Camla Spnassé INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA ALUNOS NA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS Vtóra Agosto de 2013
Camla Spnassé INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA ALUNOS NA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS Trabalho de conclusão de curso de Mestrado Profssonal submetdo ao Programa de Pós-Graduação em Matemátca em Rede Naconal da Unversdade Federal do Espírto Santo, como requsto parcal para obtenção do título de Mestre em Matemátca. Orentador: Etereldes Gonçalves Júnor Unversdade Federal do Espírto Santo UFES Programa de Pós-graduação em Matemátca em Rede naconal Vtóra Agosto de 2013
Dedco este trabalho a mnha mãe, Mara Helena, por seu amor e sua dedcação a mm.
RESUMO Os alunos da educação de jovens e adultos, EJA, utlzam, em sua maora, servços bancáros, conhecem os produtos báscos oferecdos por cada nsttução fnancera. Mas, por outro lado, não têm conhecmento matemátco sufcente para questonar e dentfcar os elementos necessáros para uma escolha adequada. O objetvo deste trabalho é apresentar alguns concetos de Matemátca Fnancera, e ntroduzr, a partr deles, a defnção de Progressão Artmétca e Geométrca. Palavras-chaves: Matemátca Fnancera, progressão geométrca, progressão artmétca, planlha eletrônca.
v SUMÁRIO ÍNDICE DE TABELAS... vv ÍNDICE DE FIGURAS... v 1 INTRODUÇÃO... 9 1.1 Objetvo... 9 1.2 Conhecmentos prévos para o desenvolvmento da proposta... 10 1.3 Recursos Materas e Tecnológcos... 10 1.4 Recomendações metodológcas... 10 1.5 Dfculdades prevstas... 11 2 INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA... 11 2.1 Fluxo de caxa... 11 2.2 Introdução a juros... 12 2.2.1 Captal tomado emprestado ou que está em atraso de pagamento... 13 2.2.2 Captal depostado em fundo de rendmento... 13 2.2.3 Como calcular juros e saldo fnal de empréstmo ou nvestmento?... 13 2.3 Valor do dnhero no tempo... 14 2.4 Juros smples... 15 2.4.1 Defnção e cálculo... 15 2.4.2 Taxas equvalentes... 17 2.4.3 Juros smples e a Progressão Artmétca... 18 2.5 Juros compostos... 20 2.5.1 Defnção e cálculo... 20 2.5.2 Equvalêncas de taxas... 22 2.5.3 Juros compostos e progressão geométrca (PG)... 25 2.6 Comparando juros smples com juros compostos... 27 2.7 Como calcular os juros de atraso de títulos de cobrança... 29 2.8 Calculando encargos na fatura de cartão de crédto em atraso... 31 2.9 Entenda como funcona fnancamento com parcelas guas... 34 2.9.1 Prestação de fnancamento de parcelas guas sem entrada... 35 2.9.2 Taxa de juros de fnancamento de parcelas guas sem entrada... 37 2.9.3 Parcela para fnancamento de parcelas guas com entrada.... 43 2.9.4 Cálculo dos juros de fnancamento de parcelas guas com entrada.... 45
v 2.10 A Matemátca fnancera e o número de Euler... 47 3 CONCLUSÃO... 53 4 REFERÊNCIAS... 53 ÍNDICE DE TABELAS Tabela 1 Demonstração do cálculo de contas em atraso... 15 Tabela 2 - Cálculo do exemplo 2.5.3.1... 25 Tabela 3 Descrção da amortzação de fnancamento de parcelas guas... 35 Tabela 4 Captalzação de 12% em função de k... 48 Tabela 5 Resultado da taxa nomnal de juros de % com captalzado k vezes. 49
v ÍNDICE DE FIGURAS Fgura 1 Fluxo de caxa do exemplo... 12 Fgura 2 Boleto bancáro com nstrução de cobrança de juros smples... 15 Fgura 3 Gráfco comparando juros smples e juros compostos para uma taxa mensal captalzado daramente... 28 Fgura 4 Boleto Bancáro do exemplo 1... 29 Fgura 5 Boleto bancáro exemplo 2... 30 Fgura 6 Encargos fnanceros cobrados em uma fatura de cartão de crédto de um banco partcular... 32 Fgura 7 Exemplo de anúnco com opção de parcelamento com juros... 34 Fgura 8 Fluxo de caxa do exemplo 2... 35 Fgura 9 Fluxo de caxa generalzando o problema de fnancamento com n parcelas guas... 37 Fgura 10 - Gráfco de funções... 39 Fgura 11 Exemplo em planlha eletrônca para cálculo da TIR... 41 Fgura 12 - Fluxo de caxa de um fnancamento de parcelas guas com entrada... 43 Fgura 13 - Fluxo de caxa de um fnancamento em n parcelas guas com a prmera no ato da compra.... 44 Fgura 14 Representação gráfca da função... 49
9 1 INTRODUÇÃO 1.1 Objetvo O objetvo deste trabalho é apresentar alguns concetos de Matemátca Fnancera, e ntroduzr, a partr deles, a defnção de Progressão Artmétca e Geométrca aos alunos da modaldade EJA, Educação de Jovens e Adultos. Como não exste, até o presente momento, na rede estadual de educação, materal específco para EJA, assm como não exste uma grade currcular específca para tal modaldade, os profssonas que nela trabalham escolhem os concetos a serem desenvolvdos a partr do Currículo Básco da Escola Estadual, que fo feto para o Ensno Médo Regular, que dspõe de cerca de três vezes mas tempo de aula que a modaldade EJA. Portanto torna-se nvável trabalhar todos os conteúdos dtos necessáros ao ensno médo. Outro problema gerado pela falta de uma grade própra para a modaldade é a dspardade entre os conteúdos efetvamente trabalhados em cada nsttução de ensno. Os alunos da modaldade em questão utlzam, em sua maora, servços bancáros, conhecem os produtos báscos oferecdos por cada nsttução fnancera (fnancamentos, empréstmos, nvestmentos, etc). Mas, por outro lado, não têm conhecmento matemátco sufcente para questonar e dentfcar os elementos necessáros para uma escolha adequada. Torna-se mportante nserr na grade da EJA o conteúdo de Matemátca Fnancera, que é contemplado no Currículo Básco da Escola Estadual no 3º Ano do Ensno Médo. José Eustáquo Romão, um dos fundadores do Insttuto Paulo Frere, defende em seu lvro Pedagoga Dalógca, que o processo educaconal tem como objetvo prncpal, conscentzar a socedade:... o processo educaconal é processo de conhecmento. Enquanto tal, ele consttu o processo de construção e organzação da reflexão coletva sobre as determnações naturas e hstórco-socas. Ou seja, enquanto ato gnosológco, o ato educatvo é o processo de letura crítca do mundo, para que nele possamos ntervr, a fm de orentar o sentdo daquelas determnações para um projeto de socedade mas democrátco, mas humano e mas felz para todos. (Romão, 2007: 131) Observando os lvros ddátcos dstrbuídos pelo Programa Naconal do Lvro Ddátco (PNLD) para alunos do ensno regular do Estado do Espírto Santo nota-se que o conteúdo de Matemátca Fnancera abordado neles não se adequa à
