Uversdade Federal de Mas Geras Isttuto de Cêcas Eatas Programa de Pós-Graduação em Estatístca Dssertação de Mestrado: estes de Hótese Multvarados ara Matrzes de Covarâcas em Processos Autocorrelacoados com Alcações em Cotrole de Qualdade Mestrado: Rahael Lee Ferades Rbero Oretadora: Profª. Drª. Suel Aarecda Mgot Belo Horzote, Abrl de
Rahael Lee Ferades Rbero estes de Hótese Multvarados ara Matrzes de Covarâcas em Processos Autocorrelacoados com Alcações em Cotrole de Qualdade Dssertação aresetada ao Programa de Pós-Graduação em Estatístca do Isttuto de Cêcas Eatas da Uversdade Federal de Mas Geras, como requsto ara obteção do título de Mestre em Estatístca. Oretadora: Profª. Drª. Suel Aarecda Mgot. Belo Horzote, Abrl de Isttuto de Cêcas Eatas Uversdade Federal de Mas Geras UFMG
Agradecmetos Agradeço aos meus Pas e rmãos, meus grades cetvadores, que se fzeram resetes durate toda essa etaa. À Prof a. Dr a. Suel Aarecda Mgot or me acomahar e oretar desde a graduação, semre com muta dedcação e comrometmeto. Aos Professores, Luz H. Duczmal, Roberto da Costa Quo e Dael Furtado Ferrera elas grades cotrbuções que deram a este trabalho. Aos Professores do Deartameto de Estatístca, elos cohecmetos comartlhados. A todos aqueles que cotrbuíram dreta ou dretamete ara a realzação deste trabalho fca meu etero agradecmeto.
RIBEIRO, R. L. F., MINGOI, S. A. estes de Hótese Multvarados ara Matrzes de Covarâcas em Processos Autocorrelacoados com Alcações em Cotrole de Qualdade. Belo Horzote: Deartameto de Estatístca, Uversdade Federal de Mas Geras,, Dssertação mestrado. Resumo Esta dssertação oferece algumas cotrbuções às áreas de testes de hótese e de motorameto de rocessos multvarados e cotrole de qualdade. Város dos rocedmetos clásscos de cotrole de rocessos multvarados são desevolvdos assumdo que os vetores de observações são deedetes com dstrbução ormal multvarada com vetor de médas µ e matrz de covarâcas. Porém, a rátca, é usual ecotrar observações autocorrelacoadas. Deste modo, ara melhorar o desemeho dos testes estatístcos e a qualdade do motorameto do rocesso é ecessáro levar em cosderação a autocorrelação dos vetores de observações. É essecal usar um modelo estatístco arorado de séres temoras ara modelar o comortameto dos vetores de observações do rocesso, tedo em cota a estrutura de deedêca. Assm como é mortate motorar o vetor de médas, µ, do rocesso o caso multvarado, é também mortate motorar a varabldade do rocesso. Dessa forma, esta dssertação avalamos calmete o comortameto de algus testes estatístcos costruídos ara o motorameto de matrzes de covarâcas, que são formulados sob a hótese de deedêca etre as observações, quado essa suosção é volada. Além dsso, roomos algumas correções estes testes ara que seam sesíves a estrutura de autocorrelação das observações, correções estas que evolvem o auste de modelo de séres temoras multvarados. Os testes estatístcos avalados esta dssertação são: o teste da varâca geeralzada, o de razão de verossmlhaça, o Ste dow roosto or Sullva et al. 7 e o teste VMAX roosto or Machado et al. 8. A avalação do macto da autocorrelação os íves de sgfcâca dos testes que são formulados sob a suosção de deedêca, bem como a aálse de oder ara as correções dos testes que são roostos esta dssertação foram realzados utlzado-se Smulação de Mote Carlo. Palavras-chave: rocessos multvarados autocorrelacoados, testes estatístcos ara matrz de covarâcas, modelos VAR.
RIBEIRO, R. L. F., MINGOI, S. A. Multvarate Hyothess ests for Covarace Matrces Autocorrelated Processes wth Alcatos Qualty Cotrol. Belo Horzote: Deartameto de Estatístca, Uversdade Federal de Mas Geras,, Dssertato master degree. Abstract hs dssertato brgs some cotrbutos to the areas of hyothess testg, multvarate motorg ad qualty cotrol. May of the classcal rocedures used to cotrol multvarate rocesses are develoed assumg that the vectors of observatos are deedet from a multvarate ormal dstrbuto wth mea vector µ ad covarace matr. However, ractce t s usual to fd autocorrelated observatos. hus, to mrove the erformace of statstcal tests ad qualty of motorg the rocess s ecessary to take to accout the autocorrelato of the vectors of observatos. It s essetal to use a sutable tme seres statstcal model to descrbe the behavor of the vectors of observatos of the rocess, takg to accout the deedece structure. Just as t s mortat to motor the vector of meas, µ, of the rocess the multvarate case, t s also mortat to motor the varablty of the rocess. hus, ths dssertato tally the behavor of some statstcal tests bult for motorg the covarace matrces formulated uder the assumto of deedece amog the observatos, s evaluated whe ths assumto s volated. Furthermore, we roose some correctos to these tests that are sestve to the autocorrelato structure of the observatos. hese correctos are related to the estmato of the arameters of the multvarate tme seres model that geerates the observatos of the rocess. Statstcal tests dscussed ths dssertato are: the test of the geeralzed varace, the lkelhood rato, the Ste Dow suggested by Sullva et al. 7 ad the VMAX test roosed by Machado et al. 8. he mact of autocorrelato the sgfcace levels of the tests that are formulated uder the assumto of deedece, ad the ower aalyss of the modfed tests, that are roosed ths dssertato, were erformed usg Mote Carlo smulato. Keywords: multvarate autocorrelated rocesses, statstcal tests for covarace matr, VAR model.
