Teoria dos conjuntos

Teoria dos conjuntos Zenão de Eléia, filósofo grego que viveu por volta de 45 a C., já se preocupava com o conceito de infinito ao propor a questão a seguir, conhecida como paradoxo de Zenão. Em meados da década de 1870 o matemático Georg Cantor (1845-1910)e seu colega Richard Dedeking (1831-1916) definiram e classificaram precisamente tipos diferentes de infinito. Para isso eles se utilizaram de uma nova teoria, criada por Cantor em 1872: a teoria dos conjuntos. Além da definição rigorosa de infinito, e de muitas outras contribuições, a teoria dos conjuntos unificou a linguagem em todos os ramos da Matemática.

Teoria dos conjuntos Georg Cantor fez da teoria dos conjuntos um vasto campo de investigação matemática.

Conceitos Primitivos Os conceitos que iniciam uma determinada teoria são aceitos sem definição, pois, não existindo ainda a teoria, não há como defini-los; por isso são chamados de conceitos primitivos. Na teoria dos conjuntos esses conceitos são: conjunto, elemento de um conjunto e pertinência entre elemento e conjunto. A idéia de conjunto é a mesma de coleção, conforme mostram os exemplos a seguir.

Conceitos Primitivos Exemplos: a) Uma coleção de revistas é um conjunto. Cada uma dessas revistas é um elemento que pertence ao conjunto. b) Os alunos de sua sala formam um conjunto. Você é um elemento que pertence a esse conjunto.

Formas de Representar um Conjunto. Representação tabular A representação tabular (forma de tabela) de um conjunto é aquela em que os elementos são apresentados entre chaves e separados por vírgulas. Exemplos: a) A = {a, e, i, o, u} b) B = {1, 2, 3, 4} Note que, nos exemplos dados, u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. Esses fatos são indicados, respectivamente, por: u A (lê-se u pertence a A) u B (lê-se u não pertence a B)

Formas de Representar um Conjunto. Representação por um diagrama de Venn. A representação de um conjunto por um diagrama de Venn (John Venn, 1834-1923) é aquela em que os elementos são simbolizados por pontos interiores a uma região plana, delimitada por uma linha fechada que não se entrelaçada. Exemplos:

Formas de Representar um Conjunto. Representação por uma propriedade. A representação de um conjunto A por meio de uma propriedade é aquela em que os elementos são descritos por uma propriedade que os determina. Representa-se o conjunto por: Exemplo: A = { x x tem a propriedade p} A = { x x é país da Europa} Propriedade p

Tipos de Conjunto Conjunto Unitário. É todo conjunto formado por um único elemento. Exemplos: a) A = {5} b) B = {x x é estrela do sistema solar} = {Sol} Conjunto vazio. Exemplo: É aquele que não possui elemento algum. Representa-se o conjunto vazio por ou por { }. a) A = {x x é o número e 0. X = 5} = b) B = {x x é palavra proparoxítona não acentuada, em português} = { }

Tipos de Conjunto Conjunto finito É todo conjunto que, contando os elementos um a um, chega-se ao fim da contagem. Exemplos: a) A = {a, b, c, d, e, f} b) B = {x x é pessoa brasileira} c) C =

Tipos de Conjunto Conjunto infinito. Exemplos: É todo conjunto que não é finito. a) Um importante conjunto infinito que vamos usar como referência adiante é o conjunto dos números naturais. IN = {0, 1, 2, 3, 4,...} b) Outro importante conjunto infinito que também será usado freqüentemente como referência é o conjunto dos números inteiros: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Subconjunto Consideramos o conjunto B formado por todas as pessoas brasileiras. Com os elementos de B podemos formar o conjunto H, de todos os homens brasileiros, e o conjunto M, de todas as mulheres brasileiras. Dizemos que os conjuntos H e M são subconjuntos de B. Se um conjunto T possui como elemento pelo menos uma pessoa que não seja brasileira, dizemos que T não é subconjunto de B. Indicamos esses fatos por: H B (lê-se H está contido em B ) M B (lê-se M está contido em B ) T B (lê-se T não está contido em B )

