Controle Modal e Observador de Estado - Estabilizador 1

Capítulo 3 Control Modal Obsrvador d Estado - Estabilizador 1 O principal objtivo dst capítulo é dfinir o concito d obsrvador d stado d control modal, como pré-rquisitos d projto d stabilizadors 31 Princípio d Control Modal O objtivo d Control Modal é ncontrar um squma d ralimntação qu faça o stado do sistma a sr controlado convrgir para zro m rgim prmannt, msmo qu o sistma m malha abrta sja instávl A ralimntação é fita através do vtor d stado, todos os polos do sistma ralimntado são arbitrariamnt spcificados ou scolhidos Esta stratégia d control só é possívl sr implmntada s o sistma a sr controlado for controlávl Daí a importância do concito d controlabilidad 311 Caso Contínuo Sja o sistma controlávl contínuo, d ordm n, ẋ = Ax+Bu Podmos dfinir um controlador da sguint forma u = Kx, ond o vtor K, d dimnsão [1 n], é convnintmnt calculado Assim, podmos scrvr qu ẋ = (A BK)x Escolhndo-s K d tal forma qu as raízs da quação caractrística, tnham part ral ngativa, garant-s qu dt(si [A BK]) =, lim x(t) =, t assgurando qu, m rgim prmannt, x convrg para zro 312 Caso Discrto Sja o sistma controlávl discrto, d ordm n, x(k +1) = Φx(k)+Γu(k) Podmos dfinir um controlador da sguint forma u(k) = Kx(k), 54

Control Modal Obsrvador d Estado - Estabilizador 1 55 ond o vtor K, d dimnsão [1 n], é convnintmnt calculado Podmos scrvr qu x(k +1) = (Φ ΓK)x(k) Escolhndo-s K d tal forma qu as raízs da quação caractrística, dt(zi [Φ ΓK]) =, stjam dntro do círculo unitário, garant-s qu lim x(k) =, k assgurando qu, m rgim prmannt, a squüência x(k) convrg para zro 32 Projto d Control Modal A concpção d projto é totalmnt difrnt da do control clássico Aqui, scolhm-s todas as raízs dsjadas para o polinômio caractrístico, ou sja, scolh-s o polinômio caractrístico dsjado para o sistma ralimntado;, a partir dst, calcula-s a matriz K 321 Caso Contínuo Vamos dscrvr o método nos sguints passos: Primiro Passo: Dado o sistma contínuo controlávl d ordm n, ẋ = Ax+Bu, podmos calcular uma transformação d similaridad T, tal qu x = Tz, ond ż = Fz+Gu, a 1 a 2 a n F = T 1 AT = I n 1 G = T 1 B 1 = Sgundo Passo: Vamos spcificar, no smiplano squrdo, a localização dsjada para os polos m malha fchada, dnotados por λ 1,,λ n A sguir, vamos calcular o polinômio caractrístico dsjado para o sistma m malha fchada s n α 1 s (n 1) α n = (s λ 1 )(s λ 2 ) (s λ n ) Trciro Passo: Podmos, agora, dtrminar o controlador para o sistma na forma canônica d controlabilidad, dfinindo a matriz K z por K z = [ a 1 α 1 a 2 α 2 a n α n ], o controlador por u = K z z

56 Notas d Aula Obsrv qu Podmos scrvr qu (F GK z ) = α 1 α 2 α n I n 1 ż = (F GK z )z α 1 α 2 α n = I n 1 z, o qu comprova qu foi stablcido o polinômio caractrístico spcificado, pois α 1 α 2 α n dt si I n 1 = sn α 1 s n 1 α n Quarto Passo: A matriz K é dada por K = K z T 1 Com a dfinição acima o sistma transformado, podmos voltar ao sistma original qu Tż = T(F GK z )z = T(F GK z )T 1 Tz = (TFT 1 )Tz (TG)(K z T 1 )Tz, 322 Caso Discrto ẋ = Ax BKx Vamos dscrvr o método nos sguints passos: Primiro Passo: Dado o sistma controlávl discrto d ordm n, = Ax+Bu x(k +1) = Φx(k)+Γu(k), podmos calcular uma transformação d similaridad T, tal qu x(k) = Tz(k), ond z(k +1) = Fz(k)+Gu(k), F = T 1 ΦT = a 1 a 2 a n I n 1 G = T 1 Γ 1 =

