Limites e Continuidade

Limites e Continuidade Gláucio Terra glaucio@ime.usp.br Departamento de Matemática IME - USP Elementos de Lógica Matemática p. 1/1

Revisão Elementos de Lógica Matemática p. 2/1

Limite de uma Função num Ponto DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, x 0,L R. lim f(x) = L x x 0 significa: ǫ > 0, δ > 0, x A : 0 < x x 0 < δ f(x) L < ǫ Elementos de Lógica Matemática p. 3/1

Regras para Calcular Limites lim x x0 c = c lim x x0 x = x 0 lim x x0 (f ± g)(x) = lim x x0 f(x) ± lim x x0 g(x) lim x x0 f(x) g(x) = lim x x0 f(x) lim x x0 g(x) lim x x0 f(x) = lim f(x) x x 0 g(x) lim x x 0 g(x) ( lim ) f(x) n = ( lim f(x) ) n x x0 x x0 lim n f(x) = n lim f(x) x x0 x x0 Elementos de Lógica Matemática p. 4/1

Continuidade DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, x 0 A. Diz-se que f é contínua em x 0 se lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). Isto é equivalente a: ǫ > 0, δ > 0, x A : x x 0 < δ f(x) L < ǫ Elementos de Lógica Matemática p. 5/1

Continuidade DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, x 0 A. Diz-se que f é contínua em x 0 se lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). Isto é equivalente a: ǫ > 0, δ > 0, x A : x x 0 < δ f(x) L < ǫ Diz-se que f é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio. Elementos de Lógica Matemática p. 5/1

Exemplos de Funções Contínuas Funções polinomiais; Elementos de Lógica Matemática p. 6/1

Exemplos de Funções Contínuas Funções polinomiais; Funções racionais; Elementos de Lógica Matemática p. 6/1

Exemplos de Funções Contínuas Funções polinomiais; Funções racionais; Funções trigonométricas; Elementos de Lógica Matemática p. 6/1

Exemplos de Funções Contínuas Funções polinomiais; Funções racionais; Funções trigonométricas; Funções raízes; Elementos de Lógica Matemática p. 6/1

Exemplos de Funções Contínuas Funções polinomiais; Funções racionais; Funções trigonométricas; Funções raízes; Soma, diferença, produto, quociente de funções contínuas são funções contínuas; Elementos de Lógica Matemática p. 6/1

Exemplos de Funções Contínuas Funções polinomiais; Funções racionais; Funções trigonométricas; Funções raízes; Soma, diferença, produto, quociente de funções contínuas são funções contínuas; Composta de funções contínuas é contínua. Elementos de Lógica Matemática p. 6/1

Limites Laterais, Limites no Infinito, Limites Infinitos Elementos de Lógica Matemática p. 7/1

Limites Laterais Sejam f : A R R, x 0,L R. lim x x + 0 f(x) = L significa: Elementos de Lógica Matemática p. 8/1

Limites Laterais Sejam f : A R R, x 0,L R. lim x x + 0 f(x) = L significa: ǫ > 0, δ > 0, x A : 0 < x x 0 < δ f(x) L < ǫ Elementos de Lógica Matemática p. 8/1

Limites Laterais Sejam f : A R R, x 0,L R. lim x x + 0 f(x) = L significa: ǫ > 0, δ > 0, x A : 0 < x x 0 < δ f(x) L < ǫ lim x x 0 f(x) = L significa: ǫ > 0, δ > 0, x A : 0 < x 0 x < δ f(x) L < ǫ Elementos de Lógica Matemática p. 8/1

Limite de uma função num ponto e limites laterais Elementos de Lógica Matemática p. 9/1

Limite de uma função num ponto e limites laterais TEOREMA Sejam f : A R R, x 0,L R. Suponha que exista a > 0 tal que {x R 0 < x x 0 < a} A. Então, são equivalentes: Elementos de Lógica Matemática p. 9/1

Limite de uma função num ponto e limites laterais TEOREMA Sejam f : A R R, x 0,L R. Suponha que exista a > 0 tal que {x R 0 < x x 0 < a} A. Então, são equivalentes: lim x x0 f(x) = L; Elementos de Lógica Matemática p. 9/1

Limite de uma função num ponto e limites laterais TEOREMA Sejam f : A R R, x 0,L R. Suponha que exista a > 0 tal que {x R 0 < x x 0 < a} A. Então, são equivalentes: lim x x0 f(x) = L; lim x x + 0 f(x) = L e lim x x 0 f(x) = L. Elementos de Lógica Matemática p. 9/1

Limites no Infinito Elementos de Lógica Matemática p. 10/1

Limites no Infinito DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, L R. significa: lim f(x) = L x + Elementos de Lógica Matemática p. 10/1

Limites no Infinito DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, L R. lim f(x) = L x + significa: ǫ > 0, M > 0, x A : x > M f(x) L < ǫ Elementos de Lógica Matemática p. 10/1

Limites no Infinito DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, L R. lim f(x) = L x + significa: ǫ > 0, M > 0, x A : x > M f(x) L < ǫ lim f(x) = L x significa: ǫ > 0, M > 0, x A : x < M f(x) L < ǫ Elementos de Lógica Matemática p. 10/1

Regras para Cálculo de Limites Laterais e Limites no Infinito Elementos de Lógica Matemática p. 11/1

Regras para Cálculo de Limites Laterais e Limites no Infinito Valem as mesmas regras já vistas para o cálculo do limite de uma função num ponto, bastando substituir-se lim por lim ou lim ou x x0 x x + 0 x x 0 lim x + ou lim x. Elementos de Lógica Matemática p. 11/1

Limites Infinitos Elementos de Lógica Matemática p. 12/1

Limites Infinitos DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, x 0,L R. significa: lim f(x) = + x x 0 Elementos de Lógica Matemática p. 12/1

Limites Infinitos DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, x 0,L R. lim f(x) = + x x 0 significa: M > 0, δ > 0, x A : 0 < x x 0 < δ f(x) > M Elementos de Lógica Matemática p. 12/1

Limites Infinitos DEFINIÇÃO Sejam f : A R R, x 0,L R. lim f(x) = + x x 0 significa: M > 0, δ > 0, x A : 0 < x x 0 < δ f(x) > M lim f(x) = x x 0 significa: M > 0, δ > 0, x A : 0 < x x 0 < δ f(x) < M Elementos de Lógica Matemática p. 12/1

Limites Infinitos OBSERVAÇÃO: lim x x0 f(x) = ± significa, em particular, lim x x0 f(x) Elementos de Lógica Matemática p. 13/1

Exercícios Elementos de Lógica Matemática p. 14/1

Exercício 1 Calcule: lim x + 5x 4 + x 3 x 2 + 1 2x 4 + 6x 2 + 3 Elementos de Lógica Matemática p. 15/1

Exercício 2 Calcule: lim x + 5x 4 + x 3 x 2 + 1 x 3 + 6x 2 + 3 Elementos de Lógica Matemática p. 16/1

Exercício 3 Um tanque contém 5000 litros de água pura. Salmoura contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 25 l/min. Encontre uma função C : R + R que descreva a concentração da solução em função do tempo em minutos. Calcule, caso exista, lim t C(t). Elementos de Lógica Matemática p. 17/1