Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Limites e Continuidade

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia Campus Vitória da Conquista Coordenação Técnica Pedagógica Programa de Assistência e Apoio aos Estudantes Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Limites e Continuidade Orientadora: Bolsista: Ma. Polyane Alves Santos Philipe Silva Farias Vitória da Conquista 2012

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia Campus Vitória da Conquista Coordenação Técnica Pedagógica Programa de Assistência e Apoio aos Estudantes Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Limites e Continuidade Apostila feita por Philipe Silva Farias, estudante do curso de Graduação em Engenharia Elétrica, do Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia, Campus Vitória da Conquista, desenvolvida sob a orientação da Professora: Ma. Polyane Alves Santos, no período de Agosto de 2010 à Janeiro de 2011. Atualização em Abril de 2012. Vitória da Conquista 2012

Sumário 1 Limites 6 1.1 Os Problemas da Tangente e da Velocidade........... 6 1.1.1 O Problema da Tangente................. 6 1.1.2 O Problema da Velocidade................ 12 1.2 Definição Intuitiva........................ 15 1.2.1 Exercícios......................... 22 1.3 Limites Laterais.......................... 23 1.3.1 Exercícios......................... 29 1.4 Propriedades do Limite de Funções............... 32 1.4.1 Exercícios......................... 41 1.5 Limites Infinitos.......................... 43 1.5.1 Exercícios......................... 55 1.6 Limites no Infinito........................ 57 1.6.1 Exercícios......................... 69 1.7 Definição Precisa de Limite................... 71 1.7.1 Exercícios......................... 78 2 Continuidade 79 2.1 Continuidade de Funções Exponenciais............. 101 2.1.1 Cálculo dos ites f(x) = a x, a > 0 e a 1, para x ±............................ 102 2.2 Continuidade de Funções Logarítmicas............. 103 2.2.1 Cálculo dos ites f(x) = log a x, a > 0 e a 1, para x ± ou x 0 +...................... 104 2.3 Um Limite Especial: o número e................. 105 2.4 Exercícios............................. 106 3 Referências 114

Lista de Figuras 1 Reta tangente a um círculo.................... 6 2 Curva................................ 7 3 Gráfico Exemplo 1......................... 7 4 Gráfico Exemplo 1......................... 9 5 Gráfico Exemplo 1......................... 9 6 Gráfico Exemplo 1......................... 9 7 Gráfico Exemplo 1......................... 10 8 Gráfico Exemplo 1......................... 10 9 Gráfico Exemplo 1......................... 10 10 Gráfico Exemplo 2......................... 11 11 Inclinação da reta secante = velocidade média.......... 14 12 Inclinação da tangente = velocidade instantânea........ 14 13 Parábola.............................. 15 14 Exemplo 4............................. 17 15 Exemplo 5............................. 18 16 Exemplo 7............................. 20 17 Exemplo 8............................. 21 18 Exemplo 10............................. 24 19 Exemplo 14............................. 27 20 Exemplo 15............................. 28 21 Exemplo 16............................. 29 22 Esboço do gráfico de acordo com as Tabelas 9 e 10....... 44 23 Exemplo 27............................. 45 24 Exemplo 28............................. 50 25 Exemplo 33............................. 53 26 Gráfico da função y=ln(x)..................... 53 27 Exemplo 34............................. 54 28 Gráfico da função f(x) = 2x2 x 2 +1 29 Exemplo 41............................. 66 30 Exemplo 42............................. 67 31 Exemplo 42............................. 68 32 Exemplo 42............................. 68 33 Exemplo 43............................. 74 34 Exemplo 47-a............................ 81 35 Exemplo 47-b............................ 81 36 Exemplo 47-c............................ 81 37 Exemplo 47-d............................ 82 38 Exemplo 48............................. 83 39 Exemplo 49............................. 84

40 Exemplo 50............................. 85 41 Exemplo 51............................. 86 42 Exemplo 52............................. 87 43 Exemplo 53............................. 88 44 Ilustração.............................. 92 45 Função exponencial: f(x) = a x para a > 1............ 101 46 Função exponencial: f(x) = a x para 0 < a < 1......... 102 47 Função logarítmica: f(x) = log a x para a > 1.......... 103 48 Função logarítmica: f(x) = log a x para 0 < a < 1........ 104 Apostila Limites e Continuidade 5

1 Limites 1.1 Os Problemas da Tangente e da Velocidade Nesta seção vamos ver como surgem os ites quando tentamos encontrar a tangente a uma curva ou a uma velocidade de um objeto. 1.1.1 O Problema da Tangente A palavra tangente vem do latim tangens, que significa tocando. Assim, uma tangente a uma curva é uma reta que toca a curva. Ou seja, uma reta tangente deve ter a mesma direção e sentido que a curva no ponto de contato. Para um círculo poderíamos simplesmente seguir Euclides e dizer que a tangente é uma reta que intercepta o círculo uma única vez, conforme a Figura 1. Para as curvas mais complicadas essa definição é inadequada. A Figura 2 mostra duas retas (l e t) passando por um ponto P sobre uma curva C. A reta l intercepta C somente uma vez, mas certamente não aparenta o que pensamos ser uma reta tangente. A reta t, por outro lado, aparenta ser uma tangente, mas intercepta C duas vezes. Figura 1: Reta tangente a um círculo. Apostila Limites e Continuidade 6

