Introdução à Matemática

Universidade Estadual de Goiás Unidade Universitária de Ciências Sócio-Econômicas e Humanas de Anápolis Introdução à Matemática Conjuntos e Conjuntos Numéricos Introdução A noção de conjunto Propriedades, condições e conjuntos Igualdade de conjuntos Conjuntos vazio, unitário e universo Subconjuntos e a relação de inclusão Conjunto das partes Complementar de um conjunto Operação entre conjuntos A B C Prof. Elisabete Tomomi Kowata betetk2010@gmail.com 1

1 Introdução Analise a seguinte situação-problema: Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol; 18 gostam de basquete; 14 gostam de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 gostam de futebol e de vôlei; 8 gostam de basquete e de vôlei e 5 gostam das três modalidades. 2

1 Introdução Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes? Quantas gostam somente de futebol? Quantas gostam só de basquete? Quantas gostam apenas de vôlei? E quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei? Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambas? 3

1 Introdução Como responder essas questões? 4

1 Introdução Como responder essas questões? Para resolver questões desse tipo, devemos utilizar conhecimentos de conjuntos. 5

2 A noção de conjunto Definição Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. (DANTE, 2001). Um conjunto é uma coleção ou grupo de objetos. Os objetos que constituem um conjunto, são chamados elementos. (IEZZI, 2011). 6

2 A noção de conjunto Como dar nome a um conjunto? Usamos uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, X etc. Como representar um conjunto? É habitual representar um conjunto pelos pontos interiores a uma linha fechada chamado diagrama de Venn. 7

2 A noção de conjunto Exemplos: Conjunto dos estados da região Sudeste do Brasil: S = {São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Espírito Santo} Conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 13...} Conjunto dos quadriláteros: C = {quadrilátero} 8

2 A noção de conjunto Exemplos: Conjunto das cores da bandeira brasileira D = {verde, amarelo, azul e branco} Conjunto das vogais do alfabeto: B = {a, e, i, o, u} Conjunto dos nomes dos dias da semana: C = {segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado, domingo} 9

2 A noção de conjunto Exemplos: Conjunto das vogais do alfabeto: B = {a, e, i, o, u} B a e i o u 10

2 A noção de conjunto Exemplos: Conjunto dos estados da região Sudeste do Brasil: S = {São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Espírito Santo} Conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...} Conjunto dos quadriláteros: C = {quadrilátero} Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A. 11

2 A noção de conjunto Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A. a pertence a A a A 12

2 A noção de conjunto Quando a não pertence a A. a A Ex.: Minas Gerais S e Paraná S. 2 B e 9 B. Retângulo C e triângulo C. 13

2 A noção de conjunto Exemplos: Conjunto dos estados da região Sudeste do Brasil: S = {São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Espírito Santo} Conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...} Conjunto dos quadriláteros: C = {quadrilátero} Ex.: Minas Gerais S e Paraná S. 2 B e 9 B. Retângulo C e triângulo C. 14

3 Propriedades, condições e conjuntos Consideremos a propriedade p: p: x é um número natural ímpar. Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...} 15

3 Propriedades, condições e conjuntos Consideremos a propriedade p: p: x é um número natural ímpar. Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...} Assim, é indiferente dizer que x possui a propriedade p ou que x I. 16

3 Propriedades, condições e conjuntos Consideremos a condição c: c: x é um número inteiro que satisfaz a condição Essa condição pode ser expressa pelo conjunto A = {-2, 2} É indiferente dizer que x satisfaz a condição c ou que x A. 17

4 Igualdade de conjuntos Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Por exemplo: Se A={números naturais pares} e B={0,2,4,6,8,10,12,...} Então A = B. 18

4 Igualdade de conjuntos Se A não é igual a B, Então A é diferente de B. Escrevemos: A B. 19

4 Igualdade de conjuntos Observação: {1,2} = {1,1,1,2,2,2,2,2}, Pois possuem os mesmos elementos. A quantidade de vezes que eles aparecem não é importante. 20