10 realdade das nsttuções fnanceras. Assm, o objetvo deste materal é ensnar os conhecmentos báscos de matemátca fnancera, utlzando calculadora e ferramentas computaconas para calcular juros de atraso de dversos tpos de contas e valor da prestação e juros de fnancamentos com pagamentos fxos. A lnguagem da apostla é smples e fo construída a partr da experênca com três turmas da EJA nas quas trabalhe. Algumas seções possuem notas dreconadas aos professores para facltar o trabalho do professor que utlzará este materal. 1.2 Conhecmentos prévos para o desenvolvmento da proposta Noções de função (conceto, representação gráfca); Função afm; Manpulação algébrca; Conhecmentos báscos de planlha eletrônca. 1.3 Recursos Materas e Tecnológcos multmída Planlha Eletrônca Calculadora Geogebra Laboratóro de nformátca ou quadro dgtal ou sala com projetor de 1.4 Recomendações metodológcas O trabalho deve ser desenvolvdo em pequenos grupos, pos a grande maora dos alunos da EJA que possuem mas de quarenta anos não tem conhecmentos de nformátca. Identfque quas alunos tem noções báscas de nformátca para dstrbuí-los nos grupos. Para motvar e ntroduzr o conteúdo, peça para os grupos pesqusarem os seguntes assuntos: Hstóra do dnhero Tarfas bancáras. Empréstmo Empréstmo consgnado CDC (Crédto Dreto ao Consumdor)
11 Cheque especal Extrato bancáro Consórco Título de captalzação Promova uma dscussão com a turma sobre os assuntos que eles pesqusaram. Cada grupo apresenta o seu tema e, naturalmente, os alunos vão contando as suas experêncas pessoas acerca do tema. É mportante que o professor esteja preparado para esta dscussão, pos neste momento surgem dversos questonamentos, prncpalmente aqueles relaconados ao cálculo de dversos servços bancáros. O ste www.meubolsoemda.com.br explca de manera smplfcada cada um dos temas acma e outros que podem ser ncluídos caso seja necessáro. Peça para os alunos provdencarem cópas de boletos de cobrança, contas de água, luz ou telefone, cartão de crédto e encartes de jornal com exemplos de fnancamentos com parcelas. 1.5 Dfculdades prevstas O número reduzdo de alunos com conhecmentos báscos de nformátca pode ser um problema, pos os grupos de estudo não devem ter mutos ntegrantes, para a melhor utlzação da sala de nformátca. Na ausênca de sala de nformátca, sugeros a utlzação de um projetor de multmída para executar as atvdades que necesstam do uso do computador. 2 INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA Na socedade em que vvemos é pratcamente mpossível vver sem utlzar servços bancáros. Seja em contas de água, luz, telefone, cartões de crédto e até mesmo pequenos empréstmos e fnancamentos utlzamos concetos de matemátca fnancera. Neste capítulo ntroduzremos alguns destes concetos, como fluxo de caxa, juros smples e compostos, e mostraremos como são fetos os cálculos dos juros e do valor da parcela de pequenos fnancamentos. 2.1 Fluxo de caxa Fluxo de caxa é o conjunto de entradas e saídas de dnhero ao longo do
12 tempo. Exemplo 2.1.1 Rafael contratou um empréstmo de R$0,00 adqurdo no da 02/01/2013 e pago em 8 prestações mensas de R$150,00, conforme fluxo de caxa representado na Fgura 1. Fgura 1 Fluxo de caxa No fluxo de caxa, representado pela fgura 1, a lnha horzontal representa o tempo representado em períodos, expressos em das, semanas, meses, trmestres, anos, etc. Neste exemplo, cada período equvale a um mês. Os pontos 0,1,2,3... substtuem as datas do calendáro. O ponto 0 representa a data que o empréstmo fo tomado, o ponto 1 o fnal do prmero período, 2 o fnal do segundo período e assm por dante. A seta para cma representa valores recebdos (+) e a seta para baxo representa valores pagos (-). Com mas detalhes, o fluxo de caxa da Fgura 1, pode ser representado em forma tabela, conforme o Quadro 1. Período Data Operação Valor 0 02/01/13 Recebmento R$0,00 1 02/02/13 Pagamento R$150,00 2 02/03/13 Pagamento R$150,00 3 02/04/13 Pagamento R$150,00 4 02/05/13 Pagamento R$150,00 5 02/06/13 Pagamento R$150,00 6 02/07/13 Pagamento R$150,00 7 02/08/13 Pagamento R$150,00 8 02/09/13 Pagamento R$150,00 Quadro 1 Quadro representando o fluxo de caxa do exemplo 2.1.1 Exercíco 2.1.1 Uma geladera no valor de R$2.500,00 fo adqurda no da 03/04/2013 em 10 prestações de R$280,00. Escreva o fluxo de caxa. 2.2 Introdução a juros Defnem-se juros como sendo a remuneração sobre um captal que:
13 fo tomado emprestado ou que está em atraso de pagamento; fo depostado em um fundo de rendmento. 2.2.1 Captal tomado emprestado ou que está em atraso de pagamento No caso de um captal que fo tomado emprestado, os juros são o preço que pagamos por pegar dnhero emprestado. O valor dos juros cobrados em empréstmos vara de acordo com as garantas que você oferece a quem lhe empresta o dnhero. Por exemplo, para pegar dnhero emprestado em um banco você tem que ter renda comprovada e crédto. Na lnguagem popular, ter nome lmpo na praça. Por sso eles oferecem juros menores. Se o empréstmo for consgnado (descontado no contracheque) este juros é anda menor. Já em fnanceras os juros são maores, pos mutas delas emprestam dnhero mesmo que você já possua outros empréstmos e dívdas no comérco, sto é, que você esteja negatvado. No caso do não pagamento das prestações ela tem o dreto de nclur seu nome em servços de proteção ao crédto (SPC E SERASA). Os juros mas caros são cobrados pelos agotas, que não possuem garantas legas para receber o dnhero que emprestaram. Vale lembrar que a agotagem é uma prátca ILEGAL no Brasl. Acesse www.andf.com.br/agotagem.pdf para mas nformações. Resumndo: Quanto MENOR a garanta de pagamento, MAIORES os juros cobrados. No caso de uma conta que está em atraso de pagamento os juros são a penaldade que se cobra por este atraso. 2.2.2 Captal depostado em fundo de rendmento No caso de um captal aplcado em um fundo de rendmento, os juros são a remuneração que o banco paga a pessoa que deposta o dnhero neste fundo. O banco utlza esse dnhero para fazer empréstmos aos seus clentes e outros tpos de nvestmentos. Uma pesqusa encomendada pela BM&FBovespa afrma que o fundo de rendmento mas utlzado pela população do Brasl é a poupança, com 44,4% do total de recursos aplcados. (Fonte: www.valor.com.br) 2.2.3 Como calcular juros e saldo fnal de empréstmo ou nvestmento? Os juros são calculados como um percentual sobre o captal e saldo fnal é o
14 captal adconado aos juros. Eles podem ser cobrados ao ano (a.a.), ao mês (a.m.), ao da (a.d.), ao trmestre (a.t.), e etc. Exemplo 2.2.3.1 Para um captal de R$600,00 que fo emprestado a taxa de juros de 5%a.a, qual o valor pago de juros e o saldo fnal ao fnal de um ano? Os juros pagos equvalem a 5% do valor tomado emprestado. Denomnaremos por j os juros e sf o saldo fnal. j = 5%. 600 = 5. 600 = 0,05. 600 = 30 reas; sf = 600 + 30 = 630 reas. Assm os juros pagos ao fnal de um ano totalzam 30 reas. De manera geral, para uma taxa de juros de % sobre um captal C temos: j = %. C =. C; sf = C + juros = C + C.. Exercíco 2.2.3.1 Calcule o valor dos juros para os captas abaxo ao fnal do prmero período. a) Captal = C = R$800,00 e taxa de juros= 3%; b) Captal = C = R$1300,00 e taxa de juros=12%; c) Captal = C = R$733,00 e taxa de juros= 7,2%. 2.3 Valor do dnhero no tempo Como já vmos anterormente, nas operações fnanceras de empréstmo e poupança o valor do dnhero muda de acordo com o tempo. Isto é, se pegarmos um empréstmo de R$800,00 hoje a juros de 2% a.m, daqu a um mês a dívda será de R$816,00, pos j = 2% de 800 = 2. 800 = 0,02.800 = 16 reas; sf = 800 + 16 = 816 reas.
