170 APÊNDICES APÊNDICE A - TEXTO DE INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES DE 1ª E ª ORDEM COM O SOFTWARE MAPLE PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS PUC MINAS MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: MATEMÁTICA INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAS ORDINÁRIAS LINEARES DE 1ª E ª ORDEM COM O SOFTWARE MAPLE ANÍBAL ATAIDES BARROS FILHO JOÃO BOSCO LAUDARES BELO HORIZONTE 011
171 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO... 3. O QUE É O MAPLE 14?... 4.1 Como surgiu o Maple?... 4. Esruura inerna do Maple... 4.3 Layau... 4 3. COMANDOS BÁSICOS DO MAPLE... 5 3.1 Operações Básicas... 5 3. Aribuições... 6 3.3 Funções, Equações e Sisemas... 6 3.5 Comandos Básicos do Cálculo Diferencial e Inegral... 8 4. GRÁFICOS DE FUNÇÕES EM D... 09 4.1 Formaações do gráfico... 11 5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS... 11 5.1 Comandos para Represenar Derivadas... 1 5. Comandos para Resolver uma Equação Diferencial... 1 5.3 Resolução de um problema de valor inicial ou de conorno... 1 5.4 Consrução do Campo de Direções para uma Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem... 13 6. ATIVIDADES COMPLEMENTARES... 14 REFERÊNCIAS... 16
17 3 1 Inrodução Ese exo foi elaborado com o objeivo de servir como maerial de apoio ao Minicurso inrodução às equações diferencias ordinárias lineares de 1ª e ª ordem com o sofware MAPLE. O Minicurso é desinado a capaciar e ambienar os acadêmicos do 3º período do curso de Engenharia Elérica do Insiuo Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Esado de Goiás (IFG) Campus Jaaí com o sofware MAPLE. Ese Minicurso faz pare de uma preparação prévia dos alunos que cursam a disciplina Equações Diferenciais para pariciparem de uma pesquisa que rás uma sequência didáica que visa rabalhar com novas ecnologias e novas meodologias no ensino de equações diferenciais com foco na resolução de problemas físicos e na inerpreação gráfica dos mesmos. Nese maerial serão apresenados os comandos básicos do MAPLE para simplificação de expressões, resolução de equações, resolução de sisemas de equações, consrução do campo de direções de Equações Diferencias, resolução de problemas de valor inicial e de conorno, consrução de gráficos em duas dimensões, denre ouros, de modo que o paricipane dese Minicurso adquira ferramenas que lhe seja úil no enendimeno dos conceios e na resolução de problemas físicos envolvendo Equações Diferenciais.
4 173. O que é o Maple? O Maple é um sofware comercial de uso genérico que enquadra no gênero de Sisema de Álgebra Compuacional (SAC). Um SAC permie fazer cálculos não só com números, mas com símbolos, fórmulas, expressões, equações, marizes, ec. O Maple possui um grande número de recursos que permiem que seus usuários obenham resposas analíicas rápidas e precisas para cálculos envolvendo limies, derivadas, inegrais, equações diferenciais, sisemas de equações, série de poências, ransformadas de Laplace, ransformadas de Fourier, ec..1 Como surgiu o Maple? O Maple começou a ser desenvolvido em 1981 pelos pesquisadores Gason Gonne e Keih Geddes do Grupo de Compuação Simbólica da Universidade de Waerloo no Canadá. Desde 1988 em sido desenvolvido e comercializado pela Maplesof, uma companhia canadense. A versão aual é Maple 16.00.. Esruura inerna do Maple. A esruura inerna do Maple consise de rês componenes: Núcleo, biblioecas e inerface. O núcleo (kernel) é a máquina maemáica que faz os cálculos, inerprea os comandos inseridos pelo usuário e mosra os resulados. O núcleo corresponde a 10% do programa e foi elaborado em linguagem C. O resane do programa (90%), desenvolvido na própria linguagem do Maple, consise na biblioeca principal cujos comandos são carregados auomaicamene na hora que você inicia o programa e um conjuno de vários pacoes que você acessa quando vai rabalhar com coneúdo bem específico. A inerface é a aparência do Maple, que promove a ineração enre você e os comandos do Maple..3 Layou Ao iniciarmos o Maple observamos que na ela de rabalho (workshee) aparece o símbolo. É o promp do Maple. Ese símbolo diz que o Maple esá prono para execuar comandos. Você ambém pode rabalhar no Maple com o modo exo, onde você produz exos, hiperexos e comenários e alernar, sempre que quiser, para o modo maemáico e desenvolver cálculos. A figura 1 mosra a capura da ela de iniciação do Maple 14.
174 5 Figura 01: Tela de inicialização do Maple 14. 3. Comandos Básicos do Maple 3.1 Operações básicas Exemplos: a)! faorial ^ poenciação / divisão * muliplicação + adição - subração b) Para que o comando seja execuado, devemos finalizar com um pono e vírgula(;) ou com dois ponos(:) e depois acionar a ecla ener. Se finalizarmos com um pono e vírgula, o Maple execua o comando e mosra o resulado, se finalizarmos com dois ponos, ele execua, guarda na memória, mas não exibe a resposa.
6 175 Se quisermos o resulado em número decimal aproximado, execuamos o comando evalf (evaluaion wih floaing poin = avaliação num pono fluuane ou variável): Nesa operação, o Maple calculou em número decimal aproximado, o resulado da úlima operação realizada (%) que era. O comando resar permie limpar a memória do Maple em qualquer pare do documeno. Sempre que for iniciar um novo projeo, é aconselhável uilizar o comando. O Maple enende pono(.) como vírgula(,), quando rabalhamos com números. 3. Aribuições Podemos definir o valor de uma variável ou de uma função uilizando-se o símbolo: :=. Exemplos: a) b) c) d) 3.3 Funções, Equações e Sisemas O comando solve serve para resolver equações, inequações e sisemas diversos. Exemplos: Resolvendo uma equação: a) b) Você pode ambém usar o comando subs para subsiuir o valor de uma ou mais variáveis em uma expressão.
176 7 Exemplos: Aqui o Maple subsiuiu o valor de x na expressão C e calculou o resulado. Resolvendo um sisema de equações: a) Resolver o seguine sisema x x x y y y z z z 3. 6 b) Resolver o seguine sisema s I1 10 I 5 I1 15 I 10 1 e s 5 I1 51 s s s para as variáveis I1 e I. 0 Exemplos: Para simplificarmos uma expressão, usamos o comando simplify.