Control Modal Obsrvador d Estado - Estabilizador 1 57 Sgundo Passo: Vamos spcificar, dntro do círculo unitário, a localização dsjada para os polos m malha fchada, dnotados por λ 1,,λ n A sguir, vamos calcular o polinômio caractrístico dsjado para o sistma m malha fchada z n α 1 z (n 1) α n = (z λ 1 )(z λ 2 ) (z λ n ) Trciro Passo: Podmos, agora, dtrminar o controlador para o sistma na forma canônica d controlabilidad, dfinindo a matriz K z por o controlador por Obsrv qu Podmos scrvr qu K z = [ a 1 α 1 a 2 α 2 a n α n ], (F GK z ) = u(k) = K z z(k) α 1 α 2 α n I n 1 z(k +1) = (F GK z )z(k) α 1 α 2 α n = I n 1 z(k), o qu comprova qu foi stablcido o polinômio caractrístico spcificado, pois α 1 α 2 α n dt zi I n 1 = zn α 1 z n 1 α n Quarto Passo: A matriz K é dada por K = K z T 1 Com a dfinição acima o sistma transformado, podmos voltar ao sistma original qu Tz(k +1) = T(F GK z )z(k) = T(F GK z )T 1 Tz(k) = (TFT 1 )Tz(k) (TG)(K z T 1 )Tz(k), x(k +1) = Φx(k) ΓKx(k) = Φx(k)+Γu(k) 33 Princípio d Obsrvador d Estado Vimos qu para s implmntar o squma d control modal, é ncssário s tr acsso ao vtor d stado A ncssidad d obsrvador d stado surgiu da impossibilidad d s mdir os stados do sistma a sr controlado, m dcorrência d custo muito lvado ou d impossibilidad técnica Comsmprépossívlmdirantradaasaídadosistmaasrcontrolado,pod-sstablcr um squma qu prmita indirtamnt stimar (obsrvar) as suas variávis d stado, dsd qu o msmo sja obsrvávl Daí a importância do concito d obsrvabilidad Com o stado obsrvado, pod-s implmntar um control modal como s o stado do sistma a sr controlado foss dirtamnt mdido Obsrvadors d stado podm sr pnsados como mdidors do vtor d stado através dos sinais d ntrada d saída

58 Notas d Aula 331 Caso Contínuo Sja o sistma contínuo obsrvávl, d ordm n, ẋ = Ax+Bu y = Cx+Du Podmos dfinir um obsrvador da sguint forma ˆx = (A LC)ˆx+Bu+L(y Du), ond o vtor L, d dimnsão [n 1], é convnintmnt calculado Dfinindo o vtor rro d stado, x, por x = x ˆx, podmos scrvr x = (A LC) x Escolhndo-s L d tal forma qu as raízs da quação caractrística, tnham part ral ngativa, garant-s qu assgurando qu m rgim prmannt ˆx é x 332 Caso Discrto Sja o sistma discrto, d ordm n, (si [A LC]) =, lim =, t x(t) x(k +1) = Φx(k)+Γu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k), obsrvávl Podmos dfinir um obsrvador da sguint forma ˆx(k +1) = (Φ LC)ˆx(k)+Γu(k)+L(y(k) Du(k)), ond o vtor L, d dimnsão [n 1], é convnintmnt calculado Dfinindo o vtor rro d stado, x(k), por x(k) = x(k) ˆx(k), podmos scrvr x(k +1) = (Φ LC) x(k) Escolhndo-s L d tal forma qu as raízs da quação caractrística, (zi [Φ LC]) =, stjam dntro do círculo unitário, garant-s qu lim =, k x(k) assgurando qu m rgim prmannt ˆx(k) é x(k) 34 Projto d Obsrvador d Estado Quando o procsso a sr controlado é obsrvávl, é possívl arbitrariamnt scolhr o polinômio caractrístico associado ao obsrvador