Figura 2: Curva. Vamos examinar no Exemplo 1 o problema de encontrar uma reta tangente t à parábola y = x 2. Exemplo 1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x 2 no ponto P (1, 1). Se soubermos como encontrar a inclinação m seremos capazes de achar uma equação da reta tangente t. A dificuldade está em termos somente um ponto P, sobre t, ao passo que para calcular a inclinação são necessários dois pontos. Observe, porém, que podemos calcular uma aproximação de m escolhendo um ponto próximo Q(x, x 2 ) sobre a parábola como na Figura 3 e calculando a inclinação m P Q da reta secante P Q. Figura 3: Gráfico Exemplo 1. Vamos escolher x 1 de forma que Q P. Então m P Q = x2 1 x 1. Apostila Limites e Continuidade 7

Por exemplo, para o ponto Q(1, 5; 2, 25), temos m P Q = 2, 25 1 1, 5 1 = 1, 25 0, 5 = 2, 5. A Tabela 1 mostra os valores de m P Q para vários valores de x próximos de 1. Quanto mais próximo Q estiver de P, mais próximo x estará de 1, e fica evidente que m P Q estará mais próximo de 2. Isso sugere que a inclinação da reta tangente t deva ser m = 2. Tabela 1: Exemplo 1. x m P Q x m P Q 0 1 2 3 0,5 1,5 1,5 2,5 0,9 1,9 1,1 2,1 0,99 1,99 1,01 2,01 0,999 1,999 1,001 2,001 Dizemos que a inclinação da reta tangente é o ite das inclinações das retas secantes, e expressamos isso simbolicamente escrevendo que m x 2 1 P Q = m e Q P x 1 x 1 = 2. Supondo que a inclinação da reta tangente seja realmente 2, podemos usar a forma ponto-inclinação da equação de uma reta para escrever a equação da tangente no ponto (1, 1) como y 1 = 2(x 1) ou y = 2x 1. As Figuras 4, 5, 6 (em que Q tende a P pela direita) e as Figuras 7, 8, 9 (em que Q tende a P pela esquerda) mostram o processo de ite que ocorre nesse exemplo. À medida que Q tende a P ao longo da parábola, as retas secantes correspondentes giram em torno de P e tendem à reta tangente t. Apostila Limites e Continuidade 8

Figura 4: Gráfico Exemplo 1. Figura 5: Gráfico Exemplo 1. Figura 6: Gráfico Exemplo 1. Apostila Limites e Continuidade 9

Figura 7: Gráfico Exemplo 1. Figura 8: Gráfico Exemplo 1. Figura 9: Gráfico Exemplo 1. Apostila Limites e Continuidade 10

Em ciências, muitas funções não são descritas por equações explícitas; elas são definidas por dados experimentais. Exemplo 2. O flash de uma câmera opera armazenando carga em um capacitor e liberando-a instantaneamente quando o flash é disparado. Os dados na Tabela 2 descrevem a carga Q armazenada no capacitor (medida em microcoulombs) no instante t (medido em segundos após o flash ter sido disparado). Use os dados para fazer o gráfico dessa função e estime a inclinação da reta tangente no ponto onde t = 0, 04. [Nota: A inclinação da reta tangente representa um fluxo de corrente elétrica do capacitor para o flash (medido em microampères).] Tabela 2: Exemplo 2. t Q 0,0 100,00 0,02 81,87 0,04 67,03 0,06 54,88 0,08 44,93 0,10 36,76 Na Figura 10 desenhamos os dados usados para esboçar uma curva que aproxima o gráfico da função. Figura 10: Gráfico Exemplo 2. Apostila Limites e Continuidade 11

Dados os pontos P (0, 04; 67, 03) e R(0, 00; 100, 00) sobre o gráfico, descobrimos que a inclinação da reta secante P R é m P R = 100, 00 67, 03 0, 00 0, 04 = 824, 25. Ao fazermos cálculos semelhantes para as inclinações de outras retas secantes, podemos prever que a inclinação da reta tangente em t = 0, 04 está em algum ponto entre 742 e 607, 5. De fato, a média das inclinações das duas retas secantes mais próximas é 1 ( 742 607, 5) = 674, 75. 2 Logo, por esse método estimamos que a inclinação da reta tangente é 675. Outro método é traçar uma aproximação da reta tangente em P e medir os lados do triângulo ABC como na Figura 10. Isso dá uma estimativa da inclinação da reta tangente como AB BC 1.1.2 O Problema da Velocidade 80, 4 53, 6 0, 06 0, 02 = 670. Se você observar o velocímetro de um carro no tráfego urbano, verá que o ponteiro não fica parado por muito tempo; isto é, a velocidade do carro não é constante. Podemos supor da observação do velocímetro que o carro tenha uma velocidade definida em cada momento. Mas como está definida essa velocidade instantânea? Exemplo 3. Suponha que uma bola é solta a partir do ponto de observação no alto de uma torre, 450 metros acima do solo. Encontre a velocidade da bola após 5 segundos. Por meio de experimentos feitos séculos atrás, Galileu descobriu que a distância percorrida por qualquer objeto em queda livre é proporcional ao quadrado do tempo em que ele esteve caindo (esse modelo para a queda livre despreza a resistência do ar). Se a distância percorrida após t segundos for Apostila Limites e Continuidade 12