8 177 a) b) A seguir apresenamos um quadro com comandos básicos que represenam consanes, funções e operações usuais: 3.4 Comandos Básicos do Cálculo Diferencial e Inegral Para execuarmos alguns comandos do Cálculo Diferencial e Inegral devemos carregar o pacoe suden. Para carregar o pacoe, usamos a seguine sinaxe: wih(suden);
178 9 Veja que finalizamos com (;) e enão o Maple apresenou odas as operações realizadas pelo pacoe. Exemplos: a) Calcular: lim (cos( x)) x Com o L maiúsculo, o Maple apenas apresena o limie. Agora o Maple calculou o limie. Para o cálculo de derivadas e inegrais a sinaxe é semelhane. b) Calcular a derivada da função f ( x) 3 3 x ln(cos( x)) c) Calcular a seguine inegral: x x e dx Obs.: o x que aparece após as funções, ano na derivada quano na inegral, represena a variável de derivação ou de inegração, uma vez que o Maple enende odas as suas derivadas como derivadas parciais. 4. Gráficos de funções em D Para ploarmos o gráfico de uma função em duas dimensões usamos o comando plo cuja sinaxe básica é a seguine: plo(f,x,v,ops) onde f represena a função a ser ploada, x o inervalo no eixo das abscissas, v o inervalo no eixo das ordenadas e ops as opções de formaação do gráfico. Os parâmeros f e x são obrigaórios para o comando plo.
179 Exemplos: a) Consruir o gráfico da função ) ( 33 ) ( e f e 33. Figura 0: Gráfico da função ) ( 33 ) ( e f e 33 gerado no Maple 14. b) Consruir em um mesmo plano caresiano o gráfico das seguines funções: ) 4 ( ) ( ) (, ) (5 ) ( e h sen e f 4 e s e e ) 4 ( ) ( e j 4 e. plo([exp(-4*)*sin(5*), exp(-4*), -exp(-4*)], = 0.. 1.5, legend = [i[1], i[], i[3]], color = [red, blue, green]); Figura 03: Gráfico das funções ) 4 ( ) ( ) (, ) (5 ) ( e h sen e f 4 e s e e ) 4 ( ) ( e j 4 e gerado no Maple 14. 10
180 11 Uilizamos colchees [...] para formamos uma lisa ou conjuno de funções e preservar a ordem para aribuições. 4.1 Formaações do gráfico Ao selecionar um gráfico na área de rabalho do Maple, a ABA gráfico fica aivada. Clicando na ABA gráfico um menu de opções de formaação é abero. Você ambém pode clicar com o boão direio do mouse no gráfico (ver figura 04) e aparecerá ambém o menu. Ese menu mosra várias opções de formaação gráfica que denre elas desacamos: copiar o gráfico com máxima precisão, escolher o esilo de gráfico, escolher o ipo de raçado do gráfico, definir a cor do gráfico (se for mais de um, você pode idenificá-los com cores diferenes), inserir e ediar legendas nos eixos coordenados, inserir e ediar legendas para o gráfico, adicionar íulos e róulos ao gráfico, exibir linhas de grade e exporar o gráfico em diversos formaos, denre eles, bimap e JPEG. Figura 04: Menu de formaação gráfica do Maple 14. 5. Equações Diferenciais Ordinárias Para enconrarmos soluções de equações diferenciais, ploar gráficos das soluções desas equações, ploar campos de direções, resolver problemas de valor inicial e de conorno analiicamene e graficamene, denre ouras funções, uilizamos o pacoe DEools. Usamos a seguine sinaxe:
1 181 5.1 Comandos para Represenar Derivadas Os comandos para indicar a derivada de primeira, segunda e erceira ordem de uma função, respecivamene, são: 5. Comandos para Resolver uma Equação Diferencial Para definirmos uma equação diferencial, escrevemos: Para resolvermos uma equação diferencial usamos o comando dsolve, com a seguine sinaxe: dsolve(ed), onde ED é a equação diferencial já definida. Exemplo: onde _C1 é uma consane arbirária. 5.3 Resolução de um problema de valor inicial ou de conorno Para resolvermos um problema de valor inicial (PVI) ou de conorno uilizamos ambém o comando dsolve. Devemos definir as condições iniciais e de conorno e a equação diferencial. A sinaxe é a seguine: dsolve({edo,ics},y(x),opions), onde EDO é a equação diferencial ordinária, ics as condições iniciais e de conorno, y(x) qualquer função de uma variável que definirá a solução do problema e opions que é opcional, onde por exemplo poderíamos resolver o problema usando o méodo das ransformadas de Laplace ou de séries. Exemplo: Definindo uma equação diferencial: Definindo as condições iniciais e de conorno:
18 13 Resolvendo o PVI: Você pode ambém resolver o PVI usando a seguine sinaxe: Obs.: para apresenarmos condições iniciais envolvendo derivadas, usamos a seguine noação: D ( y)(0) 0 para y '(0) 0, D ( y)(0) 0 para y ''(0) 0 e assim sucessivamene. 5.4 Consrução do Campo de Direções para uma Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem O comando uilizado para ploar o campo de direções é DEplo, a sinaxe é a seguine: DEplo(EQ,f(x),x,y) onde EQ represena a equação diferencial de primeira ordem que queremos consruir o campo, f(x) a função solução da equação diferencial, x o inervalo no eixo das abscissas, y o inervalo no eixo das ordenadas. Exemplo: Definindo uma equação diferencial: Consruindo o campo de direções para a equação ED1 Figura 05: Campo de direções da equação y' y 4 gerado no Maple 14. Você ambém pode resolver um PVI graficamene, ou aé mesmo raçar várias curvas inegrais de uma equação diferencial:
14 183 Exemplo: Figura 06: Curvas inegrais de y' 4 y 4y gerado no Maple 14. Aividades Complemenares Exercício 01. Deermine a medida do ângulo em graus do º quadrane cuja angene vale. Exercício 0. Simplifique a seguine expressão: 1 1 1 sen ( ) cos( ) sen ( ) sin cos( ). 1 Exercício 03. Dada a função, y x 3 x, ploar o seu gráfico e calcular as suas raízes. Exercício 04. Resolva o seguine sisema de equações: x x x y 3y y z 5z 3z 1 1. 10 Exercício 05. Calcule a derivada da função 6 f ( x) cos x. Exercício 06. Calcule a inegral da função 6 g( x) sen x.
184 15 Exercício 07. Resolva a equação diferencial x dy y dx 0 e consrua o seu campo de direções com a solução y ( ) 1. Exercício 08. Resolva dy 3 y e, ( 0) 1 y e consrua o gráfico da função solução. Exercício 09. Resolva função solução. y' ' 6y' 9y e 3 6 9, ( 0) y, y '(0) 6 e consrua o gráfico da Exercício 10. Resolva y '' 4y' 6y 1 e, ( 0) 0 y, y '(0) 0 e consrua o gráfico da função solução. Exercício 11. Resolva x' ' 16 x cos(4 ), x ( 0) 0, x '(0) 1 e consrua o gráfico da função solução.
16 185 REFERÊNCIAS ANDRADE, L. N. Inrodução à compuação algébrica com o MAPLE. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Maemáica, 004. BOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elemenares e Problemas de Valores de Conorno. Tradução de Valéria Magalhães. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 006. ZILL, D. G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 003. 49 p.