Control Modal Obsrvador d Estado - Estabilizador 1 59 341 Caso Contínuo Vamos dscrvr o método nos sguints passos: Primiro Passo: Dado o sistma contínuo obsrvávl, d ordm n, ẋ = Ax+Bu y = Cx+Du, podmos calcular uma transformação d similaridad T, tal qu ond F = T 1 AT = G = T 1 B, x = Tz, ż = Fz+Gu y = Hz+Du, a 1 a 2 I n 1 a n H = CT = [ 1 ] Sgundo Passo: Vamos spcificar, no smiplano squrdo, a localização dsjada para os polos do stimador, dnotados por λ 1,,λ n A sguir, vamos calcular o polinômio caractrístico dsjado, s n α (n 1) 1 α n = (s λ 1 )(s λ 2 ) (s λ n ) Trciro Passo: Podmos, agora, dtrminar o obsrvador para o sistma na forma canônica d obsrvabilidad, dfinindo o vtor L z por a 1 α 1 a 2 α 2 o obsrvador por Obsrv qu L z = a n α n, ẑ = (F L z H)ẑ+Gu+L z (y Du) (F L z H) = Dfinindo o vtor rro d stado, z, por α 1 α 2 I n 1 α n z = z ẑ, podmos scrvr z = α 1 α 2 I n 1 α n z,

6 Notas d Aula o qu comprova qu foi stablcido o polinômio caractrístico spcificado α 1 dt si α 2 I n 1 = sn α 1 s n 1 α n α n Quarto Passo: Vamos rtornar agora ao sistma original Podmos scrvr qu Assim, Dfinindo-s podmos scrvr o obsvador T ẑ = T(F L z H)ẑ+TGu+TL z (y Du) T ẑ = T(F L z H)T 1 Tẑ+TGu+TL z (y Du) = (TFT 1 TL z CT 1 )Tẑ+Bu+TL z (y Du) = (A TL z H)Tẑ+Bu+TL z (y Du) ˆx = Tẑ, L = TL z, ˆx = (A LC)ˆx+Bu+L(y Du) 342 Caso Discrto Vamos dscrvr o método nos sguints passos: Primiro Passo: Dado o sistma discrto obsrvávl, d ordm n, x(k +1) = Φx(k)+Γu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k), podmos calcular uma transformação d similaridad T, tal qu ond x(k) = Tzk), zk +1) = Fz(k)+Gu(k) F = T 1 ΦT = G = T 1 Γ, y(k) = Hz(k) + Du(k), a 1 a 2 I n 1 a n H = CT = [ 1 ] Sgundo Passo: Vamos spcificar, dntro do círculo unitário, a localização dsjada para os polos do stimador, dnotados por λ 1,,λ n A sguir, vamos calcular o polinômio caractrístico dsjado, z n α (n 1) 1 α n = (z λ 1 )(z λ 1 ) (z λ n )

