Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. ) D a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = + 7 7 P() = b) P() = ³ + 7. ² 7. P() = + P() = c) P() = ³ + 7. ² 7. P() = 8 + 8 P() = Com dólares é fio para min, então é termo independente. Mas pagamos dólares para cada hora e ecedemos os min, ou seja, o valor da hora etra é dado por, em que é o número de horas que ecede min. Portanto, a epressão que relaciona o valor da utilização da bicibleta é: f() = + ) V V V F (V) Para m = P() = (()² 9)³ + (() + )² + (() + 7) P() = ³ + ² + P() = grau (V) Para m = P() = (² 9)³ + ( + )² + ( + 7) P() = ³ + 6² + P() = 6² + grau (V) Para que P() tenha grau zero devemos ter P =, ou seja, (m 9) + (m + ) + (m + 7) = Daí concluímos que: m 9 = () i m+ = () ii m + 7 = ( iii) Note que não eiste m tal que satisfaça simultaneamente (i), (ii) e (iii). Portanto, P() nunca terá grau zero. (F) Como queremos somar os coeficientes, logo: m² 9 + m + + m + 7 m² + m Vamos supor que a soma dos coeficientes dê 6, logo: m² + m = 6 m² + m + = Aplicando a fórmula de Bháskara: Δ = ².. Δ = Δ = 6 Observe que Δ = 6, sendo assim a equação não possui raízes reais. Logo, a soma dos coeficientes nunca poderá ser 6. ) e ) A 6) C P() = ( ) Soma dos coeficientes: P() = (. ) P() = P() = Termo independente: P() = (. ) P() = () P() = Epressão custo da primeira empresa. P (n) = + n Epressão custo da segunda empresa. P (n) = + n Equação que torna indiferente para a prefeitura escolher uma das propostas apresentadas. P = P + n = + n. ( ) + n = + n P() = (a )³ + ( b) + (c ) Q() = ³ + ( + b) Logo: a = a = b = + b b = c = c =
7) a = e b = 8 P() = (a + b )² + (a b) + a b Se P() é identicamente nulo, logo todos os seus coeficientes são iguais a zero. Temos: a + b = a + b = (i) a b = (ii) Montando um sistema com (i) e (ii) e solucionando pelo método da adição, temos: a+ b= a b= a = a = a + b = + b = b = 8 8) V = + 8 + ) D ) C (² + ). ( ) ( + ). (² + ) = ³ + ² ² + 8 (³ ² + + ² + ) = ³ ² 6 + 8 (³ ² + ) = ³ ² 6 + 8 ³ + ² + = ³ + ² + Logo, a =, b =, c = e d =. Temos que b + d = + = 6. P() P() = ³ a³ + b² + c + (a³ + b² c + ) = ³ a³ + b² + c + + a³ b² + c = ³ a³ + c = ³ Logo: a = a = e c = c = V= V= + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) V = + + + V = + 8 + 9) 66 + Temos: P() = a + b c + = b = a + c b = + b = ) D P() = + + = P() = 8. +. +. + = P() = a² + (b + c) a ² + c + b + P() = (a )² + (b + c + c) + (a + b + ) P() = (a )² + (b + c) + (a + b + ) Como P() é idêntico a Q(), temos: a = a = a + b + = 9. + b + = 9 6 + b + = 9 b = b = 8 b + c = 8 8 + c = 8 c = c = Portanto, a + b + c = + 8 + = 66 V =., V = ( + ) (,,) V = ( +. ) (,,. ) ( +. ) (,,. ) V = ( +. ) (,,. ) Segue, V = ( + ) (,,. ) V = + V = +