15 Assm, R$ 800,00 hoje valerão R$816,00 daqu a um mês. Uma vez que o valor do dnhero muda com o tempo, para fazer contas em matemátca fnancera, devemos encontrar o valor de cada entrada e saída do fluxo em uma mesma data, descontado ou acrescdo dos juros. O valor do dnhero no tempo depende anda da forma como ele é captalzado. Exstem dos tpos de captalzação: os juros smples e os juros compostos, que serão estudados nas seções que seguem. 2.4 Juros smples 2.4.1 Defnção e cálculo No regme de juros smples o percentual de juros ncde apenas sobre o captal prncpal, sto é, o valor emprestado ou nvestdo. Sobre os juros gerados ao fnal de cada período não serão cobrados novos juros. O regme de juros smples é utlzado no sstema fnancero apenas na cobrança de juros de mora dára. Juros de mora dára é o valor cobrado por atraso em alguns boletos de cobrança, tal como lustrado na Fgura 2. Fgura 2 Boleto bancáro com nstrução de cobrança de juros smples A tabela abaxo mostra o valor cobrado no boleto para pagamento no da do vencmento e para alguns das em atraso: Data do pagamento Das em atraso Cálculo Valor total 06/09/2011 0 208,00 07/09/2011 1 208,00+0,28 208,28 08/09/2011 2 208,28 + 0,28 = 208,00 + 2. 0,28 208,56 09/09/2011 3 208,56 + 0,28 = 208,00 + 3. 0,28 208,84 10/09/2011 4 208,84 + 0,28 = 208,00 + 4. 0,28 209,12 11/09/2011 5 209,12 + 0,28 = 208,00 + 5. 0,28 209,40 06 + n /09/2011 n 208,00+ n. 0,28 Tabela 1 Demonstração do cálculo de contas em atraso
16 Observação: No exemplo acma o valor dos juros já é dado em real, mas pode ser dado como taxa percentual. No caso de ser dado em taxa percentual calcule o valor dos juros utlzando a fórmula j =. C. Qual é a taxa de juros cobrada no boleto da Fgura 2? Neste caso, j = 0,28, C = 208. Utlzando a fórmula, temos: 0,28 = 0,28. 208 0,28 = 2,08. = 2,08 0,13% a. d. Generalzando, para calcular os juros após n períodos basta calcular os juros para um período e multplcar pelo número de períodos. Sejam n número de períodos C captal prncpal % taxa de juros por período j n juros após n períodos j n = n. C. ; sf n = C + j n = C + n. C.. Exemplo 2.4.1.1 Calcule o saldo fnal de um boleto no valor de R$430,00 com juros de mora dára de 0,3%, com 10 das de atraso. C = 430 n = 10 = 0,3 sf = 430 + 10. 430. 0,3 = 430 + 4300. 0,003 = 430 + 12,90 = 442,90 reas.. 0 Exercíco 2.4.1.1 Calcule o saldo fnal de um boleto no valor de R$ 550,00 com juros de mora dáro de 0,5% que está com atraso de: a) 2 das. b) 5 das. c) 11 das. d) 20 das. e) 25 das.
17 2.4.2 Taxas equvalentes Taxas equvalentes são taxas de juros referencadas a undades de tempo dferentes que, ao serem aplcadas a um mesmo captal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo saldo acumulado no fnal daquele prazo. Para juros smples só faremos a equvalênca de taxas entre juros ao da e ao mês, pos nas nsttuções fnanceras só usam juros smples para período nferor a um mês. Mas podemos fazer equvalênca de taxas entre juros de qualquer período, basta saber quantas vezes um período cabe no outro. Por exemplo, um ano possu dos semestres, logo, se as taxas semestral e anual forem equvalentes, basta aplcar a semestral 2 vezes. Em alguns boletos bancáros a taxa de juros de mora não é dada ao da, mas ao mês. Como fazer esta transformação? No regme de juros smples, os juros são somados a cada período. Portanto se os juros para um da são de 3%, para dos das serão 6%, para três das, 9% e assm sucessvamente. Consderando para um captal C, d a taxa de juros ao da, m a taxa de juros ao mês, no regme de captalzação smples, que um mês comercal possu 30 das e que d e m são equvalentes, podemos encontrar uma relação entre d e m que nos permte encontrar, de modo prátco, uma a partr da outra. Vejamos: sf 1 = C + 1. C. m captal aplcado a juros mensal por um mês; sf 30 = C + 30. C. d captal aplcado a juros dáro por um mês. Como as taxas são equvalentes, temos que sf 1 = sf 30, então C + 1. C. subtrando C de ambos os lados da gualdade, m = C + 30. C. d ; C. m = 30. C. d ; dvdndo por C em ambos os lados da gualdade, multplcando por em ambos os lados, m = 30. d ;
18 m = 30. d d = m 30. Exemplo 2.4.2.1 Se a taxa de juros ao da é de 4% calcule a taxa mensal equvalente utlzando a captalzação smples. d = 4 m = 30. d m = 30. 4 m = 120. Assm, uma taxa de 4% a.d é equvalente a 120% a.m. Exemplo 2.4.2.2 Calcule a taxa de juros dára, sabendo que a taxa de juros mensal é de 1% no regme de captalzação smples. m = 1 d = m 30 d = 1 30 d 0,0333. Observação: O símbolo sgnfca aproxmadamente. Exercíco 2.4.2.1 Calcule a taxa de juros mensal equvalente a: a)2%a.d b)0,05%a.d c)0,0057%a.d Exercíco 2.4.2.2 Calcule a taxa de juros dára equvalente a: a)3%a.m b)9.9%a.m c)0,38%a.m 2.4.3 Juros smples e a Progressão Artmétca (PA) Analsando a últma coluna da tabela 1 pode-se observar que os valores formam uma sequênca cujo termo posteror é o termo anteror adconado a um mesmo valor. No nosso exemplo este valor é 0,28. (208,00 ; 208,28 ; 208,56 ; 208,84 ; 209,12 ; 209,40; ; 208 + 0,28. n; ) As sequêncas nas quas o aumento/redução de cada termo para o segunte é sempre o mesmo são denomnadas progressões artmétcas. Esta varação constante é chamada de razão da progressão e representada pela letra r. Em uma progressão artmétca (a 1, a 2, a 3,, a n, ) de razão r, podemos escrever: a 2 = a 1 + r;
19 a 3 = a 2 + r = a 1 + 2r; a 4 = a 3 + r = a 1 + 3r; a 5 = a 4 + r = a 1 + 4r;... a n = a 1 + (n 1)r. Assm a n = a 1 + (n 1)r é o termo geral de uma progressão artmétca. Além dos juros smples, exstem outros problemas que podem ser caracterzados como progressões artmétcas, como o valor cobrado em uma corrda de tax, por exemplo. Exemplo 2.4.3.1 O valor cobrado em uma corrda de tax é calculado usando as seguntes taxas: a banderada, que é cobrada uma únca vez por corrda, e um valor que é cobrado a cada qulômetro percorrdo ou a cada período de tempo em que o carro fca parado, em um congestonamento ou por solctação do clente. Um taxsta cobra R$3,50 de banderada e uma taxa de R$0,60 por qulômetro rodado. Escreva a progressão artmétca que representa este problema e calcule o valor da corrda para um percurso de 96 qulômetros sem paradas ou congestonamentos. Sabendo que a 1 = banderada = 3,50 e r = preço por km = 0,60 a progressão artmétca que representa o problema é (3,50 ; 4,10 ; 4,70 ; 5,30 ). Esta progressão tem como termo geral a n = 3,50 + (n 1). 0,60, onde (n 1) é o numero de qulômetros percorrdos. Uma vez que a 2 é o valor da corrda com um percurso de um qulômetro, para calcular o valor da corrda para um percurso de 96 qulômetros, basta calcular a 97. a 97 = a 1 + (97 1)r = 3,50 + 96.0,60 = 3,50 + 57,60 = 61,10. Assm o valor de uma corrda com um percurso de 96 km é R$61,10. Exercíco 2.4.3.1 Uma crança ganhou em seu anversáro um cofrnho e dentro dele hava a quanta de R$12,00. Então ela decdu poupar R$1,50 da sua mesada semanal e colocá-los no seu novo cofrnho. Calcule: a) o valor poupado ao fnal de 10 meses. b) o número de semanas que ela leva para poupar R$84,00.
