SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 08 a 0 de ovembro de 2004 Avalação da sesbldade de modelos de composção de carteras à certeza os parâmetros Lus Vtal Maluf Cuha Vaa (Egehara de Produção EPUSP) lus.vaa@tau.com.br Celma de Olvera Rbero (Egehara de Produção EPUSP) celma@usp.br Resumo Este trabalho avala dferetes modelos de composção de portfolo, através de uma aálse de sua sesbldade à varação da matrz de covarâca. A partr da dstrbução do estmador da matrz de covarâca aalsa-se o desempeho dos modelos de Markowtz, Koo e Valor em Rsco Codcoal cosderado-se o mpacto causado o rsco da cartera por perturbações a matrz de covarâca. Palavras chave: Otmzação, Faças, Gerecameto de rsco -Itrodução O estudo formal de modelos de rsco em mercados faceros tem recebdo grade destaque a lteratura a últma década. O modelo clássco de gestão de carteras fo apresetado em 952 por Markowtz e, apesar de ão ser muto utlzado a prátca, é ddatcamete uma referêca para se eteder como determar uma cartera ótma a partr da mmzação de uma fução de avalação de rsco. No íco dos aos 90 fo proposta uma medda de rsco como alteratva àquela utlzada o modelo de Markowtz. Koo e Yamazak utlzaram o desvo médo absoluto do retoro dos atvos como alteratva à varâca a otmzação de um portfolo. A prcpal justfcatva para este modelo é a smplcdade computacoal, já que o modelo de Markowtz se basea em modelos de programação quadrátca, equato que o modelo de Koo reca em um problema de programação lear, computacoalmete mas smples de ser resolvdo. Nehuma metodologa de avalação de rsco de mercado abalara tato os cocetos de gestão de carteras como o valor em rsco (Value at Rsk ou VaR ). O VaR é uma métrca percetílca defda como o mímo retoro esperado para um dado ível de cofaça. Sua smplcdade em resumr a avalação do rsco de uma sttução utlzado um úco úmero o torara um padrão de mercado o fal dos aos oveta. Com a evolução e a melhor compreesão dos evetos relacoados à dstrbução do retoro dos atvos, surge uma medda de rsco que utlza em sua estrutura, formações sobre evetos que ocorrem as caudas das dstrbuções de probabldades. Esta medda, deomada valor em rsco codcoal (Codtoal Value at Rsk ou CVaR ), tem ocupado destaque a lteratura mas recete a respeto de rsco e coduz a modelos leares de grades dmesões quado empregada para composção de portfolos.
SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 08 a 0 de ovembro de 2004 O objetvo cetral da pesqusa é compreeder qual a medda de rsco mas aproprada para a gestão de carteras de atvos faceros, tedo em vsta aspectos de mplemetação computacoal. Icalmete será aalsado como dstrbur recursos etre dversos atvos faceros de forma a obter um portfolo com mímo rsco. Em seguda, aprofudar-se-á o estudo em questões relatvas a robustez e a complexdade computacoal de modelos de composção de portfolo que utlzam meddas de rsco dsttas. Na seção 2 são apresetadas as meddas de rsco abordadas a pesqusa, seus estmadores e respectvos modelos de otmzação. Na seção 3 mplemetam-se os modelos utlzado séres de retoros de atvos do ídce Bovespa. Na seção 4 é proposta uma estratéga para perturbação da matrz de covarâcas que possblta uma aálse mas aprofudada da sesbldade dos modelos à certeza presete os estmadores de covarâca. Falmete, a seção 5, são apresetadas as coclusões. 2-Meddas de rsco e modelos de composção de portfolo A preocupação de um vestdor a gestão de sua cartera de atvos é retratada pelo tpo de rsco que cotrola, seja este o rsco de crédto, de lqudez, o rsco operacoal, o legal, etre outros. Neste trabalho só há teresse o rsco de mercado, que cosste a possbldade de ocorrerem flutuações adversas os preços dos atvos que compõem um portfolo. A lteratura possu uma expressva quatdade de trabalhos cetífcos que tratam de meddas de rsco e que levam a dferetes modelos de composção de portfolos. Em lhas geras, uma medda de rsco ada mas é que uma fução que atrbu a cada composção de portfolo, x, um úmero W (x) que represeta o