1 Noções de cálculo vetorial

1 Noções de cálculo vetorial 1.1 ampo vetorial Um campo vetorial num plano é uma função que a cada ponto deste plano associa um vetor. Tal campo pode ser usado, por eemplo, para descrever o comportamento de um uido, um campo eletromagnético etc. Em coordenadas cartesianas um campo F pode ser dado por suas componentes F (; ; ) = F (; ; ) ^ + F (; ; ) ^ + F z (; ; ) ^z : Por eemplo, campo que tem a forma F = (3 ) i + ( + 5) j Figura 1 1. Fluo Um conceito importante no estudo da dinâmica de um uido é o conceito de uo através de uma área. Imagine um pequeno quadrado inserido dentro de um uido. Obviamente o uo através deste quadrado depende da orientação do quadrado. e ele for colocado com a sua normal paralelo a velocidade o uo, i.e., a quantidade de uído por unidade de tempo que atravessa este quadrado vale = 1 (v:dt:a) = v:a dt enquanto se ele for colocado perpendicular a velocidade do uido não haverá uo. Este resultado pode ser resumido como = F:a: cos = F:a 1

Obsreve que o uo através de uma área é um escalar. Imagine agora que você deseja calcular o uo através de uma superfície fechada (um balão). Para fazer isso podemos primeiro dividir esta superfície em vários quadradinhos e usar o conceito acima para calcular o uo através de cada um destes quadrados. omo queremos saber se há uido entrando ou saindo do balão, damos um valor positivo para a normal de cada área que aponta para fora do balão e negativo para a que aponta pra dentro. hamamos isso de orientar as áreas. Figura retirada do immons, álculo com Geometria Analítica O uo total pelo balão será No limite de a i 0, temos = X i = F:a i F:da esta é uma integral de superfície de um campo vetorial F. Ou seja, a integral de superfície de F sobre uma superfície signi ca apenas dividir em pequenas partes, cada uma representada por um vetor orientado para fora de e tomar o produto escalar desta área com o valor de F no local. 1.3 Divergente Nosso objetivo aqui é estudar características locais, ou pontuais, do nosso uido. Em outras palavras, queremos de nir quantidades como as densidades dos corpos etensos (densidade de carga, de massa etc). Para uma superfície qualquer nita do nosso campo temos um uo, nosso objetivo aqui é obter um densidade de uo, ou seja, um uo por unidade de volume. A partir desta quantidade, como no caso da densidade de massa, podemos tanto obter o uo de superfícies nitas, quanto conhecer características locais do uido. Isso nos permitirá também caracterizar o movimento do uído. Imagine uma superfície qualquer e o uo (Figura 3-a) = F:da Agora divida esta superfície em duas partes: 1 e (Figura 3-b) teremos então dois uos i = F:da i

Figure 1: Figura 3 - Figura retirada do urso de Física Berkele Vol. Eletromagnetismo O ponto importante aqui é que o uo pela interface entre as superfícies tem o mesmo valor e sinal contrário (pois é orientado para fora de cada uma delas) de sorte que = 1 + E isso é verdade para qualquer divisão que façamos da superfície. Vamos agora dividir esta superfície em N superfície bem pequenas i (Figura 3-c), pelo motivo descrito acima temos NX F:da = i i=1 F:da = Ou seja, a soma do uo por cada superfície do balão é igual ao uo total pelo balão (Figura 3-d). Nosso interesse é identi car alguma característica do uido relacionado com o limite quando N cresce enormemente. Observe que a integral i = F:da i não pode ser tomada como esta característica porque ela depende das divisões do volume, i.e., se dividirmos o volume no meio i também cai pela metade e, 3

além disso, certamente i 0 quando i 0. Podemos entretanto obter uma quantidade nita que não dependa do volume se tomarmos R i F:da V i onde V i é o volume dentro da área i. Uma vez que V i 0 quando i 0 a quantidade acima pode tender a um valor nito que, conseqüentemente, caracterizará o comportamento do uido em torno de um ponto qualquer. A quantidade acima, no limite de V i 0 se chama o divergente do campo F 1 divf = lim F:da V i0 V i i onde i é uma superfície que envolve V i. Assim, o divergente de F é o uo que sai de V i, por unidade de volume, para um volume in nitesimal. O divergente é uma grandeza escalar que pode variar de ponto a ponto e seu valor num determinado ponto (; ; z) é a integral acima com o ponto no interior de V i. O divergente está relacionado com quanto de uido entra (ou sai) de um volume, seja pela criação (ou absorção) deste uido, seja pela sua compressão. 1.3.1 Teorema de Gauss Uma vez conhecido o divergente de uma função, podemos refazer o processo descrito acima, no sentido inverso, e calcular o uo de F numa superfície nita NX NX 1 F:da = F:da = F:da V i i V i i V i0 i=1 i=1 i=1 No limite V i 0 temos NX 1 lim F:da :V i = V i i om isso temos F:da = V V divf dv divf dv Este é o teorema da divergência. e o TD é válido para qualquer campo vetorial, certamente também é válido para o campo elétrico. Da lei de Gauss (que é uma conseqüência da lei de oulomb) temos E:da = Q = dv " 0 " 0 usando o TD temos E:da = V V dive dv = 4 V " 0 dv