chamada s(t) e medida em metros, então a Lei de Galileu pode ser expressa pela equação s(t) = 4, 9t 2. A dificuldade em encontrar a velocidade após 5 segundos está em tratarmos de um único instante de tempo (t = 5), ou seja, não temos um intervalo de tempo. Porém, podemos aproximar a quantidade desejada calculando a velocidade média sobre o breve intervalo de tempo de um décimo de segundo, de t = 5 até t = 5, 1: velocidade média = distância percorrida tempo percorrido = s(5, 1) s(5) 0, 1 = 4, 9(5, 1)2 4, 9(5) 2 = 49, 49 m/s. 0, 1 A Tabela 3 mostra os resultados de cálculos similares da velocidade média em períodos de tempo cada vez menores. Tabela 3: Exemplo 3. Intervalo de tempo Velocidade média (m/s) 5 t 6 53,9 5 t 5, 1 49,49 5 t 5, 05 49,245 5 t 5, 01 49,049 5 t 5, 001 49,0049 Fica evidente que, à medida que encurtamos o período de tempo, a velocidade média fica cada vez mais próxima de 49 m/s. A velocidade instantânea quando t = 5 é definida como o valor ite dessas velocidades médias em períodos de tempo cada vez menores, começando em t = 5. Assim, a velocidade instantânea após 5 segundos é v = 49 m/s. Os cálculos usados na solução desse problema são muito semelhantes àqueles usados anteriormente para encontrar tangentes. Na realidade, há uma estreita relação entre os problemas da tangente e do cálculo de velocidades. Se traçarmos o gráfico da função distância percorrida pela bola Apostila Limites e Continuidade 13

(como nas Figuras 11 e 12) e considerarmos os pontos P (a; 4, 9a 2 ) e Q(a + h; 4, 9(a + h) 2 ) sobre o gráfico, então a inclinação da reta secante P Q é m P Q = 4, 9(a + h)2 4, 9a 2, (a + h) a que é igual à velocidade média no intervalo de tempo [a, a + h]. Logo, a velocidade no instante t = a (o ite dessas velocidades médias quando h tende a 0) deve ser igual à inclinação da reta tangente em P (o ite das inclinações das retas secantes). Figura 11: Inclinação da reta secante = velocidade média. Figura 12: Inclinação da tangente = velocidade instantânea. Apostila Limites e Continuidade 14

1.2 Definição Intuitiva Vamos investigar o comportamento da função f definida por f(x) = x 2 x+2 para valores de x próximos de 2. A Tabela 4 fornece os valores de f(x) para valores de x próximos de 2, mas não iguais a 2. Tabela 4: Valores de f(x). x f(x) x f(x) 1,0 2,000000 3,0 8,000000 1,5 2,750000 2,5 5,750000 1,8 3,440000 2,2 4,640000 1,9 3,710000 2,1 4,310000 1,95 3,852500 2,05 4,152500 1,99 3,970100 2,01 4,030100 1,995 3,985025 2,005 4,015025 1,999 3,997001 2,001 4,003001 Figura 13: Parábola. Da Tabela 4 e do gráfico de f mostrado na Figura 13, vemos que quando x estiver próximo de 2 (de qualquer lado de 2) f(x) estará próximo de 4. De fato, é evidente que podemos tornar os valores de f(x) tão próximos de 4 quanto quisermos tornando x suficientemente próximo de 2. Expressamos isso dizendo que o ite da função f(x) = x 2 x + 2 quando x tende a 2 é igual a 4. A notação para isso é: x 2 (x2 x + 2) = 4. Apostila Limites e Continuidade 15

Em geral, usamos a seguinte notação. Definição 1. Escrevemos f(x) = L, e dizemos o ite de f(x), quando x tende a a, é igual a L, se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quando quisermos), tornando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a), mas não igual a a. Isso significa que os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos do número L à medida que x tende ao número a (por qualquer lado de a), mas x a. Preste atenção na frase mas x a na definição de ite. Isso significa que ao procurar o ite de f(x) quando x tende a a nunca consideramos x = a. Na realidade, f(x) não precisa sequer estar definida quando x = a. A única coisa que importa é como f está definida próximo de a. A definição de ite apresentada anteriormente é intuitiva porque as expressões arbitrariamente próximos e suficientemente próximos são imprecisas; seu significado depende do contexto. Para um metalúrgico que fabrica um pistão, próximo pode significar alguns milésimos de centímetro. Para um astrônomo que estuda galáxias distantes, próximo pode significar alguns milhares de anos-luz. Entretanto, a definição apresentada é suficientemente clara para permitir o reconhecimento e a avaliação dos ites de várias funções específicas. Exemplo 4. Utilizando a ideia intuitiva de ite, calcule x 1 (x + 1). (x + 1) = 2. x 1 Apostila Limites e Continuidade 16

Tabela 5: Valores de f(x), Exemplo 4. x f(x) x f(x) 2 3 0,5 1,5 1,5 2,5 0,9 1,9 1,1 2,1 0,99 1,99 1,01 2,01 0,999 1,999 1,001 2,001.. 1 2 1 2.. Figura 14: Exemplo 4. Exemplo 5. Utilizando a ideia intuitiva de ite, calcule x 1 x 2 1 x 1. Seja f(x) = x2 1, x 1; f não está definida em x = 1. x 1 Para x 1, f(x) = x2 1 x 1 = (x + 1)(x 1) (x 1) x 2 1 x 1 x 1 = (x + 1) = 2. x 1 = x + 1. Apostila Limites e Continuidade 17

