E APÊNDICE Revisão de Tigonometia FUNÇÕES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ÂNGULOS Os ângulos em um plano podem se geados pela otação de um aio (semi-eta) em tono de sua etemidade. A posição inicial do aio é chamada de lado inicial do ângulo, a posição final é chamada de lado teminal do ângulo e o ponto onde se cuzam os lados inicial e final é chamado de vétice do ângulo. Vamos admiti a possibilidade de que o aio possa faze mais de uma evolução completa. Os ângulos são consideados positivos se geados no sentido anti-hoáio e negativos se geados no sentido hoáio (Figua E. ). teminal Vétice inicial adiano Figua E. Um ângulo positivo Um ângulo negativo Ângulos geados po mais uma evolução Eistem dois sistemas padão de medida paa desceve o tamanho de um ângulo: medida em gaus e medida em adianos. Na medida em gaus, um gau (esceve-se ) é a medida de um ângulo geado po /6 de uma evolução. Assim, há 6 em um ângulo de uma evolução, 8 em um ângulo de meia evolução, 9 em um ângulo de /4 de evolução (ângulo eto) e assim po diante. Os gaus são divididos em 6 pates iguais, chamadas de minutos e os minutos são divididos em 6 pates iguais, chamadas de segundos. Assim, um minuto (esceve-se ' ) é / 6 de um gau, e um segundo (esceve-se '') é /6 de um minuto. Menoes subdivisões de um gau são epessas como fações de segundo. Na medida em adianos, os ângulos são medidos pelo compimento do aco que o ângulo subentende sobe um cículo de aio quando o vétice está no cento. Uma unidade de aco sobe um cículo de aio é chamada de adiano (esceve-se ad) (Figua E. ), e, potanto, a cicunfeência inteia de um cículo de aio tem adianos. Tem-se que um ângulo 6 subentende um aco de adianos, um ângulo de 8 subentende um aco de adianos, um ângulo de 9 subentende um aco de / adianos, e assim po diante. A Figua E. e a Tabela mostam a elação ente as medidas em gaus e em adianos paa alguns ângulos positivos impotantes. Figua E. OBSERVAÇÃO. Note que, na Tabela,os ângulos em gaus são designados pelo símbolo de gau, mas os ângulos em adianos não têm unidades especificadas. Isto é uma pática padão deve-se entende que as unidades são adianos quando não houve unidade especificada paa um ângulo.
A4 REVISÃO DE TRIGONOMETRIA 45 9 8 6 6 4 Figua E. Tabela Gaus Radianos 45 6 9 5 5 8 7 6 6 5 4 4 6 A pati do fato de que adianos coespondem a 8, obtemos as fómulas a segui, as quais são úteis paa convete gaus em adianos e vice-vesa. ad, 745ad 8 8 ad 57 7' 44, 8'' () () Eemplo (a) Epesse 46 em adianos (b) Epesse adianos em gaus. Solução (a). A pati de (), os gaus podem se convetidos em adianos multiplicando-se po um fato de convesão de /8. Assim, RELAÇÕES ENTRE COMPRIMENTO DE ARCO, ÂNGULO, RAIO E ÁREA 46 8 46 7 ad ad, 548 ad 9 Solução (b). De (), adianos podem se convetidos em gaus multiplicando-se po um fato de convesão de 8/. Assim, ad 8 54 7, 9 Há um teoema em geometia plana o qual estabelece que, paa dois cículos concênticos, a azão ente os compimentos de aco subentendidos po um ângulo cental é igual à azão dos aios coespondentes (Figua E. 4). Em paticula, se s fo o compimento de aco subentendido sobe um cículo de aio po um ângulo cental de adianos, então, compaando-se com o compimento de aco subentendido pelo mesmo ângulo sobe um cículo de aio, obtém-se s
HOWARD ANTON CÁLCULO A4 de onde obtemos as seguintes elações ente o ângulo cental, o aio, e o compimento de aco subentendido s quando estive em adianos (Figua E.5): s/ e s ( - 4) s s s s s Se estive em adianos, então s/. Figua E. 4 Figua E. 5 A egião sombeada na Figua E. 5 é chamada de seto. É um teoema na geometia plana que a azão ente a áea A deste seto e a áea de todo o cículo é a mesma que a azão ente o ângulo cental do seto e o ângulo do cículo inteio; assim, se os ângulos estiveem em adianos, temos A Resolvendo-se paa A, esulta a seguinte fómula paa a áea de um seto em temos do aio e do ângulo em adianos : (5) A FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS PARA TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Figua E.6 O seno, o cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante de um ângulo agudo positivo podem se definidos como azões ente os lados de um tiângulo etângulo. Usando a notação da Figua E.6, estas definições tomam a seguinte foma: cateto oposto a hipotenusa sen, cossec hipotenusa cateto oposto a cateto adjacente a hipotenusa cos, sec hipotenusa cateto adjacente a cateto oposto a cateto adjacente a tg, cotg cateto adjacente a cateto oposto a Vamos chama sen, cos, tg, cotg, sec, cossec de funções tigonométicas. Como os tiângulos similaes têm lados popocionais, os valoes das funções tigonométicas dependem somente do tamanho de e não do tiângulo etângulo paticula usado paa calcula as azões. Além disso, nestas definições não impota se estive medido em gaus ou em adianos. (6) Eemplo Lembe-se da geometia que dois lados de um tiângulo de ângulos de 45, 45 e 9 são iguais e que a hipotenusa de um tiângulo de ângulos, 6 e 9 é duas vezes o lado meno, o qual é oposto ao ângulo de. Estes fatos e o Teoema de Pitágoas dão luga à Figua E.7. A pati da figua, obtemos os esultados na Tabela.