Subconjunto Atenção Um conjunto A é subconjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B. Exemplos:

Propriedades P1 O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. A ( A) (O símbolo é lido qualquer que seja.) P2 Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. Exemplos a) {5, 4, 0} {5, 4, 0} b) A A ( A)

Igualdade de Conjuntos Observe que todo elemento do conjunto {1, 2, 3} também pertence ao conjunto {3, 2, 1} e que todo elemento de {3, 2, 1} também pertence a {1, 2, 3}. Por isso, dizemos: {1, 2, 3} = {3, 2, 1} Dois conjuntos A e B são iguais (A = B) se, e somente se, A B e B A.

Conjunto Universo Quando estudamos a história da humanidade, o conjunto de todos os seres humanos é chamado de conjunto universo (U) desse estudo. Quando estudamos os números que podem resultar da contagem de unidades, o conjunto universo (U) é o conjunto dos números naturais: IN = {0, 1, 2, 3, 4,...} Generalizando: O conjunto universo de um estudo é aquele ao qual pertencem todos os elementos desse estudo.

Exercício Resolvido

Atividades

União e intersecção de conjuntos Um professor de Educação Física marcou dois treinos: para o primeiro foram convocadas as alunas que jogam voleibol ou basquetebol e, para o segundo, foram convocadas as alunas que jogam voleibol e basquetebol. Três alunas do colégio, Beatriz, Mariella e Caroline, são jogadoras. Beatriz joga apenas voleibol, Mariella joga apenas basquetebol, e Caroline joga basquetebol e voleibol. Quem dentre elas deve comparecer ao primeiro treino? E quem deve comparecer ao segundo? Fica claro que as três devem comparecer ao primeiro treino e apenas Caroline, dentre as três, deve comparecer ao segundo. Esse exemplo ajudará a entender as definições a seguir.

União (ou reunião) de conjuntos Exemplos A união (ou reunião) de dois conjuntos, A e B, que indicamos por A U B (lê-se: A união B ), é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A ou a B. A U B = {x x A ou x B} a) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {6, 7}, temos: A U B ={1, 2, 3, 6, 7} b) Sendo C = {1, 2, 3, 4} e D = {3, 4, 5, 6, 7}, temos: C U D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} c) Sendo E = {1, 2, 3} e F = {0, 1, 2, 3, 4}, temos E U F = {0, 1, 2, 3, 4}

União (ou reunião) de conjuntos

Intersecção de conjuntos

Atividades

Diferença

Atividades

Problemas sobre quantidades de elementos de conjuntos finitos

Problemas sobre quantidades de elementos de conjuntos finitos Agora, consultando o diagrama, podemos responder as questões; a) 205 pessoas lêem apenas o jornal A b) 205+30+40+25+65+115=480 lêem o jornal A ou B. c) 205+30+115+150=500 Não lêem o jornal C. d) 205+115+70+30+25+65+40+150=700 Total de pessoas

Atividades

Classificação dos Números (IN)

Classificação dos Números (Z)

Classificação dos Números (Q)

Classificação dos Números (Q )

Classificação dos Números (R)

Atividades

Classificação dos Números

Bibliografia PAIVA, Manoel; Matemática, 1. Ed.; São Paulo: Moderna, 2004. IEZZI, Gelson; Fundamentos da Matemática elementar, 1: Conjuntos, funções 7. Ed. São Paulo: Atual, 1993.

Construção e Pesquisa: Professor Clayton Palma Graduado em Matemática e Física pela Faculdade Hebraica Renascença; Pós- graduado em Psicopedagogia na FPA; Pedagogia na Uniban; Pós-graduado em História, Sociedade e Cultura pela PUC-Barueri.