Figura 15: Exemplo 5. Exemplo 6. Encontre o valor de t 0 t2 + 9 3 t 2. A Tabela 6 fornece uma lista de valores da função para vários valores de t próximos de 0. Tabela 6: Valores de f(t), Exemplo 6. t f(t) t f(t) ± 0,0005 0,16800 ± 1,0 0,16228 ± 0,0001 0,20000 ± 0,5 0,16553 ± 0,00005 0,00000 ± 0,1 0,16662 ± 0,00001 0,00000 ± 0,01 0,16667 À medida que t tende a 0, os valores da função dão a impressão de que eles aproximam-se de 0,1666666... Assim, depreendemos que t2 + 9 3 = 1 t 0 t 2 6. O que aconteceria no Exemplo 6 se tivéssemos tomado os valores ainda menores para t? A Tabela 6 mostra os resultados obtidos em uma calculadora; você pode notar que algo estranho está acontecendo. Se você tentar fazer esses cálculos em sua calculadora, poderá obter os valores diferentes, mas finalmente vai obter o valor 0 se fizer t suficientemente Apostila Limites e Continuidade 18

pequeno. Isso significa que a resposta é realmente 0 e não 1? Não, o valor 6 do ite é realmente 1, conforme veremos na próxima seção. O problema 6 é que a calculadora fornece valores falsos, pois t 2 + 9 é muito próximo de 3 quando t é pequeno. (Na realidade, quando t é suficientemente pequeno, um valor obtido na calculadora para t 2 + 9 é 3,000... com tantas casas decimais exatas quanto for capaz de computar a calculadora.) Exemplo 7. Encontre x 0 sen x x. Novamente a função f(x) = sen x não está definida quando x = 0. Usando x uma calculadora (e lembrando que se x R, sen x significa o seno de um ângulo cuja medida é x radianos), construímos a Tabela 7 para os valores corretos até a oitava casa decimal. Da tabela e do gráfico (ver Figura 16) temos que sen x = 1. x 0 x Tabela 7: Valores de f(x), Exemplo 7. x f(x) x f(x) ± 1,0 0,84147098 ± 0,1 0,99833417 ± 0,5 0,95885108 ± 0,05 0,99958339 ± 0,4 0,97354586 ± 0,01 0,99998333 ± 0,3 0,98506736 ± 0,005 0,99999583 ± 0,2 0,99334665 ± 0,001 0,99999983 Apostila Limites e Continuidade 19

Figura 16: Exemplo 7. ( π ) Exemplo 8. Encontre sen. x 0 x A função f ( ( 1 n) = sen π x) não está definida em 0. Obtendo a função para alguns valores pequenos de x, temos ( ) 1 f(1) = sen π = 0, f = sen 4π = 0, ( ) 4 1 ( ) f = sen 2π = 0, 1 2 f = sen 10π = 0, ( ) 10 1 ( ) f = sen 3π = 0, 1 3 f = sen 100π = 0. 100 Da mesma forma f(0, 001) = f(0, 0001) = 0. Com base nessa informação poderíamos ser tentados a supor que ( π ) sen = 0. x 0 x Dessa vez, no entanto, nossa suposição está errada. Observe que embora f( 1 ) = sen(nπ) = 0, para todo número inteiro n, é também verdadeiro que n f(x) = 1 para infinitos valores de x que tendem a 0. De fato, sen ( π x) = 1 quando π x = π 2 + 2nπ, e, resolvendo para x, obtemos x = 2. O gráfico de f é dado na Figura 17. 4n+1 Apostila Limites e Continuidade 20

Figura 17: Exemplo 8. As curvas tracejadas indicam que os valores de sen ( π x) oscilam entre 1 e -1 infinitas vezes quando x tende a zero. Uma vez que os valores de f(x) não tendem a um número fixo quando x tende a 0, não existe. x 0 sen ( π x ), ( Exemplo 9. Encontre x 3 + x 0 ) cos 5x. 10000 Como antes, construímos a tabela de valores: Tabela 8: Valores de f(x), Exemplo 9. x f(x) x f(x) 1,0 1,000028 0,01 0,000101 0,5 0,124920 0,005 0,00010009 0,1 0,001088 0,001 0,00010000 0,05 0,000222 Da Tabela 8 parece que x 0 ( x 3 + ) cos 5x = 0, 10000 Apostila Limites e Continuidade 21

mas ao continuarmos com valores ainda menores de x, ( ) x 3 + x 0 cos 5x 10000 = 0, 000100 = 1 10000. Como x 0 cos 5x = 1, segue que o ite é: 0,0001. 1.2.1 Exercícios 1. Utilizando a ideia intuitiva de ite, calcule: (a) (x + 2). x 1 (b) (2x + 1). x 1 (c) (3x + 1). x 0 (d) x 2 (x 2 + 1). (e) x 1 x. (f) x 2 x 2 + x x + 3. (g) x 2 3 x. (h) x 0 ( x + x). (i) x 2 x 2 4 x 2. x 2 + x (j). x 0 x x 1 (k) x 2 x 1. x 2 4x + 4 (l). x 2 x 2 x 2 1 (m) x 1 x + 1. (n) sen x. x 0 Apostila Limites e Continuidade 22

1.3 Limites Laterais Para ter um ite L quando x se aproxima de a, uma função f deve ser definida em ambos os lados de a e seus valores de f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, ites comuns são bilaterais. Se f não tem um ite bilateral em a, ainda pode ter um ite lateral, ou seja, um ite cuja aproximação ocorre apenas de um lado. Se a aproximação for feita pelo lado direito, o ite será um ite à direita. Se for pelo lado esquerdo, será um ite à esquerda. Definição 2. Escrevemos f(x) = L, e dizemos que o ite esquerdo de f(x) quando x tende a a (ou o ite de f(x) quando x tende a a pela esquerda) é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, tomando-se x suficientemente próximo de a e x menor que a. Observe que a Definição 2 difere da Definição 1 1 pelo fato de exigirmos que x seja menor que a. Analogamente, se for exigido que x seja maior que a, obteremos o ite direito de f(x) quando x tende a a como igual a L, e escrevemos f(x) = L. + Dessa forma, o símbolo x a + indica que estamos considerando somente x > a. Comparando a Definição 1 com a de ites laterais, vemos ser verdadeiro o que está a seguir: Definição 3. f(x) = L se e somente se f(x) = L e f(x) = L. + 1 ver página 16. Apostila Limites e Continuidade 23