A4 REVISÃO DE TRIGONOMETRIA 45 6 45 Figua E.7 Tabela sen 45 /, cos 45 /, tg 45 cossec 45, sec 45, cotg 45 sen /, cos /, tg / cossec, sec /, cotg sen 6 /, cos 6 /, tg 6 cossec 6 /, sec 6, cotg 6 / ÂNGULOS EM SISTEMAS RETANGULARES DE COORDENADAS Como os ângulos de um tiângulo etângulo estão ente e 9, as fómulas em (6) não são dietamente aplicáveis a ângulos negativos ou maioes do que 9. Paa estende as funções tigonométicas a estes casos, seá conveniente considea ângulos em sistemas etangulaes de coodenadas. Dizemos que um ângulo está na posição padão em um sistema de coodenadas se o seu vétice estive na oigem e o seu lado inicial sobe o eio positivo (Figua E. 8). teminal inicial inicial teminal Um ângulo positivo na posição padão Um ângulo negativo na posição padão Figua E.8 Paa defini as funções tigonométicas de um ângulo na posição padão, constuímos um cículo de aio, cento na oigem, e seja P(, ) a intesecção do lado teminal de com este cículo (Figua E. 9). Fazemos a seguinte definição. P(, ) E. DEFINIÇÃO. sen, cos, tg cossec, sec, cotg Figua E.9
HOWARD ANTON CÁLCULO A4 (cos, sen ) Note que as fómulas desta definição estão de acodo com aquelas dadas em (6), logo não há conflito com a definição anteio de funções tigonométicas paa tiângulos. Poém, esta definição se aplica a todos os ângulos (eceto quando ocoe um zeo no denominado). No caso especial onde, temos que sen e cos, desta foma o lado teminal do ângulo intecepta o cículo unitáio no ponto (cos, sen ) (Figua E. ). Tem-se a pati da Definição E. que as funções tigonométicas emanescentes de são epessas po sen cos tg, cotg, sec, cossec cos sen tg cos sen (7-) Figua E. Estas obsevações sugeem o seguinte pocedimento paa o cálculo de funções tigonométicas de ângulos usuais: Constua o ângulo na posição padão de um sistema de coodenadas (, ). Ache as coodenadas da intesecção do lado teminal do ângulo com o cículo unitáio; as coodenadas (, ) desta intesecção são, espectivamente, os valoes de cos e sen. Use as fómulas (7) () paa enconta os valoes das funções tigonométicas emanescentes a pati dos valoes de cos e de sen. Eemplo P (, ) A O 5 Calcule as funções tigonométicas de 5. Solução. Constua um cículo unitáio e coloque o ângulo 5 na posição padão (Figua E.). Uma vez que o ângulo AOP é e o tiângulo OAP tem ângulos, 6 e 9, o lado AP tem compimento (metade da hipotenusa) e o lado OA, pelo teoema de Pitágoas, tem um compimento de /. Assim, as coodenadas de P são ( /, / ), de onde obtemos Figua E. sen5 / sen5, cos 5, tg5 cos5 / cossec5, sec5 sen5 cos5 cotg5 tg5 Eemplo 4 Calcule as funções tigonométicas de 5/6. Solução. Como 5/6 5, este poblema é equivalente ao do Eemplo. Daquele eemplo, obtemos 5 5 5 sen, cos, tg 6 6 6 5 5 5 cossec, sec, cotg 6 6 6 Eemplo 5 Figua E. (, ) Calcule as funções tigonométicas de /. Solução. De acodo com a Figua E., o lado teminal de / intecepta o cículo unitáio no ponto (, ), logo sen( /), cos( /)