rsco. Trata-se o retoro da cartera como uma varável aleatóra com dstrbução de probabldade cohecda, e a medda de rsco depede também desta dstrbução. No modelo clássco de Markowtz (952), uma referêca mudal em faças, o rsco é meddo através da varâca do retoro da cartera. Mas atual, o modelo proposto por Koo; Yamazak (99) utlza o desvo médo absoluto como medda de rsco. Por sua vez o modelo do Valor em Rsco Codcoal, proposto por Uryasev et al. (200), aalsa as caudas da dstrbução de probabldades dos fatores de rsco. Detre as três meddas ctadas, esta últma é a úca em cocordâca com a defção de medda coerete de rsco proposta por Artzer (2000). O problema de composção de portfolos pode ser escrto geercamete como: Mmzar W (x) Sujeto a E( R ) x R0 = x = x 0 = =,...,
SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 08 a 0 de ovembro de 2004 Os valores E( R ) são os retoros esperados de cada atvo e a fração de cada atvo o portfolo é represetada por x. A prmera equação E( R ) x R assegura que o retoro obtdo o = processo de otmzação atja um patamar. A restrção = garate que a soma das R 0 frações dos atvos ão ultrapassa a udade. Por fm, x 0 mpede operações de veda a descoberto (short sellg). Como o real valor das médas é descohecdo, o cojuto de potos váves é aproxmado por outro, determado a partr de séres hstórcas, cosderado-se a T méda amostral r = r t, ode T é o úmero de observações e r t as observações do -ésmo T = atvo realzadas para cada state t ( t =,2,..., Τ).. Para o modelo de Markowtz, a fução objetvo é dada por: W K ( x) E E = R x = = 0 E( R ) x x = Ao empregar estmadores reescreve-se etão este problema como: Mmzar W ˆ M ( x) = x ˆ x 2 Sujeto a = r x R 0 com = ˆ [ σˆ ] j, ode x = = x 0, =,..., T t= ˆ j = σ ( r ( t) r )( r T ( t) j r ) j Koo; Yamazak (99) apresetaram uma estratéga alteratva para a mmzação do rsco de um portfolo, cosderado o desvo médo absoluto como medda de rsco O modelo de Koo é defdo por Mmzar W K ( x) E E = E( R ) x Sujeto a E( R ) x R0 = = = E( R ) x x = =
SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 08 a 0 de ovembro de 2004 x 0 =,..., A déa deste modelo é reduzr dfculdades computacoas presetes mmzação da varâca. Utlza-se um estmador WˆK para aproxmar o desvo médo absoluto W K (KONNO; YAMAZAKI, 99), recado-se o segute: Mmzar Wˆ K =. T T t = ( v t + w t ) Sujeto a a x v + w = 0 = t t t t =,..., T As costates at r x R = x = = x 0, =,..., 0 vt 0, wt 0, t =,..., T são obtdas a partr da sére hstórca de retoros: a t = r r. Uryasev et al. (200) sugerem uma medda de rsco deomada Valor em Rsco Codcoal (Codtoal Value-at-Rsk ou CVaR ). Para dstrbuções cotíuas, o CVaR é defdo como a méda das perdas resdetes a porção da cauda da dstrbução. O Valor em Rsco Codcoal ou CVaR é uma das meddas de rsco que satsfazem a defção formal de medda coerete de rsco sugerda por Artzer (999). Segudo Uryasev et al. (200), os valores de VaR e CVaR são defdos respectvamete por VaR φ (x) = CVaR ( x, ) = m{ ζ : F ( x, ζ ) } = VaR ( x) = ( ) f ( x, VaR ( R( x)) t f ( x, p( dy Para cada x, a fução de perda, f ( x,, é uma varável aleatóra com dstrbução em R duzda por y, sedo que y que possu dstrbução de probabldade p(. Para cotorar a coveêca de se trabalhar com a tegral presete em φ (x), Uryasev et al. (200) caracterzam φ (x) em termos da fução F defda em X R dada por para o CVaR é expresso por: [ f ( x, ] p( dy + y R F ( x, ζ ) = ζ + ( ) ζ Mmzar J x X RW ˆ (, ς ) CVar = ς + ( ).. J j=, ode [ t ] + = max{ t,0}. O modelo de otmzação z j
SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 08 a 0 de ovembro de 2004 Sujeto a z Y. x ς, j =,..., J j z j = 0 = r x R x = = x 0, j =,..., ζ R j 0 Os J vetores Y j são obtdos a partr através de smulação com dstrbução multvarada p(. 3-Aálse dos modelos Para realzar a aálse utlzou-se uma sére de retoros de dez ações que fazem parte do ídce Bovespa. Cada um dos modelos fo mplemetado e foram costruídas as curvas rsco retoro, como mostra a Fgura. Verfca-se uma proxmdade muto grade etre as curvas obtdas em cada um dos modelos testados, devdo ao fato dos retoros apresetarem dstrbução próxma à ormal. Pode-se costatar também, os três modelos, a cocetração das soluções em poucos atvos, sedo que algus atvos ão foram selecoados para ehum valor de R 0. Este efeto é cohecdo a lteratura como corer soluto e dfculta a mplemetação dos portfolos, pos toram mpratcável a gestão dâmca da cartera. Sob o poto de vsta de mplemetação, o modelo mas complexo computacoalmete fo o CVaR, que exge a smulação de varáves ormas multvaradas e apreseta um elevado úmero de restrções (o exemplo foram utlzados 5000 potos, que geraram gual úmero de equações). Dos modelos em estudo, este fo o úco que exgu a utlzação do aplcatvo CPLEX. Os dos outros modelos foram calmete mplemetados o software MatLab, e posterormete mplemetados a lguagem GAMS. 8.0E-04 Markowtz 3.0E-04 CVaR Koo Retoro -2.0E-04 2.E-02 2.6E-02 3.E-02 3.6E-02 4.E-02-7.0E-04 -.2E-03 -.7E-03 desvo padrão Fgura Curva Rsco x Retoro
SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 08 a 0 de ovembro de 2004 Como a aálse dos gráfcos rsco retoro ão permte detectar dfereças sgfcatvas que detfquem uma medda de rsco como sedo a melhor ou a por, é mportate aalsar a sesbldade dos parâmetros às certezas decorretes do processo de estmação. A aálse dos modelos de otmzação de portfolo se basea o comportameto hstórco do retoro dos atvos e a exstêca de algum eveto extraordáro o período de amostragem, por exemplo, pode troduzr ruídos as estmatvas. O modelo mas adequado, portato, deverá ser aquele que apreseta maor establdade quado as estmatvas dos parâmetros são perturbadas. De maera aáloga ao método proposto por Pafka; Kodor (2002), a perturbação será feta através do estmador da matrz de covarâca orgal, obtda através da sére hstórca dos atvos. Ao vés da abordagem smplfcada utlzada por aqueles autores, a perturbação dos parâmetros será feta através da dstrbução de Wshart (ANDERSON, 966), que é a dstrbução do estmador de matrz de covarâcas. Serão geradas, por smulação com (P) dstrbução de Wshart, matrzes de covarâca perturbadas. ˆ (0) 4- Implemetação e resultados A fm de comparar o desempeho dos modelos foram geradas P matrzes de covarâca, ( P) { } P p =, através de smulação com dstrbução de Wshart (ANDERSON, 966). Esta smulação utlza como base a matrz orgal, costruída a partr da sére hstórca do retoro dos atvos, e o úmero de atvos que compõem o portfolo (que defe o úmero de graus de lberdade da dstrbução qu-quadrado utlzada o algortmo). Para cada um dos três modelos foram gerados P problemas de otmzação, cada um deles assocado a uma matrz perturbada ( P) { } P p =. ˆ (0) Para o modelo de Markowtz a mplemetação é trval, uma vez que a fução objetvo depede explctamete da matrz de covarâca. São gerados P problemas dsttos um para cada uma (P) das matrzes obtdas por smulação. No modelo de Koo os retoros dáros de cada um dos atvos, para uma jaela de tempo T, são utlzados para modelagem do problema, de tal forma que a matrz de covarâca ão é empregada dretamete a formulação. Com base as (P) ( p) formações cotdas as matrzes, smula-se uma ova sére de T retoros, que será utlzada a motagem do problema perturbado. Calcula-se também a partr de estmadores de méda y R da matrz [ f ( x, ζ ] p( dy + ˆ (0) ˆ p r t ( p) r t ovos ( p) r. No caso do Valor em Rsco Codcoal, a aproxmação da tegral (URYASEV ET AL., 200) é feta a partr da fatoração de Cholesky e da smulação dos retoros. A partr da fatoração de Cholesky das matrzes de ( ) ( p) covarâca são geradas ovas séres de retoros rt, ovos problemas. =,..., e t =,...,T e costruídos (0) A partr dos problemas perturbados, avala-se o desempeho dos modelos. Deota-se por δ o valor ótmo do problema orgal, com parâmetros obtdos a partr das séres hstórcas. A partr
SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 08 a 0 de ovembro de 2004 da perturbação através da dstrbução de Wshart, aalsa-se, para cada medda de rsco em ( ) δ P (P) estudo, a dstrbução da varável aleatóra q =, ode δ é o valor da medda de rsco com (0) δ * parâmetros perturbados para a mesma solução ótma. Foram gerados 50 problemas perturbados P para cada medda de rsco. Os ovos valores de rsco foram comparados aos resultados orgas e a dstrbução dos valores da varável q são represetados os hstogramas abaxo para cada um dos três modelos. x 0 % 4% 2% 0% 8% 6% 4% 2% 0% -.50 méda=0.58 3.50 5.50 7.50 9.50.50 3.50 5.50 desvo padrão = 4.50 7.50 9.50 2.50 dstrbução de q para Markowtz Fgura 2 Resultado para Markowtz Mas % 20% 8% 6% 4% 2% 0% 8% 6% 4% 2% 0% - 0.30 0.70.0 méda=3.66.50.90 2.30 2.70 3.0 3.50 3.90 desvo padrão = 0.85 4.30 4.70 5.0 dstrbução de q para Koo Fgura 3 Resultado para Koo 5.50 Mas % 8% 6% 4% 2% 0% 8% 6% 4% 2% 0% - 0.5 0.30 0.45 0.60 0.75 méda=.37 desvo padrão = 0.5 0.90.05.20.35.50.65.80.95 dstrbução de q para o valor em rsco codcoal Fgura 4 Resultado para CVaR Mas Verfca-se que, para o modelo de Markowtz, o fator de amplfcação do rsco q apreseta uma dstrbução com méda 0,58 vezes acma do valor do rsco obtdo a otmzação do problema orgal. Isso correspode a afrmar que o modelo de Markowtz, apesar de sua smplcdade e de ser cosderado um marco em faças, é extremamete sesível à perturbação de seus parâmetros. Para o modelo de Koo, a méda de q fo 3,66 vezes superor ao o rsco orgal. Nota-se, portato, que o modelo de Koo é mas robusto que o modelo de Markowtz. Observase ada que o desvo padrão da dstrbução de q o caso de Markowtz é muto grade, o que represeta uma grade dspersão os valores, equato que o caso do modelo de Koo esta
SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 08 a 0 de ovembro de 2004 dspersão é meor. Apesar da amplfcação do rsco estar elevada para Koo, a dstrbução apresetou uma dspersão dos dados bem meor em relação à apresetada por Markowtz. A melhor robustez se deve ao fato do desvo médo absoluto ão depeder dretamete da estrutura da matrz de covarâcas, o que ão se observa o modelo de Markowtz. É teressate destacar o resultado obtdo para o modelo do Valor em Rsco Codcoal, que é, sem dúvda, o modelo mas atual e mas complexo. Dos três modelos apresetados, é o úco cuja formulação se preocupa com os evetos extremos da dstrbução de probabldade de perdas. A méda de q, este caso, fo,37 vezes maor que o rsco calculado a otmzação do problema orgal, o que tora modelo do valor em rsco codcoal o mas estável etre os três modelos aalsados. A méda da dstrbução fo feror ao apresetado pelos outros dos modelos. A dspersão dos dados também fo sgfcatvamete feror, como pode ser observado a fgura 4. É ecessáro reforçar que, como o úmero de perturbações fo baxo, cocdetemete ão houve ocorrêcas de valores de q ferores a udade. A establdade deste modelo se relacoa ao fato do CVaR ser uma medda de rsco que avala os evetos cocetrados as extremdades da dstrbução de probabldades do retoro do portfolo, equato que a covarâca e o desvo médo absoluto avalam o quato os dados estão dspersos em relação à méda. Qualquer perturbação que desloque a méda de maera cosderável ou que afete a dspersão terá a tedêca de desestablzar os respectvos estmadores. No CVaR ão se verfca este problema. 5 Coclusões A pesqusa teve como objetvo o estudo e aálse de meddas de rsco a gestão de carteras de atvos faceros. Procurou-se detfcar emprcamete qual o mpacto causado pelo uso de estmadores o desempeho de modelos de tomada de decsão que mmzam o rsco de carteras. Foram estudados cocetos e defções de algumas meddas de rsco e foram mplemetados os modelos de Markowtz, Koo e valor em rsco codcoal. Com o tuto de verfcar a robustez dos modelos, a perturbação dos parâmetros fo feta dretamete o estmador da matrz de covarâcas ( ˆ ), utlzado a dstrbução de probabldade deste, que é uma dstrbução de Wshart (ANDERSON, 966). A mplemetação do modelo de Markowtz é trval e, dos modelos estudados é, sem dúvda, o de compreesão mas smples. O modelo de Koo requer, para mplemetação, que a fução objetvo seja