Caro aluno, Oficina Álgebra 2 Nesta atividade, você será convidado a trabalhar com problemas que podem ser representados por meio de equações do 2º grau. Nos problemas 1 e 2, é proposto que, primeiramente, você encontre os valores procurados por meio de preenchimento de tabelas. A utilização desse recurso propõe que você faça a refleão de que este não representa o processo mais prático para solucionar a situação apresentada, deseja-se, com isso, introduzir a possiblidade de utilizar as equações do 2º grau para representar determinadas situações e resolvê-las. Após os problemas 1 e 2, há dois desafios para que você possa eplorar esse novo conhecimento sobre as equações do 2º grau. Objetivos da oficina: Representar uma situação-problema por meio de uma equação do 2º grau. Reconhecer as equações completas e incompletas. Reconhecer os coeficientes de uma equação. Utilizar a fórmula de Bhaskara para resolver as equações do 2º grau.
Problema 1. Veja o anúncio da venda de lotes Imperdível!!!!!!!!! Lotes à venda pelo valor de R$ 1.500,00 m² (o metro quadrado) Imagem da disposição dos lotes.
Imagem da vista superior dos lotes Ao ver o anúncio, Luís interessou- se pelos lotes, mas antes de agendar uma visita, decidiu verificar quais eram as medidas de largura e comprimento do lote 2, o qual despertou-lhe maior interesse. Entrando em contato com o corretor, Luís descobriu que esse lote tem o formato de um quadrado, portanto suas medidas de comprimento e largura são iguais. Sabendo a medida da área, Luís decidiu então descobrir quais eram as dimensões do lote.
Como Luís não tinha ideia de quais eram essas dimensões, ele montou uma tabela e foi atribuindo valores para a largura e para o comprimento, tentando, com esses valores, chegar aos 225 m² de área. Observe: Medida de comprimento Medida de largura Cálculo da área Medida da área 2 m 2 m 2 m 2 m m² m m m m 16 m² 7 m 7 m 7 m 7 m 9 m² Inicialmente, Luís atribuiu o valor de 2 metros para o comprimento e para a largura. Ao realizar o cálculo da área, ele observou que o valor obtido era muito inferior aos 225 m². Após esta observação passou a aumentar as medidas de comprimento e largura, aleatoriamente, até encontrar os valores que multiplicados resultassem em 225 m². Lembre-se: para calcular a área de um quadrado realizamos a multiplicação lado lado. Caro aluno, assim como Luís, você deverá completar a tabela anterior, atribuindo valores aleatórios, até obter as medidas de comprimento e largura que resultem em uma área de 225 m². Após encontrar as medidas solicitadas, respondas as seguintes questões: a) Qual foi o valor encontrado para o comprimento e para a largura que resultaram em uma área de 225 m²? b) Seria possível encontrar o valor das medidas (comprimento e largura) sem utilizar a tabela? De qual maneira?
Veja outra possibilidade de calcular essas dimensões: O lote tem o formato de um quadrado e inicialmente não se sabe suas dimensões ( medidas de comprimento e largura). Como não se conhece as medidas de largura e comprimento, pode-se identificá-las utilizando uma incógnita qualquer, como por eemplo, L. L L Identifica-se agora o comprimento e a largura como L. Sabe-se que a área desse lote tem 225 m² e como já se verificou, nessa mesma atividade, o cálculo da área de um quadrado é realizado multiplicando-se o comprimento pela largura (lado lado), realiza-se esse cálculo, representando agora as medidas do quadrado como L. Observa-se então: L L = 225 m² L² = 225 m² Fazendo a leitura dessa epressão, notase que, um número de valor desconhecido chamado aqui de L elevado ao quadrado é igual a 225. Para realizar esse cálculo faça a etração da raiz de 225. Quando realiza-se a multiplicação de duas variáveis iguais, pode-se simplificar a epressão aplicando a seguinte propriedade de potência: a m.a n = a m+n Em uma linguagem menos técnica pode-se dizer: na multiplicação de bases iguais, mantem-se a base e soma-se os epoentes. Agora é com você, caro aluno, realize a etração da raiz de 225 e encontrará as medidas de largura e comprimento do lote, neste caso, sem utilizar uma tabela.