) A P() = (a² b + c + ) P() = (a. ² b. + c + ) = (a b + c + ) = a b + c + = a b + c + = (i) P() = (a. ² b. + c + ) = (c + ) = c + = c + = c = (ii) P() = (a. ()² b. () + c + ) = (a + b + c + ) = a + b + c + = a + b + c + = (iii) ) D Substituindo (ii) em (i) e (iii): a b + c + = a b + = a b = (iv) a + b + c + = a + b + = a + b = (v) Montando um sistema linear com (iv) e (v): a b= a+ b= a = a = a b = b = b = Portanto, a + b + c = = f() = a. +. + b = b = f(8) = a. 8 8 +. 8 + b = 99 a 6 + 96 + = 99 a + 8 = 99 a = 99 8 a = a = Logo, f() = + + Então, f() = () ( ) +. + f() = 78 + f() = 78 ) D f() = ( + b)³, desenvolvendo ( + b)³: f() = ³ + b² + b² + b³ Como f() = ³ 6² + m + n, temos que: b = 6 b = b² = m. ()² = m m = b³ = n ()³ = n n = 8 Temos m = e n = 8 6) a = b = a b ( ) + ( + ) = ( ) soma de fração a ( + ) + b ( ) = ( ).( + ) ( ) a + a+ bb = ( ) ( ) (a + b) + (a b) = a+ b= a b= a = a = a + b = + b = b = 7) A = C = e B = ( ).( + ) = A B C ( ) + + ( + ) soma de fração ( ).( + ) = A.( + ) + ( B + C ).( ) ( ).( + ) A + A+ B B+ C C = ( ).( + ) ( ).( + ) = ( ) A+ B + ( C B ) + ( A C ) ( ).( + ) ( ).( + )
= (A + B)² + (C B) + (A C) Logo: A + B = A = B (i) C B = C = + B (ii) A C = A = C (iii) De (i) e (iii) temos que C = B. Substituindo em (ii): C = + B B = + B = B B = 8) B A = B A = A = A = C C = ( + a) ( b) + a + a + a ( b + b b ) + a + a + a + b b + b (a + b) + (a b ) + (a + b ) 9 6 + c Logo, a+ b= 9 a+ b= a = b () i a b = 6 a b = () ii a + b = c ( iii) Substituindo (i) em (ii), obtemos: ( b) b = 9 6b + b b = 6b = 9 6b =.( ) 6b = b = 6 b = Substituindo b = em (i), teremos: a = = 9) D Assim, a + b = c ( ) + () = c 8 + = c c = 7 Portanto, a + b c = + 7 = = + 7 = = A B C c + + + = 9 + + ( A )( ) + B( + + ) C 9C = ( + + )( ) + + A A + + B + B+ B C 9C = + + + + (A + B) + ( A + B) + ( + B) = C 9 C Daí, temos: A+ B = + C () i A + B = 9 B A = + B = C.( ) C= B ( iii) Substituindo (iii) em (i), obtemos: A + B = B A + B = ( ) A + B = Assim, A+ B = ( iv) B A = ( v) Somando (iv) e (v), obtemos: B = 6 B = 6 B = Substituindo B = em (iv), teremos: A +. ( ) = A = + A =
Substituindo A =, B = em (i), teremos: C =. C = 6 C = Portanto, A + B + C = + = 7 = ) 7. Correta. Usando binômio de Newton, encontramos: P() = ( + ) = + + 6 + +.. Correta. Raiz = tem multiplicidade.. Correta. K() = + + 6 + + K() = ( + ) + P ( ) ) D + + + + P () y y + 7 R() Do enunciado temos: f(g()) = r() f (f(g())) = f (r()) g() = f (r()) Vamos calcular a inversa de f(): f() = + k y = + k = y + k k = y y = k f () = k Daí, temos: g() = + 7k Queremos g(), então: + 7 k + 7 k 7 + k + k Como a solução é S = { R / }, então + k = + k = k = k = O mínimo de K() =. 8. Incorreta. P(). ( ) = ( + ). ( ) = ( ) = 8 6 + 6 +, que não admite termo em. ) E + + + + + + + + + + + + ) D + + + + + 7 + + 9 + + 6 8 + + 9 + + quociente 6 + + 9 6 + + 6 + resto resto
) B ( + ) ( ) = + = Segue, + 6 + + + 6 + + 6 Logo, q() = +. quociente ) A 6 + + + 6) B 7) C 8) B 6 + + + + + 9 + + 9 + 9 + 6 Logo, Q() = + +. + + + Portanto, o produto entre o maior e o menor dos coeficientes é:. = O grau do polinômio P() é: gr(p) = + + + + + 6 = Sabemos que P() = D(). Q() + R(): P() = (² + + 7). (² + ) + ( 8) P() = + ² + ³ + + 7² + 7 + 8 P() = + ³ + 8² + Logo, o coeficiente de 8² é 8. Os polinômios A() e B() têm o mesmo grau. 9) B ) B P() = (² + ). (² + ) + ( + ) P() = 6 + ² 9³ + ² + + P() = 6 9³ + ² + 6 9 + + 6 + 6 6 + + + + + + + + + + + + + + q r + + + + resto ) D + + + + + + + + + resto Portanto, r() = + 6