Figure : Figua 4 - Figura retirada do urso de Física Berkele Vol. Eletromagnetismo O resultado acima tem de ser válido para qualquer volume. Isso só é possível se os integrandos forem iguais em qualquer ponto dive = " 0 1.3. O divergente em coordenadas cartesianas A de nição acima independe de qualquer sistema de coordenadas. Entretanto, para efetivamente efetuamos alguma conta, precisamos ter uma forma prática para determinar o divergente de algum campo F. Para isso fazemos F = F (; ; ) o que signi ca que introduzimos algum sistema de coordenadas no espaço. e este sistema é cartesiano o campo vetorial F pode ser decomposto em 3 funções escalares: F (; ; ) = F (; ; ) ^ + F (; ; ) ^ + F z (; ; ) ^z Vamos calcular o uo desta função por um cubinho de ladp ; ; z (Figura 4-a) Para a face superior e inferior (Figura 4-b) temos os vetores ^z e ( ^z). Assim, quando zemos o produto escalar de F com estas áreas, apenas a função F z sobreviverá. Ou seja, o uo é a diferença entre o valor médio (no ponto médio das superfícies) de F z nas faces interiores e superiores. Em primeira ordem de aproimação esta diferença vale @F z @z z : O valor médio da função na face inferior vale (Figura 4-b) F z (; ; ) + @F z @ 5 + @F z @ :

Já o valor médio da função na face superior vale (Figura 4-b) Assim, o uo na direção z vale F z (; ; ) + @F z F z (; ; ) + @F z @z z + @F z @ + @F z @ : @z z + @F z @ + @F z @ F z (; ; ) + @F z @ + @F z @ = @F z @z z Da mesma forma, os uos nas demais direções valem @F @ z ; @F @ z De sorte que o uo total vale @F = @ + @F @ + @F z z @z pela nossa de nição de divergente temos 1 divf = lim V 0 V = = @F @ + @F @ + @F z @z Assim, em coordenadas cartesianas: @F @ + @F @ + @F z @z z V divf = @F @ + @F @ + @F z @z (1) 1.4 Integrais de linha Um dos grandes interesses no estudo de problemas práticos é saber qual o trabalho realizado para se mover neste campo vetorial. Por eemplo, queremos mover uma carga elétrica por um campo elétrico, ou uma massa num campo gravitacional, ou ainda um barco por um rio. Em todos estes casos, o trabalho realizado será: W = F:dr () onde F (; ) = U (; )^{ + V (; ) ^ é o campo vetorial (neste caso a força) e dr = ^{d + ^ d um elemento de deslocamento na trajetória. Em geral este 6

trabalho depende, não apenas do caminho, mas também do sentido que este caminho é seguido. Eemplo: Vamos calcular a integral de linha do campo (cujo grá co é apresentado na Figura 1) F = (3 ) i + ( + 5) j sobre a circunferência unitária. Este caminho pode ser parametrizado como = cos t ; = sin t ; t 0; onde está relacionado com a velocidade que percorremos a curva. Assim W = F:dr = (U (; ) d + V (; ) d) = (t) ; = (t) =) d = d d dt ; d = dt dt dt ; W = (3 ) d d + ( + 5) dt 0 dt dt d dt = sin t ; d = cos t dt W = 0 = ((3 cos t sin t) ( sin t) + (cos t + 5 sin t) ( cos t)) dt (( 3 + 5) sin t cos t + 1) dt = 0 = sin t cos tdt + 0 = = 0 sin t dt + = : = ( sin t cos t + 1) dt 1 = 0 sin t dt + = 1 cos t + Observe como o valor calculado não depende de, a velocidade com que percorremos a curva. 1.5 O rotacional de uma função O divergente nos fala sobre o uo em torno de um ponto do uido, o que, obviamente, está relacionado com pontos onde surge ou desaparece uido, i.e., fontes ou sorvedouros. Ou ainda pontos onde o uido possa ser comprimido. Entretanto, é possível que haja movimento num uido mesmo que nenhum destes efeitos ocorra. Por eemplo, você pode fazer circular um uido num balde. Isso cria rodamoinhos no uído. 0 7