Control Modal Obsrvador d Estado - Estabilizador 1 61 Trciro Passo: Podmos, agora, dtrminar o obsrvador para o sistma na forma canônica d obsrvabilidad, dfinindo o vtor L z por a 1 α 1 a 2 α 2 L z =, a n α n o obsrvador por ẑ(k +1) = (F L z H)ẑ(k)+Gu(k)+L z (y(k) Du(k)) Quarto Passo: Vamos rtornar agora ao sistma original Podmos scrvr qu Assim, Dfinindo-s Tẑ(k +1) = T(F L z H)ẑ(k)+TGu(k)+TL z (y(k) Du(k)) Tẑ(k +1) = T(F L z H)T 1 Tẑ(k)+TGu(k)+TL z (y Du(k)) podmos scrvr o obsvador = (TFT 1 TL z HT 1 )Tẑ(k)+Γu(k)+TL z (y(k) Du(k)) = (Φ TL z H)Tẑ(k)+Γu(k)+TL z (y(k) Du(k)) ˆx(k) = Tẑ(k), L = TL z, ˆx(k +1) = (Φ LC)ˆx(k)+Γu(k)+L(y(k) Du(k)) 35 Control Modal com Obsrvador d Estado - Estabilizador Quando o stado não é mnsurávl, torna-s ncssário ralizar um control modal com stados obsrvados Mostrarmos qu st squma pod sr ralizado para todo sistma controlávl obsrvávl Est squma dfin um stabilizador 351 Caso Contínuo Dado o sistma contínuo controlávl obsrvávl, d ordm n, podmos projtar o obsrvador ẋ = Ax+Bu y = Cx+Du, ˆx = (A LC)ˆx+Bu+L(y Du), dfinir como li d control Dfinindo o rro d stado por podmos scrvr qu [ ẋ x ] = u = Kˆx x = x ˆx, [ A BK BK A LC ][ x x ]

62 Notas d Aula Consqüntmnt, dt ( si [ A BK BK A LC ]) = dt(si [A BK]) dt(si [A LC]), o qu prova qu os pólos do sistma combinado são os msmos da união dos pólos spcificados para o obsrvador com os pólos spcificados para o controlador S os pólos do obsrvador os pólos do controlador tivrm part ral ngativa, ntão plo Torma da Estabilidad t x(t) lim = lim x(t) = t lim t y(t) = Para procssos com transfrência dirta (D ) o stabilizador pod sr agora dfinido como ẋ = Ax+Bu y = Cx+Du, ˆx = (A LC BK+LDK)ˆx+Ly u = Kˆx A Figura 31 mostra st tipo d stabilizador u y x = [A LC BK + LDK] x + Ly u = K x ẋ = Ax + Bu y = Cx + Du Figura 31: Estabilizador para procssos com transfrência dirta Para procssos sm transfrência dirta ẋ = Ax+Bu y = Cx, o stabilizador fica dfinido como ˆx = (A LC BK)ˆx+Ly u = Kˆx A Figura 32 mostra st tipo d stabilizador 352 Caso Discrto Dado o sistma discrto controlávl obsrvávl, d ordm n, x(k +1) = Φx(k)+Γu(k) y = Cx(k)+Du(k),

Control Modal Obsrvador d Estado - Estabilizador 1 63 u y x = [A LC BK] x + Ly u = K x ẋ = Ax + Bu y = Cx Figura 32: Estabilizador para procssos sm transfrência dirta podmos projtar o obsrvador dfinir como li d control Dfinindo o rro d stado por podmos scrvr qu ˆx(k +1) = (Φ LC)ˆx(k)+Γu(k)+L(y(k) Du(k)), [ x(k +1) x(k +1) ] = u(k) = Kˆx(k) x(k) = x(k) ˆx(k), [ Φ ΓK ΓK Φ LC ][ x(k) x(k) ] Consqüntmnt, dt ( zi [ Φ ΓK ΓK Φ LC ]) = dt(zi [Φ ΓK]) dt(zi [Φ LC]), o qu prova qu os pólos do sistma combinado são os msmos da união dos pólos spcificados para o obsrvador com os pólos spcificados para o controlador S os pólos do obsrvador os pólos do controlador tivrm part ral ngativa, ntão plo Torma da Estabilidad t x(k) lim = lim x(k) = t lim t y(k) = Para procssos com transfrência dirta (D ) o stabilizador pod sr agora dfinido como x(k +1) = Φx(k)+Γu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k), ˆx(k +1) = (Φ LC ΓK+LDK)ˆx(k)+Ly(k) u(k) = Kˆx(k) A Figura 33 mostra st tipo d stabilizador Para procssos sm transfrência dirta x(k +1) = Φx(k)+Γu(k) y(k) = Cx(k),

