Eletrônica Digital Sistemas de Numeração Prof. Wanderley
Introdução Os sistemas de numeração são uma invenção humana Dentre os sistemas de numeração inventados, destacam-se: O decimal; O binário; O octal; e O hexadecimal. O mais importante no dia-a-dia é o decimal, composto de dez algarismos (0,1,2,..8,9) Entretanto, na área de sistemas digitais e informática, os outros três sistemas de numeração citados, sobretudo o binário e o hexadecimal, são extremamente importantes Tal importância ficará evidente no decorrer deste curso
O Sistema Binário Se no decimal há dez algarismos, no binário vamos encontrar apenas dois algarismos, 0 e 1 Então, como representamos algarismos maiores que 1 utilizando o sistema binário? No sistema decimal não temos o algarismo dez, de modo que representamos a quantidade utilizando o algarismo 1 seguido do 0 Da mesma forma, no binário não temos o algarismo dois, por exemplo, e o representamos utilizando o algarismo 1 seguido do 0 Utilizamos da mesma regra para representar outras quantidades
O Sistema Binário DECIMAL BINÁRIO 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 Cada dígito binário recebe a denominação de bit (binary digit) Nibble é o conjunto de quatro bits Byte é o conjunto de oito bits
Conversão Binário-Decimal Considere o número decimal 594 como exemplo, o qual pode ser decomposto como segue: 5x100 + 9x10 + 4x1 = 594 Centena dezena unidade 5x10 2 + 9x10 1 + 4x10 0 = 594 5, 9 e 4 são algarismos decimais 10 é chamado de base, correspondente ao sistema decimal Os expoentes 2, 1 e 0 são os índices relativos à posição de cada algarismo decimal
Conversão Binário-Decimal Considere, agora, o número binário 101, correspondente ao número decimal 5 Por equivalência com a decomposição do número decimal, temos que: 1, 0 e 1 são algarismos binários No sistema binário, a base é 2 Os índices correspondentes a cada algarismo binário são 2, 1 e 0 Assim, temos que: 1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 = 5 DECIMAL BINÁRIO 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001
Conversão Binário-Decimal Exercício: Converta o byte 10101101 para decimal. Resposta: 1x2 7 + 0x2 6 + 1x2 5 + 0x2 4 + 1x2 3 + 1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 = 1x128 + 0x64 + 1x32 + 0x16 + 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 173 Logo, 10101101 2 = 173 10 Obs: Quando suprimimos a base, então ficará subentendido que tratase de um número na base 10. Quando o número estiver em qualquer outra base, então essa deverá ser explicitada.
Conversão Binário-Decimal Tarefa para casa: Converta os números a seguir para decimal: a) 01110 2 b) 1010 2 c) 1100110001 2
Conversão Decimal-Binário A conversão binário-decimal é importante, pois ajudanos a saber a quantidade representada por um conjunto de bits Veremos agora a transformação inversa, de modo que, dada uma quantidade decimal, obteremos sua representação binária Para ilustrar o processo de conversão, considere o número decimal 10
Conversão Decimal-Binário O Método das Divisões Sucessivas O último quociente é o bit MSB (Most Significant Bit) O primeiro resto é o bit LSB (Least Significant Bit)
Conversão Decimal-Binário Exercício: Converta o número 47 10 para binário. Resposta: 47 / 2 1 23 / 2 1 11 / 2 1 5 / 2 1 2 / 2 0 1 Logo, 47 10 =101111 2
Conversão Decimal-Binário Tarefa para casa: Converta os números a seguir para binário: a) 21 10 b) 552 10 c) 715 10
Conversão Binário Fracionário - Decimal Até agora tratamos somente de números inteiros. E se o número for um binário fracionário, como o convertermos para decimal? Considere o número fracionário decimal 10,5, o qual pode ser decomposto como: 1x10 1 + 0x10 0 + 5x10-1 = 10,5 Para binários fracionários procede-se de forma semelhante.