186 APÊNDICE B - PROBLEMA 01. O problema deve ser resolvido observando a sequência apresenada pelo pesquisador (Descobera Guiada uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o problema ou escolhe a siuação com o objeivo em mene. Conduz o aluno para a solução do problema e o aluno segue a orienação do professor). PROBLEMA 01 PROBLEMA FÍSICO DE VALOR INICIAL ENVOLVENDO QUEDA LIVRE ENUNCIADO Problema 01 - De um pono siuado a 10m do solo joga-se uma pedra de massa m para o alo com uma velocidade inicial de 8m/s. Considerando-se a gravidade a única força auane, calcular o empo, a velocidade e a disância oal aé a pedra ocar o solo (adoe g=10m/s a aceleração da gravidade). Problema exraído do exo Aplicações das Equações Diferenciais (Um enfoque Meodológico) de João Bosco Laudares, 199, página 19, problema 1. 1 INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO VERBALIZAÇÃO a) Como você descreve ese problema? Ajuda a MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA Idenificação das varáveis d) Qual é a variável independene do problema? Ajuda a e) Quais as variáveis dependenes do problema? Ajuda b Modelos maemáicos f) Quais as leis maemáicas que se aplicam ao problema? Ajuda c CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO b) Quais as condições iniciais do problema? Ajuda a O QUE SE PEDE a) Expresse o que se pede Ajuda a
187 RESOLUÇÃO DO MODELO Obs.: Todas as aividades soliciadas nese iem devem ser desenvolvidas com o sofware MAPLE. Para a resolução dese exercício, suponha que a rajeória descria pela pedra é a mesma da direção do eixo coordenado y com senido crescene para cima. f) Resolva analiicamene o problema de valor inicial (PVI) para a equação diferencial dv g (ED1) com as condições iniciais 0 v0 8 m / s. Ajuda a g) Sabendo que a velocidade é a derivada da posição(x) em relação ao empo(), defina a dx equação diferencial g v0 (ED) e resolva o PVI para as condições iniciais 0 x 0 10 m. Ajuda b h) Calcule o insane em que a pedra oca o solo. Ajuda c i) Enconre a velocidade em que a pedra oca o solo. Ajuda d j) Deermine a disância oal percorrida pela pedra aé ocar o solo. Ajuda e 3 ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS dv a) Consrua o campo de direções para a equação diferencial g Ajuda a b) Por que no campo de direções da equação dv g odos os elemenos lineares apresenam mesma direção e senido? Ajuda b c) Os elemenos lineares represenam inclinações angenes a uma curva, que ipo de curva esses elemenos aproxima? Ajuda c d) Com o uso do Maple, deermine o ângulo formado por esses elemenos. Ajuda d dv e) Pelo campo de direções da equação g é possível prever a forma da função (curvas) que represena a solução geral da equação diferencial? Ajuda e f) O comporameno que você observou no campo de direções é coerene com a solução do iem a da resolução do modelo? Ajuda f
188 g) Consrua o gráfico da velocidade em função do empo. Ajuda g h) A função velocidade é crescene ou decrescene para odo? Ajuda h i) Pelo fao da aceleração ser negaiva, posso afirmar que a função velocidade é decrescene? Ajuda i j) No insane = 0, qual é o valor da velocidade? Ajuda j k) Verifique se sua resposa dada no iem anerior observando o gráfico esá coerene com o enunciado do problema. Ajuda k l) Observando o gráfico da velocidade em função do empo, em que empo anula? v dx se Ajuda l m) Observando o gráfico da velocidade em função do empo, esime um valor aproximado do empo em que a pedra ainge o solo. Ajuda m n) Verifique se sua resposa dada no iem anerior esá coerene com a resolução do modelo. Ajuda n o) Em qual inervalo de empo a velocidade é posiiva? Ajuda o p) Consrua o gráfico da aceleração em função do empo. Ajuda p q) A aceleração é posiiva ou negaiva? Ajuda q r) Qual o comporameno da aceleração na variação do empo? Ajuda q dv( ) s) Dada a equação 10 ese PVI. e as condições 0 v0 8 m / s, resolva graficamene Ajuda s ) Que relação exise enre a solução gráfica do PVI do iem anerior com o gráfico da velocidade em função do empo? Ajuda dx( ) u) Dada a equação 10 8, consrua o seu campo de direções. Ajuda u dx( ) v) Pelo campo de direções da equação 10 8 é possível prever a forma da função (curvas) que represena a solução geral da equação diferencial? Ajuda v dx( ) w) Dada a equação 10 8 graficamene ese PVI. e as condições 0 x 0 10 m, resolva Ajuda w
189 x) Consrua o gráfico da função x ( ) 5 8 10. Ajuda x y) Que relação exise enre a solução gráfica do PVI do iem anerior com o gráfico do espaço em função do empo? Ajuda y z) De acordo com o gráfico do espaço em função do empo, qual é a posição da pedra no insane =0? Ajuda z aa) O valor enconrado no iem anerior esá coerene com o enunciado do problema? Ajuda aa bb) Observando o gráfico, qual é a posição máxima (aproximadamene) que a pedra ainge? Ajuda bb cc) Verificando no gráfico do espaço em função do empo, de 0 a 0,8s, a parábola é crescene ou decrescene? Ajuda cc dd) Verificando no gráfico do espaço em função do empo, de 0,8s a 5,7638s, os valores da posição aumenam ou diminuem no decorrer do empo? Ajuda dd ee) Verifique por que a posição da pedra ainge um valor máximo a parir do gráfico da aceleração. Ajuda ee ff) Verifique, por meio da análise dos gráficos, a parir do valor máximo da posição, o sinal da velocidade e da aceleração. Ajuda ff
190 APÊNDICE C - PROBLEMA 0. O problema deve ser resolvido observando a sequência apresenada pelo pesquisador (Descobera Guiada uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o problema ou escolhe a siuação com o objeivo em mene. Conduz o aluno para a solução do problema e o aluno segue a orienação do professor). PROBLEMA 0 PROBLEMA FÍSICO ENVOLVENDO TERMODINÂMICA: LEI DE RESFRIAMENTO/AQUECIMENTO DE NEWTON ENUNCIADO A velocidade de resfriameno/aquecimeno de um corpo é proporcional à diferença enre a emperaura do corpo e a emperaura do meio que o rodeia, denominada emperaura ambiene. Supondo que um ermômero é removido de uma sala em que a emperaura é de 70ºF e colocado do lado de fora, em que a emperaura é de 10ºF. Após ½ minuo, o ermômero marcou 50ºF. Qual será a emperaura marcada no ermômero no insane = 1 minuo? Quano empo levará para o ermômero marcar 15ºF? Problema exraído do exo Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem de Dennis G. Zill, 003, página 104, problema 13. 1 INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO VERBALIZAÇÃO a) Como você descreve ese problema? Ajuda a MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA Idenificação das varáveis a) Qual a variável independene do problema? Ajuda a b) Qual a variável dependene do problema? Ajuda b c) Qual é o parâmero do problema? Ajuda c d) Qual é a consane do problema? Ajuda d Modelo maemáico e) Qual a lei maemáica que se aplica ao problema? Ajuda e