Sumáro Itrodução.... Obetvos... 5. Orgazação... 6 estes de hóteses e gráfcos de cotrole de rocessos... 7. Cocetos báscos em teste de hóteses... 7. Base estatístca do gráfco de cotrole... 9.. Eemlo de alcação... 4 3 estes de hóteses ara matrz de covarâcas ara amostras deedetes... 7 3. Dstrbução ormal multvarada... 7 3. este do determate... 3.3 este do determate roosto or Dauhar 5... 3.3. Eemlo de alcação... 3 3.4 Estudo da dstrbução emírca de S... 5 3.5 este da Razão de Verossmlhaça... 8 3.5. Eemlo de alcação... 35 3.6 este Ste-dow roosto or Sullva et al. 7... 36 3.6. Eemlo de alcação... 4 3.7 este VMAX roosto or Machado et. al 8... 4 3.7. Eemlo de alcação... 43 4 Processos multvarados autocorrelacoados... 45 4. Modelo autorregressvo multvarado de ordem k, VARk... 46 4.. Estmadores de máma verossmlhaça de um modelo VARk... 48
4. Modelo de méda-móvel multvarado de ordem q, VMAq... 5 4.3 Matrzes de covarâca Г e correlação cruzada... 53 4.4 Estudo do comortameto de, Γ e quado e... 56 ˆ 4.5 Estudo da dstrbução emírca de S e Γ em rocessos autocorrelacoados... 6 4.6 Adatação dos testes ara matrz de covarâcas em rocessos autocorrelacoados... 66 4.6. Modfcação do teste do determate tradcoal e Dauhar 5... 67 4.6. Modfcação do teste da razão de verossmlhaça... 68 4.6.3 Modfcação teste Ste-dow roosto or Sullva et al. 7.. 69 4.6.4 Modfcação teste VMAX roosto or Machado et. al 8... 7 5 Asectos comutacoas:smulação e estmação dos arâmetros de um rocesso VAR.. 7 6 Avalação do oder dos testes ara matrz de covarâcas va smulação de Mote Carlo... 77 6. Estudo do oder dos testes - Stuação... 77 6.. Estmação do tamaho dos testes a stuação... 8 6.. Estmação do oder dos testes a stuação... 87 6. Estudo do oder dos testes - Stuação... 98 6.. Estmação do tamaho dos testes a stuação... 6.. Estmação do oder dos testes a stuação... 5 7 Coclusões fas e sugestões ara trabalhos futuros... Aêdce A... 5 Aêdce B... Aêdce C... 3 Referêcas Bblográfcas... 4
Lsta de Fguras Fgura.: Erros assocados a testes de hóteses... 8 Fgura.: Processo o estado de cotrole estatístco... Fgura.3: Processo o estado fora de cotrole... Fgura.4: Eemlo de gráfco de cotrole... Fgura.5: Relação etre gráfco de cotrole e teste de hótese... Fgura.6: Gráfco de cotrole ara o dâmetro do ael de stão... 5 Fgura 3.: Fução desdade de uma ormal bvarada com correlação gual a,85... 9 Fgura 3.: Fução desdade de uma ormal bvarada com correlação gual a... Fgura 3.3: Iterretação geométrca do determate... Fgura 3.4: Proosta do teste de Sullva et al. 7... 36 Fgura 5.: Estratéga de Smulação... 76
Lsta de Quadros Quadro 3.: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho 5... 6 Quadro 3.: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho 5... 6 Quadro 3.3: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho... 7 Quadro 3.4: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho... 7 Quadro 3.5: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho... 8 Quadro 4.: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho 5... 6 Quadro 4.: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho 5... 6 Quadro 4.3: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho... 6 Quadro 4.4: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho... 6 Quadro 4.5: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho... 63 Quadro 4.6: Meddas descrtvas de ara amostras de tamaho 5... 63 Quadro 4.7: Meddas descrtvas de ara amostras de tamaho 5... 64 Quadro 4.8: Meddas descrtvas de ara amostras de tamaho... 64 Quadro 4.9: Meddas descrtvas de ara amostras de tamaho... 65 Quadro 4.: Meddas descrtvas de ara amostras de tamaho... 65
Lsta de abelas abela.: Valores de oder e ARL out of cotrol ara o eemlo de alcação... 6 abela 3.: Matrz de covarâcas asstótca abela 4.: Alterações a matrz Γ quado abela 4.: Alterações a matrz Γ quado θˆ de θˆ ara uma dstrbução ormal bvar... 38... 56... 57 abela 4.3: Alterações a matrz Γ quado e... 57 abela 4.4: Alterações a matrz Γ quado e... 57 abela 4.5: Alterações a matrz Γ quado e... 58 abela 4.6: Alterações a matrz Γ quado e... 58 abela 4.7: Alterações a matrz Γ quado e... 59 abela 4.8: Valores médos de S e ara dferetes ceáros de tamahos de amostras... 66 abela 6.: estes abordados a stuação... 8 abela 6.: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação : 5 - µ cohecdo... 8 abela 6.3: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação : 5 - µ descohecdo... 8 abela 6.4: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação : 5 - µ cohecdo... 8 abela 6.5: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação : 5 - µ descohecdo... 8 abela 6.6: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação : - µ cohecdo... 8 abela 6.7: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação : - µ descohecdo... 83 abela 6.8: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação : - µ cohecdo... 83 abela 6.9: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação : - µ descohecdo... 83 abela 6.: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação : - µ cohecdo... 84 abela 6.: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação : - µ descohecdo... 84
abela 6.: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação : 5 - µ cohecdo... 84 abela 6.3: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação : 5 - µ descohecdo... 85 abela 6.4: estes selecoados ara avalação do oder a stuação... 86 abela 6.5: Modelos ara avalação do oder dos testes a stuação... 9 abela 6.6: Estmatvas do oder dos testes ara matrz de covarâcas cosderado o Modelo a stuação... 9 abela 6.7: Estmatvas do oder dos testes ara matrz de covarâcas cosderado o Modelo a stuação... 93 abela 6.8: Estmatvas do oder dos testes ara matrz de covarâcas cosderado o Modelo 3 a stuação... 94 abela 6.9: Estmatvas do oder dos testes ara matrz de covarâcas cosderado o Modelo 4 a stuação... 95 abela 6.: Estmatvas do oder dos testes ara matrz de covarâcas cosderado o Modelo 5 a stuação... 97 abela 6.: estes abordados a stuação... abela 6.: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação, ara 5... abela 6.3: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação, ara 5... abela 6.4: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação, ara... 3 abela 6.5: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação, ara... 3 abela 6.6: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação, ara... 4 abela 6.7: Lmtes crítcos e estmatvas do tamaho do teste a stuação, ara 5... 4 abela 6.8: estes selecoados ara avalação do oder a stuação... 5 abela 6.9: Modelos ara avalação do oder dos testes a stuação... 7 abela 6.3: Estmatvas do oder dos testes ara matrz de covarâcas cosderado o Modelo a stuação... 8 abela 6.3: Estmatvas do oder dos testes ara matrz de covarâcas cosderado o Modelo a stuação... 8 abela 6.3: Estmatvas do oder dos testes ara matrz de covarâcas cosderado o Modelo 3 a stuação... abela 6.33: Estmatvas do oder dos testes ara matrz de covarâcas cosderado o Modelo 4 a stuação... abela B.: Percets da dstrbução eata - Stuação µ cohecdo...