20 2.5 Juros compostos 2.5.1 Defnção e cálculo No regme de juros compostos a taxa de juros ncde não apenas sobre o captal prncpal, mas também pelos juros gerados nos meses anterores. No popular, chamamos de juros sobre juros. Este regme de juros é amplamente utlzado no sstema fnancero. Fnancamentos, poupança e outras aplcações, empréstmos e juros de mora para contas com atraso superor a um mês são captalzadas por juros compostos. Para juros compostos é mas fácl calcular sempre sobre o saldo fnal, sendo necessáro fazer uma pequena mudança na fórmula do cálculo do saldo fnal após um período: sf 1 = C + C. sf 1 = C. (1 + ). De acordo com a fórmula acma para encontrar o saldo fnal após um período, basta multplcar o captal por (1 + ), onde é a taxa de juros do período. Assm, Período sf n 0 C; 1 C. (1 + ) ; 2 C. (1 + 2 ). (1 + ) = C. (1 + ) ; 3 C. (1 + 3 ). (1 + ). (1 + ) = C. (1 + ) ; n C. (1 + ) n. sf n = C. (1 + n ). Exemplo 2.5.1.1: Calcule o valor de uma dívda de R$300,00 a juros de 4%a.m ao fnal do 5º mês. Utlzando a fórmula sf n = C. (1 + )n e substtundo n = 5 e = 4, temos: sf 5 = 300. (1 + 4 ) 5
21 = 300. (1 + 0,04) 5 = 300. (1,04) 5 365 reas. Veja a segur uma dca mportante: Para resolver 300. (1,04) 5 de modo mas efcente utlzando uma calculadora comum : 1º Dgtar 300 2º Apertar o botão de multplcação 3º Dgtar 1,04 4º- Apertar o gual 5 vezes C, e n. Generalzando, para resolver saldofnal n = C. (1 + 1º Dvda por 2º Adcone 1 e anote o número 3º Dgte o valor de C 4º Apertar o botão de multplcação 5º- Dgtar o número que você anotou no 2º passo 6º- apertar o gual n vezes )n, dado os valores de Observação: Como a calculadora comum possu capacdade de armazenamento nferor a do computador e das calculadoras centífcas e fnanceras, o resultado fnal terá uma pequena dferença com relação ao valor real quando n for muto grande. Utlzando a calculadora centífca do computador, basta segur os passos: 1º Dvda por 2º Adcone 1 e anote o número 3º - Aperte o botão 4º dgte o valor de n 5º - Multplque o resultado por C Utlzando uma planlha eletrônca, basta clcar em uma célula e dgtar =C*(1+ /)^n e aperte a tecla ENTER.
22 Exercíco 2.5.1.1 Calcule o saldo total de uma dívda de R$3.000,00 a juros de 5% a.a ao fnal de: a) 1 ano. b) 2 anos. c) 4 anos. d) 5 anos. e) 8 anos. f) 10 anos. 2.5.2 Equvalêncas de taxas Para juros compostos vamos utlzar as equvalêncas entre as taxas ao mês ( m ) e ao ano ( a ) e entre as taxas ao da ( d ) e ao mês ( m ) que são as taxas mas utlzadas em produtos fnanceros. Como já dto anterormente, as taxas equvalentes são taxas que referencadas a undades de tempo dferentes, para um mesmo período e mesmo captal, resultam em um mesmo saldo fnal. Utlzando a fórmula geral, e sabendo que d e m são taxas equvalentes sobre um captal C em um período de 30 das, temos: sf 1 = C. (1 + 1 m ) = C. (1 + m ) para juros mensas; sf 30 = C. (1 + d ) 30 para juros dáros. Como as taxas são equvalentes, temos que sf 1 = sf 30, então, C. (1 + m ) = C. (1 + d ) 30 ; dvdndo por C ambos os lados da gualdade, subtrando 1 de ambos os lados, (1 + m ) = (1 + d ) 30 ; m = (1 + d ) 30 1;
23 multplcando ambos os lados por, m = ((1 + d ) 30 1). taxa de juros mensal equvalente a taxa de juros dára dada. Para obter a taxa de juros dára equvalente a uma taxa de juros mensal dada, partndo da gualdade (1 + m ) = (1 + d )30, temos: elevando ambos os lados a 1 30, subtrando 1 de ambos os lados, multplcando ambos os lados por, (1 + 1 m ) 30 d = (1 + ) ; d = (1 + 1 m ) 30 1; d = ((1 + 1 m ) 30 1). taxa de juros dára equvalente a taxa de juros mensal dada. Analogamente, se a e m são equvalentes e que 1 ano possu 12 meses. a = ((1 + 12 m ) 1). m = ((1 + 1 a ) 12 1).. Exemplo 2.5.2.1 Calcule a taxa de juros mensal equvalente a a) 2% a.d no regme de captalzação composta. d = 2 m = ((1 + d ) 30 1). = ((1 + 2 ) 30 1). = ((1,02) 30 1). (1,8113 1).
24 (0,8113). = 81,13. Juros de 2% a.d são equvalentes aos juros de 81,13% a.m. b) 17% a.a no regme de captalzação composta. a = 17 m = (( 17 1 ( + 1) 12 ) 1). = ((1,17) ( 1 12 ) 1). (1,0131 1). 0,0131. = 1,31. Juros de 17% a.a são equvalentes aos juros de 1,31% a.m. Exemplo 2.5.2.2 Calcule a taxa de juros anual equvalente a 9,9% a.m no regme de captalzação composta. m = 9,9 a = (( 12 m + 1) 1). = (( 9,9 + 1) 12 1). = ((1,099) 12 1). (3,1043 1). (2,1043). = 210,43. Juros de 9,9% a.m são equvalentes a juros de 210,43% a.a. Exemplo 2.5.2.3 Calcule a taxa de juros dára equvalente a 9,9% a.m, no regme de captalzação composta. m = 9,9 d = ((1 + 1 ( m ) 30 ) 1). = ((1 + 9,9 1 )( 30 ) 1). = ((1,099) ( 1 30 ) 1). (1,0032 1). 0,0032. = 0,32.