191 CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO a) Qual a condição inicial do problema? Ajuda a c) Qual a condição de conorno do problema? Ajuda b O QUE SE PEDE a) Expresse o que se pede. Ajuda a RESOLUÇÃO DO MODELO Obs.: Todas as aividades soliciadas nese iem devem ser desenvolvidas com o sofware MAPLE. dt a) Resolva a equação diferencial k ( T Tm ). Ajuda a b) Calcule os valores dos parâmeros k e C. Ajuda b c) Calcule a emperaura do ermômero no insane 1min. Dê sua resposa avaliando em pono fluuane. Ajuda c d) Calcule o empo em que o ermômero marcará 15ºF. Dê sua resposa avaliando em pono fluuane. Ajuda d 3 ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS dt a) Consrua o campo de direções para a equação diferencial k ( T Tm ), uilizando os valores calculados de k e T m. Ajuda a b) Que ipo de função poderíamos aproximar observando o campo de direções? Ajuda b dt c) É possível definir o sinal de observando o campo de direções? Em caso afirmaivo, dt esabeleça o valores de T para os quais 0 dt, 0 dt e 0. Ajuda c d) É possível prever aproximadamene as soluções de equilíbrio da equação? Ajuda d dt e) Consrua o gráfico de por T. Ajuda e
19 dt f) Comparar os valores obidos no iem c com o gráfico por T. Ajuda f dt g) Consrua o gráfico de por. Ajuda g dt h) Quando cresce indefinidamene, qual o valor que ende? Ajuda h dt i) Deermine as angenes para, 6 e 10. Ajuda i j) Verificar se os resulados obidos no iem i são abalizados pelo gráfico do iem g. Ajuda j k) Consrua o gráfico T () por. Ajuda k l) Quando você acha que o ermômero esfria mais rapidamene? Ajuda l m) Resolva graficamene o P.V.I. para T ( 0) 707 e depois para T ( 1/ ) 505. Ajuda m n) O que você observa em relação às duas soluções do iem anerior? Ajuda n Obs.: Nos próximos iens não há AJUDA porque se raa de uma simulação a ser feia pelo esudane com dados a serem deerminados pelo mesmo. o) Simule uma condição inicial e oura de conorno para T (emperaura) negaiva, para análise de aquecimeno. p) Ploe o gráfico T() por para as condições dadas. dt q) Observe a variação de T e de para crescene. r) Simule oura condição inicial e de conorno para T (posiiva) enre 0 e 10 graus, ainda para análise de aquecimeno. dt s) Ploe o gráfico para a nova condição e observe a variação de T e para crescene.
193 APÊNDICE D - PROBLEMA 03. O problema deve ser resolvido observando a sequência apresenada pelo pesquisador (Descobera Guiada uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o problema ou escolhe a siuação com o objeivo em mene. Conduz o aluno para a solução do problema e o aluno segue a orienação do professor). PROBLEMA 03 ELETRICIDADE: CIRCUITOS EM SÉRIE ENUNCIADO A figura a seguir represena um circuio elérico em série RL básico que conem uma fone de energia com uma volagem dependene do empo de E() vols, um resisor com uma resisência consane de R ohms e um induor com uma induância consane de L henrys. Uma correne i() amperes flui aravés do circuio onde i() saisfaz a equação diferencial (Segunda Lei de Kirchhoff) di L R i E() Para R = 6 Ω, L = 3 H, E() = 4 V e na condição i(0) = 15 A, deerminar i(). 1 INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO VERBALIZAÇÃO a) Como você descreve ese problema? Ajuda a IDENTIFICAÇÃO DAS VARÁVEIS a) Qual a variável independene do problema? Ajuda a b) Qual a variável dependene do problema? Ajuda b c) Quais são os parâmeros do problema? Ajuda c
194 MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA a) Qual a lei maemáica que se aplica ao problema? Ajuda a CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO a) Qual a condição inicial do problema? Ajuda a O QUE SE PEDE a) Expresse o que se pede. Ajuda a RESOLUÇÃO DO MODELO Obs.: Todas as aividades soliciadas nese iem devem ser desenvolvidas com o sofware MAPLE. di a) Resolva a equação diferencial L R i E(). Ajuda a b) Resolva o PVI para a condição: i(0) = 15 A. Ajuda b c) Observando as resoluções da equação diferencial e do PVI acima descrios, você pode prever o valor da consane da solução geral da equação diferencial? Ajuda c 3 ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS di a) Consrua o campo de direções para a equação diferencial L R i E() Ajuda a di b) Observando o campo de direções da equação L R i E(), podemos esboçar soluções desa equação? O que é necessário para esboçarmos uma solução? Ajuda b c) Que ipo de função poderíamos aproximar observando o campo de direções? Ajuda c di d) É possível definir o sinal de observando o campo de direções? Em caso afirmaivo, di esabeleça os valores de i para os quais 0 di, 0 di e 0. Ajuda d e) É possível observar no campo de direções um valor aproximado de i que represena soluções de equilíbrio da equação diferencial? Ajuda e
195 f) Resolva graficamene o PVI relaivo ao iem b da resolução do modelo. Ajuda f di g) Consrua o gráfico de por i. Ajuda g di h) Comparar os valores obidos no iem d com o gráfico por i. Ajuda h di i) Por que a rea inercepa o eixo i em 4? Ajuda i j) Consrua o gráfico de i() por. Ajuda j k) O que aconece com a inensidade da correne quando o empo é suficienemene grande? Ajuda k di l) Consrua o gráfico de por. Ajuda l di m) O que aconece com a axa de variação no decorrer do empo? Ajuda m
196 APÊNDICE E - PROBLEMA 04. Insruções gerais para a resolução do problema. O problema deve ser resolvido observando a sequência apresenada pelo auor (Descobera Guiada uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o problema ou escolhe a siuação com o objeivo em mene. Conduz o aluno para a solução do problema e o aluno segue a orienação do professor). PROBLEMA 04 QUÍMICA: FÍSICO-QUÍMICA ENUNCIADO Sabendo-se que o radium se decompõe nauralmene em proporção direa à quanidade presene e que leva 50 anos para decompor 10% de cera quanidade, quanos anos levarão para decompor a meade da quanidade inicial? Problema exraído do exo Aplicações das Equações Diferenciais (Um enfoque Meodológico) de João Bosco Laudares, 199, página 5, problema 15. 1 INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO VERBALIZAÇÃO a) Como você descreve ese problema? Ajuda a IDENTIFICAÇÃO DAS VARÁVEIS a) Qual a variável independene do problema? Ajuda a b) Qual a variável dependene do problema? Ajuda b c) Qual é o parâmero do problema? Ajuda c MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA a) Qual a lei maemáica que se aplica ao problema? Ajuda a CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO a) Qual a condição inicial do problema? Ajuda a b) Qual a condição de conorno do problema? Ajuda b O QUE SE PEDE a) Expresse o que se pede. Ajuda a