abela B.: Percets da dstrbução eata - Stuação µ descohecdo... abela C.: Percets da dstrbução eata - Stuação µ descohecdo... 3
Caítulo Itrodução Qualdade semre fo arte tegrate de ratcamete todos os rocessos de rodutos e servços. No etato, a coscetzação de sua mortâca e a trodução de métodos formas ara o cotrole e melhora da qualdade têm tdo um desevolvmeto evolutvo Motgomery, 4. A defção de qualdade basea-se o oto de vsta de que rodutos e servços devem aresetar meddas detro das esecfcações egdas or aqueles que os usam. Os métodos de melhora da qualdade alcam-se a qualquer área de uma comaha ou orgazação, cludo maufatura, laeameto de egehara, faças, marketg, etc. Atualmete a qualdade torou-se um dos mas mortates fatores de decsão dos cosumdores a seleção de rodutos e servços que cometem etre s. Comreeder e melhorar a qualdade é um fator-chave que coduz ao sucesso, crescmeto e a uma melhor osção de comettvdade de um egóco. Porém, o co do século XX os métodos estatístcos ara melhora da qualdade ão eram tão utlzados as dústras. Em 94, Walter A. Shewhart, desevolveu o coceto estatístco de gráfco de cotrole, que é cosderado, como o começo formal do cotrole estatístco da qualdade. Por ocasão da II Guerra Mudal, os EUA cetvaram a utlzação dos métodos estatístcos de Shewhart elos seus forecedores audado a dssemar os ovos métodos de cotrole o mudo. Aós a II Guerra Mudal, a utlzação das ferrametas do cotrole de qualdade fo bastate tesfcada durate a mlatação do Programa de Qualdade otal, o Jaão, elas mãos de Wlla E. Demg e Joseh M. Jura. No fal do século XX, a tolerâca etremamete baa a falhas em dsostvos tas como esaçoaves, usas ucleares, medcametos de últma geração, etre outros, fzeram com que abordages etremamete refadas fossem cradas ara o cotrole de qualdade. Motgomery 4 areseta uma lha do temo de algus marcos mortates do rocesso evolutvo do cotrole de qualdade. Um dos roblemas das cartas de cotrole desevolvdas or Shewhart é que elas eram aroradas aeas ara a aálse de uma varável do rocesso. Quado esse sstema a qualdade do roduto era medda or mas de uma varável, caso de rocessos
multvarados, váras cartas de cotrole deveram ser utlzadas smultaeamete, e de forma deedete, ara que fosse feto o motorameto do rocesso. Porém, quado as varáves eram correlacoadas etre s, as cartas de cotrole ão cororavam essa correlação o que odera gerar coclusões corretas sobre a establdade do rocesso. Atualmete, os rocessos multvarados assaram a ser muto comus uma vez que em geral, são váras as característcas que determam a qualdade fal de um roduto ou servço e que devem ser motoradas ao logo do rocesso de rodução. Shewhart, cohecdo or ser o oero em desevolver gráfcos de cotrole, destacou-se também or recohecer a ecessdade de cosderar roblemas de cotrole estatístco multvarado. Recetemete, város rocedmetos estatístcos de cotrole de rocessos multvarados têm sdo sugerdos. Para o cotrole do vetor de médas ode-se destacar o teste de hótese de de Hotellg 947 e o de Hayter e su 994, etre outros ver Maso e Youg,. Já ara o cotrole da matrz de covarâcas, ode-se destacar os testes roostos or Yeh et al. 6; Alt 985; Dauhar 5; Motgomery e Wadsworth 97, etre outros. No coteto do motorameto da estrutura da varabldade de rocessos deedetes, dos testes muto cohecdos são o da varâca geeralzada Motgomery, 4 e o teste da razão de verossmlhaça aresetado em Alt 985 detro do coteto de cotrole de qualdade, mas que á hava sdo aresetado aterormete detro do coteto estatístco ver Aderso, 958, 3. Em 8, Machado et al. rouseram um gráfco de cotrole, ara a matrz de covarâcas, deomado VMAX, que basea-se as varâcas amostras adrozadas das característcas de qualdade. Os autores abordaram aeas o caso bvarado o artgo. A vatagem o gráfco VMAX, segudo os autores, é que através dele é mas fácl detfcar a varável que teve sua varabldade alterada ela ocorrêca de uma causa esecal. Outro método, roosto recetemete, é o aresetado o artgo de Sullva et al. 7. Esse rocedmeto é teressate, os ermte a comaração da matrz de covarâcas em todos os seus elemetos sem a ecessdade de reduzr a formação das matrzes em determates varâcas geeralzadas e traços como acotece com outros testes. Uma revsão sobre algus testes ara matrzes de covarâcas é aresetada Yeh, et al. 6. O cotrole de rocessos multvarados é de artcular mortâca os das de hoe, a medda em que os rocedmetos de seção automátca toram relatvamete fácl medr mutas varáves em cada udade do roduto. A grade maora dos métodos estatístcos ara cotrole de rocessos multvarados assumem que os vetores de observações das característcas da qualdade são deedetes. Porém, assumr
deedêca ão é razoável em algus rocessos. Um eemlo clássco de rocessos ão deedetes ocorre a dústra químca. Num rocesso químco acotece um desgaste atural de algus comoetes, ortato, o que acotece o temo t, deededo da codção do equameto, ode fluecar o que ocorrerá o temo th, h>. Assm, odemos troduzr a autocorrelação, que tem um efeto sgfcate o desemeho dos rocedmetos de cotrole de qualdade. No caso uvarado, quado detectamos a reseça da autocorrelação, uma das téccas utlzadas é austar um modelo de séres temoras ao couto de observações. Assm, como os resíduos são deedetes, eles são usados o cotrole do rocesso. Porém, se o modelo de séres temoras ão é adequado, os resíduos rovavelmete ão serão deedetes e cosequetemete haverá um grade úmero de alarmes falsos Bo e Luceo, 997. Na lteratura há uma escassez de trabalhos ublcados que tratam de cotrole multvarado de rocessos autocorrelacoados. A maora dos artgos trata dos testes ara comaração do vetor de médas Kalgoda e Kulkar, 4; Maso e Youg 999; Lu e Reyolds 99, etre outros e oucos dscutem testes ara comaração da matrz de covarâcas Chag e Zhag, 7. Sabe-se que a aálse de rocessos autocorrelacoados através de téccas covecoas ode causar séros mactos a carta de cotrole causado elo fato da autocorrelação ter sdo descosderada. Dessa forma, Kalgoda e Kulkar 4 estudaram rocessos bvarados autocorrelacoados de ordem VAR utlzado cocetos de séres temoras multvaradas Brockweel e Davs, 996; Lutkeohl, 993; say,. Os autores mostram que quado levamos em cosderação a autocorrelação do rocesso a matrz de covarâcas ode ser dferete daquela o qual a autocorrelação é gorada. Dessa forma, é ecessáro fcar ateto ara a escolha da matrz de covarâcas que será utlzada o cotrole do rocesso. É, ortato, mortate, ates de car o motorameto de um rocesso, detfcar se ele roduz observações deedetes ou autocorrelacoadas. Essa fluêca da autocorrelação também é mostrada em Olvera 7 o que se refere a determação da caacdade de rocessos multvarados. Esses fatos mostram a mortâca de se detfcar a autocorrelação das observações e levá-la em cosderação a costrução dos testes estatístcos ara motorameto de arâmetros de rocessos. Nessa dssertação será aresetado um rocedmeto de cororação desta autocorrelação em algus dos testes de hótese ara matrzes de covarâcas á estetes, que são costruídos sob a suosção de deedêca etre as observações. Nesse coteto, faremos a avalação do desemeho dos testes quado levamos em cosderação a matrz de covarâcas cruzada, que cotém toda a formação da varação temoral estmada através do sstema lear de Yule-Walker e quado 3