Exercícios Fazer os exercícios 1 a 6 da página 14. 21

5 Conjuntos vazio, unitário e universo Conjunto vazio: Notação: ou { } Onde utilizar: para uma propriedade contraditória qualquer. Exemplo: {números naturais ímpares menores do que 1} {x x é um número natural ímpar menor do que 1} =, pois não há número natural ímpar menor do que 1. Lê-se tal que 22

5 Conjuntos vazio, unitário e universo Conjunto unitário: Formado por um único elemento. Exemplo: {números naturais pares e primos} = {x x é um número natural par e primo} = {2}, pois o único número natural par e primo é o 2. Lê-se tal que 23

5 Conjuntos vazio, unitário e universo Curiosidade: é diferente de { }, pois { } é um conjunto unitário que tem como único elemento o conjunto vazio. 24

5 Conjuntos vazio, unitário e universo Conjunto universo: Notação: U Conjunto formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado assunto. Fixado o universo U, todos os elementos pertecem a U e todos os conjuntos são partes de U. Exemplo: Se U é o conjunto dos números naturais, então a equação x + 5 = 2 não tem solução; porém, se U é o conjunto dos números inteiros, então a equação x + 5 = 2 tem como solução x = -3. 25

Exercícios Fazer os exercícios 7 e 8 das páginas 14 e 15. 26

6 Conjuntos e a relação de inclusão Consideremos dois conjuntos A e B. Se todos os elementos de A forem também elementos de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda, que A é parte de B. Indicamos esse fato por A B. A é subconjunto de B ou A B lê-se A está contido em B ou A é parte de B 27

6 Conjuntos e a relação de inclusão Exemplo 1: Consideremos dois conjuntos A e B. A = {1, 3, 7} B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} A B B A 2 5 6 8 1 3 7 U 28

6 Conjuntos e a relação de inclusão Exemplo 2: Consideremos dois conjuntos A e B. A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 4} B 4 A B, pois 3 A e 3 B. Nesse caso, Também B A. A 1 2 3 U 29

6 Conjuntos e a relação de inclusão Um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando qualquer elemento de A também pertence a B. 30

6 Conjuntos e a relação de inclusão Relação de Inclusão A relação A B chama-se relação de inclusão. Casos particulares extremos de inclusão: A A, pois é claro que qualquer elemento de A pertence a A. A, qualquer que seja o conjunto A, pois, se admitíssemos que A, teríamos um elemento x tal que x e x A. Mas x é impossível. Logo, A. 31

6 Conjuntos e a relação de inclusão Relação de inclusão: 3 propriedades básicas: Propriedade reflexiva Propriedade antissimétrica Propriedade transitiva 32

6 Conjuntos e a relação de inclusão Relação de inclusão: Dados os conjuntos A, B e C quaisquer de um determinado universo U, temos: A A (propriedade reflexiva) Se A B e B A, então A=B (propriedade antissimétrica) usado quando se quer provar que dois conjuntos são iguais. Se A B e B C, então A C (propriedade transitiva) usado nas deduções (lógica) 33

6 Conjuntos e a relação de inclusão Relação de inclusão: Exemplo de Silogismo: P: conjunto dos paulistas B: conjunto dos brasileiros S: conjunto dos sul-americanos Todo paulista é brasileiro. Todo brasileiro é sul-americano. Então, todo paulista é sul-americano. S B P Se P B e B S, então P S. 34

7 Conjunto das partes Dado o conjunto A={a, e, i}, é possível escrever todos os subconjuntos (ou todas as partes) de A. Esse conjunto formado por todos os subconjuntos de A é chamado de conjunto das partes de A e é indicado por P(A). 36

7 Conjunto das partes Exemplo: A={a, e, i} P(A)={ {a,e,i}}, {a}, {e}, {i}, {a,e}, {a,i}, {e,i}, {a} P(A), {a,e} P(A), {a,e,i} P(A) E não {a} P(A), {a,e} P(A), {a,e,i} P(A) 37