197 RESOLUÇÃO DO MODELO Obs.: Todas as aividades soliciadas nese iem devem ser desenvolvidas com o sofware MAPLE. dm k) Resolva a equação diferencial k m. Ajuda a l) Calcule os valores dos parâmeros k e _C1. Ajuda b m) Deerminar a equação que permie calcular a massa em função do empo. Ajuda c n) Calcule o empo necessário à decomposição da meade da quanidade inicial de radium, m ( ) 1/. Ajuda d 3 ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS dm a) Consrua o campo de direções para a equação diferencial k m Ajuda a dm b) Observando o campo de direções da equação k m, podemos dizer que se o empo ende ao infinio, a massa ende a zero? Ajuda b c) Que ipo de função poderíamos aproximar observando o campo de direções? Ajuda c d) É possível definir o sinal de dm esabeleça o valores de m para os quais 0 dm observando o campo de direções? Em caso afirmaivo, dm, 0 dm e 0. Ajuda d dm e) Consrua o gráfico de por m. Ajuda e dm f) Comparar os valores obidos no iem d com o gráfico por m. Ajuda f g) É possível observar no campo de direções um valor aproximado de m que represena soluções de equilíbrio da equação diferencial? Ajuda g dm h) Consrua o gráfico de por. Ajuda h
198 i) O que aconece com a axa de variação da massa com o passar do empo? Ajuda i dm j) Qual o período em que a axa apresena maior variação? Ajuda j k) Consrua o gráfico de m() por. Ajuda k l) O que aconece com a massa quando o empo é suficienemene grande? Ajuda l dm m) Qual o sinal de? Ajuda m n) Verifique se é coerene o valor de m para 0 no gráfico de m() por de acordo com o dado do problema. Ajuda n dm o) Resolva graficamene o Problema de Valor de Conorno (PVC): k m 0 50 m m 1 (100%). Ajuda o 0.9 (90%) p) Verifique se é coerene a solução gráfica do PVC com o gráfico obido em k. Ajuda p
199 APÊNDICE F - PROBLEMA 05. Insruções gerais para a resolução do problema. O problema deve ser resolvido observando a sequência apresenada pelo pesquisador (Descobera Guiada uma pedagogia baseada na inquirição onde o professor formula o problema ou escolhe a siuação com o objeivo em mene. Conduz o aluno para a solução do problema e o aluno segue a orienação do professor). PROBLEMA 05 VIBRAÇÃO DE MOLAS: MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES ENUNCIADO Sisema Massa-Mola Quando a segunda lei de Newon sobre o movimeno é combinada com a lei de Hooke, podemos ober uma equação diferencial que governa o movimeno de uma massa aada a uma d x mola: x 0, onde que auam sobre um sisema em movimeno é k m. A segunda lei de Newon diz que a resulane das forças F m a. A lei de Hooke ( F k x ) 15 diz que a força resauradora de uma mola esicada é proporcional ao deslocameno x, figura 1. Quando o sisema esá em movimeno, a variável x represena o deslocameno da massa em relação à posição de equilíbrio. Supondo que o senido do movimeno para baixo seja posiivo e que o movimeno se dê em uma rea verical que passa pelo cenro de gravidade da massa, deermine a função x () que descreve o movimeno livre, sabendo que uma massa pesando kg disende uma mola em 9,8 cm. No insane = 0, a massa é sola de um pono a 8 cm abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade direcionada para cima de 5 cm/s. Figura 1 Problema adapado do exo Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem de Dennis G. Zill, 003, página 17, exemplo 01. 15 O sinal de subração indica que a força resauradora da mola aua em direção oposa ao movimeno.
00 1 INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO VERBALIZAÇÃO a) Como você descreve ese problema? Ajuda a IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS a) Qual a variável independene do problema? Ajuda a b) Qual a variável dependene do problema? Ajuda b c) Qual é o parâmero do problema? Ajuda c MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA a) Qual a lei maemáica que se aplica ao problema? Ajuda a CONDIÇÃO INICIAL OU DE CONTORNO a) Quais as condições iniciais do problema? Ajuda a O QUE SE PEDE a) Expresse o que se pede. Ajuda a RESOLUÇÃO DO MODELO Obs.: Todas as aividades soliciadas nese iem devem ser desenvolvidas com o sofware MAPLE. a) Deermine o valor da consane k da mola uilizando a segunda lei de Newon e a lei de Hooke. Ajuda a d x b) Resolva a equação diferencial x 0, onde k m. Ajuda b c) Deermine a função x () que descreve o movimeno livre. Ajuda c
01 3 ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO 1 a) Consrua o gráfico da equação x( ) sin(10 ) cos( 10 ). Ajuda a 40 5 b) Observando o gráfico, deermine o valor máximo de esirameno da mola? Ajuda b c) Observando o gráfico, deermine o valor máximo de compressão da mola? Ajuda c d) Deermine o período de oscilação da mola. Ajuda d e) O período enconrado no iem anerior é coerene com o gráfico em a? Ajuda e f) Indicar no gráfico de x() onde a massa esá abaixo e acima da posição de equilíbrio. Ajuda f g) Em que insane a massa passa pela posição de equilíbrio? Ajuda g h) A vibração da mola ende a se anular quando ende a infinio? Ajuda h i) Consrua o gráfico de v (). Ajuda i j) Deermine a velocidade da massa no insane s. Ajuda j k) O resulado enconrado no iem anerior é coerene com o gráfico v (). Ajuda k l) Qual o senido do movimeno da massa no insane s? Ajuda l m) Comparando os gráficos de x () e v() em relação ao senido do movimeno da massa, o que podemos concluir? Ajuda m n) Consrua o gráfico de a (). Ajuda n o) Observando o gráfico a (), indique os valores onde a aceleração da massa é máxima? Ajuda o p) Deermine a aceleração da massa no insane 3 s. Ajuda p q) O resulado enconrado no iem anerior é coerene com o gráfico a (). Ajuda q