utlzamos a matrz de covarâca amostral S ara avalar se o rocesso multvarado está sob cotrole estatístco o que se refere a estrutura de varabldade. 4
. Obetvos O obetvo dessa dssertação é avalar o efeto da autocorrelação em algus testes estatístcos multvarados ara matrzes de covarâcas que são costruídos sob a suosção de deedêca etre as observações. Os testes a serem avalados são: do determate ou varâca geeralzada Motgomery, 4, do determate modfcado roosto or Dauhar 5, da razão de verossmlhaça Alt, 985, o Ste-dow, roosto or Sullva et al. 7 e falmete o teste VMAX roosto or Machado et al. 8. Assm, avalaremos como a autocorrelação afeta o tamaho, o oder e a dstrbução das estatístcas dos testes costruídos ara matrz de covarâcas sob a suosção de ormaldade multvarada e deedêca etre as observações. Além dsso, rooremos uma forma de correção os testes ara matrz de covarâcas quado levamos em cosderação a autocorrelação etre as observações. Um outro oto mortate do osso estudo será avalar a alcabldade das dstrbuções asstótcas ara as estatístcas de teste os casos em que há autocorrelação. Como osso estudo será focado os modelos autorregressvo multvarado de ordem, em algumas artes do teto detalharemos os rocessos de séres temoras desse to em termos de seus asectos teórcos e rátcos. 5
. Orgazação O coteúdo dessa dssertação está orgazado em sete caítulos e três aêdces. No Caítulo, aresetaremos algus cocetos báscos utlzados em teste de hóteses e em cotrole de qualdade que serão abordados essa dssertação. No Caítulo 3, aresetaremos a fução desdade da dstrbução ormal multvarada, á que grade arte dos testes que serão abordados vem do ressuosto de que os dados são gerados ela dstrbução ormal multvarada, e os testes ara matrz de covarâcas, o coteto, em que temos deedêca etre as observações. Já o Caítulo 4, dscutremos os rcas cocetos de rocessos autocorrelacoados, aresetaremos algus modelos de séres temoras multvarados e mostraremos como os testes ara matrz de covarâcas odem ser adatados ara o caso em que estamos em um rocesso autocorrelacoado. No Caítulo 5 mostraremos como serão gerados os vetores de observações autocorrelacoados e como será feta a estmação dos arâmetros dos modelos que serão obetos de estudo desta dssertação. Os resultados das smulações desevolvdas ara avalarmos o desemeho dos testes ara matrz de covarâcas quado estamos em um rocesso autocorrelacoado serão aresetados o Caítulo 6. No Caítulo 7 aresetaremos as coclusões e sugestões ara futuros trabalhos. Falmete, o Aêdce A será aresetado o cálculo da matrz de covarâcas cruzada, ara um rocesso bvarado VAR, cosderado e os Aêdces B e C os ercets das dstrbuções eatas dos testes em estudo. 6
Caítulo estes de hótese e gráfcos de cotrole de rocessos Neste caítulo aresetaremos algus cocetos báscos de testes de hóteses, que serão tratados esse roeto de dssertação. Além dsso, abordaremos algus otos mortates em cotrole de qualdade, como, avalação do desemeho do gráfco de cotrole através do ARL, erro do to I e do to II, e mostrar a relação estete etre o teste de hótese e o gráfco de cotrole utlzado em cotrole estatístco de rocessos.. Cocetos báscos em teste de hótese O teste de hótese é um rocedmeto de ferêca estatístca amlamete usado em váras áreas do cohecmeto. Num teste de hótese costró-se hóteses sobre os arâmetros com base o cohecmeto ou as eseculações que se faz calmete sobre eles. Em estatístca, uma hótese é uma alegação, ou afrmação, sobre uma roredade de uma oulação. Usualmete, as hóteses são deomadas como hótese ula H e hótese alteratva H. De uma forma geral, a hótese ula é uma afrmação feta sobre os arâmetros de teresse, equato a hótese alteratva é a afrmação cotrára à hótese ula. Como lustração, cosdere θ o arâmetro de teresse e as segutes hóteses a serem testadas: H : θ Ω versus H : θ Ω. Ao costrurmos essas hóteses estamos duzdo uma artção do esaço aramétrco Ω em dos subesaços deotados or Ω e Ω, ode Ω υ Ω Ω e Ω Ω ø. Assm, o teste de hótese ada mas é que um rocedmeto,, que os ermte decdr etre a hótese ula H e a hótese alteratva H. Defe-se da segute forma: reetamos H ϕ. ão reetamos H ou sea, um teste de hótese este aeas duas decsões ossíves: reetar ou ão H. 7
De acordo com as hóteses costruídas, deve-se escolher etre H : θ Ω ou H : θ Ω. Para sto, deve-se observar uma amostra de tamaho de elemetos de uma oulação cua dstrbução da varável de teresse evolva o arâmetro θ. Deote or S o couto de todos os resultados ossíves ara a amostra. Isto é, sea S o esaço amostral S { X, K X, X R,,..., }. Ao defr-se um rocedmeto de teste,, estamos defdo um rocedmeto que dvde S em dos subcoutos, um subcouto que coduz à reeção de H e outro subcouto que coduz a ão-reeção de H. Assm, o subcouto de valores de S que se observados, coduzrão a reeção de H é deomado regão crítca, ς ϕ. Cosdere X X, X,...X uma amostra aleatóra de tamaho da varável aleatóra X. De uma forma geral, defmos um rocedmeto de teste em fução de uma estatístca X da segute forma: ϕ se X ς se X ς ϕ ϕ. Ao realzar um teste de hóteses dos erros odem ser cometdos: reetar a hótese H quado tal hótese é verdadera, deomado erro do to I, ou ão reetar a hótese H quado ela devera ser reetada, deomado erro do to II. A Fgura. resume as ossíves stuações. Decsão Stuação H verdadera H falsa Reetar H ERRO IPO I SEM ERRO Não Reetar H SEM ERRO ERRO IPO II Fgura.: Erros assocados a testes de hóteses Em codções ormas, só cosegumos cotrolar um to de erro, e o escolhdo é o erro to I. Deomamos como ível de sgfcâca α a robabldade do erro to I, sto é: α P Erro to I PReetar H H P ϕ θ Ω verdadera.3 Para avalar a qualdade de um teste de hótese uma ferrameta amlamete utlzada é a fução oder. Sea um rocedmeto de teste e sea X X, X,...X uma 8
amostra aleatóra a ser observada. Cosdere ς ϕ como a regão crítca duzda or. Chama-se fução oder de a fução π ϕ defda de Ω em [,] da segute forma: π P X ς θ ϕ ϕ P ϕ θ P Reetar H θ.4 Quado θ Ω estamos avalado a robabldade de que o teste veha a detectar que a hótese ula é falsa. Quato maor essa robabldade melhor é o teste, ou sea, mas oderoso. Para falzar os cocetos usados em teste de hótese, cosdere um rocedmeto de teste e sea π ϕ a fução oder do teste. O tamaho do teste é defdo como: α su π θ Ω su P ϕ θ θ Ω ϕ.5 Note que o tamaho de um teste é o maor valor assumdo ela fução oder quado cosderamos aeas os valores de θ Ω, ou sea, o tamaho do teste é o maor valor ossível ara o tamaho do erro to I quado o teste é costruído. Para mas detalhes sobre teste de hóteses ver Casella e Berger.. Base estatístca do gráfco de cotrole Para que um roduto corresoda às egêcas de seus cletes, o mesmo deve ser roduzdo or um rocesso que sea estável, ou sea, o rocesso deve ser caaz de oerar com equea varabldade em toro das dmesões-alvo. Porém, em qualquer rocesso de rodução, deedetemete de quão bem laeado ou cudadosamete matdo ele sea, uma certa quatdade de varabldade erete ou atural semre estrá. rata-se da varabldade atural do rocesso, que é fruto de uma sére de equeas erturbações, ou causas aleatóras, cotra as quas ouco ou ada se ode fazer. Quado o rocesso areseta aeas a varabldade atural, devdo às causas aleatóras, dz se que ele está o estado de cotrole estatístco. A Fgura. lustra um 9