) E Basta fazer a divisão do polinômio + 7 + + 8 por +. + 7 + + 8 + + 6 + 8 6 6 + + 8 6 8 + 8 8 8 Portanto, a área é dada por A() = + 6 + 8. ) D f() = + + + f() = y A B y = y = O C ) A + k + + + ( k) + ( k ) k = k = k = Área do trapézio AOCB. A = ( + ) 7 = = =, ) a b = ³ a² + b + = (² + ). (c + d) + resto ³ a² + b + = c³ + d² + c² + d c d ³ a² + b + = c³ + (d + c)² + (d c) d Logo: c = c = d = d = d + c = a + = a a = d c = b = b b = 7 a b = ( 7) = + 7 = 6) D + ³ + p² + q + r = (³ + ² + 9 + )(a + b) + + ³ + p² + q + r = a + b³ + a³ + b² + 9a² + 9b + a + b + ³ + p² + q + r = a + (a + b)³ + (9a + b)² + (a + 9b) + b Logo: a = a + b =. + b = b = 9a + b = p 9. +. = p p = 7
7) C Para que 8 + + m + n + seja um polinômio, devemos ter r() =. + 8 + m + n = ( + ) ( a + b + c ) + 8) E + 8 + m + n = a + b + c + a + b + c + 8 + m + n = a + b + (a + c) + b + c Da igualdade de polinômios, temos: a = b = a + c = 8. + c = 8 c = 8 c = b = m m =. m = c = n n =. ( ) n = Portanto, m = e n =. + 7 + + 9 8 8 7 + + + + 7 9 8 + 7 9 8 7 + + 7 + 7 7 6 6 + 7 6 + + + 7 + + 7 + 7 7 + 7 7 7 + + 8 + Logo, r() = 8 +, calculando r() temos: r() = 8. + = 6 + =. 9) a + b + c + d = + + a + + b + + + a + ( a ) + + b + + 8 a + 8+ b a a a ( 8 a ) + b a 8
Como a divisão é eata, temos: 8 a = 8 = a a = e b a = b. = b = 6. + c + d + + + c + ( c+ ) + ( d) ( c+ ) + ( c + ) ( c+ ) ( c+ d) c Como o resto é igual a, temos: c = c = e c + d = + d = d =. Portanto, a + b + c + d = + 6 + + = ) R() = 7 Pela divisibilidade, P() = Q(). D() + R(), temos: ( ). (² + ) = Q(). (² 7 + ) + R() ( ). (² + ) = Q(). ( ). ( ) + R() ( ) 9. (² + ) = Q(). ( ) + R() Como buscamos o valor de R(), temos: ( ) 9. (² + ) = Q(). ( ) + R() 9. 7 = Q(). + R() 7 = R() ) a) Q() = 7² + + e R() = 9 b) Q() = ³ ² + 7 e R() = c) Q() = + ³ + + e R() = 7 d) Q() = ² + + e R() = 9 e) Q() = ² + e R() = a) 7 7 b) c) 9 8 7 6 6 7 Q'() = + ³ +6 + dividindo por temos: Q() = + ³ + + d) 6 9 Q'() = ² + + multiplicando por temos: Q() = ² + + ) D e) 6 Q'() = + ² + multiplicando por temos: Q() = ² + ( ).( a + b + c + d ) P ( ) D ( ) Q ( ) a + (b a)³ + (c b)² + (d c) d Logo, a = b = c = d =. Temos que Q() = ³ + ² + + Q() = ()³ +()² + () + = ou Logo, Q() = ³ +² + + Q() =. ) f() = + ) E Logo, f() = + = +. y a a a 8 Conseguimos descobrir o valor de y do método, pois y. () + 8 = y =. Assim, completando o método: a a a 8 +a +a Temos:. ( + a) a = 8 + 8a a = 8 + 6a = 6a = a = Temos assim os coeficientes do divisor:,,,,8. Logo, D() = ³ ² + + 8. 9
) E 9) A m +m k 6 k 7 k 6 k 6) A 7) B Como o resto deve ser zero, temos que + m = m =. a 8+a Como P() é divisível por D(), logo o resto é zero. Temos assim que 8 + a = a = 8. p 7 +p 6 p Como P() é divisível por +, o resto é zero. Temos assim que 6 p = 6 = p p =. 8) m a a a 6 Sabemos que m =, pois m. 6 = m = 6 m =. Completando o método, e substituindo m por, temos: a +a a a +a Assim:. ( + a) a = 8 + 6a a = 8 + a = a = 6 Com esses resultados sabemos que: P() = ³ ² + 6 Q() = ³ + ² + +. Verdadeiro. P() é um polinômio de grau.. Verdadeiro. P() é divisível por, pois m =.. Verdadeiro. P() = ³ ² + 6 = 6 8. Verdadeiro. P() = ³ ² + 6 = 6 6. Verdadeiro. Q() = ³ + ² + + ) D Como P() é divisível por, o resto é zero. Temos assim que 6 k = k = 6. Se k = 6, então Q() = ² + ( k) + (7 k) Q() = ² +. Divisão de ³ + p + q por + : p q +p p+q Como o resto é, temos p + q = p + q = (i). Divisão de ³ + p + q por : p q +p +p+q ) E Como o resto é 8, temos que: + p + q = 8 p + q = 7 (ii). De (i) e (ii), temos que p = e q = 6. Sabendo que P() = D(). Q() + R(). Logo: P() = (² ). (6² + + ) + (7) = 6 ³ ² Dividindo P() por + : 6 6 Logo, o resto é igual a. i ) Q() = +. Observe que a raiz de 6i é: 6i = = 6i = i Logo: i i 6 i+