25 Juros de 9,9% a.m equvale a juros de 0,32% a.d. Veja outra dca muto mportante: Como calcular as potêncas do tpo a 1 n? Na calculadora que possu apenas as quatro operações não é possível fazer este cálculo, mas utlzando a calculadora centífca de qualquer computador é possível fazê-lo. Basta saber que a 1 n n = a e segur os passos: 1º passo: Dgte o valor de a na calculadora; 2º passo: Aperte o botão 3º passo: Dgte o valor de n. Utlzando uma planlha eletrônca, basta clcar em uma das células e dgtar = a^(1/n) e aperte a tecla ENTER. Exercíco 2.5.2.1 Calcule, consderando o regme de juros compostos: a) a taxa de juros mensal equvalente a 200% a.a. b) a taxa de juros mensal equvalente aos juros de 0,01% a.d. c) a taxa de juros dára equvalente aos juros de 3% a.m. d) a taxa de juros anual equvalente aos juros de 10% a.m. 2.5.3 Juros compostos e progressão geométrca (PG) Exemplo 2.5.3.1 Um captal de R$,00 fo emprestado a juros compostos de 10% a.m. Calcule a evolução da dívda nos 4 prmeros meses. Sabemos que aumentar 10% multplcar por (1 + 10 ) = 1,1. Tempo Cálculo Valor (em reas) 0 -----,00 1. 1,1 110,00 2. 1,1 2 121,00 3. 1,1 3 133,10 4. 1,1 4 146,41 Tabela 2 - Cálculo do exemplo 2.5.3.1 Na últma coluna da tabela 2 pode observar que o termo posteror é o termo
26 anteror multplcado por um mesmo valor, que neste exemplo é 1,1. A sequênca (,00 ; 110,00 ; 121,00 ; 133,10 ; 146,41) é denomnada uma progressão geométrca, ou seja, uma sequênca na qual o termo posteror é o termo anteror multplcado por um valor constante denomnado razão da PG e representada pela letra q. Em uma progressão geométrca (a 1, a 2, a 3,, a n, ) de razão q, temos: a 2 = a 1. q; a 3 = a 2. q = a 1. q. q = a 1. q 2 ; a 4 = a 3. q = a 1. q 2. q = a 1. q 3 ; a 5 = a 4. q = a 1. q 3. q = a 1. q 4 ;... a n = a 1. q n 1. Assm o termo geral de uma PG é calculado pela fórmula a n = a 1. q n 1. Exemplo 2.5.3.2 A quantdade de bactéras de uma colôna dobra a cada hora. Sabendo que ncalmente exstam 180 bactéras nesta colôna: a) Escreva a PG que representa o problema. Sabendo que a 1 = 180 e q = 2 temos que (180, 360, 720, 1440,...) é a progressão que representa o problema. b) Calcule o número de bactéras da colôna ao fnal da 9ª hora. Neste caso devemos calcular a 10. a 10 = a 1. q 10 1 = 180. 2 9 = 180. 512 = 92160 bactéras. Exercíco 2.5.3.1 Rcardo possu uma dívda de R$500,00 com juros compostos de 8% ao mês. Escreva os quatro prmeros termos da progressão geométrca que descreve este problema e calcule o valor da dívda no 15º mês. Na seção 2.9 aprenderemos como calcular o valor da parcela e dos juros de um fnancamento de prestações guas. Neste tpo de fnancamento, captalzado por juros compostos, utlzamos progressão geométrca. Além dsso, devemos saber como somar os termos de uma PG. Dada uma PG (a 1, a 2, a 3,, a n, ) denomnaremos por S n a soma dos n
27 prmeros termos da PG. Assm, S n = a 1 + a 2 + a 3 + + a n = a 1 + a 1. q + a 1. q 2 + + a 1. q n 1. Multplcando ambos os lados por q temos: q. S n = a 1. q + a 1. q 2 + a 1. q 3 + a 1. q n q. S n S n = (a 1. q + a 1. q 2 + a 1. q 3 + a 1. q n ) (a 1 + a 1. q + a 1. q 2 + + a 1. q n 1 ) S n. (q 1) = a 1. q n a 1 S n. (q 1) = a 1. (q n 1) S n = a 1. (q n 1). (q 1) Exemplo 2.5.3.3 Uma empresa produzu em 2001 50.000 undades de um determnado produto. Sabendo que sua produção aumenta 20% anualmente, escreva a PG que descreve o problema e calcule a produção total desta empresa no período de 2001 a 2010. Neste caso a 1 = 50000 e q = 1 + 20 problema é (50.000, 60.000, 72.000, 86.400,...). = 1 + 0,2 = 1,2. A PG que descreve o Para calcular a produção total da empresa devemos calcular a soma dos 10 prmeros termos da PG, portanto S 10. S 10 = a 1. (q 10 1) (q 1) = 50000. (1,210 1) (1,2 1) 1.297.934 undades. A produção da empresa entre 2001 e 2010 fo de aproxmadamente 1.297.934 undades. Exercíco 2.5.3.2 Uma fábrca produzu 10.000 pcolés no mês de Janero. Sabendo que de Janero a Outubro sua produção ca 10% ao mês: a) Escreva a PG que descreve o problema. b) Calcule o total de pcolés produzdos no mês de Outubro. c) Calcule o total de pcolés produzdos de Janero a Outubro. 2.6 Comparando juros smples com juros compostos Por que são cobrados juros smples para cobrança de juros para períodos
28 nferores a 30 das e juros compostos para períodos superores a 30 das? Para responder esta pergunta, faça o exercíco que segue: Exercíco 2.6.1 Para a taxa de 30% a.m nos regmes de juros smples e compostos, calcule taxa de juros cobrada para 1, 2, 10, 30 e 32 das. Observe o Quadro 2 com os resultados do exercíco acma: Das Juros Smples Juros Compostos 1 1% 0,88% 2 2% 1,76% 3 3% 2,66% 4 4% 3,56% 5 5% 4,47% 6 6% 5,39% 7 7% 6,31% 8 8% 7,25% 9 9% 8,19% 10 10% 9,14% 20 20% 19,11% 30 30% 30,00% 31 31% 31,14% 32 32% 32,29% Quadro 2 Comparação entre juros smples e compostos para taxa mensal captalzada daramente. Observe que a taxa de juros é maor no período nferor a 30 das para o regme de juros smples, e maor no período superor a 30 das no regme de juros compostos. O gráfco lustrado na Fgura 3 mostra de forma mas clara este comportamento. Fgura 3 Gráfco comparando juros smples e juros compostos para uma taxa mensal captalzado daramente
29 Nota ao professor: Quando ncar esta seção, sugermos promover uma dscussão sobre o questonamento e enumerar no quadro as respostas dos alunos. Faça-os responderem o exercíco usando apenas a calculadora, e somente depos leve-os ao laboratóro de nformátca para montar a tabela e o gráfco. Pode ser utlzada uma planlha eletrônca ou o Geogebra. 2.7 Como calcular os juros de atraso de títulos de cobrança Podem ncdr sobre os títulos de cobrança em atraso, os seguntes encargos: Juros de Mora: Cobrados ao da, utlzando o regme de juros smples. O valor pode ser dscrmnado em real, em juros mensas ou dáros. Caso a taxa de juros dscrmnada seja mensal, utlzar a fórmula d = m 30 demonstrada na seção 2.4.2. Multa: o valor da multa pode ser cobrado a partr do 1º da em atraso e não pode exceder 2%. Exemplo 2.7.1 Calcule o valor total do título abaxo se ele for pago no da 10/05/2013, conforme nformações do boleto lustrado na Fgura 4. Fgura 4 Boleto Bancáro do exemplo 1 No boleto o valor da multa é especfcado já em real no valor de R$19,71, que corresponde a 2% de R$985,33, e a taxa de juros de mora é de 3,13%a.m. A taxa de juros de mora do boleto acma fo dada em mês, portanto: m = 3,13 d = m = 3,13 30 30 d = 0,1043. Assm a taxa de juros que deve ser utlzada no cálculo é de 0,1043% por da de atraso. O vencmento do título é no da 04/05/2013 e a data do pagamento será no
30 da 10/05/2013, portanto será pago com ses das de atraso. Os juros de mora aplcados sobre o valor da fatura é smples, portanto devemos usar a fórmula juros n = n. C.. Substtundo = 0,1043 e n = 6, temos: juros 6 = 6.985,33. 0,1043 = 6,17 reas ; valor total do título = valor do título + multa + juros de mora = 985,33 + 19,71 + 6,17 = 1.011,21. O valor total do título a ser pago com 6 das de atraso é R$1.011,21. Observação: No exemplo 2.7.1, e em mutos outros exemplos deste materal, ao multplcarmos dos números decmas obtemos um número, também decmal, com três ou mas casas decmas. Como fazer nos casos em que este número representa um valor monetáro, que só possu duas casas decmas? Como os bancos fazem este arredondamento? O arredondamento é feto da segunte forma: Se a tercera casa decmal for um número menor que cnco, a segunda casa permanece nalterada, se a tercera casa for um número maor ou gual a 5, a segunda casa aumenta em uma undade. Por exemplo, o número 2,344 2,34 e o número 3,456 3,46. Exemplo 2.7.2 Calcule o valor total do título lustrado na Fgura 5 se o mesmo fo pago no da 23/07/2012. Fgura 5 Boleto bancáro exemplo 2 Observa-se nesse boleto que a multa de R$13,63, que corresponde a 2% do valor do boleto, só é cobrada após o da 25, portanto deve ser desconsderada, pos o boleto fo pago no da 23. Os juros dscrmnados no boleto são de R$0,20 ao da, portanto, para calcular o valor de pagamento desta fatura, basta calcular os das de
31 atraso e multplcar pelo valor dos juros dáros, que corresponde a 0,20 681,36 0,03 % a.d. Se a data do vencmento é no da 15/07/2012 e fo pago no da 23/07/2012 calcula-se para oto das de atraso. juros 8 = 8. 0,20 = 1,60; valor total do título = valor do título + juros de mora = 626,66 + 1,60 = 628,26. O valor total do título com 8 da de atraso é R$628,26. Exercíco 2.7.1 Em grupos, calcule o valor dos títulos que vocês trouxeram consderando atraso no pagamento. Exercíco 2.7.2 As contas de água, luz e telefone possuem as mesmas tarfas para cobrança de juros e o cálculo é smlar ao dos boletos bancáros. Identfque os juros de mora e a multa cobrada nestas contas e calcule o valor total de uma conta com atraso de 10, 15 e 20 das. 2.8 Calculando encargos na fatura de cartão de crédto em atraso Para atrasos no pagamento do cartão de crédto, temos que consderar os seguntes encargos: Juros de Mora: Cobrados ao da, utlzando o regme de juros smples. O valor pode ser dscrmnado em juros mensal ou dáro. Para a maora dos cartões de crédto, os juros de mora são de 1%; Multa: O valor da multa pode ser cobrado a partr do 1º da em atraso e não pode exceder 2%; IOF: O IOF, Imposto sobre Operações Fnanceras, é cobrado no atraso do pagamento de cartão de crédto, pos o atraso desse confgura um empréstmo, portanto, uma operação fnancera. O valor do IOF é 0,0041% a.d + 0,38% por operação. (Decreto nº 6.306 de 14 de Dezembro de 2007) Juros de atraso: Exstem váras nomenclaturas que defnem este encargo. A taxa cobrada no fnal do ano de 2012 é de cerca de 10% a.m para a maora das operadoras. As operadoras tem lberdade ao defnr esta taxa, portanto, ao escolher a sua operadora de cartão de crédto, verfque o valor dos juros de atraso cobrados por ela.
