado. Exercício nº49 Construir um losango conhecendo-se seu lado e a sua diagonal. AB=5cm e AC=3,5cm. 1. Sejam AB a diagonal e AC o lado do losango. 2. Sobre uma reta horizontal marca-se o segmento AB. Em seguida, com centro em A e raio igual a distância AC traça-se o arco de círculo 1 e 2. 3. Centro em B e mesmo raio, descreve-se o arco que vai cortar o anterior nos pontos C e D. 4. Unindo os pontos A, C, B e D, teremos o losango procurado. Exercício nº50 Construir um losango sendo dados um lado e um ângulo AB=3,5cm e ângulo de 45º. 1. Traça-se uma reta e sobre esta marca-se o segmento AB, que é o lado. 2. Em uma de suas extremidades (no caso, A) constrói-se o ângulo α, de modo que seu vértice coincida com A e o seu lado com o segmento AB. 3. Em seguida, prolonga-se o outro lado do ângulo e marca-se sobre ele a distância AB, com centro em A, raio AB. 4. Agora, traça-se uma paralela a AC passando por B, e outra paralela a AB passando por C. Estas duas linhas encontramse no ponto D. Assim, teremos o losango ABCD. Exercício nº51 Construir um trapézio isósceles sendo dadas as duas bases assim como sua altura. AB=6cm, CD=2,5cm e h=4cm. 1. Sobre uma reta horizontal marca-se a distância AB, que será a base maior do trapézio. 2. Em seguida traça-se uma perpendicular pelo meio de AB. Nesta reta marcamos a altura h. 3. Agora traça-se uma paralela a AB pelo ponto da altura e marcam-se sobre esta a distância CD de modo que este segmento esteja centralizado pela altura. Teremos assim o trapézio pedido. Exercício nº52 Construir um retângulo sendo conhecidos um de seus lados e a sua diagonal. AB=7cm e AC=8cm. 1. Sobre uma linha horizontal marca-se o segmento AB, que é o lado do retângulo. 2. A seguir levantam-se duas perpendiculares ao segmento AB pelas extremidades A e B. 3. Com centro em qualquer uma das extremidades, e com raio igual ao comprimento AC da diagonal, descreve-se um arco que cortará a perpendicular oposta ao ponto centrado. 4. Traça-se então uma paralela à AB passando por este ponto e determina-se assim os vértices do retângulo pedido.