) C Observação: i. i = i², mas i² =. Logo, i² =. Temos que: Q'() = ² + i 6 Q() = + i....... Temos que Q() = 9 + 8 + 7 + + e R() =. 9 Logo, Q() = n +, mas =. Então, Q() = ) R() = n= 9 n n=. Pelo teorema do resto, = = P() = ³ +. ² +. = 8 + 8 + = ) R() = Pelo teorema do resto, + = = P() = () 6 () + ()² = 6 6 + = 6) Verdadeira. Pelo teorema do resto: i) = = ii) + = = De i: P() =. ³ +. ² 6 = + 6 = De ii: P =.. 6 + P = 7 + + 6 = Como P() =, logo P() é divisível por. Como P =, logo P() é divisível por +. 7) A 8) A 9) E 6) B 6) A Pelo teorema do resto, = = P() = a. ³. + = 7a 6 + = 7a = 7a = 9 a = Pelo teorema do resto, = = P() = P() é divisível P() = k. ³ +. ² +. + k = k + + + k = + k = k = Pelo teorema do resto + = = P() = (² ). Q() + ( ) P() = (()² () ). Q() + (. () ) P () = ( + ). Q () + ( ) P () =. Q () + () P () = P () = P() = (² + ). (² + ) + ( + ) P() = 6 9³ + ² + Pelo teorema do resto, = = P() = 6. 9. ³ +. ². + P() = 6 9 + + = f() = (² ). ( + ) + ( + k) f() = ³ ² + + k Pelo teorema do resto, = = Como f() é divisível por, então f() = : f() = f() = ³. ² + + k = + + k = + k = k =
6) C Pelo teorema do resto, + = = P = P =. 6) D a. 9 + a + = 9 + a + = a = + = P() = Q(). D() + R() P() = (()³. () ). D() + (. () + 8) P() = ( + ). D() + 8 P() =. D() + 8 P() = + 8 P() = 6) C Temos: = = Pelo teorema do resto, temos: P() =. + m. + = 8 + m 6 + = 8 + m = 8 m = 8 m = m = m = 6) D ERRATA: Para resolução do problema, considere o trinômio + a + b. + = = = = Pelo teorema do resto, temos: P( ) = ( ) + a( ) + b = a + b = (i) P() = + a. + b = a + b = (ii) De (i) e (ii) obtemos o seguinte sistema: + = a b (i) a+ b= (ii) Fazendo (ii) (i), obtemos: a = a = a = Substituindo a = em (ii), teremos: + b = - b = b = Portanto, a b = ( ) = + =. 66). Incorreta. ( ) =..( ) +..( ) + 6 ( ) +. ( ) + ( ) ( ) = 8 + + 6. Incorreta. P() =. +.. + d = + + d = + d = d = Logo, para que = seja raiz do polinômio P() devemos ter d =.. Verdadeiro. P() = ³ + ² P() =. ³ +. ². P() = 8. Verdadeiro. P() = ³ + ² Pelo teorema do resto, + = = P() = (). () ³ +. () ². () P () = + + + P () = 67) C 68) C Como p() é divisível por +, e +, então p() é divisível por ( + ). ( ). ( + ), que possui grau. Logo, o grau de p() é maior ou igual a. P() = (³ + ² + ). k() + (² + + 7) Pelo teorema do resto, k() =. Logo: P() = (³ +. ² + ). k() + (² + + 7) P() = ( + + ). + ( + +7) P() =. + 7 P() = 7 69) p = 7 e q = Pelo teorema do resto, = = P() = P() =. ³ + p. ² +. + q = 6 + p + + q = p + q = 8 (i)