7 Conjunto das partes Exemplo: A={a, e, i} P(A)={ {a,e,i}}, {a}, {e}, {i}, {a,e}, {a,i}, {e,i}, Se A tem n elementos, P(A) tem elementos. 38

8 Complementar de um conjunto Dado o universo U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e o conjunto A={1,3,5,7}, dizemos que o complementar de A em relação a U é {0,2,4,6,8,9}, ou seja, é o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Notação: 40

8 Complementar de um conjunto U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} A={1,3,5,7} ={0,2,4,6,8,9} A 1 3 5 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 U 41

9 Operação entre conjuntos Reunião ou união Intersecção Diferença 43

9 Operação entre conjuntos Reunião ou união Dados dois conjuntos A e B, a reunião A B é o conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B: A B ={x x A ou x B} 44

9 Operação entre conjuntos Reunião ou união Exemplo: Se A={3, 6} e B={5, 6}, então A B={3, 5, 6} 45

9 Operação entre conjuntos Reunião ou união A B A B 3 6 5 6 3 6 5 46

9 Operação entre conjuntos Intersecção Dados dois conjuntos A e B, a intersecção A B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B: A B ={x x A e x B} 47

9 Operação entre conjuntos Intersecção Exemplo: Se A={3, 6} e B={5, 6}, então A B={6} 48

9 Operação entre conjuntos Intersecção A B A B 3 6 5 6 6 49

9 Operação entre conjuntos Diferença Dados os conjuntos A={0,1,3,6,8,9} e B={1,4,9,90}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. Assim, C={0,3,6,8} 50

9 Operação entre conjuntos Diferença Notação:A B (lê-se: A menos B) A B = {x x A e x B} 51

9 Operação entre conjuntos Diferença A B A B 3 6 5 6 3 52

Exercícios Fazer os exercícios 21 a 30 das páginas 18 e 19. 53

10 Exercício apresentado na introdução Analise a seguinte situação-problema: Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol; 18 gostam de basquete; 14 gostam de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 gostam de futebol e de vôlei; 8 gostam de basquete e de vôlei e 5 gostam das três modalidades. 54

10 Exercício apresentado na introdução Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes? Quantas gostam somente de futebol? Quantas gostam só de basquete? Quantas gostam apenas de vôlei? E quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei? Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambas? 55

10 Exercício apresentado na introdução Passos para resolução: 1) Desenhar os conjunto com suas identificações. F B V 56

10 Exercício apresentado na introdução Passos para resolução: 2) Colocar os valores em cada conjunto. F B 18 14 V 57

10 Exercício apresentado na introdução 10 Passos para resolução: 2) Continue colocando os valores em cada conjunto. F B 18 5 9 8 14 V 58

10 Exercício apresentado na introdução 10?=5 Passos para resolução: 3) Insira o número de pessoas que gostam das três modalidades no centro do conjunto. F B 18??? 5 5?? 9-?=4 8-?=3 14? V 59

10 Exercício apresentado na introdução F 10 5=5 B Passos para resolução: 4) Calcule o número de pessoas que gostam de duas modalidades, conforme o número apresentado no enunciado. 18? 5? 5 5 4 3 9-5=4 8-5=3 14? V 60

10 Exercício apresentado na introdução 10 5=5 Passos para resolução: 5) Calcule os números de pessoas que gostam de cada modalidade. F B 18 (5+5+3)=5 9 5 5 5 5 4 3 9-5=4 8-5=3 14-(5+4+3)=2 2 V 61

10 Exercício apresentado na introdução Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes? Quantas gostam somente de futebol? Quantas gostam só de basquete? Quantas gostam apenas de vôlei? E quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei? Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambas? 62

Referências DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume Único. 3. ed., São Paulo: Ática, 2011. IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática: volume único. 5. ed., São Paulo: Atual, 2011. 64

Dúvidas? Contato: betetk2010@gmail.com 65