0 APÊNDICE G - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 1 ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO (PROBLEMA 01) 1 INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO VERBALIZAÇÃO Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas roca de informações. Ajuda a) dica 0: um diagrama simples pode ser desenhado para ajudar na verbalização. Ajuda a) dica 03: o aluno deve verbalizar (inerprear) o problema com suas próprias palavras. LEI FÍSICA Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias eremos sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmeros. Ajuda a) dica 0: variável independene: As variáveis independenes serão aquelas que são independenes dos procedimenos da invesigação, que não dependem da invesigação, consiuindo, no enano faores deerminanes que a vão influenciar, recorrendo o invesigador à sua manipulação para observar os efeios produzidos nas variáveis dependenes (Sousa, A. B., 005). Resposa: empo. Ajuda b) dica: variável dependene: Consideram-se como variáveis dependenes aquelas que dependem dos procedimenos da invesigação, conecando-se direamene com as resposas que se procuram. São dados que se obêm e que variam à medida que o invesigador modifica as condições de invesigação. Uma variável dependene é aquela que procuramos como resposa para a perguna. Toda a invesigação em por objeivo chegar à variável dependene, ou seja, ao resulado obido com os procedimenos da invesigação (Sousa, A. B., 005). Resposa: aceleração, velocidade, espaço. Ajuda c) dica: a força resulane auane no sisema é a força graviacional ( F F ) dv Resposa: a lei física que se aplica é: m a m g a g 10. s g
03 CONDIÇÕES INICIAIS DADAS Ajuda a) dica: no empo inicial que podemos denominar = 0, foram dadas uma posição e uma velocidade. Resposa: 0 x 0 0 v 0 8m / s 10m ( referencial erra ) O QUE SE PEDE Resposa: x?? aé a pedra ocaro solo v? em quea pedra ocao solo espaço percorrido pela pedra aé ocar o solo - RESOLUÇÃO DO MODELO Ajuda a) dica: o comando para resolver uma equação diferencial com uma condição inicial é dsolve. Resposa: v ( ) 10 8 Ajuda b) dica: o comando para resolver uma equação diferencial com uma condição inicial é dsolve. Resposa: x ( ) 5 8 10 Ajuda c) dica: subsiuir x() = 0 na equação do espaço e resolver a equação desprezando os valores negaivos de caso aconeça. Resposa: 5.763869460 s Ajuda d) dica: subsiuir o empo enconrado 5.763869460 s na equação da velocidade. Resposa: v - 49.63869460 m/s Ajuda e) dica 01: não se pode confundir disância percorrida com posição. Para calcular a disância percorrida, emos que deerminar as posições. Ajuda e) dica 0: a disância oal percorrida represena a disância que a pedra percorre durane a subida e a descida. Ajuda e) dica 03: deermine o empo que a pedra leva para aingir a alura máxima. Ajuda e) dica 04: subsiuir o valor do empo na expressão das posições. Ajuda e) dica 05: lembrar que a posição enconrada a parir do pono de lançameno esá acrescida de 10m.
04 Resposa: x ( 10m 3,m 3,m) 16,4 m. 3 - ANÁLISE GRÁFICA DOS MODELOS Ajuda a) dica 01: carregue odos os pacoes(ferramenas) para o esudo de equações diferenciais do Maple. Ajuda a) dica 0: lembre-se que g = 10 m/s. Ajuda a) dica 03: o campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de curvas inegrais da equação diferencial. Ajuda a) dica 04: o comando para consruir o campo de direções é DEplo. Ajuda b) dica 01: observe as direções de odos os elemenos lineares. Resposa: a equação diferencial é da forma de uma consane cuja solução gera uma família de funções do 1º grau. Ajuda c) Resposa: uma rea. Ajuda d) dica 01: analise se odos os ângulos formados pelos elemenos lineares são iguais. Ajuda d) dica 0: uilize a função arcan(x). Resposa: 95.66784035º Ajuda e) dica: observe no gráfico campo de direções a direção e o senido dos elemenos lineares Resposa: sim, funções lineares. Ajuda f) dica: o campo de direções sugere soluções cujas funções são lineares e decrescenes. Ajuda g) dica 01: observe a solução da equação diferencial dv g. Ajuda g) dica 0: o comando para consruir gráficos em D é plo. Ajuda h) dica 01: o ipo do gráfico de uma função linear é uma rea. Resposa: decrescene, pois a medida que o empo aumena a velocidade diminui. Ajuda i) dica 01: pense em inegrar a função aceleração. Ajuda i) dica 0: a aceleração é o coeficiene angular da função velocidade. Ajuda j) dica 01: observe no gráfico da velocidade em função do empo onde = 0. Resposa: 8 m/s.
05 Ajuda k) dica: ler o enunciado do problema. Ajuda l) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de. Ajuda l) dica 0: lembre-se que dx v. Ajuda l) dica 03: observar no eixo da velocidade onde v = 0 e verificar o empo. Resposa: = 0,8s Ajuda m) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de. Ajuda m) dica 0: observar no eixo da velocidade onde v é aproximadamene igual a -49 m/s e verificar o empo. Resposa: aproximadamene 5,7s. Ajuda n) confronar os resulados. Ajuda o) dica: observar o gráfico da velocidade em função do empo. Resposa: de 0 a 0,8s Ajuda p) dica: o comando para consruir gráficos em D é plo. Ajuda q) dica: observar direamene o gráfico. Resposa: negaiva Ajuda r) dica: observar no gráfico da aceleração em função do empo, o comporameno da aceleração omando como referência o seu eixo. Resposa: a aceleração é consane. Ajuda s) dica : o comando para consruir PVI é DEplo. Ajuda ) A solução do PVI mosra uma das resposas da equação diferencial que é a função ploada no gráfico da velocidade em função do empo. Ajuda u) dica 01: o campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de curvas inegrais da equação diferencial. Ajuda u) dica 0: o comando para consruir o campo de direções é DEplo. Ajuda v) dica 01: observe no gráfico campo de direções a direção e o senido dos elemenos lineares Resposa: sim, funções quadráicas.
06 Ajuda w) dica : o comando para consruir o campo de direções, dadas as condições iniciais é DEplo. Ajuda x) dica: o comando para consruir gráficos em D é plo. Ajuda y) A solução do PVI mosra uma das resposas da equação diferencial que é a função ploada no gráfico do espaço em função do empo. Ajuda z) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de e de x. Resposa: 10m Ajuda aa) confronar os resulados. Ajuda bb) dica 01: explore escalas gráficas variando os valore de e de x. Resposa: aproximadamene 13,m Ajuda cc) dica 01: Função crescene: Uma função f é crescene, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x < y, ivermos f(x) < f(y). Iso é, conforme o valor de x aumena, o valor da imagem de x pela função ambém aumena. Ajuda cc) dica 0: função decrescene: Uma função f é decrescene, se para quaisquer x e y no Domínio de f, com x < y, ivermos f(x) f(y). Iso é, conforme os valores de x aumenam, o valor da imagem de x pela função f diminui. Resposa: a função é crescene. Ajuda dd) Resposa: diminuem. Ajuda ee) dica 01: a aceleração é sempre negaiva. Ajuda ee) dica 0: a aceleração em senido conrário à orienação posiiva da rajeória. Ajuda ee) dica 03: a pedra sobe aé aingir a alura máxima e depois desce devido a força graviacional. Ajuda ff) dica 01: o empo para a pedra aingir a alura máxima é de = 0,8s, a parir do pono de lançameno. Ajuda ff) dica 0: a velocidade, no inervalo considerado, é conrária à orienação posiiva da rajeória Ajuda ff) dica 03: a aceleração é consane.