Figure 3: Figura 5 -Figura retirada do urso de Física Berkele Vol. Eletromagnetismo Este tipo de movimento tem a característica de eigir que realizemos trabalho para mover um corpo através de um circuito fechado do campo (ou do uído). E pode ser medido através da integral = F:ds Esta quantidade é chamada circuitação (ou circulação) do campo. Precisamos orientar o caminho. Fazemos isso eigindo que a parte interna que sempre a nossa esquerda (Figura 5-a). Dado um circuito qualquer (Figura 6-a) podemos dividi-lo em partes 1 e (Figura 6 -b). Uma vez que a interface entre os dois caminhos é percorrida no sentido contrário (Figura 6-b) temos 1 + = O mesmo pode se obtido dividindo o circuito em N partes (Figura 6-c) = NX i=1 i Mais uma vez, estamos interessados numa quantidade característica do uido, relacionado com seu comportamento em cada ponto. Novamente, esta quantidade não é a circuitação, pois, se a i é a área encerrada pelo caminho i, temos i 0 quando a i 0. Mas, assim como no caso do divergente, podemos esperar uma quantidade nita fazendo i a i = R i F:ds a i 8

Figure 4: Figura 6 -Figura retirada do urso de Física Berkele Vol. Eletromagnetismo Figure 5: Figura retirada do immons, álculo com Geometria Analítica Diferente do divergente a circuitação acima depende da orientação da normal da superfície in nitesimal i. Para uma circuitação in nitesimal com área a i na direção ^n temos R (rotf ) ^n = lim a i0 i F:ds ^n a i Ou seja, se o circuito i tem uma área a i na direção então estamos calculando a componente do rotacional na direção. A quantidade acima é chamada rotacional do uido e mede a circuitação, por unidade de área, em torno de um ponto do campo. O divergente é um vetor. Fisicamente o rotacional de um uido poderia ser medido com um dispositivo como o da gura abaio: 9

1.5.1 Teorema de tokes Partindo do rotacional podemos obter a circuitação de um contorno nito = NX NX 1 F:ds = F:ds = F:ds i a i i Usando a de nição de rotacional 1 lim F:ds = (rotf ) ^n a i0 a i i e, neste limite Ou, como n está na direção de a F:ds = i F:ds = [(rotf) ^n] da i (rotf) da (3) Este é o teorema de tokes e relaciona a integral de linha do campo através de um circuito fechado com a integral de área do rotacional. Um ponto importante a se notas é que eistem várias áreas diferentes que possuem a mesma fronteira (como quando se esta sobrando uma bola de sabão). Então qual área selecionamos para aplicar o Teorema de tokes? Note, entretanto, que o lado esquerdo de (3) não depende de qual área escolhemos. Isso signi ca que o lado direito também não irá depender. Ou seja, para aplicar o Teorema de tokes podemos usar qualquer área que tenha a curva como borda. O que nos permite anunciar o seguinte: orollar 1 R (rotf) da depende apenas da fronteira da superfície e não da superfície em particular. Do corolário acima, temos que se zermos a borda da fronteira diminuir, de forma que 0, o lado esquerdo de (3) vai à zero. om o que temos orollar para qualquer superfície fechada I (rotf) da = 0 : (4) 1.5. Lei de Ampère Uma corrente induz um campo magnético B I B:dl = 0 I a i 10

Figure 6: Figura retirada do urso de Física Berkele Vol. Eletromagnetismo onde I é toda a corrente que passa no interior do circuito. Esta corrente pode ser escrita como I = J da onde J é a densidade de corrente e qualquer superfície limitada pela curva fechada. om isso I B:dl = J da Usando o teorema de tokes I B:dl = (rotb) da = 0 Para qualquer curva, o que só pode ser verdade se rotb = 0 J J da Que é a lei de Ampère. Um mecanismo para medir o rotacional de um campo eletromagnético poderia ter a seguinte forma: 1.5.3 Rotacional em coordenadas cartesianas Novamente a de nição acima, apesar de geral, é pouco prática para o cálculo do rotacional conhecendo-se o campo. Vamos então obter uma epressão que permita determinar esta quantidade uma vez conhecida as componentes cartesianas do campo. 11