Exemplo 10. A função sinal é definida por 1 se x < 0 sgn x = 0 se x = 0 1 se x > 0 Signum é a palavra em latim para sinal. (a) Faça um esboço do gráfico dessa função. (b) Determine sgn x e sgn x, se existirem. x 0 x 0 + (a) Um esboço do gráfico aparece na Figura 18:. Figura 18: Exemplo 10. (b) Como sgn x = 1 se x < 0 e sgn x = 1 se x > 0, temos: x 0 sgn x = ( 1) = 1 e sgn x = + +(1) = 1. x 0 No Exemplo 10, sgn x sgn x. Como os ites à esquerda x 0 x 0 + e à direita não são iguais, o ite bilateral não existe. A desigualdade dos ites laterais implica a inexistência do ite bilateral. x 0 x 0 Apostila Limites e Continuidade 24

Exemplo 11. Calcule f(x) e f(x), sendo x 1 + x 1 { x 2 se x < 1 f(x) = 2x se x > 1. f(x) = 2x = 2 e f(x) = x 1 + x 1 x 1 x 1 x2 = 1. Exemplo 12. Mostre que x 0 x = 0. Lembre-se de que x = { x se x 0 x se x < 0. Uma vez que x = x para x > 0, temos x = x = 0; x 0 + x 0 + Para x < 0 temos que x = x, e assim x 0 x = ( x) = 0; x 0 Logo, x = 0. x 0 Apostila Limites e Continuidade 25

x Exemplo 13. Calcule x 0 + x e Dado que temos que Daí, x = x x 0 x x. O ite x 0 x { x se x > 0 x se x < 0, { x 1 se x > 0 x = 1 se x < 0. x x 0 + x = 1 = 1 e x x 0 x 0 x = 1 = 1. x 0 Como x laterais são diferentes. x 0 + x x x 0 x x, segue que x 0 x existe? Por quê? não existe, pois os ites Exemplo 14. Seja g definida por { x se x 0 g(x) = 2 se x = 0. (a) Faça um esboço do gráfico de g. (b) Ache x 0 g(x), se existir. (a) Um esboço do gráfico está na Figura 19. (b) Dado que { x se x > 0 x = x se x < 0, temos que x 0 g(x) = ( x) = 0 e g(x) = + +(x) = 0. x 0 Como g(x) = g(x), conclui-se que g(x) existe e é igual a x 0 x 0 + x 0 zero. Apostila Limites e Continuidade 26 x 0 x 0

Figura 19: Exemplo 14. Pode-se observar que g(0) = 2, o que não afeta g(x) e que há uma x 0 quebra no gráfico de g em x = 0. Exemplo 15. Seja h definida por { 4 x 2 se x 1 h(x) = 2 + x 2 se x > 1. (a) Faça um esboço do gráfico de h. (b) Ache cada um dos seguintes ites, se existirem: h(x), h(x) e x 1 x 1 + h(x). x 1 (a) Um esboço do gráfico está na Figura 20. (b) x 1 h(x) = x 1 x 1 (4 x2 ) = 3 e h(x) = x 1 + x 1 +(2 + x2 ) = 3. Como h(x) = h(x) e ambos são iguais a 3, conclui-se que x 1 x 1 + h(x) existe e é igual a 3. Apostila Limites e Continuidade 27

Figura 20: Exemplo 15. Exemplo 16. Seja f definida por x + 5 se x < 3 f(x) = 9 x 2 se 3 x 3 3 x se x > 3 (a) Faça um esboço do gráfico de f. (b) Ache, se existirem, cada um dos seguintes ites: x 3 f(x), x 3 f(x), f(x), f(x). + x 3 x 3 (a) Um esboço do gráfico está na Figura 21. (b) f(x) = x 3 Como x 3 (x + 5) = 2 e f(x) = x 3 +. f(x), x 3 f(x) f(x), então f(x) não existe. x 3 x 3 + x 3 f(x), x 3 + 9 x2 = 0. x 3 + f(x) = x 3 9 x2 = 0 e f(x) = x 3 + +(3 x) = 0. x 3 x 3 Como f(x) = f(x), então f(x) existe e é igual a zero. x 3 x 3 + x 3 Apostila Limites e Continuidade 28

Figura 21: Exemplo 16. 1.3.1 Exercícios 1. Calcule o ite, caso exista. Se não existir, justifique. (a) (b) (c) x 1 x 1 + x 1. x 1 x 1 x 1. f(x) f(1), onde x 1 + x 1 (d) x 0 x. (e) x 1 x 1 x 1. f(x) = f(x) f(1) (f), onde x 1 x 1 f(x) = { x + 1 se x 1 2x se x < 1. { x + 1 se x 1 2x se x < 1. Apostila Limites e Continuidade 29

x 2 2x + 1 (g). x 2 + x 1 x 1 (h) x 3 x 1. f(x) f(1) (i), onde x 1 x 1 f(x) = { x 2 se x 1 2x 1 se x > 1. (j) g(x) g(2), onde x 2 x 2 { x se x 2 g(x) = x 2 se x < 2. 2 2. Faça um esboço do gráfico e ache o ite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disto. (a) f(x); x 1 + f(x); x 1 f(x); x 1 f(x) = 2 se x < 1 1 se x = 1 3 se x > 1. (b) (c) t 4 + f(t); F (x); x 2 + f(t); f(t); t 4 t 4 f(t) = F (x); x 2 F (x) = { t + 4 se t 4 4 t se t > 4. x 2 F (x); { x 2 se x 2 8 2x se x > 2. (d) g(r); r 1 + g(r); r 1 g(r); r 1 g(r) = 2r + 3 se r < 1 2 se r = 1 7 2r se r > 1. Apostila Limites e Continuidade 30