07 APÊNDICE H - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO (PROBLEMA 0) 1 - INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO ENUNCIADO Ajuda a) dica: raa-se de um coneúdo da Termodinâmica. Resposa: lei de resfriameno/aquecimeno de Newon. VERBALIZAÇÃO Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas roca de informações. Ajuda a) dica 0: o aluno deve verbalizar (inerprear) o problema com suas próprias palavras. LEI FÍSICA Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias eremos sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmeros. Ajuda a) dica 0: variável independene: As variáveis independenes serão aquelas que são independenes dos procedimenos da invesigação, que não dependem da invesigação, consiuindo, no enano faores deerminanes que a vão influenciar, recorrendo o invesigador à sua manipulação para observar os efeios produzidos nas variáveis dependenes (Sousa, A. B., 005). Resposa: empo(). Ajuda b) dica: variável dependene: Consideram-se como variáveis dependenes aquelas que dependem dos procedimenos da invesigação, conecando-se direamene com as resposas que se procuram. São dados que se obêm e que variam à medida que o invesigador modifica as condições de invesigação. Uma variável dependene é aquela que procuramos como resposa para a perguna. Toda a invesigação em por objeivo chegar à variável dependene, ou seja, ao resulado obido com os procedimenos da invesigação (Sousa, A. B., 005). Resposa: emperaura do corpo(t). Ajuda c) dica: o parâmero é a consane de proporcionalidade. Resposa: k.
08 Ajuda d) dica: consane é um valor que não alera durane a análise do fenômeno, ambém denominado invariane. Resposa: emperaura do ambiene ou do meio(t m = 10ºF). Ajuda e) dica: a velocidade de resfriameno é proporcional à diferença enre as emperauras do corpo e do ambiene. Resposa: dt k T T m CONDIÇÕES INICIAIS OU DE CONTORNO Ajuda a) dica 01: se uma equação diferencial esiver definida para [a, b] e a condição for dada em a eremos uma condição inicial. Caso a condição seja dada num pono a, ela é chamada de condição de conorno. Ajuda a) dica 0: no empo inicial que podemos denominar = 0, qual é a emperaura do corpo? Resposa: para 0 T 707 º F Ajuda b) dica 01: se uma equação diferencial esiver definida para [a, b] e a condição for dada em a eremos uma condição inicial. Caso a condição seja dada num pono a, ela é chamada de condição de conorno. Ajuda b) dica 0: no empo 1/ min, qual é a emperaura do corpo? Resposa: 1 min T 50 º F O QUE SE PEDE Resposa: 1) a emperaura marcada no ermômero no insane = 1min. ) o empo que levará para o ermômero marcar 15ºF. - RESOLUÇÃO DO MODELO Ajuda a) dica 01: carregue odos os pacoes (ferramenas) para o esudo de equações diferenciais do Maple. Ajuda a) dica 0: observe que a solução geral vai ficar em função de k. Resposa: T ( ) 10 C1 e k Ajuda b) dica 01: para calcular os valores de k e C1 você deve monar um sisema.
09 Ajuda b) dica 0: subsiua as condições dadas 0 1 min T 70º F na solução geral da T 50º F equação diferencial. Ajuda b) dica 03: resolva o sisema. Resposa: k ln(/ 3) e _C1 = 60. Ajuda c) dica 01: para resolver uma equação com uma variável no Maple, uiliza-se o comando solve. Ajuda c) dica 0: subsiua na solução geral da equação diferencial o valor 1min. Ajuda c) dica 03: uilize a função evalf. Resposa: 36,6666667ºF Ajuda d) dica 01: subsiua na solução geral da equação diferencial o valor T = 15ºF. Ajuda d) dica 0: uilize a função evalf. Resposa: 3,06466938min 3 - ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO Ajuda a) dica 01: o campo de direções sugere a aparência ou forma de uma família de curvas inegrais da equação diferencial. Ajuda a) dica 0: T m = 10ºF e k ln(/ 3). Ajuda b) dica 01: observar os elemenos lineares, uma única curva inegral segue seu caminho acompanhando o padrão de fluxo do campo. Resposa: exponencial/logarímica. Ajuda c) dica 01: observar a inclinação dos elemenos lineares. Resposa 01: sim Ajuda c) dica 0: observar os valores no eixo T (). dt Resposa 0: 0 dt dt para T ( ) 10, 0para T( ) 10e 0 para T ( ) 10. Ajuda d) dica: soluções de equilíbrio são as únicas soluções consanes da equação diferencial. Resposa: sim, T( ) 10 F.
10 Ajuda e) dica: subsiua o valor de k ln(/ 3) na equação diferencial e defina a equação a ser ploada. dt Ajuda f) obs.: aravés da análise do gráfico por T, confirmamos os resulados do esudo dt dos sinais de, obidos apenas observando o campo de direções da equação diferencial. Ajuda g) dica 01: carregue o pacoe (suden); Ajuda g)dica 0: redefina a função T (). Ajuda g) dica 03: calcule a derivada de T () e ploe o gráfico. dt dt Ajuda h) dica 01: observar o comporameno de no gráfico de por. dt Resposa: ende para o valor zero. dt Ajuda i) dica 01: redefina a equação por. Ajuda i) dica 0: uilize o comando subs e subsiua o valores de na equação pré-definida. Resposas: 9, 61104783, 0, 375007161 e 0,014631974 3. Ajuda j) dica: observar se os valores obidos em i são compaíveis com os do gráfico de g. Ajuda k) dica: uilize a função obida no iem c da resolução do modelo. Ajuda l) dica 01: calcule a variação de emperaura nos inervalos de empo [0,1]; [1,]; [,3] e [3,4]. Resposa: no inervalo [0,1]. Ajuda m) dica: uilize o comando DEplo para resolver o PVI. Ajuda n) Resposa: apresenam a mesma solução.
11 APÊNDICE I - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 3 ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO (PROBLEMA 03) 1 - INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO VERBALIZAÇÃO Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas roca de informações. Ajuda a) dica 0: o aluno deve verbalizar (inerprear) o problema com suas próprias palavras. IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias eremos sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmeros ou consanes. Ajuda a) dica 0: variável independene: As variáveis independenes serão aquelas que são independenes dos procedimenos da invesigação, que não dependem da invesigação, consiuindo, no enano faores deerminanes que a vão influenciar, recorrendo o invesigador à sua manipulação para observar os efeios produzidos nas variáveis dependenes (Sousa, A. B., 005). Resposa: empo(). Ajuda b) dica: variável dependene: Consideram-se como variáveis dependenes aquelas que dependem dos procedimenos da invesigação, conecando-se direamene com as resposas que se procuram. São dados que se obêm e que variam à medida que o invesigador modifica as condições de invesigação. Uma variável dependene é aquela que procuramos como resposa para a perguna. Toda a invesigação em por objeivo chegar à variável dependene, ou seja, ao resulado obido com os procedimenos da invesigação (Sousa, A. B., 005). Ajuda b) resposa: inensidade do correne i(). Ajuda c) dica: os parâmeros são valores dados no problema. Resposa: E, L e R.