Figure 7: Figura 7 - Figura retirada do urso de Física Berkele Vol. Eletromagnetismo eja então F (; ; z) = F ^ + F ^ + F z^z um campo de nido num sistema cartesiano de unidades. Vamos calcular a circuitação do campo F por um elemento quadrado de lado e. Para isso, imaginando que os lados são in nitesimais, podemos aproima a integral de linha simplesmente pelo produto (escalar) do valor do campo no meio do percurso pelo comprimento do percurso. Assim, para os percursos horizontais temos F:dl =F ( m ; m ; z m ) Onde F ( m ; m ; z m ) é o valor do campo no meio do intervalo. Na parte inferior F a ( m ; m ; z m ) = F (; ; z) + @F @ F:dl = F (; ; z) + @F @ Enquanto na parte superior F b ( m ; m ; z m ) = F (; ; z) + @F @ F:dl = F (; ; z) + @F @ + @F @ + @F @ onde o sinal de menos vem do fato do percurso ser feito na direção de (F:dl =F ( d)).para os lados verticais temos F:dl =F ( m ; m ; z m ) ^ 1

Na parte esquerda enquanto na direita F c ( m ; m ; z m ) = F (; ; z) + @F @ F:dl= F (; ; z) + @F @ F d ( m ; m ; z m ) = F (; ; z) + @F @ F:dl = F (; ; z) + @F @ om isso a nossa circuitação se torna F:dl= F (; ; z) + @F @ F (; ; z) + @F @ F (; ; z) + @F @ + F (; ; z) + @F @ @F @F = @ @ + @F @ + @F @ + @F @ + @F @ Tomando o limote lim a0 R F:ds a = lim ;0 h @F @ i @F @ = @F @ @F @ omo obviamente a área aponta na direção ^z (Figura 7) esta é a componente z do rotacional @F @F (rotf) ^z = ^z @ @ Efetuando o mesmo procedimento para os contornos da Figura 8 temos @Fz (rotf) ^ = @ @F (rotf) ^ = @z @F @z @F z @ ^ ^ 13

Figure 8: Figura 8 - Figura retirada do urso de Física Berkele Vol. Eletromagnetismo Ou, juntando todas as componentes @Fz @F @F rotf = ^ + @ @z @z @F z @F ^ + @ @ @F ^z (5) @ A epressão acima permite calcular o vetor rotacional conhecendo-se as componentes cartesianas do campo. 1.6 O operador Nabla Eiste uma forma bastante conveniente de se epressar a equação (1) e (5). Para isso introduzimos o operador vetorial O = ^ @ @ + ^ @ @ + ^z @ @z (6) chamado de nabla. A quantidade acima é um operador diferencial, ou seja, ele só fornece um valor quando aplicado em alguma função. Por eemplo, quando aplicado na função g (; ; z) temos Og = ^ @g @g + ^ @ @ + ^z@g @z onde agora cada uma das componentes do vetor é um número que depende do ponto (; ; z), ou seja, o operador nabla permitiu contruir um vetor (Og) a partir de uma função escalar (g). Este vetor se chama o gradiente da função. O gradiente de uma função é um vetor que aponta sempre na direção em que a função cresce mais rapidamente com a variação dos parâmetros. 14

O que acontece quando aplicamos o operador nabla num campo vetorial F? Neste caso, como ambos são vetores, podemos de nir a palavra aplicar como um produto escalar ou um produto vetorial. e usarmos o produto escalar temos OF= ^ @ @ + ^ @ @ + ^z @ (F ^ + F ^ + F z^z) @z = @F @ + @F @ + @F z @z Que podemos reconhecer como o divergente do campo (1). de nir a aplicação pelo produto vetorial temos ^ ^ ^z O F= @ @ @ @ @ @z F F F z @Fz @F @F @F z @F = ^ + ^ + @ @z @z @ @ e escolhermos @F ^z @ Que podemos reconhecer como o rotacional do campo. É importante notar que apesar de sempre usarmos: Og gradiente de g OF divergente de F O F rotacional de F este operador só tem a forma (6) acima em coordenadas cartesianas. Além disso, em coordenadas cartesianas, podemos ainda de nir: com o que @ @ = @ @ 1 @ 1 ; Usando estas de nições temos 1 ; ; 3 z @ @ = @ @ @ ; (Og) ^ i = @ i g 3X OF = @ i F i @ i F i i=1 @ @z = (O F) ^ i = @ j F k @ k F j com 1 3 @ @ 3 @ 3 onde no ultimo caso as componentes i; j; k (nesta ordem) devem seguir a ordem cíclica i = 1; j = ; k = 3 i = ; j = 3; k = 1 i = 3; j = 1; k =. Uma forma muito prática (e útil) de evitarmos ter de deiar sempre indicado 15