rocesso sueto aeas a causas aleatóras. Observe que a característca X areseta varabldade que ode ser reresetada or uma dstrbução de robabldades que se matém estável ao logo do temo. Fgura.: Processo o estado de cotrole estatístco Fote: Schssatt 998 Nehum rocesso, orém, dea de estar sueto, também, à ocorrêca ocasoal de ertubações maores, chamadas de causas esecas, que têm o efeto de deslocar a dstrbução da varável aleatóra X ou aumetar sua dsersão, ou ambos. Uma causa esecal é um roblema ou modo de oeração aormal do rocesso, que ode, ortato, ser corrgdo ou elmado. Quado, além das causas aleatóras de varabldade, causas esecas estverem resetes, dz-se que o rocesso está fora de cotrole. A Fgura.3 lustra o caso em que uma causa esecal afeta o rocesso. Fgura.3: Processo o estado fora de cotrole Fote: Schssatt 998 Em geral, os rocessos de rodução oerarão em estado sob cotrole, roduzdo tes acetáves or eríodos de temo relatvamete logos. No etato, causas esecas, ocorrerão, resultado em um deslocameto ara um estado fora de cotrole
ode uma maor roorção de rodutos do rocesso ão corresode às egêcas. Um obetvo maor do cotrole estatístco do rocesso é detectar radamete a ocorrêca de causas esecas que ocasoarão mudaças os arâmetros do rocesso, de modo que a artr de uma vestgação alguma ação corretva ossa ser realzada ates que mutas udades ão-coformes seam roduzdas. Para verfcar a establdade e a estêca de causas esecas que atuam sobre o rocesso, é comum utlzar cartas de cotrole uvaradas de Shewhart Shewhart, 99. Segudo Motgomery 4, essas cartas são costruídas a artr do valor de uma estatístca X que é calculada ara cada amostra do rocesso e logo em seguda os valores dessa estatístca são colocados em um gráfco ou carta de cotrole. O gráfco de cotrole cotém uma lha cetral, reresetado o valor médo da dstrbução da característca da qualdade que corresode ao estado sob cotrole. Duas outras lhas horzotas, chamadas de lmte sueror de cotrole LSC e lmte feror de cotrole LIC, são mostradas o gráfco, como ode ser vsto ela Fgura.4. Esses lmtes de cotrole são escolhdos de modo que, se o rocesso está sob cotrole estatístco, ratcamete todos os otos amostras estarão etre eles. No etato, um oto que caa fora dos lmtes de cotrole é terretado como evdêca de que o rocesso está fora de cotrole, e vestgação e ações corretvas são ecessáras ara ecotrar e elmar as causas esecas resosáves or esse comortameto. Fgura.4: Eemlo de gráfco de cotrole Os lmtes dos gráfcos de cotrole são determados uma fase deomada, Fase. Nessa fase, ocorre a estmação dos arâmetros do rocesso e ela só deve ser ecerrada quado o rocesso estver estável e austado. Vale lembrar que esses lmtes devem ser determados somete quado o rocesso estver seto de causas esecas. Uma vez detfcados os lmtes de cotrole, odemos utlzá-los ara motorar o rocesso, o que é deomado de Fase. Para mas detalhes ver Costa et al., 5.
Há uma relação muto róma etre gráfcos de cotrole e testes de hótese. Para lustrar essa relação, cosdere X uma característca de qualdade com dstrbução ormal com méda µ e varâca. Suoha que o eo horzotal cetral, a Fgura.4, sea a méda teórca µ da dstrbução de X. Agora, se o valor amostral da méda se localzar etre os lmtes de cotrole, odemos coclur que a méda do rocesso está sob cotrole; sto é, os dados amostras são rovavelmete roveetes da dstrbução ormal com méda µ alvo. Por outro lado, se ão se ecotra detro dos lmtes de cotrole, cocluímos que o rocesso está fora de cotrole em relação a sua méda; sto é, ela é gual a algum valor µ µ. Logo, o gráfco de cotrole é um teste de hótese sedo H : rocesso sob cotrole estatístco versus H : rocesso fora de cotrole estatístco. Um valor de X que se localza etre os lmtes de cotrole é equvalete à ão reeção da hótese de cotrole estatístco, e um que se localza fora dos lmtes de cotrole é equvalete à reeção da hótese de cotrole estatístco. A Fgura.5 stetza a relação etre o gráfco de cotrole e o teste de hótese o caso da dstrbução ormal. Fgura.5: Relação etre gráfco de cotrole e teste de hótese Um lugar ode o esquema de teste de hótese é útl é a aálse do desemeho de um gráfco de cotrole. Por eemlo, odemos esar a robabldade de um erro do to I e do to II ara o gráfco de cotrole. Se o rocesso estver em cotrole H verdadera, o erro do to I, α, rereseta a robabldade de erroeamete cosderarse o rocesso como fora de cotrole, o que deomamos de alarme falso. A coseqüêca de ordem rátca assocada ao erro do to I é tervr o rocesso sem ecessdade, á que ele está seto de causas esecas, o que acarreta um custo e um rsco de desaustar um rocesso que estava austado. Se o rocesso estver fora de cotrole H verdadera, o erro to II, β, rereseta a robabldade de erroeamete
cosderar-se o rocesso em cotrole quado ele está fora de cotrole, o que deomamos de ão-detecção. Assm, a robabldade de detectar-se a carta de cotrole uma mudaça sgfcatva o rocesso quado de fato ela este, deomado alarme verdadero, é dada or - β, ou sea, o oder do teste. Cartas de cotrole com baos valores de β devem ser referdas e uma das formas de mmzar essa robabldade é aumetado o tamaho das amostras observadas do rocesso Motgomery, 4, ou dmudo as taas de amostragem, sto é, coleta-se amostras em tervalos de temo, h, meores. Duas meddas de desemeho são utlzadas ara avalar a qualdade da carta de cotrole: ARL cotrol Average Ru Legth cotrol e o ARL out of cotrol Average Ru Legth out of cotrol. O ARL cotrol rereseta o úmero médo de amostras observadas do rocesso até que um alarme falso sea detectado, equato o ARL out of cotrol rereseta o úmero médo de amostras observadas do rocesso até que um alarme verdadero sea detectado. Essas meddas são defdas como em.6 e.7. ARL cotrol α.6 ARL out of cotrol - β.7 Algus autores traduzem ARL como NMA úmero médo de amostras ou CMS comrmeto médo da seqüêca. Cosderado-se a varável aleatóra Y como o úmero de amostras aleatóras observadas do rocesso até que se obteha o rmero alarme falso, etão Y tem uma dstrbução geométrca com eseraça e varâca dadas como em.8 e.9. EY α.8 - α Var Y α.9 Da mesma forma, se Y rereseta o úmero de amostras aleatóras observadas do rocesso até que se obteha o rmero alarme verdadero, etão Y tem uma dstrbução geométrca com eseraça e varâca dadas como em. e.. 3