Vamos pensar um pouco sobre o processo que acabamos de realizar! Ao escrever a epressão L² = 225, estamos representando uma equação do 2º grau. As equações do 2º grau são aquelas em que sua incógnita se apresenta com epoente 2. Nesta equação, é provável que seja encontrado, como valor de L, o número 15, esse valor está correto, mas cabe apenas uma simples observação: Quando resolve-se uma equação como essa, deseja-se encontrar qual é o número que foi elevado ao quadrado e resultou em 225, verifica-se que além do 15 (quinze positivo) o número 15 (quinze negativo), elevado ao quadrado, também resultará em 225. Verifica-se esse cálculo: 15 15 = 225 (-15) ( - 15) = 225 Portanto essa equação do 2º grau possui dois valores e esses valores são chamados de raízes da equação. No cálculo da medida do lado do terreno, utiliza-se apenas o valor 15 (positivo), pois este representa uma medida e, não há medida negativa. Problema 2. Inicialmente tem-se um terreno que apresenta o formato de um quadrado, de medida de lado desconhecida. Deseja-se aumentar o comprimento desse terreno em m, de maneira que sua área tenha 10 m². m Medida que foi acrescentada
A partir do momento que é realizado o aumento do comprimento em m, obtém-se uma figura cujos lados apresentam medidas diferentes, logo a figura que era antes um quadrado transformou-se em um retângulo. Lembre-se: para calcular a área de um retângulo realiza-se a multiplicação: comprimento largura. Agora é com você! a) Assim como realizado no problema 1, monta-se uma tabela na tentativa de se atribuir valores para a medida chamada de e assim encontrar o eato valor que possibilitará que a área tenha 10 m². Medida do comprimento inicial (chamada de ) Medida a ser acrescentada Medida do comprimento após o acréscimo dos m Medida da largura (chamada de ) Cálculo da área 2 2 + = 6 2 2 6 = 12 Caro aluno, preencha a tabela atribuindo à incógnita, os valores que desejar, e a partir desses valores, calcule a área do terreno. Veja que o primeiro valor atribuído para resultou em uma área de apenas 12 m², valor um pouco distante dos 10 m² desejados. b) Seria possível encontrar os valores de comprimento e largura, sem utilizar a tabela? De qual maneira?
Veja outra possibilidade de encontrar o valor da incógnita, sem utilização da tabela. O terreno inicial tinha o formato de um quadrado de medida de lado desconhecida, que está sendo representada pela incógnita. A área desse terreno inicial pode ser calculada multiplicando lado lado. Logo: Área =. Área = ² Quando é acrescentado os m no comprimento do terreno, obtém-se um retângulo que apresenta m de comprimento e de largura. A área dessa parte do terreno pode ser calculada realizando a multiplicação do comprimento largura. Área =. Área =. m Retângulo obtido ao acrescentar os metros no comprimento
Agora sabe-se que a área inicial representada por ² somada a área obtida após o acréscimo dos m, representada por., deverá proporcionar uma área de 10 m². Observa-se como ficará esta epressão: ² +. = 10 Ela representa uma equação do 2º grau, que nesse caso, chama-se de equação completa. As equações do 2º grau podem ser classificadas como completas ou incompletas. Equações completas têm a seguinte representação: a² + b + c = 0 (forma reduzida) Nessas equações, a, b e c são números reais, conhecidos como coeficientes da equação. As incógnitas e ², são os valores desconhecidos. Equações incompletas têm as seguintes representações: 1ª : ² + b. = 0 Nessas equações, b representa um número real qualquer, conhecido como coeficiente da equação. As incógnitas e ², são os valores desconhecidos. Essas equações são classificadas como incompletas por não possuírem o coeficiente c. 2ª: ² + c = 0 Nessas equações, c representa um número real qualquer, conhecido como coeficiente da equação. A incógnita ², é o valor desconhecido. Essas equações são classificadas como incompletas por não possuírem o coeficiente b. 3ª: a² = 0 Nessas equações temos apenas o coeficiente a. A incógnita ² é o valor desconhecido. Essas equações são classificadas como incompletas por não possuírem os coeficientes b e c.