32 Exemplo 2.8.1 Rcardo consome mensalmente em seu cartão de crédto a mportânca de R$1.000,00. Ele está passando um período de dfculdades fnanceras, e sabe que nos próxmos três meses só poderá pagar o mínmo da sua fatura do cartão. Sabendo que ele não fará nenhuma compra com seu cartão até que sua stuação fnancera seja resolvda, calcule o valor da dívda do Rcardo ao fnal destes três meses. Os encargos fnanceros cobrados em seu cartão de crédto estão descrtos na Fgura 6. Fgura 6 Encargos fnanceros cobrados em uma fatura de cartão de crédto de um banco partcular O pagamento mínmo de uma fatura de cartão de cartão de crédto é 15% do valor total da fatura. Portanto, Pagamento mínmo = 15. 0 = 150 reas. Assm, os encargos serão cobrados sobre a dferença 0 150 = 850 reas. As taxas cobradas quando é pago apenas o valor mínmo da fatura são juros de 9,99% mas IOF de 0,0041% ao da + 0,38% por operação. Como a transação durará 30 das a taxa de IOF total é 0,0041. 30 + 0,38 = 0,503%. Então, juros = 9,99. 850 = 84,92 reas ; IOF = 0,503. 850 = 4,28 reas; encargos = juros + IOF = 84,92 + 4,28 = 89,20 reas. Assm o valor da fatura ao fnal do prmero mês será: 850,00 + 89,20 = 939,20 reas. Para o segundo mês, o pagamento mínmo será: Pagamento mínmo = 15. 939,20 = 140,88 reas. Os encargos serão cobrados sobre 939,20 140,88 = 798,32 reas.
33 juros = 9,99. 798,32 = 79,75 reas IOF = 0,503. 798,32 = 4,02 reas; encargos = juros + IOF = 79,75 + 4,02 = 83,77 reas. Assm o valor da fatura ao fnal do segundo mês será: 798,32 + 83,77 = 882,09 reas. Para o tercero mês, o pagamento mínmo será: Pagamento mínmo = 15. 882,09 = 132,31 reas. Os encargos serão cobrados sobre 882,09 132,31 = 749,78 reas. juros = 9,99. 749,78 = 74,90 reas IOF = 0,503. 749,78 = 3,77 reas; encargos = juros + IOF = 74,90 + 3,77 = 78,67 reas. Assm o valor da fatura ao fnal do tercero mês será: 749,78 + 78,67 = 828,45 reas. Exercíco 2.8.1 Smule o valor da dívda do Rcardo ao fnal de 6 meses. Exercíco 2.8.2 Em quanto tempo a dívda do Rcardo se reduzra a metade da dívda ncal? Sera possível estmar em quantos meses, ou anos, ele qutara a dívda se contnuasse pagando somente o mínmo em cada mês? Exercíco 2.8.3 Em grupos, dentfque os encargos cobrados nas faturas de cartão de crédto que trouxeram e calcule o valor: a) dos encargos que ncdem sobre a mesma em caso de 10 das de atraso. b) dos encargos no caso de pagamento mínmo. Nota ao professor: Algumas operadoras não dexam claros os encargos cobrados no atraso do pagamento. Incentve os alunos a entrarem em contato com as operadoras para esclarecer as dúvdas. Para o exercíco 2.8.2 sugro que se nduza o aluno a perceber que ao fnal de cada mês ele paga apenas 1 (0,85. (1 + (0.0999 + 0,00503)) = 1 0,9391905 6% da dívda do mês anteror. Se possível, utlze uma
34 planlha eletrônca para mostrar que ele levará mas de sete anos para qutar esta dívda. 2.9 Entenda como funcona fnancamento com parcelas guas Você já deve ter vsto város anúncos conforme o lustrado na Fgura 7. Fgura 7 Exemplo de anúnco com opção de parcelamento com juros Observe na Fgura 7 que o valor da parcela é o preço do produto à vsta dvddo em 10 prestações mensas, mas para a venda parcelada, cobram-se duas parcelas a mas, que representaram os juros em real. E a taxa de juros, quanto vale? Para calcular os juros deste e de outros tpos de fnancamento e empréstmos, prmero precsamos entender de que forma funcona este tpo de fnancamento, o de parcelas guas. Este sstema de amortzação é conhecdo como sstema PRICE. Exemplo 2.9.1: A Tabela 3 a segur mostra como é feta a amortzação e a atualzação de uma dívda de R$1.000,00, com juros de 4,24% a.m, dvddas em 8 prestações mensas de R$150,00, conforme Quadro 3. Empréstmo R$ 1.000,00 Juros 4,24% a.m. Parcelas 8 Valor da Parcela R$ 150,00 Quadro 3 Descrção do exemplo1
35 Tempo (mês) Saldo Devedor Prestação Saldo Devedor Prestação 0 0,00 0 0,00 1 0, 00. 1,0424 =1042,40 150,00 1042,40-150,00 = 892,40 2 892,40. 1,0424 = 930,24 150,00 930,24-150,00 = 780,24 3 7780,24. 1,0424 = 813,31 150,00 813,31-150,00 = 663,31 4 663,31. 1,0424 = 691,44 150,00 691,44-150,00 = 541,44 5 541,44. 1,0424 = 564,40 150,00 564,40-150,00 = 414,40 6 414,40. 1,0424 = 431,97 150,00 431,97-150,00 = 281,97 7 281,97. 1,0424 = 293,93 150,00 293,93-150,00 = 143,93 8 143,93. 1,0424 = 150,03 150,00 150,03-150 = 0,03 Tabela 3 Descrção da amortzação de fnancamento de parcelas guas Para fazer o cálculo do valor da parcela ou a taxa de juros do fnancamento, devemos consderar o fluxo de caxa e o valor do dnhero no tempo. Nota ao professor: Faça as contas da tabela 6 no quadro junto com os alunos. Nas duas vezes que aplque este materal, os alunos trouxeram dados de empréstmo fetos com agotas. O que justfca a mnha ctação a respeto de agotagem na seção 2. Caso eles tragam este tpo de dado, peça para algum aluno fazer as contas no quadro com ajuda dos colegas. 2.9.1 Prestação de fnancamento de parcelas guas sem entrada Exemplo 2.9.1.1: Carlos comprou um rádo no valor de R$300,00 em 4 parcelas mensas e guas. Sabendo que a taxa de juros cobrada é de 1%, calcule o valor da parcela. O fluxo de caxa lustrado na Fgura 8 representa esse problema. Fgura 8 Fluxo de caxa do exemplo 2 Como o valor do dnhero muda com o passar do tempo, neste caso 1%, vamos escrever cada uma das cnco parcelas em um mesmo tempo. Para facltar os cálculos vamos colocar no 4º período. Assm,