EY β. β Var Y β. Assm, or meo dos valores do ARL cotrol e ARL out of cotrol cosegue-se medr a efcáca da carta de cotrole. Quato maor for o ARL cotrol e meor o ARL out of cotrol mas efcete é a carta de cotrole. Para fs de eemlfcação, da relação etre gráfco de cotrole e teste de hótese, vamos cosderar um eemlo adatado de Motgomery 4... Eemlo de alcação Em uma fábrca de aés de stão ara motores de automóves, uma característca da qualdade é o dâmetro tero do ael. O rocesso sob cotrole requer um dâmetro médo tero de 74 mm, e um desvo adrão gual, mm. Agora, se são etraídas amostras de tamaho 5, o desvo adrão da méda amostral X é: X,,45 5 Portato, se o rocesso está sob cotrole com um dâmetro médo de 74 mm, suodose que o dâmetro do ael teha dstrbução ormal, eseraríamos que -α % dos dâmetros médos das amostras, fcassem etre 74 z,45 e 74- z,45, sedo z α / o quatl da dstrbução ormal adrozada, tal que P Z zα / α /. Escolhemos a costate z α / 3 de modo que os lmtes sueror e feror se toram: α / α / LIC 74 3,45 73,9865 LSC 74 3,45 74,35 Esses lmtes são tcamete chamados lmtes de cotrole três-sgma, que corresodem a uma robabldade gual a,9973 a dstrbução ormal adrozada. A Fgura.6 mostra o gráfco de cotrole ara o dâmetro médo do ael. 4
Fgura.6: Gráfco de cotrole ara o dâmetro do ael de stão Note que a escolha dos lmtes de cotrole é equvalete ao estabelecmeto da regão crítca ara o teste de hótese: H H : µ 74 : µ 74 ode, é cohecdo. Resumdamete, o gráfco de cotrole testa a hótese ula reetdamete, em otos dferetes do temo. Nesse eemlo, ode se usou os lmtes de cotrole três-sgma, a robabldade do erro do to I é,7. Dessa forma, o valor do ARL cotrol é dado or: ARL cotrol α,7 37 sto é, mesmo que o rocesso ermaeça sob cotrole, um alarme falso será emtdo a cada 37 amostras, em méda. Agora, suoha que a méda do rocesso tvesse de fato se alterado de 74 ara 74 k 74 k,. Etão o oder do teste sera dado or: Poder P X > LSC µ 74 k, P X < LIC µ 74 k, A abela. sumarza os valores de oder ara dferetes valores de k. 5
abela.: Valores de oder e ARL out of cotrol ara o eemlo de alcação k Poder ARL out of cotrol,5,7 4,857,5,9 34,483,8 4,587,5,63,584,,96,79 Observe que à medda que o valor de µ se dstaca do valor alvo µ, maor é a radez de detecção de descotroles o rocesso, como ode ser vsto ela abela.. Por eemlo, ara k teríamos que observar aromadamete 5 amostras do rocesso ara que o alarme verdadero fosse detectado. Para o caso em que k, o oder do teste é gual ao ível de sgfcâca do teste,7: Poder P X > LSC µ 74 k, P X < LIC µ 74 k, P X > 74,35 µ 74 P X < 73,9865 µ 74 P Z > 3 P Z < 3,7 6
Caítulo 3 estes de hótese ara matrz de covarâcas ara amostras deedetes Neste caítulo aresetaremos os testes de hótese ara a matrz de covarâcas que serão tratados esta dssertação. Como todos estão fudametados a suosção de ormaldade multvarada, esta será troduzda a Seção 3., sedo os testes aresetados as Seções 3. a 3.7. odos os testes tratados este caítulo foram formulados ara rocessos ode os vetores de observações são deedetes. 3. Dstrbução ormal multvarada A fução desdade da dstrbução ormal multvarada é uma geeralzação do caso uvarado, orém, o caso multvarado trabalhamos com duas ou mas varáves aleatóras smultaeamete. Para o caso uvarado a fução desdade de robabldade de uma varável com dstrbução ormal, com méda µ e varâca é dada or: µ f e, < < ; µ ; ; > 3. π Sea X X, X,..., X o vetor aleatóro de dmesão. Dzemos que o vetor X tem uma dstrbução ormal -varada com arâmetros µ e, e deota-se or X~N µ;, se a fução desdade de X for dada or: f,, K e µ µ π 3. 7
ode < <, < µ <, µ µ K rereseta o vetor de médas de X e, µ µ a matrz de covarâcas de X, ostva defda;,,... deota vetor trasosto. A dstrbução ormal bvarada é um caso artcular da dstrbução ormal multvarada e um bom eemlo ara lustrarmos algumas de suas roredades. Cosdere X e X duas varáves aleatóras com matrz de covarâcas e vetor de médas µ, como mostrado em 3.3. ; µ µ, µ 3.3 ode rereseta a varâca da varável X e k rereseta a covarâca etre as varáves X k e X, k. Podemos esecfcar ada a covarâca em fução do coefcete de correlação ou smlesmete da segute forma:. Ates de aresetarmos a dstrbução ormal bvarada de X e X devemos obter algumas quatdades mostradas a segur. em-se que: 3.4 sedo seu determate gual a. A matrz versa, -, é dada or: 3.5 µ A forma quadrátca ode ser eadda or: µ µ µ µ µ µ µ 3.6 8
Utlzado as formações aterores temos que a fução desdade da dstrbução ormal bvarada é dada or: f π e µ, µ µ µ 3.7 ode,,, µ R, R ara,; e. < Ilustramos o gráfco da fução desdade da ormal bvarada a Fgura 3. ara uma stuação artcular a qual há alta correlação etre as duas varáves aleatóras,85. O vetor de médas da dstrbução é µ, e as varâcas são guas a....4.6.8..5.5...5...4.6.8. Fgura 3.: Fução desdade de uma ormal bvarada com correlação gual a,85 Observe que a correlação etre as varáves é um fator que flueca a forma geométrca da fução da dstrbução ormal bvarada. Note que este uma cocetração da desdade sobre a lha reta magára que assa sobre a dagoal do rmero quadrate do lao cartesao defdo elas varáves X e X. Esse fato mostra que quado é rómo de ou -, a suerfíce fca mas cocetrada ao redor do vetor de médas da dstrbução. À medda que o coefcete de correlação etre as varáves tede a zero, a suerfíce fca mas dsersa ao redor do vetor de médas, como ode ser observado ela Fgura 3.. 9
...4.6.8..4.8..4..6....4.6.8. Fgura 3.: Fução desdade de uma ormal bvarada com correlação gual a A dstrbução ormal multvarada é uma suosção dos testes que aresetaremos as rómas seções. Estem algus testes estatístcos e rocedmetos gráfcos ara avalar a suosção de ormaldade multvarada, orém, ão serão abordados essa dssertação. Para mas detalhes desses rocedmetos ver Mgot 5 e Jobso 99. 3. este do determate Sabemos que a varabldade de um rocesso multvarado é resumda ela matrz de covarâcas. O teste do determate basea-se a varâca amostral geeralzada S, ode S é a matrz de covarâcas amostral. Essa estatístca, que é o determate de S, é uma medda amlamete usada ara avalar a dsersão multvarada. Suoha que estamos teressados em testar a hótese H : versus H :, ode é uma matrz de covarâcas ré-esecfcda or eemlo, obtda a Fase de cotrole de qualdade. Dessa forma, o gráfco de cotrole ara o determate da matrz de covarâcas teórca é defdo or Motgomery, 4: LSC b LIC ma ; LC b 3 b b 3 b 3.8 ode:
b b Vale ressaltar que os lmtes de cotrole em 3.8 são obtdos elo uso da dstrbução ormal asstótca de S. Dauhar 5 mostra que: b S Var e b S E 3.9 Assm, S /b é um estmador ão vcado de, ode S é o determate da matrz de covarâcas amostral. Na róma seção, aresetaremos uma modfcação o teste do determate roosta or Dauhar 5. Na seção 3.4 mostraremos um estudo o qual a dstrbução eata de S é comarada com a dstrbução asstótca. 3.3 este do determate roosto or Dauhar 5 Dauhar 5 roõe uma correção a forma de determar os lmtes de cotrole ara o teste do determate. Segudo os autores essas modfcações resultam uma maor sesbldade em detfcar mudaças a matrz de covarâcas do rocesso. Os lmtes roostos or Dauhar 5 são dados em 3.. 4 3 3 3 4 3 3 3 ; 3 b b b b b ma LIC b b LC b b b b b LSC 3. ode: b b 4 3 } { 3} { } { } { e b e b são dados como aterormete.