learzada e a dmesão do problema resultate depede do úmero de observações. Os dos modelos se mostraram stáves frete à perturbação dos parâmetros utlzado matrz de Wshart. O modelo do valor em rsco codcoal exge um esforço computacoal maor em relação aos outros dos modelos, apesar de recar em um problema lear. A grade quatdade de restrções serdas a modelagem do valor em rsco codcoal afeta o desempeho. Por outro lado, é meos sesível a perturbações da matrz de covarâca, já que aalsa evetos ocorrdos as caudas das dstrbuções de probabldade e ão se preocupa dretamete com a relação etre as varáves expressa pela matrz de covarâca. Coseqüetemete, deve ser meos afetado por certezas este parâmetro. Este resultado é cosstete com a lteratura da área (SZEGÖ, 2002). Os esaos realzados ão permtram coclur se algum dos três modelos é superor aos demas em termos da qualdade da solução obtda a redução de rsco, uma vez que as curvas de rsco retoro apresetaram grade smlardade. De certa forma este resultado era esperado, já que
SIMPEP - Bauru, SP, Brasl, 08 a 0 de ovembro de 2004 aálses de caráter empírco, realzadas com as dstrbuções de cada um dos retoros dos atvos de maera solada, demostraram uma grade proxmdade com a dstrbução ormal, e os modelos de Koo e Markowtz apresetam um bom comportameto estes casos. Um poto teressate a ser observado é o fato de todos os modelos gerarem portfolos de dfícl mplemetação, devdo à cocetração da cartera em poucos atvos. Tal fato dfculta a gestão dâmca da cartera, já que freqüetemete são exgdas mudaças sgfcatvas de posção. Vale lembrar que o da a da do mercado, a mudaça de posção de um determado atvo para outro acarreta custos de trasação, fato ão levado em cota a modelagem. As mudaças bruscas de posção, as quas são ofertados grades volumes de um determado atvo o mercado, podem terferr o preço do atvo. Não deve ser esquecdo que todos os modelos são costruídos a partr de estmadores das meddas de rsco, o que sgfca que sempre há uma margem de erro que pode levar a uma avalação correta da realdade. Apesar da boa performace e da facldade de se mplatar computacoalmete os modelos estudados, deve-se ter em mete que qualquer modelo é uma ferrameta de apoo à decsão. Levam-se em cota ão só os resultados quattatvos, mas também os fatores de ordem subjetva. Referêcas ACERBI, C.(2002) - Spectral measures of rsk: A coheret represetato of subjectve rsk averso, Joural of Bakg ad Face, Vol. 26, p. 505-58. ANDERSON T. W. (966) - A Itroducto to Multvarate Statstcal Aalyss, Joh Wley & Sos, Ic, 7ª ed., New York, 373 p. ARTZNER, P., DELBAEN, F., EBER, J-M., HEATH, P. (999) Coheret Measures of Rsk, Mathematcal Face, Vol. 9,.3, p. 203-228. BROOKE, A., KENDRICK, D., MEERAUS, A., RAMAN, R. (998) - GAMS A user s gude, GAMS Developmet Corporato. CAI, X., TEO, K., YANG, X. ZHOU, X. (2000) - Portfolo Optmzato Uder a Mmax Rule, Maagemet Scece, Vol. 46,.7, p. 967-972 FRITTELLI, M., GIANIN, E.R. (2002) - Puttg order rsk measures, Joural of Bak ad Face, Vol. 26, p.473-486. GOLDFARB, D. IYENGAR, G. (2003) - Robust Portfolo Selecto Problems, Mathematcs of Operatos Research, Vol. 28, p..-38 JÚDICE, J.J., RIBEIRO, C.O., SANTOS, J.P.J. (2003) - Aálse Comparatva dos Modelos de Seleção de Carteras de Acções de Markowtz e Koo, Ivestgação Operacoal, Vol. 23, p.2-224. KENETT, R.S., ZACKS, S., (998) - Moder Idustral Statstcs, Duxbury Press, 62p. KONNO, H., YAMAZAKI, H. (99) - Mea-Absolute Devato Portfolo Optmzato Model ad ts Applcatos to Tokyo Stock Market, Maagemet Scece, Vol. 37, p. 59-53 LUENBERGER, D.G. Ivestmet Scece, Oxford Uversty Press, 998 p. 37-72 Pafka, S., Kodor, I., Nosy covarace matrces ad portfolo optmzato, The Europea Physcal Joural B, Vol. 27, p.277 280 (2002) SZEGÖ, G. (2002) - Measures of Rsk, Joural of Bakg ad Face, Vol.26, p.253-272. URYASEV, S., ROCKAFELLAR, R. T.,(2002) - Codtoal Value-at-Rsk for Geeral Loss Dstrbutos, Joural of Bakg ad Face, Vol. 26, p.443-47
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