64 Notas d Aula u(k) y(k) x(k + 1) = [Φ LC ΓK + LDK] x(k) + Ly(k) u(k) = K x(k) x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) Figura 33: Estabilizador para procssos com transfrência dirta o stabilizador fica dfinido como ˆx(k +1) = (Φ LC ΓK)ˆx(k)+Ly(k) u(k) = Kˆx(k) A Figura 34 mostra st tipo d stabilizador u(k) y(k) x(k + 1) = [Φ LC ΓK] x(k) + Ly(k) u(k) = K x(k) x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) y(k) = Cx(k) Figura 34: Estabilizador para procssos sm transfrência dirta 36 Exmplo Sja o sistma ẋ = 1 2 1 2 x+ 2 u 2 1 3 y = [ 1 1 ] x a) Encontrar um control modal d tal forma qu os pólos do sistma ralimntado stjam posicionados m,5,,5,,5; b) Encontrar um obsrvador d stado d tal forma qu os pólos do sistma qu dscrv o rro d stado sjam 1, 1, 1; c) Encontrar o stabilizador Solução: a) Do sistma podmos scrvr qu 1 2 A = 1 2 2 1 3 B = 2

Control Modal Obsrvador d Estado - Estabilizador 1 65 C = [ 1 1 ] Primiro Passo: Encontrar T F C x = [ B AB A 2 B ] 2 2 2 = 2 2 4 14 dt(c x ) = 72 Portanto, o sistma é controlávl Mas,,5,5 Cx 1,3889,556 = r 1 r 2, 1111, 556 r 3 A matriz T 1 é T 1 = r 3 = [,1111,556 ] r 3A 2 r 3 A r 3,5,5,5 =,1667,1667, 1111, 556 T = 2 2 12 2 6 4 6 Finalmnt podmos scrvr qu F=T 1 AT = 2 3 1 = a 1 a 2 a 3 1 1 1 a 1 = 2 a 2 = 3 a 3 = Sgundo Passo: λ 1 =,5 λ 2 =,5 λ 3 =,5 Assim, s 3 α 1 s 2 α 2 s α 3 = (s λ 1 )(s λ 2 )(s λ 3 ) = (s+,5) 3 = s 3 +1,5s 2 +,75s+,125,

66 Notas d Aula Trciro Passo: K z Quarto Passo: K α 1 = 1,5 α 2 =,75 α 1 =,125 K z = [ a 1 α 1 a 2 α 2 a 3 α 3 ] = [ 2+1,5 3+,75 +,125 ] = [,5 3,75,125 ] O controlador srá K = K z T 1 = [,5 3,75,125 ],5,5,5,1667,1667, 1111, 556 b) Primiro Passo: Encontrar T F = [,25,3889,8681 ] u = Kx = [,25,3889,8681 ] x C O x = CA = 1 1 3 3 3 CA 2 6 3 9 dt(o x ) = 9 Assim, o sistma é obsrvávl Mas, Ox 1 = [ ] 2,3333,3333 r 1 r 2 r 3 = 1,3333 1, 3333, 3333 Assim, r 3 =,3333, 3333 T = [ ],3333,3333,3333 A 2 r 3 Ar 3 r 3 =,3333,3333, 6667, 3333, 3333 Finalmnt podmos scrvr qu F=T 1 AT = 2 1 3 1 = a 1 1 a 2 1 a 3