Veja que a equação que representa a área do retângulo, obtido após o acréscimo dos m em seu comprimento, é uma equação completa. Pode-se visualizá-la: ² +. = 10 É muito provável que você esteja pensando que esta equação não é do 2º grau, pois ela não está igualada a zero, mas engana-se pensando assim. Esta equação é do 2º grau, e para representá-la na forma reduzida (a² + b + c = 0) de uma equação, aplicamos o princípio aditivo da igualdade. Vejamos: ² + 10 = 10 10 ( aplicamos o princípio aditivo) ² + 10 = 0 forma reduzida da equação dada c) Agora, identifique na equação ² + 10 = 0, quais são os valores que representam os coeficientes a, b e c. Já foi identificada que a equação obtida no problema 2, é uma equação completa, observa-se agora o processo resolutivo de uma equação. Para resolver as equações do 2º grau, sejam elas completas ou não, pode-se utilizar a fórmula de Bhaskara, a qual tem a seguinte representação: ² Nessa fórmula, é o valor desconhecido, a incógnita. Os valores a, b e c são os coeficientes, já identificados no item c. d) Agora, utilizando a fórmula de Bhaskara, resolva a equação ² + 10 = 0. Para tanto, siga os seguintes passos:
1º : Calcule separadamente o valor da raiz b².a.c, substituindo os valores dos coeficientes. 2º: Após calcular e etrair a raiz, substitua o valor encontrado na fórmula b (valor da raiz) 2.a. Neste momento, substitua também os coeficientes a e b por seus respectivos valores. 3º: Agora que você já tem todos os valores substituídos na fórmula, realiza-se dois cálculos. O primeiro será realizado da seguinte maneira: b (valor da raiz) 2. a
O segundo será realizado da seguinte maneira: b (valor da raiz) 2. a Observe que no primeiro cálculo você somou o coeficiente b ao valor da raiz, já no segundo cálculo, você subtraiu do coeficiente b o valor da raiz. Após realizar todos esses passos, você chegará aos valores que representam as raízes da equação. Neste caso especifico, uma das raízes representa a medida do comprimento inicial do terreno. Desafios! Desafio 1. A idade de Carlos, elevada ao quadrado resulta em 900. Qual é a idade de Carlos? Para resolver esse desafio, você poderá utilizar o mesmo processo de etração da raiz apresentado na resolução do problema 1. Desafio 2. Um campo de futebol tem 10.800 m² de área, deseja-se reduzir as medidas desse campo de maneira que sua área passe a ter 8.000 m². Acompanhe a ilustração que representa essa situação:
90 metros de largura 120 metros de comprimento Veja que, na largura, haverá a redução de uma medida (desconhecida) no canto superior e no canto inferior (orientando-se de acordo com a imagem). E, no comprimento, haverá a redução de uma medida 2 (desconhecida) no canto esquerdo e no canto direito (orientando-se de acordo com a imagem) Descubra qual é o valor dessa medida! Para resolver esse desafio você poderá utilizar o mesmo processo apresentado no eercício 2, fazendo uso da fórmula de Bhaskara. Caro aluno, Espera-se que essa atividade tenha proporcionado a compreensão sobre as equações do 2º grau, suas características e o processo de resolução por meio da fórmula de Bhaskara. Objetiva-se que as situações problemas apresentadas, tenham possibilitado a visualização e compreensão de que a resolução de um problema pode ser desenvolvida por meio de uma equação, sem a necessidade da utilização de processos que possibilitem o acesso a resposta correta por meio de tentativas de acertos e erros, assim como foi feito nas tabelas preenchidas nos problemas 1 e 2. Para eplorar o conteúdo apresentado nesta atividade, você poderá consultar os seguintes materiais: Vídeo aula Novo Telecurso - aulas 73,7 e 75. Livro didático Novo Telecurso Matemática Ensino Fundamental aula 73,7 e 75. Caderno de eercícios do 1º semestre de 2012 eercício 9. Disponível no: Portal EJ@> Biblioteca Digital> Listas de eercícios > Caderno de eercícios. Ainda no Portal EJ@, você encontrará indicações de outros materiais acessando o Mapa Curricular. Disponível no: Portal EJ@> Área do aluno> Mapa Curricular >Ciências da Natureza I>Ensino Fundamental> Equações do 2º grau.