A44 REVISÃO DE TRIGONOMETRIA e das fómulas (7) () tem-se sen( / ) tg( / ) (indefinido) cos( / ) cos ( / ) cotg( / ) sen( / ) sec ( / ) (indefinido) cos( / ) cossec ( / ) sen( / ) Pelos métodos ilustados nos tês últimos eemplos, o leito deve se capaz de obte todos os esultados da Tabela. Os taços indicam quantidades que são indefinidas. Tabela /6 /4 / / / /4 5 /6 / ( ) ( ) (45 ) (6 ) (9 ) ( ) (5 ) (5 ) (8 ) (7 ) (6 ) sen / / / / / / cos / / / / / / tg / / cossec / / sec / / cotg / / sen cossec + tg cotg + Figua E. Todas + cos sec + OBSERVAÇÃO. Somente em casos especiais os valoes eatos das funções tigonométicas podem se obtidos; nomalmente, uma calculadoa ou um pogama computacional é necessáio. Os sinais das funções tigonométicas de um ângulo são deteminados pelo quadante no qual cai o lado teminal do ângulo. Po eemplo, se o lado teminal cai no pimeio quadante, então e são positivos na Definição E.. Assim sendo, todas as funções tigonométicas têm valoes positivos. Se o lado teminal cai no segundo quadante, então é negativo e positivo, logo seno e cossecante são positivos, mas todas as demais funções tigonométicas são negativas. O diagama na Figua E. mosta quais funções tigonométicas são positivas nos váios quadantes. O leito achaá instutivo veifica que os esultados na Tabela estão de acodo com a Figua E.. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Uma identidade tigonomética é uma equação envolvendo funções tigonométicas vedadeias paa todos os ângulos paa os quais ambos os lados da equação estão definidos. Uma das identidades mais impotantes em tigonometia pode se deduzida aplicando-se o teoema de Pitágoas ao tiângulo na Figua E. 9 paa obte + Dividindo-se ambos os lados po e usando-se as definições de sen e cos (Definição E. ), obtemos o seguinte esultado fundamental: sen + cos () As seguintes identidades podem se obtidas de () dividindo-se ambos os membos po cos e
HOWARD ANTON CÁLCULO A45 sen, espectivamente, então aplicando as Fómulas (7) (): tg + sec + cotg cossec () () Se (, ) fo um ponto sobe o cículo unitáio também estaão sobe ele os pontos (, ), (, ) e (, ) (po quê?), e os quato pontos fomam vétices de um etângulo com os lados paalelos aos eios coodenados (Figua E.4a). As coodenadas e de cada vétice epesentam o seno e o cosseno de um ângulo na posição padão, cujo lado teminal passa pelo vétice; assim, obtemos as identidades nas pates (b), (c) e (d) da Figua E.4 paa o seno e o cosseno. Dividindose aquelas identidades, obtém-se identidades paa a tangente. Em suma: sen ( ) sen, sen ( + ) sen, sen ( ) sen cos ( ) cos, cos ( + ) cos, cos ( ) cos tg ( ) tg, tg ( + ) tg, tg ( ) tg (4-6) (7-9) (-) (, ) (, ) (, ) (, ) + (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Figua E.4 sen ( ) sen cos ( ) cos sen ( + ) sen cos ( + ) cos sen ( ) sen cos ( ) cos (a) (b) (c) (d) Dois ângulos na posição padão que tenham o mesmo lado teminal devem te os mesmos valoes paa as suas funções tigonométicas, pois seus lados teminais inteceptam o cículo unitáio no mesmo ponto. Em paticula, dois ângulos cujas medidas em adianos difeem po um múltiplo de têm o mesmo lado teminal e, potanto, as suas funções tigonométicas têm os mesmos valoes. Isto dá luga às identidades sen sen ( + ) sen( ) cos cos ( + ) cos( ) () (4) e mais geneicamente, sen sen ( ± n), n,,,... cos cos ( ± n), n,,,... (5) (6) As identidades () () implicam que tg tg ( + ) e tg tg ( ) (7-8) A identidade (7) é pecisamente a () com os temos da soma em odem invesa, e a identidade (8) segue de () e () (veifique). Estas duas identidades estabelecem que soma ou subtai de um ângulo não afeta o valo de sua tangente. Tem-se que o mesmo é vedadeio paa todo