(e) f(x); x 2 + f(x); x 2 f(x); x 2 f(x) = x 2 4 se x < 2 4 se x = 2 4 x 2 se x > 2. (f) (g) F (x); x 5 + G(x); x ( 3 2 )+ F (x); F (x); x 5 x 5 F (x) = x 5. G(x); G(x); x ( 3 2 ) x 3 2 G(x) = 2x 3 4. (h) f(t); f(t); f(t); t 0 + t 0 t 0 { 3 t se t < 0 f(t) =. t se t 0 3. Dada f(x) = { 3x + 2 se x < 4 5x + k se x 4 Ache o valor de k para o qual x 4 f(x) existe. }. Apostila Limites e Continuidade 31

1.4 Propriedades do Limite de Funções Para calcular ites de funções por métodos mais simples, usaremos as Propriedades de Limites. Propriedades do Limite: Seja c uma constante e suponha que existam os ites f(x) e g(x). Então 1. [f(x) + g(x)] = f(x) + g(x). a 2. [f(x) g(x)] = f(x) g(x). 3. [cf(x)] = c f(x). 4. [f(x).g(x)] = f(x). g(x). b f(x) f(x) 5. g(x) = g(x) se g(x) 0. c 6. (mx + b) = ma + b, se m e b forem constantes quaisquer. d 7. Se c for uma constante, então para qualquer número a: c = c. Isso segue imediatamente da propriedade (mx + b) = ma + b, tomando m = 0 e b = c. 8. x = a Isso segue imediatamente da propriedade (mx + b) = ma + b, tomando m = 1 e b = 0. a ver demonstração na pág. 65, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. b ver demonstração na pág. 66, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. c ver demonstração na pág. 126, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. d ver demonstração na pág. edição, Louis Leithold. 64, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a Apostila Limites e Continuidade 32

Propriedades do Limite: (continuação) 9. Se f 1 (x) = L 1, f 2 (x) = L 2,..., e f n (x) = L n, então [f 1(x) ± f 2 (x) ±... ± f n (x)] = L 1 ± L 2 ±... ± L n. 10. Se f 1 (x) = L 1, f 2 (x) = L 2,..., e f n (x) = L n, então [f 1(x)f 2 (x)... f n (x)] = L 1 L 2... L n. 11. [f(x)] n = [ f(x)] n, onde n é um inteiro positivo. 12. n f(x) = n f(x), onde n é um inteiro positivo. a a com a restrição de que se n for par, f(x) > 0. As cinco primeiras propriedades podem ser enunciadas da seguinte forma: 1. O ite de uma soma é a soma dos ites. 2. O ite da diferença é a diferença dos ites. 3. O ite de uma constante vezes uma função é a constante vezes o ite da função. 4. O ite de um produto é o produto dos ites. 5. O ite de um quociente é o quociente dos ites (desde que o ite do denominador não seja zero). É fácil acreditar que essas propriedades são verdadeiras. Por exemplo, se f(x) estiver próxima de L e g(x) próxima de M, é razoável concluir que f(x) + g(x) está próxima de L + M. Isso nos dá uma base intuitiva para acreditar que a Propriedade 1 é verdadeira. Propriedade de Substituição Direta. Se f for uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de f, então f(x) = f(a). Teorema 1. f(x) = L se, e somente se, f(x) = L = f(x). + Apostila Limites e Continuidade 33

Exemplo 17. Ache x 3 (x 2 + 7x 5) e, quando aplicável, indique a propriedade de ite que está sendo usada. x 3 (x2 + 7x 5) = x 2 + 7x 5 (P. L. 9) x 3 x 3 x 3 = x. x + 7. x 5 (P. L. 4) x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3.3 + 7.3 5 (P. L. 8 e P. L. 7) = 9 + 21 5 = 25. É importante, neste ponto, notar que o ite no Exemplo 17 foi calculado com a aplicação direta das propriedades do ite. Para a função f, definida por f(x) = x 2 + 7x 5, note que f(3) = 25, que é igual ao (x 2 + 7x 5). x 3 Não é sempre verdade que f(x) = f(a). x 3 + 2x + 3 Exemplo 18. Ache e, quando aplicável, indique a propriedade de ite que está sendo x 2 x 2 + 5 usada. x 2 x 3 + 2x + 3 x 2 + 5 = = = = = x 3 + 2x + 3 (P. L. 12) x 2 x 2 + 5 x 2 (x3 + 2x + 3) (P. L. 5) x 2 (x2 + 5) x 2 x3 + 2x + 3 x 2 x 2 (P. L. 9) x 2 x2 + 5 x 2 x 2 x)3 + 2. x + 3 x 2 x 2 x 2 ( 2 3 + 2.2 + 3 2 2 + 5 ( x 2 x) 2 + x 2 5 (P. L. 8) e (P. L. 7) (P. L. 4 e 11) Apostila Limites e Continuidade 34