Embora a roosta de Dauhar 5 sea a de melhorar a qualdade do teste do determate, vale ressaltar que o uso de S como uma medda de dsersão multvarada tem algumas lmtações. Em geral, algumas mudaças a estrutura da matrz de covarâcas ão acarretam mudaça da varâca geeralzada. Ada que a varâca amostral geeralzada sea uma medda da dsersão multvarada amlamete usada, lembre-se de que é uma reresetação escalar relatvamete smlsta de um roblema multvarado comleo, ou sea, resummos toda a estrutura da matrz de covarâcas em um úco valor. Em mutos casos essa sumarzação ode os levar a resultados errôeos, á que estem matrzes de covarâcas comletamete dferetes, mas com mesmo determate. Geometrcamete, o valor absoluto do determate é gual volume do elsóde delmtado elos vetores que o comõe. Por eemlo, o esaço bdmesoal o determate é gual a área do aralelogramo determado elos vetores uu,u e vv,v, ou ada, gual ao volume do araleleíedo o esaço trdmesoal determado elos vetores uu,u,u 3, vv,v,v 3, ww,w,w 3, como mostra a Fgura 3.3. Dessa forma, odemos ter vetores dferetes, mas que roduzem a mesma área ou volume. Nessa stuação, teríamos matrzes de covarâcas comletamete dferetes, mas que roduzem o mesmo determate. u det v u v u det v w u v w u v 3 w 3 3 Fgura 3.3: Iterretação geométrca do determate Como eemlo, observe as segutes matrzes de covarâcas Motgomery, 4: S S,3,4,4,5 Observe que S S, e, o etato as duas matrzes trasmtem formações cosderavelmete dferetes sobre a varabldade do rocesso e sobre a correlação etre as duas varáves. Note que ara S a correlação etre as duas varáves é zero, equato que ara S é,37. Por sso, deve-se ter muto cudado ao utlzar essa metodologa ara motorar a varabldade do rocesso.
Note que até o mometo abordamos o caso em que o vetor de médas é descohecdo, ou sea, a matrz S é estmada com base a amostra de observações, sem ehum cohecmeto da méda do rocesso. Porém, em algumas stuações rátcas o vetor de médas do rocesso á é cohecdo. Dessa forma, ao vés de utlzarmos a matrz de covarâca amostral S ara mater o rocesso sob cotrole utlzamos a matrz S µ que é dada or: S µ µ µ 3. Nessa dssertação abordaremos os testes estatístcos ara matrz de covarâcas semre cosderado os casos em que o vetor de médas é cohecdo e aqueles em que é descohecdo. Para lustrar o cotrole da estrutura de varabldade em um rocesso multvarado, elo método do determate, utlzaremos um eemlo adatado de Motgomery 4 e que também será usado em eemlos das rómas seções. 3.3. Eemlo de alcação A força de resstêca X e o dâmetro X de uma fbra têtl são duas característcas da qualdade mortates que devem ser cotroladas coutamete. Com o tuto de mater a varabldade do rocesso sob cotrole, as segutes hóteses foram costruídas: H H : :,3,79,79,83 ode o determate de é:, 3968. Fo selecoada, do rocesso de rodução, uma amostra de tamaho, obtedo-se a segute matrz de covarâcas amostral: S,5,8,8,87 de modo que S,4475. As costates b, b, b 3 e b 4 são dadas or: 3
4,47 } { 3} { } {,8889 9 8 9 } {,47 9 8] 9 8[ 9,8889 9 8 9 4 3 4 b b b b Com base os lmtes de cotrole roostos or Motgomery 4 temos que:,47 3,3968,8889 ; 3 ;,357,3968,8889,4,47 3,3968,8889 3 ma b b ma LIC b LC b b LSC Como o valor de S,4475 está detro dos lmtes de cotrole temos evdêcas de que a estrutura de varabldade do rocesso está de acordo com o que fo ostulado em H. Quado costruímos os lmtes de cotrole baseados em Dauhar 5 temos os segutes resultados:,965,47,8889,47 3,3968 3 4 3 3 b b b b b LSC,47,8889,47 3,3968 ; 3 ;,3968 4 3 3 3 má b b b b b má LIC b b LC Como o caso ateror, o valor de S,4475 está detro dos lmtes de cotrole, dessa forma, odemos coclur que a estrutura de varabldade do rocesso está sob cotrole.