7)B P() = P() =. ³ + p. ² +. + q = + p + + q = p + q = 7 (ii) De (i) e (ii), temos p = 7 e q =. p'() = p'() =. + b. + c = + b + c = b + c = (i) p'() = p'() =. () + b. () + c = b + c = b + c = (ii) De (i) e (ii), temos b = c = Vamos descobrir o valor de d: Pelo teorema do resto, = = p() = p() = ³. ². + d = + d = d = Temos assim que p() = ³ ² +. 7) ERRATA: Para resolução do eercício, considere P() = Q(), em vez de P() = Q(). P() = Q() + a. + b = + a. + b 8 + a + b = + a + b a + b a b = 8 + a + b = (i) Temos ainda: Q() = + a. + b = b = Substituindo b = em (i), teremos: a + = a = 9 a = 9 a = Logo, P() = + Q() = +. Correta. P() + Q() = + + + P() + Q() = + + 7) D. Incorreta. Q() = + a = b = c = Δ = b ac Δ = ( ). (). Δ = 9 6 Δ = 7 < Logo, não possui raiz real.. Correta. De fato, P() =. +. P() = + P() = P() = 8. Incorreta. + = = Pelo teorema do resto, temos: P() = ( ) ( ) + ( ) P( ) = P( ) = 6. Incorreta. + + + / / / resto Como r(), então P() não é divisível por Q(). P() = Q(). ( ) + P = Q. + P = + P = (² ). P() = Q (). ( ) + k. P = Q. + k. P = + k 9. = K 9 = k
7) a + b = + = Do enunciado temos: P( ) = P() = 6 (teorema do resto) Temos ainda: P() = ( + )( )Q() + a + b Daí, P( ) = ( + ). ( ) Q( ) + a + b =. ( ) Q( ) + a( ) + b = a + b = (i) P() = ( + ). ( ) Q() + a + b = 6. Q() + a + b = 6 a + b = 6 (ii) De (i) e (ii) obtemos o seguinte sistema linear: + = a b () i a+ b= 6 () ii Fazendo (ii) (i), teremos: a = a = a = Substituindo a = em (i), obtemos: + b = b = Portanto, a + b = + =. 7) R() = + P() = ( ). Q() + a + b = P() = ( ). Q() + a. + b =. Q() + a + b = a + b = (i) P() = ( + ). Q() + a + b = P() = ( + ). Q() + a() + b =. Q() a + b = a + b = (ii) De (i) e (ii) temos que a = e b =. 7) C Sabendo que: P() = (² + ). (² ) + ( a + b ) R ( ) P() = ² + ³ + a + b P() = + ³ ² + ( + a) + b Pelo teorema do resto, temos = =. P() = P() = + ³. ² + ( + a). + b = + + ( + a) + b = + a + b = a + b = (i) Se R() = a + b, então R() = a + b = (ii). De (i) e (ii), temos que a =. Logo, o termo de grau é + a = + =. 76) B + m + + ( m) + + ( m ) + Logo, r() = (m ) + Para que o resto seja independente de, devemos ter: m = m = 77) V - V - V - V Verdadeira. Seja a + b um polinômio qualquer de grau. Efetuando a divisão por D(), temos: a + b a + a a a+ b resto Note que o resto é igual à soma dos coeficientes. Verdadeira. Seja P() = n k= a Pelo teorema do resto temos: = (raiz do polinômio ) P() = a + a. + + a n n P() = a k k Então podemos afirmar que o resto vai ser igual ao termo independente.
78) Verdadeira. Da a afirmação temos que o resto da divisão de P() por um binômio D() = é igual à soma dos coeficientes. Então R() é igual a ( n+ ), porém os coeficientes desse polinômio são os termos de uma P.A. de razão igual a. Logo: S = ( + ). = n= Verdadeira. Pelo teorema do resto: + = = Substituindo em P(), temos: 9 9 n P() =.( ) desenvolvendo n n = P( ) = 9 () + 9 () + + 9 8 ()8 + 9 9 ()9 = 9 9 + + 9 9 8 9 Note que os elementos desse somatório são os mesmos do triângulo de Pascal. E sabemos que os coeficientes binomiais equidistantes pertencentes à mesma linha possuem valores numéricos iguais, ou seja: 9 9 9 = = 9 + 9 =. 8 Então P() =. Logo P() é divisível por D(). P() = ³ ² + 9999. Escrevendo os coeficientes em potência de, temos: P() = ³. ² ( + ) + ( ) Pelo teorema do resto, = = +. Logo: P( + ) = ( + )³. ( + )² ( + ). ( + ) + ( ) = ( + )². [ + ] 8. + = 8 +. + 8. + =