= 8 + 4 + 3 9 = 15 3. Exemplo 19. Ache x 4 f(x) dado que f(x) = { x 3 se x 4 5 se x = 4. Quando calculamos x 4 f(x) estamos considerando valores de x próximos de 4, mas não iguais a 4. Assim, x 4 f(x) = (x 3) = 1. (P. L. 6) x 4 No Exemplo 19, f(x) = 1 mas f(4) = 5; logo, f(x) f(4). x 4 x 4 Em termos geométricos, há uma quebra no gráfico da função no ponto onde x = 4. Exemplo 20. Calcule x 5 x 2 25 x 5. Aqui temos uma situação diferente daquela dos exemplos precedentes. A Propriedade de Limite 5 não pode ser aplicada ao quociente x2 25, pois x 5 x 5 (x 5) = 0. Entretanto, fatorando o numerador obtemos x 2 25 x 5 (x 5)(x + 5) =. x 5 Se x 5, o numerador e o denominador podem ser divididos por x 5 para obtermos x + 5. Lembre-se de que quando calculamos o ite de uma função, à medida que x aproxima-se de 5, estamos considerando valores de Apostila Limites e Continuidade 35

x próximos a 5 mas não iguais a 5. Portanto, é possível dividir o numerador e o denominador por x 5. A solução toma a seguinte forma: x 2 25 x 5 x 5 = (x 5)(x + 5) x 5 x 5 = (x + 5) = 10. x 5 (P. L. 6) x 2 Exemplo 21. Dada g(x) =, determine g(x) e, quando aplicável, x 4 x 4 indique as propriedades de ite usadas. x 2 A Propriedade de Limite 5 não pode ser aplicada ao quociente x 4, pois (x 4) = 0. Para simplificar o quociente, racionalizamos o numerador x 4 multiplicando o numerador e o denominador por x + 2, como segue x 2 x 4 = ( x 2)( x + 2) (x 4)( x + 2) = x 4 (x 4)( x + 2). Como estamos calculando o ite da função para x tendendo a 4, estamos considerando valores de x próximos de 4, mas não iguais a 4. Logo, podemos dividir o numerador e o denominador por x 4. Portanto, x 2 x 4 = 1, se x 4. x + 2 A solução é a seguinte: x 2 x 4 x 4 ( x 2)( x + 2) = x 4 (x 4)( x + 2) 1 = = x 4 x + 2 1 x 4 ( x + 2) x 4 = x 4 x 4 (x 4)( x + 2) (P. L. 5) Apostila Limites e Continuidade 36

= = = x 4 1 x + 1 x 4 x + 2 x 4 2 1 4 + 2 (P. L. 8) (P. L. 7 e 1) (P. L. 12 e 7) = 1 4. (3 + h) 2 9 Exemplo 22. Calcule. h 0 h Se definirmos F (h) = (3+h)2 9 h, não podemos calcular h 0 F (h) fazendo h = 0, uma vez que F (0) não está definida. Mas, se simplificarmos algebricamente F (h), encontraremos que F (h) = (9 + 6h + h2 ) 9 h = 6h + h2 h = 6 + h. Lembre-se de que consideramos apenas h 0 quando fazemos h tender a 0. Assim, (3 + h) 2 9 = (6 + h) = 6. h 0 h h 0 Exemplo 23. Encontre t 0 t2 + 9 3 t 2. Não podemos aplicar a Propriedade de Limite 5 de imediato, uma vez que o ite do denominador é 0. Aqui as operações algébricas preinares consistem em racionalizar o numerador: Apostila Limites e Continuidade 37

t 0 t2 + 9 3 t2 + 9 3 =. t 2 t 0 t 2 t2 + 9 + 3 t2 + 9 + 3 (t 2 + 9) 9 = t 0 t 2 ( t 2 + 9 + 3) = t 0 t 2 ( t 2 + 9 + 3) 1 = t 0 t2 + 9 + 3 = 1 (t 2 + 9) + 3 = t 0 t 2 1 3 + 3 = 1 6. Exemplo 24. Se f(x) = determine se x 4 f(x) existe. { x 4 se x > 4 8 2x se x < 4, Uma vez que f(x) = x 4 para x > 4, temos Para x < 4 e f(x) = 8 2x, f(x) = x 4 + x 4 = 4 4 = 0. x 4 + x 4 f(x) = (8 2x) = 8 2.4 = 0. x 4 Os ites laterais (à direita e à esquerda) são iguais. ite existe e f(x) = 0. x 4 Dessa forma o Exemplo 25. Resolva x 1 x 2 + x 2 x 2 x. Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Também testamos o numerador e concluímos que este também é zero Apostila Limites e Continuidade 38

em x = 1. Portanto o numerador e o denominador apresentam o fator (x 1) em comum. Cancelar o (x 1) resulta em uma fração mais simples, com os mesmos valores da original para x 1: x 2 + x 2 x 2 x = (x 1)(x + 2) x(x 1) = x + 2 x se x 1. Usando a fração simplificada, obtemos o ite desses valores quando x 1 por substituição: x 2 + x 2 x 1 x 2 x = x 1 x + 2 x = 1 + 2 1 = 3. Os próximos dois Teoremas dão duas propriedades adicionais de ites. Suas provas podem ser encontradas em livros de Cálculo. Teorema 2. Se f(x) g(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os ites de f e g existem quando x tende a a, então f(x) g(x). Teorema 3. (Teorema do Confronto) Se f(x) g(x) h(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e f(x) = h(x) = L, então g(x) = L. O Teorema do Confronto, algumas vezes chamado Teorema do Sanduíche ou Teorema da Espremedura, diz que se g(x) ficar espremido entre f(x) e h(x) nas proximidades de a, e se f e h tiverem o mesmo ite L em a, então g será forçado a ter o mesmo ite L em a. Apostila Limites e Continuidade 39