Conversão Binário Fracionário - Decimal Exemplo: Considere o número fracionário 101,101 2. Converta-o para decimal. 1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 1x4 + 0x2 + 1x1 + 1x0,5 + 0x0,25 + 1x0,125 = 5,625
Conversão Binário Fracionário - Decimal Tarefa para casa: Converta os números a seguir para decimal: a) 111,001 2 b) 100,11001 2
Conversão Decimal Fracionário - Binário Um número decimal fracionário pode ser decomposto em uma parte inteira e um parte fracionária Exemplo: 8,375 = 8 + 0,375 Procedimento: Decompõe-se o número em parte inteira e fracionária Converte-se a parte inteira utilizando divisões sucessivas (já visto) Converte-se a parte fracionária utilizando multiplicações sucessivas 8 / 2 0 4 / 2 0 2 / 2 0 1 Logo, 8 10 =1000 2 Multiplicações Sucessivas 0,375 x 2 0,750 x 2 1,500 0,500 x 2 1,000 Logo, 0,375 10 =0,011 2 Assim, 1000 2 + 0,011 2 =1000,011 2
Conversão Decimal Fracionário - Binário Tarefa para casa: Converta os números a seguir para binário: a) 3,380 10 b) 57,3 10
Sistema Octal de numeração Trata-se de um sistema de base 8, contendo oito algarismos, a saber: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 Logo, a representação da quantidade 8 10 = 10 8, isto é, análogo ao procedimento observado no sistema binário DECIMAL OCTAL 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 10 9 11 10 12 11 13
Conversão Octal-Decimal Exemplo: Converta 143 8 para decimal. 1x8 2 + 4x8 1 + 3x8 0 = 1x64 + 4x8 + 3x1 = 99 Logo, 143 8 = 99 10 Tarefa para casa: Converta os números a seguir para decimal: a) 77 8 b) 100 8 c) 476 8
Conversão Decimal-Octal É análoga à conversão decimal-binária, ou seja, utilizase o método de divisões sucessivas. Entretanto, agora a base é 8, isto é, as divisões são por 8. Exemplo: Converta 92 10 para octal. 92 / 8 4 11 / 8 3 / 1 Logo, 92 10 = 134 8
Conversão Decimal-Octal Tarefa para casa: Converta os números a seguir para octal: a) 74 10 b) 512 10 c) 719 10
Conversão Octal-Binário e Binário-Octal OCTAL BINÁRIO 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 Esta conversão é direta se consideramos a tabela ao lado Exemplo: Converta 27 8 para binário 2 8 = 010 2 7 8 = 111 2 Logo, 27 8 = 010111 2 Exemplo: Converta 110011 2 octal 110 2 = 6 8 011 2 = 3 8 Logo, 010111 2 = 63 8 para Obs: A conversão da base 2 N (4, 8, 16, 32...) para binário, e vice-versa, é direta
Conversão Octal-Binário e Binário-Octal Tarefa para casa: 1) Converta os números a seguir para binário: a) 34 8 b) 536 8 c) 44675 8 2) Converta os números a seguir para octal: a) 10111 2 b) 11010101 2 c) 1000110011 2
Sistema de Numeração Hexadecimal Trata-se de um sistema de base 16, contendo dezesseis algarismos, a saber: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F Observe que a sequência de letras representam as quantidades 10, 11, 12, 13, 14 e 15, respectivamente. Logo, a representação da quantidade 16 10 = 10 16, isto é, análogo ao procedimento observado nos sistemas binário e octal O sistema hexadecimal é de extrema importância em sistemas digitais. É muito utilizado tanto em projeto de softwares quanto de hardwares digitais DECIMAL HEXADECIMAL 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F
Conversão Hexadecimal-Decimal Exemplo: Converta 3F 16 para decimal. 3x16 1 + Fx16 0 = 3x16 + 15x1 = 63 Logo, 3F 16 = 63 10 Tarefa para casa: Converta os números a seguir para decimal: a) 1C3 16 b) 23A 16 c) 5FB9 16
Conversão Decimal-Hexadecimal Exemplo: Converta 1000 10 para hexadecimal. 1000 / 16 8 62 / 16 14 3 E Logo, 1000 10 = 3E8 16 Tarefa para casa: Converta os números a seguir para hexadecimal: a) 134 10 b) 384 10 c) 2567 10
Conversão Hexadecimal-Binário e Binário- Hexadecimal HEXADECIMAL BINÁRIO 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 Esta conversão é direta se consideramos a tabela ao lado Exemplo: Converta C13 16 para binário c 16 = 1100 2 1 16 = 0001 2 3 16 = 0011 2 Logo, C13 16 = 1100 0001 0011 2 Exemplo: Converta 10011000 2 para hexadecimal 1001 2 = 9 16 1000 2 = 8 16 Logo, 10011000 2 = 98 16
Conversão Hexadecimal-Binário e Binário- Hexadecimal Tarefa para casa: 1) Converta os números a seguir para binário: a) 1ED 16 b) 6CF9 16 c) 3A7 16 2) Converta os números a seguir para hexadecimal: a) 1100011 2 b) 11000111100011100 2