Control Modal Obsrvador d Estado - Estabilizador 1 67 Sgundo Passo: a 1 = 2 a 2 = 3 a 3 = Assim, λ 1 = 1 λ 2 = 1 λ 3 = 1 s 3 α 1 s 2 α 2 s α 3 = (s λ 1 )(s λ 2 )(s λ 3 ) = (s+1) 3 = s 3 +3s 2 +3s+1, α 1 α 2 = 3 = 3 α 1 = 1 Trciro Passo: L z Quarto Passo: O obsrvador srá L z = a 1 α 1 a 2 α 2 = 2+3 3+3 = 1 6 a 3 α 3 +1 1 2 L = TL z = 2, 3333 1 3 2 2 A LC = 3, 3333 2 2, 3333 1 1 2 ˆx = (A LC)ˆx+Bu+Ly 3 2 2 = 3, 3333 2 2, 3333 ˆx+ 2 2 u+ 2, 3333 y 1 1 2 1 c) S o stado não for disponívl, pod-s usar a li d control O stabilizador fica dfinido como u = Kˆx = [,25,3889,8681 ]ˆx ˆx = (A LC BK)ˆx+Ly 25 27778 2638 2 = 3, 3333 2 2, 3333 ˆx+ 2, 3333 y 1 1 2 1 u = Kˆx = [,25,3889,8681 ]ˆx

68 Notas d Aula 37 Exrcícios 1 Sja o sistma x(k +1) = 1 1 2 1 1 x(k)+ y(k) = [ 1 ] x(k) 2 1 u(k) a) Dtrminar o ganho L d um obsrvador d tal forma qu o rro d stado sja rgido por um sistma com pólos m,3,,2,1 b) Dtrminar o ganho K d um control modal d tal forma qu os pólos fiqum posicionados m,8 c) Dtrminar o stabilizador 2 Considr o sistma abaixo d dt x = 1 3 1 1 1 x+ y(k) = [ 1 1 ] x(k) a) Dtrminar o ganho K d um control modal d tal forma qu os pólos fiqum posicionados m -1, -1-3 b) Dtrminar o ganho L d um obsrvador d tal forma qu o rro d stado sja rgido por um sistma com pólos m -5 c) Dtrminar o stabilizador 3 Sja o sistma x(k +1) = 1 2 1 2 3 1 4 x(k)+ y(k) = [ 1 1 ] x(k) 1 1 u u(k) a) Dtrminar um control modal d tal forma qu os pólos fiqum posicionados m,1,,2,5; b) Dtrminar um obsrvador d tal forma qu o rro d stado sja rgido por um sistma com pólos m,3,,2,2 4 Considr o sistma abaixo d dt x = 1 2 1 2 3 1 4 y = [ 1 1 ] x x+ a) Dtrminar um control modal d tal forma qu os pólos fiqum posicionados m -1, -2-5 b) Dtrminar um obsrvador d tal forma qu o rro d stado sja rgido por um sistma com pólos m -3, -2-2 1 1 u

Control Modal Obsrvador d Estado - Estabilizador 1 69 38 Rspostas dos Exrcícios 1 2 a) b) c) a) b) c) x(k +1) = L =,4 2,11,994 K = [,515 2,429 5,347 ],429 5,859 1,693,625 2,429 4,347 x(k)+,4 2,11 y(k), 6,994 u(k) = [,515 2,429 5,347 ] x(k) x = K = [ 6 4 1 ] L = 43,5 19,5 27,5 48,5 7 46,5 18, 5 19, 5 x+ 43,5 19,5 y 27,5 1 27,5 27,5 u = [ 6 4 1 ] x 3 4 a) b) a) b) x(k +1) = x = u(k) = [ 9,85 6,2 33,35 ] x(k) 1,948 2 1,948 4,32 2 1,32 x(k)+ 1 u(k)+ 2,948 4,32 y(k) 2,352,648 3,352 u = [ 11,333 3,667 67,667 ] x 4,667 2 4,667 1 2 7 x+ 1 1 u+ 3,667 1, y 16,667 13,667 17, 667