36 0 4 300. (1,01) 4 ; 1 4 P. (1,01) 3 ; 2 4 P. (1,01) 2 ; 3 4 P. (1,01) ; 4 4 P. Agora que todo fluxo está em uma mesma data podemos fazer operações com as parcelas. O preço do rádo é gual a soma das parcelas, então podemos escrever a equação: 300. (1,01) 4 = P + P. (1,01) + P. (1,01) 2 + P. (1,01) 3. Nota-se que as parcelas da parte dreta da gualdade formam uma PG de razão 1,04. Para calcular esta soma, utlzaremos então a fórmula de soma de PG: S n = a 1. (q n 1). q 1 Fazendo S n = 300. (1,01) 4 ; a 1 = P ; n = 4 e q = 1,04,temos: 300. (1,01) 4 = P. (1,014 1) 1,01 1 300.1,0406 = 300.1,0406 = 312,18 = P = O valor da prestação é R$76,89. P. 0,0406 0,01 312,18. 0,01 0,0406 P. (1,0406 1) 0,01 P. 0,0406 0,01 76,89. De manera geral, consdere um empréstmo C, fnancado em n prestações guas a P com juros de %. O fluxo de caxa lustrado na Fgura 9 representa esse problema:
37 Fgura 9 Fluxo de caxa generalzando o problema de fnancamento com n parcelas guas Escrevendo todos os valores no tempo n temos: C. (1 + n ) = P + P. (1 + 2 ) + P. (1 + ) + + P. (1 + n 1 ). Utlzando a fórmula de soma de PG no lado dreto da gualdade, temos: C. (1 + n P. ((1 + n ) ) 1) = (1 + ) 1 C. (1 + n P. ((1 + n ) ) = C. (1 + n P = ). ((1 + n. ) 1) 1) Exercíco 2.9.1.1: Calcule o valor da parcela de um fnancamento de: a) R$5.000,00 em 10 prestações guas e juros de 3%. b) R$1.500,00 em 8 prestações e juros de 7%. c) R$900,00 em 12 prestações e juros de 2,5%. Nota ao professor: Quando for generalzar, dexe claro para turma que o objetvo é mostrar como se obtém a fórmula, e que eles não precsarão reproduzr em avalações. 2.9.2 Taxa de juros de fnancamento de parcelas guas sem entrada Para o cálculo da taxa de juros de fnancamentos de parcelas guas sem entrada podemos utlzar a mesma fórmula geral utlzada para o cálculo do valor da parcela. Faremos j =, para facltar os cálculos:
38 C. (1 + j) n = P. ((1 + j)n 1) j C. (1 + j) n. j = P. (1 + j) n P C. (1 + j) n. j P. (1 + j) n + P = 0. Exemplo 2.9.2.1: Calcule a taxa de juros de um fnancamento no valor de R$1.000,00 dvddo em duas prestações de R$ 600,00. Para C = 0; P = 600 e n = 2, temos: 0. (1 + j) 2. j 600. (1 + j) 2 + 600 = 0 10. (1 + j) 2. j 6. (1 + j) 2 + 6 = 0 10. (1 + 2j + j²). j 6. (1 + 2j + j²) + 6 = 0 10j + 20j² + 10j³ 6 12j 6j² + 6 = 0 10j³ + 14j² 2j = 0 j. (10j² + 14j 2) = 0 j = 0 ou j 1,5131 ou j 0,131. A únca resposta possível é j 0,131 = 13,1%. Exercíco 2.9.2.1: Calcule a taxa de juros de um empréstmo de R$ 800,00 com duas prestações de R$480,00 sem entrada. Exemplo 2.9.2.2: Calcule a taxa de juros do fnancamento da TV da fgura 6. Neste caso, C = 699,00; P = 69,90 e n = 12: 699. (1 + j) 12. j 69,90. (1 + j) 12 + 69,90 = 0 10. (1 + j) 12. j (1 + j) 12 + 1 = 0. Não exste um método smplfcado para resolver este tpo de equação, mas podemos encontrar uma solução aproxmada utlzando o método da bsseção que leva em conta duas nformações mportantes: Toda função polnomal é contínua no conjunto dos números reas, sto é toda função da forma f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 tem, como representação gráfca, uma lnha nnterrupta. A Fgura 10a mostra
39 um exemplo de função contínua e a Fgura 10b de uma função descontínua nos conjunto dos números reas. (STEWART, 2001) (a) Função Contínua Fgura 10 - Gráfco de funções (b) Função descontínua (Teorema do valor ntermedáro) Seja f é uma função contínua em um ntervalo fechado [a, b] e f(a) < 0 < f(b) ou f(b) < 0 < f(a), então exste um c, a < c < b tal que f(c) = 0. (STEWART, 2001) Método da bsseção: Seja f uma função contínua em um ntervalo fechado [a, b] com f(a). f(b) < 0. Devemos encontrar um número j, tal que f(j) = 0. Para tal devemos executar os seguntes passos: 1º- Calcule os valores de f(a) e f(b). Se f(a) > 0 e f(b) < 0 ou f(a) < 0 e f(b) > 0, exste a < j < b tal que f(j) = 0; 2º - Calcule o ponto médo de [a, b], ponto médo = a+b. Calcule f (a+b ); 2 2 3º- Compare o valor de f ( a+b ) com os valores de f(a) e f(b). O ntervalo no 2 qual um dos extremos é postvo e outro negatvo é o ntervalo que contém j; 4º - Repta o processo neste ntervalo. Você pode repetr este processo até que seu erro seja nferor a 0,001, ou seja, até que o tamanho do ntervalo seja nferor a este valor. O tamanho do ntervalo é calculado, subtrando o extremos do ntervalo, no caso de um ntervalo [a, b], o tamanho do ntervalo mede b a. O erro sugerdo acma corresponde a uma dferença de 0,1% na taxa de juros cobrada no fnancamento. No método da bsseção, a cada teração, o tamanho do ntervalo ca
40 a metade, portanto, para um ntervalo de tamanho 1 são necessáras cerca de 10 terações para que ele alcance o tamanho 0,001. Com estas nformações podemos encontrar uma solução aproxmada para a equação 10. (1 + j) 12. j (1 + j) 12 + 1 = 0. A função f(j) = 10. (1 + j) 12. j (1 + j) 12 + 1 é polnomal, portanto contínua. Supondo que os juros estão entre 1% e 90% e que j =, vamos procurar o valor tal que f(j) = 0, para valores entre 0,01 < j < 0,9. Utlzando a calculadora temos que f(0,01) 0,014 e f(0,9) 17707,52, portanto exste um valor 0,01 < j < 0,9 tal que f(j) = 0. Tome o ponto médo deste ntervalo, a+b = 0,01+0,9 = 0,455. Temos que f(0,455) 320,58, portanto 2 2 0,01 < j < 0,455. O tamanho do ntervalo é 0,455 0,01 = 0,445. Tomando o ponto médo 0,01+0,455 2 = 0,2325, temos que f(0,2325) 17,28, portanto 0,01 < j < 0,2325. O tamanho do ntervalo é gual a 0,2325 0,01 = 0,2225. Fazendo mas uma teração, tomando o ponto médo gual a 0,12125, f(0,12125) 1,84,portanto 0,01 < j < 0,12125. O tamanho do ntervalo é gual a 0,11125. Assm, podemos afrmar que os juros cobrados neste fnancamento estão entre 1% e 12,125%. Este resultado não ndca um valor aproxmado dos juros cobrados pos ele pode ser qualquer valor entre 1% e 12,125%. Contnuando o processo podemos obter qualquer aproxmação de qualquer ordem que desejarmos. Exercíco 2.9.2.2 Contnue o exemplo 2 fazendo mas três terações. Exercíco 2.9.2.3 No exemplo 2.9.2.2, supomos que os juros de um fnancamento podem varar entre 1% e 90%. A escolha do valor dos juros máxmo e mínmo nfluenca dretamente no número de terações que devemos fazer para chegar a um resultado acetável do valor dos juros cobrados. Em sua opnão, você acha que esta escolha dos juros entre 1% e 90% fo a mas acertada? Exste uma forma bem smples de encontrar a taxa de juros de um fnancamento utlzando uma planlha eletrônca. Basta escrever o valor a ser fnancado, C, com snal negatvo em uma célula da planlha e nas células abaxo todas as prestações, P. Em seguda dgte em qualquer célula da planlha = TIR e selecone a coluna com todos os valores dgtados e tecle ENTER. O resultado é a