1 MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA Ajuda a) dica 01: é a lei do crescimeno da inensidade da correne elérica num circuio RL (série). Ajuda a) dica 0: segunda Lei de Kirchhoff. di Resposa: L R i E(). CONDIÇÃO INICIAL Ajuda a) dica: no empo inicial que podemos denominar = 0, qual é a inensidade da correne? Resposa: 0 i 15 A O QUE SE PEDE Resposa: deerminar a expressão que calcula a inensidade da correne num empo qualquer. - RESOLUÇÃO DO MODELO Ajuda a) dica 01: carregue odos os pacoes (ferramenas) para o esudo de equações diferenciais do Maple. Ajuda a) dica 0: subsiuir os valores de R = 6 Ω, L = 3 H e V() = 4 V na equação diferencial. Ajuda a) dica 03: uilize o comando dsolve para a resolução da equação diferencial. Resposa: i( ) 4 e _ C1 Ajuda b) dica 01: você pode resolver o PVI definindo a condição inicial ou inserindo-a direamene na linha do comando. Ajuda b) dica 0: uilize o comando dsolve para a resolução do PVI. Resposa: i( ) 4 11 e Ajuda c) dica: comparar a resposa da equação diferencial com a do PVI. Resposa: _C1=11
13 3 - ANÁLISE GRÁFICA DO MODELO Ajuda a) dica 01: subsiuir os valores de R = 6 Ω, L = 3 H e V() = 4 V na equação diferencial. Ajuda a) dica 0: uilizar o comando DEplo para raçar o campo de direções com ou sem condições iniciais e de conorno. Ajuda b) resposa 01: o campo de direções permie visualizarmos e esboçarmos inúmeras soluções da equação diferencial(família de curvas inegrais). Ajuda b) resposa 0: é necessário ermos uma condição inicial, por exemplo: 0 i 15 A para se deerminar uma curva da família. Ajuda c) dica: observar os elemenos lineares, uma única curva inegral segue seu caminho acompanhando o padrão de fluxo do campo. Resposa: exponencial/logarímica. Ajuda d) resposa 01: sim, observando a inclinação dos elemenos lineares. Ajuda d) dica: observar os valores no eixo i (). di Resposa 0: 0 di di para i ( ) 4, 0 para i( ) 4e 0 para i ( ) 4. Ajuda e) dica: soluções de equilíbrio são as únicas soluções consanes da equação diferencial. Resposa: sim, i ( ) 4. Ajuda f) dica: para resolver um PVI graficamene, uilize o comando DEplo. Ajuda g) dica 01: uilizar o comando plo para consruir gráficos em D. di Ajuda g) dica 0: isolar na equação diferencial para consruir o gráfico. di Ajuda h) obs.: por meio da análise do gráfico por i, confirmar os resulados do esudo di dos sinais de, obidos apenas observando o campo de direções da equação diferencial. di Ajuda i) Resposa: 4 é o valor onde 0, represena a solução de equilíbrio da equação diferencial.
14 Ajuda j) dica: usa-se a seguine equação para ploar o gráfico: i( ) 4 11 e. Ajuda k) dica 01: observar no gráfico i() por a endência de i (). Ajuda k) dica 0: odas as soluções se aproximam de um deerminado valor. Resposa: a correne se esabiliza em i ( ) 4. Ajuda l) dica 01: uilizar o comando plo para consruir gráficos em D. Ajuda l) dica 0: subsiuir i( ) di. 4 11 e na equação diferencial e isolar Ajuda m) dica 01: observar o gráfico. di Resposa: a axa de variação diminui em módulo aé chegar a zero onde ocorre a esabilidade.
15 APÊNDICE J - ORIENTAÇÕES PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 4 ORIENTAÇÕES DE AJUDA PARA O ALUNO (PROBLEMA 04) 1 - INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO VERBALIZAÇÃO Ajuda a) dica 01: a aprendizagem ocorre com a conversação que não é apenas roca de informações. Ajuda a) dica 0: o aluno deve verbalizar (inerprear) o problema com suas próprias palavras. IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS Ajuda a) dica 01: no caso dos problemas de Equações Diferenciais Ordinárias eremos sempre duas variáveis, sendo as demais grandezas os parâmeros ou consanes. Ajuda a) dica 0: variável independene: As variáveis independenes serão aquelas que são independenes dos procedimenos da invesigação, que não dependem da invesigação, consiuindo, no enano faores deerminanes que a vão influenciar, recorrendo o invesigador à sua manipulação para observar os efeios produzidos nas variáveis dependenes (Sousa, A. B., 005). Resposa: empo(). Ajuda b) dica: variável dependene: Consideram-se como variáveis dependenes aquelas que dependem dos procedimenos da invesigação, conecando-se direamene com as resposas que se procuram. São dados que se obêm e que variam à medida que o invesigador modifica as condições de invesigação. Uma variável dependene é aquela que procuramos como resposa para a perguna. Toda a invesigação em por objeivo chegar à variável dependene, ou seja, ao resulado obido com os procedimenos da invesigação (Sousa, A. B., 005). Resposa: massa m(). Ajuda c) dica: o parâmero é um valor dado no problema ou a ser deerminado. Resposa: K.
16 MODELO MATEMÁTICO - LEI FÍSICA Ajuda a) dica 01: ese ipo de problema que resula em expressões exponenciais são denominados de crescimeno ou decrescimeno exponencial. Ajuda a) dica 0: Resposa: dm dm varia proporcionalmene a m. k m. CONDIÇÕES INICIAIS OU DE CONTORNO Ajuda a) dica 01: no empo inicial que podemos denominar = 0, qual é a massa de radium exisene? Resposa: 0 m 1 (100%). Ajuda b) dica 01: ao érmino de 50 anos, qual é a porcenagem de radium exisene? Resposa: 50 m 0,9 (90%). OBS.: "m" é a massa do radium que não se decompõe, iso é, 90% são o que resa após 50 anos. O QUE SE PEDE Resposa: deerminar o empo para decomposição da meade da quanidade inicial de radium, ou seja:? m 1/ (50%). - RESOLUÇÃO DO MODELO Ajuda a) dica 01: carregue odos os pacoes (ferramenas) para o esudo de equações diferenciais do Maple. Ajuda a) dica 0: observe que a solução geral vai ficar em função de k. Resposa: m k _ C1 e. Ajuda b) dica 01: para deerminar os valores de k e _C1 aplica-se as condições iniciais e de conorno. Ajuda b) dica 0: monar um sisema onde a variáveis são k e _C1. Resposa: k 0,,00041440 66, _C1=1 Ajuda c) dica: subsiuir k e _C1 na solução geral da equação diferencial.