3.4 Estudo da dstrbução emírca de S Os lmtes de cotrole dos testes do determate tradcoal e do roosto em Dauhar 5 são costruídos usado a aromação da dstrbução de S ela dstrbução ormal. No etato, se o vetor X tem dstrbução ormal -varada com vetor de médas µ e matrz de covarâcas, a dstrbução eata de S é dada or: Z k k 3. ode Z k são deedetes e Z ~ χ ; k, K. Para mas detalhes sobre a k k dstrbução eata de S ver Aderso, 958;3. Deste modo, decdmos avalar a qualdade da aromação ormal ara S o caso de observações deedetes. Vale ressaltar a mortâca da verfcação da dstrbução do determate da matrz de covarâcas amostral S uma vez que a utlzação da dstrbução asstótca ormal ara amostras equeas ode gerar erros a determação dos lmtes de cotrole. No rocesso de smulação utlzamos como suorte o software R.9. utamete com acote MASS. O acote MASS ossu fuções ara aálse multvarada de dados. No coteto que estamos trabalhado utlzamos a fução mrvorm ara gerarmos vetores roveetes de uma dstrbução ormal -varada. Para efetos de smulação geramos. amostras deedetes de tamaho de uma dstrbução ormal bvarada com os segutes arâmetros:,3333,769 e, sedo,7.,769,968 µ ; Para cada amostra determou-se o valor de S costrudo-se o fal a dstrbução emírca de S. Foram cosderadas amostras de tamahos 5, 5,, e. Para cada uma das stuações aresetamos algumas meddas descrtvas dos valores de S, além dos ercets e do hstograma da dstrbução emírca. Os resultados obtdos ecotram-se os Quadros 3. a 3.5. Observe que à medda que aumetamos o valor de obtemos melhores resultados ara o estmador S e uma maor aromação da dstrbução ormal. Note que ara á obtemos bos resultados. 5
Quadro 3.: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho 5 Meddas descrtvas M. º Qu. Medaa Méda 3º Qu. Ma.,895,348,85,938,384 8,8 Percets Dstrbução emírca,5% 5% 95% 97,5%,744,869 3,463 3,878 Freq. relatva..5..5..5.3 Hstograma S ara 5 4 6 8 S Quadro 3.: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho 5 Meddas descrtvas M. º Qu. Medaa Méda 3º Qu. Ma.,599,569,94,98,34 5,49 Percets Dstrbução emírca,5% 5% 95% 97,5%,57,66 3,66 3,9 Freq. relatva..5..5..5.3 Hstograma S ara 5 3 4 5 S 6
Quadro 3.3: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho Meddas descrtvas M. º Qu. Medaa Méda 3º Qu. Ma.,85,77,97,5,56 4,55 Percets Dstrbução emírca,5% 5% 95% 97,5%,34,45,754,898 Freq. relatva..5..5..5.3 Hstograma S ara 3 4 S Quadro 3.4: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho Meddas descrtvas M. º Qu. Medaa Méda 3º Qu. Ma.,3,8,995,3,95 3,495 Percets Dstrbução emírca,5% 5% 95% 97,5%,499,573,5,67 Freq. relatva..5..5..5.3 Hstograma S ara..5..5 3. 3.5 S 7
Quadro 3.5: Meddas descrtvas de S ara amostras de tamaho Meddas descrtvas M. º Qu. Medaa Méda 3º Qu. Ma.,469,933,8,,5,667 Percets Dstrbução emírca,5% 5% 95% 97,5%,779,857,349,87 Freq. relatva..5..5..5.3 Hstograma S ara.4.6.8...4.6 S 3.5 este da razão de verossmlhaça Sea uma amostra aleatóra de tamaho, X, X,...,X de uma dstrbução ormal -varada com vetor de médas µ e matrz de covarâcas, sedo ambos descohecdos, e X X, X,...,X,,,... Estamos teressados em testar a hótese: H : versus H :, sedo que a matrz alvo é comletamete esecfcada em H. O rmero asso ara costrurmos o teste da razão de verossmlhaça será ecotrar os estmadores de máma verossmlhaça de µ e. Sabemos que os vetores aleatóros X,,... são deedetes e detcamete dstrbuídos. Assm, a dstrbução couta desses vetores é dada elo roduto das fuções dvduas ver Ferrera, 8. Essa fução de desdade é cohecda como fução de verossmlhaça. A fução de verossmlhaça ara o modelo ormal multvarado é dada como em 3.3. 8
9 X e e X f X L ; ; µ µ π µ µ π µ 3.3 O mámo dessa fução ode ser obtdo tomado-se as dervadas arcas de rmera ordem em relação a cada arâmetro, gualado as fuções obtdas a zero e resolvedo o sstema de equações formado. Os estmadores resultates são os estmadores de máma verossmlhaça. Porém, ara facltar os cálculos vamos trabalhar com a fução de log-verossmlhaça. Vale ressaltar que o mámo das fuções de verossmlhaça e log-verossmlhaça, em relação aos estmadores obtdos, são eatamete os mesmos. Isto decorre do fato da fução logarítmca ser moótoa crescete. Para esse caso deomaremos a fução de log-verossmlhça or g, que é dada or: l l X g ; ; µ µ π µ 3.4 Prmeramete vamos tomar a dervada de rmera ordem de g em relação à µ. Ates dsso, vale lembrar da segute roredade de dervada matrcal: AB B A B B, sedo A e B duas matrzes quasquer. 3.5 Assm, utlzaremos esse resultado ara ecotrarmos o estmador de máma verossmlhaça de µ: X g ; ; µ µ µ 3.6 ode é um vetor de dmesão.
3 Igualado a zero e resolvedo a equação resultate obtemos faclmete o estmador de máma verossmlhaça de µ que é dado or: X ˆµ 3.7 sedo X um vetor. Como á era eserado, o estmador de máma verossmlhaça do vetor de médas é o vetor de médas amostral. Ates de tomarmos a dervada de rmera ordem com relação à matrz de covarâcas, vamos rearraar o eoete do úmero eerao a equação da fução de verossmlhaça. Assm temos: µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 3.8 Como os elemetos dessa soma são formas quadrátcas e, ortato, escalares, odemos alcar o traço, como em 3.9. µ µ µ tr tr tr 3.9 Levado em cosderação a roredade: trab trba, ode A e B são duas matrzes, tem-se o segute resultado: ] [ ] [ ] [ tr tr tr µ µ µ 3. Note que o termo cetral é uma matrz ula, assm temos que: ] [ ] [ tr tr µ µ µ µ 3.
3 Utlzado a roredade de que a soma de traços é gual ao traço da soma, odemos desevolver ada mas a eressão ateror: ] [ ] [ tr tr µ µ µ µ 3. Assm, odemos reescrever a fução de log-verossmlhaça utlzado o fato que: S 3.3 Falmete a fução de log-verossmlhaça ode ser reescrta como em 3.4. ] [ ] [ ; ; tr S tr l l X g µ µ π µ 3.4 omado a dervada de rmera ordem da fução de log-verossmlhaça em relação à temos: ; ; S X g µ µ µ 3.5 S µ µ 3.6 Igualado a zero e substtudo o estmador de µ ecotrado aterormete temos que o estmador de é dado como em 3.7. S S sedo S S S S S ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3.7
Assm, temos que os estmadores do vetor de médas e da matrz de covarâcas são X e S, resectvamete. Uma vez detfcado os estmadores de máma verossmlhaça ara µ e o rómo asso será costrur o teste da razão de verossmlhaça. Cosdere L X ; ; o mámo da fução de verossmlhaça ara o esaço Ω µ restrto e L X ; ˆ; ˆ, o mámo da fução de verossmlhaça ara o esaço rrestrto. Ω µ Vale lembrar que Ω corresode ao esaço aramétrco comleto e Ω o esaço aramétrco sob H. Dessa forma, odemos utlzar a razão de verossmlhaça dada or: Λ L L Ω Ω X ; µ ; X ; ˆ; µ ˆ 3.8 O teste da razão de verossmlhaça basea-se o crtéro de decsão sobre as hóteses H ou H. Se a razão de verossmlhaça em seu mámo é grade, H é mas rovável que H e se a razão de verossmlhaça for equea H deve ser escolhda. O rmero asso ara costrurmos o teste descrto aterormete será ecotrar o mámo da fução de verossmlhaça ara o modelo comleto. L Ω ˆ tr S S tr S X ; ˆ; µ π S e 3.9 L ˆ X ; ˆ; µ π S e 3.3 Ω Sabemos que sob H a fução de verossmlhaça ode ser escrta como: L Ω X ; µ ; π e tr[ S] tr[ µ µ ] 3.3 Como estamos restrgdo o esaço aramétrco somete a temos que o estmador de máma verossmlhaça ara µ é X. Dessa forma, a fução de máma verossmlhaça restrta é dada or: L X ; µ ; π e tr[ S 3.3 Ω ] 3