esta ordem cíclica é usarmos o chamado tensor completamente anti-simétrico de Levi-ivita, ou símbolo de Levi-ivita " ijk que é anti-simétrico nas três componentes com " ijk = " jik = " ikj " 13 = 1 omo conseqüência esta quantidade vale zero se os índices se repetem (e.g, " 11 = 0), muda de sinal para qualquer permutação de dois índices e mantém o sinal para permutações cíclicas. Estas propriedades podem ser epressas na igualdade (i j) (j k) (k i) " ijk = ; i; j; k = 1; ; 3 : Usando esta quantidade, podemos de nir a componente i do rotacional como (O F) ^ i = 3X j;k=1 " ijk @ j F k " ijk @ j F k Vamos calcular, por eemplo, o rotacional do gradiente de uma função O (Og) = " ijk @ j (@ k g) = " ijk @ j @ k g = 1 (" ijk + " ijk ) @ j @ k g = 1 4 (" ijk " ikj ) @ j @ k g = 1 4 (" ijk@ j @ k g " ikj @ j @ k g) Lembrando agora que j e k são índices mudos O (Og) = 1 4 (" imn@ m @ n g " imn @ n @ m g) = 1 4 " imn (@ m @ n @ n @ m ) g Usando agora temos 1 @ n @ m = @ m @ n O (Og) = 1 4 " imn (@ m @ n @ n @ m ) g = 1 4 " imn (@ m @ n @ m @ n ) g = 0 1 O produto escalar de um tensor simétrico com um anti-simétrico é sempre nulo. 16

ou seja, o rotacional do gradiente é sempre igual a zero. O símbolo de Levi-ivita se relaciona com o delta de Kronecker através do determinante il im in " ijk " lmn = jl jm jn kl km kn : Eercise 3 Usando o mesmo procedimento acima, mostre que o divergente do rotacional é sempre nulo. Eercise 4 Mostre que " ijk " mnk = im jn in jm Eercise 5 Usando a propriedade do eercício acima, mostre que O (O F) = O (O F ) O F O O O = @ i @ i 1.7 Teoremas Fundamentais do álculo Vetorial Voltando aos nossos teoremas (agora com o operador nabla) temos I rf dv = F da (T. da divergência) V I r F da = F ds (T. de tokes) O primeiro relaciona um volume com a sua fronteita, i.e., uma área. O segundo relaciona uma área com a sua fronteira, i.e., um caminho. ada um deles diminui de 1 a dimensão do problema. abendo que a dimensão mínima que podemos chegar é o ponto, será que podemos diminuir ainda mais a dimensão do nosso problema? Em outras palavras, eiste alguma relação entre as etreminades de um camilho (uma linha) e a sua fronteira (dois pontos)? A resposta é sim. Relação entre as etremidades de uma linha dt = @T @ d + @T @ d + @T z @z dz @T = @ ^ + @T @ ^ + @T z @z ^z (d ^ + d ^ + dz ^z) = (rt ) ds T = T (P 0 ) T (P ) = Veja o livro de Teoria do ampo do Landau. (rt ) ds 17

onde é um caminho que inicia em P e termina em P 0. Assim (rt ) ds =T (P 0 ) T (P ) É importante notar que eistem vários caminhos que permiter ligar estes dois pontos. Entretanto, o lado direito da epressão assima não depende do caminho. Ou seja e F é o gradiente de alguma função (F =rt ) então a integral de caminho de F só depende dois pontos iniciais e nais. hamamos um campo com esta característica de conservativo. omo consequencia do resultado acima temos I (rt ) ds =0 : Mais ainda, como r (rt ) = 0 Vemos que todo campo conservativo tem rotacional nulo. É possivem mostrar que o contrário também é verdade. I (rt ) ds = r (rt ) da = 0 omo isso tem de ser válido para qualquer área r (rt ) = 0 Para uma área fechada (sem borda) temos (4) I I r F da = F ds = 0 Aplicando o teorema do divergente I (r F) da = omo isso é válido para qualquer volume V r (r F) = 0 : r (r F) dv = 0 18