41 taxa de juros por período, sto é, se o pagamento é mensal, a taxa de juros no cálculo da TIR também será mensal. Observe que na Fgura 11 a fórmula pede uma estmatva. A estmatva é um número que se estma ser próxmo do resultado de TIR. As planlhas eletrôncas usam uma técnca teratva, algo smlar ao método das bsseções, para calcular TIR. Quando é fornecda uma estmatva, a ferramenta utlza este valor para começar a fazer o cálculo até que o resultado tenha uma precsão de 0,00001 por cento. Se TIR não puder localzar um resultado que funcone depos de vnte tentatvas, o valor de erro #NÚM! será retornado. Na maora dos casos, não é necessáro fornecer estmatva para o cálculo de TIR. Se estmatva for omtda, será consderada 0,1 que corresponde a 10%. A Fgura 11 lustra como encontrar o resultado do exemplo 2.9.2.2 utlzando uma planlha eletrônca Fgura 11 Exemplo em planlha eletrônca, EXCEL, para cálculo da TIR Exercíco 2.9.2.3 Em grupos, utlzando uma planlha eletrônca, calcule o valor dos juros de fnancamento de três produtos presentes nos encartes que vocês trouxeram. Nota ao professor: Como temos certeza que a equação C. (1 + j) n. j P. (1 + j) n + P = 0 possu uma únca solução j (0,1)? Se o captal C fo fnancado em n prestações no valor de P, podemos consderar três casos: C = n. P neste caso não fo cobrado juros, logo j = 0; C > n. P neste caso fo feto um parcelamento com desconto, assm j < 0. Este caso não é pratcado no mercado em geral;
42 C < n. P neste caso fo feto um parcelamento com juros. Assm, n > C P = α. Como C > P temos que α > 1. Dvdndo a equação C. (1 + j) n. j P. (1 + j) n + P = 0 por P e substtundo C P = α e (1 + j) = x temos: αx n (x 1) x n + 1 = 0 αx n+1 (α + 1)x n + 1 = 0. Neste caso devemos verfcar se exste uma únca raz no ntervalo (1,2). Para sso vamos a analsar a função f(x) = αx n+1 (α + 1)x n + 1 neste ntervalo. Calculando a prmera dervada e encontrando os pontos crítcos temos: f (x) = (n + 1)αx n n(α + 1)x n 1. Para f (x) = 0 temos x = 0 ou x = n(α+1). Como n, α, x > 0 e n > α temos que α(n+1) 1 < n(α+1) < 2. Para mostrar que essa desgualdade é verdadera. Suponha por α(n+1) absurdo que n(α+1) 1, neste caso temos n α. Da mesma forma, supondo que α(n+1) n(α+1) α(n+1) 2α 2, concluímos que n α.uma vez que o ponto crítco da função está α 1 no ntervalo (1,2), e que a dervada de uma função polnomal anda é uma função polnomal, portanto contínua em todo número real, faremos o teste da dervada prmera: f (1) = α n < 0 e f (2) = 2 n 1 (αn + 2α n) > 0. Assm, a função é decrescente para 1 < x < n(α+1) α(n+1) e crescente para x > n(α+1) α(n+1). Como f(1) = 0 então f(x) < 0 para 1 < x < n(α+1). Assm, exste um únco valor de α(n+1) x ( n(α+1) α(n+1), 2) tal que f(x) = 0 pos f(2) = 2n (α 1) + 1 > 0. Na mnha experênca, eu não consegu trabalhar com o cálculo da taxa de juros para fnancamentos de mas de duas parcelas em todas as turmas. Duas das turmas com as quas fz esta experênca eram turmas com muta dfculdade em manpulação algébrca. Cabe a você, professor, decdr até que ponto a sua turma pode chegar. No exercíco 2.9.2.2 propus uma dscussão sobre qual sera a taxa de juros aproxmada de um parcelamento, uma vez que use valores muto dstantes da
43 realdade. Uma sugestão sera utlzar uma faxa entre a menor taxa juros de empréstmo e a maor taxa de juros de cartão de crédto, que é uma das mas altas do mercado. No momento em que fz a experênca estas taxas eram 0,99% e 9,99% respectvamente. 2.9.3 Parcela para fnancamento de parcelas guas com entrada. Alguns fnancamentos, como o de automóves, cobram um valor de entrada, sto é, um valor pago no ato da compra. Este valor de entrada pode ser qualquer valor nformado pelo estabelecmento ou anda pode ter o mesmo valor da parcela. Vamos analsar o caso em que a entrada seja um valor qualquer nformado pelo estabelecmento. Seja um fnancamento de um captal C, dvddo em n prestações guas a P, com uma entrada E e juros de %. A Fgura 11 mostra o fluxo de caxa deste tpo de fnancamento. Fgura 12 - Fluxo de caxa de um fnancamento de parcelas guas com entrada O procedmento para o cálculo da parcela é gual ao descrto na seção 2.9.1. Escrevendo todos os valores no tempo n temos: (C E). (1 + n ) = P + P. (1 + 2 ) + P. (1 + ) + + P. (1 + n 1 ). Utlzando a fórmula de soma de PG no lado dreto da gualdade, temos: (C E). (1 + (C E). (1 + n P. ((1 + n ) ) 1) = (1 + ) 1 n ) = P. ((1 + n ) 1)
44 (C E). (1 + P = n ) ((1 + ) n 1).. E quando o valor da entrada tem o mesmo valor da parcela? Neste caso, o cálculo do valor da parcela sofre uma pequena alteração. Seja um fnancamento de um captal C, fnancado em n parcelas guas, com a prmera parcela no ato da compra e juros de %. A Fgura 12 mostra o fluxo de caxa deste tpo de fnancamento. Fgura 13 - Fluxo de caxa de um fnancamento em n parcelas guas com a prmera no ato da compra. Escrevendo todos os valores no tempo n 1 temos: (C P). (1 + C. (1 + C. (1 + n 1 ) = P + P. (1 + 2 ) + P. (1 + ) + + P. (1 + n 2 ) n 1 ) P. (1 + n 1 ) = P + P. (1 + n 2 ) + + P. (1 + ) n 1 ) = P + P. (1 + n 2 ) + + P. (1 + ) + P. (1 + n 1 ). Utlzando a fórmula de soma de PG no lado dreto da gualdade, temos: C. (1 + C (1 + C. (1 + P = n 1 P. ((1 + n ) ) 1) = (1 + ) 1 n 1 P. ((1 + n ) ) = n 1 ).. ((1 + ) n 1) 1)