( ) 1 Exemplo 26. Mostre que x 2 sen = 0. x 0 x Note primeiro que não podemos usar ( ) 1 x 0 x2 sen x = x 0 x 2. x 0 sen ( ) 1 porque sen não existe. Porém, como x 0 x ( ) 1 1 sen 1, x e multiplicando as três funções por x 2, vamos ter que Sabemos que x 2 x 2 sen 1 x x2. ( ) 1, x x 0 ( x2 ) = 0 e x 2 = 0. x 0 Tomando-se o Teorema do Confronto: f(x) = x 2, g(x) = x 2 sen h(x) = x 2 obtém-se ( ) 1 x 0 x2 sen = 0. x ( ) 1 e x Apostila Limites e Continuidade 40

1.4.1 Exercícios 1. Ache o ite e, quando aplicável, indique os teoremas de ite usados. (a) x 5 (3x 7). (b) x 2 (x 2 + 2x 1). (c) z 2 (z3 + 8). (d) x 3 4x 5 5x 1. t 2 5 (e) t 2 2t 3 + 6. 8r + 1 (f) r 1 r + 3. 3 x 2 3x + 4 (g) x 4 2x 2 x 1. x 1 (h) x 1 x 1. 9x 2 1 (i) x 1 3x + 1. 3 x 3 (j) x 3 x 3. (k) x 3 3 x 3 3 x 3. x 1 (l). x 1 2x 3 5 (m) x 7 x 2 49 x 7. (n) x 3 2 4x 2 9 2x + 3. 3s 2 8s 16 (o) s 4 2s 2 9s + 4. Apostila Limites e Continuidade 41

(p) (q) (r) x 0 (s) h 0 (t) y 3 + 8 y 2 y + 2. y 2 9 y 3 2y 2 + 7y + 3. x + 2 2. x 3 h + 1 1. h 2x 2 x 3 x 1 x 3 + 2x 2 + 6x + 5. (u) y 4 2y 3 11y 2 + 10y + 8 3y 3 17y 2 + 16y + 16. (v) x 3 2x 3 5x 2 2x 3 4x 3 13x 2 + 4x 3. (w) x 2 x 2 x 2. (x) (y) (z) x 1,5 x 0 + x 0 2x 2 3x 2x 3. ( 1 x 1 x ( 1 x 1 x ). ). f(x) f(p) 2. Calcule, onde f(x) = 1 x p x p x. g(x) g(p) 3. Calcule, onde g(x) = 1 x p x p x. 2 f(x + h) f(x) 4. Calcule, onde f(x) = x 2 3x. h 0 h Apostila Limites e Continuidade 42

1.5 Limites Infinitos Discutiremos aqui funções cujos valores aumentam ou diminuem sem itação, quando a variável independente aproxima-se cada vez mais de um número fixo. Primeiro consideraremos a função definida por f(x) = 3 (x 2) 2. O domínio de f é o conjunto de todos os números reais exceto 2 e a imagem é o conjunto de todos os números positivos. Vamos analisar os valores funcionais de f quando x está próximo de 2. Façamos x aproximarse de 2 pela direita, conforme mostrado na Tabela 9. Tabela 9: Valores de f(x). x f(x) = 3 (x 2) 2 3 3 2,5 12 2,25 48 2,1 300 2,01 30000 2,001 3000000 Da Tabela 9, percebe-se intuitivamente que à medida que x se aproxima de 2 por valores maiores do que 2, f(x) cresce indefinidamente. Em outras palavras, podemos tornar f(x) maior do que qualquer número positivo prefixado (isto é, f(x) pode se tornar tão grande quanto desejarmos) para todos os valores de x suficientemente próximos de 2 e x maior do que 2. Para indicar que f(x) cresce indefinidamente quando x tende a 2 por valores maiores do que 2, escrevemos 3 x 2 + (x 2) = +. 2 Façamos agora x aproximar-se de 2 pela esquerda, conforme mostrado na Tabela 10. Percebe-se intuitivamente na Tabela 10, que à medida que x aproxima-se de 2 por valores menores do que 2, f(x) cresce sem ites e escrevemos 3 x 2 (x 2) = +. 2 Apostila Limites e Continuidade 43

Tabela 10: Valores de f(x). x f(x) = 3 (x 2) 2 1 3 1,5 12 1,75 48 1,9 300 1,99 30000 1,999 3000000 Dos dados apresentados nas Tabelas 9 e 10 obtemos o esboço do gráfico de f mostrado na Figura 22. Observe que ambos os ramos da curva aproximamse da reta pontilhada x = 2, quando x cresce indefinidamente. Essa reta pontilhada é chamada de assíntota vertical 2. Figura 22: Esboço do gráfico de acordo com as Tabelas 9 e 10. 2 ver Definição 6, página 49. Apostila Limites e Continuidade 44

( ) 1 Exemplo 27. Encontre, se existir, o. x 0 x 2 À medida que x se aproxima de 0, x 2 também se aproxima de 0, e 1 x 2 fica muito grande (ver Tabela 11). De fato, a partir do gráfico da Figura 23, parece que a função f(x) = 1 pode se tornar arbitrariamente grande ao x 2 tomarmos os valores de x suficientemente próximos de 0. Assim, os valores 1 de f(x) não tendem a um número, e não existe. x 0 x 2 Tabela 11: Valores de f(x), Exemplo 27. x f(x) = 1 x 2 ±1 1 ±0,5 4 ±0,2 25 ±0,1 100 ±0,05 400 ±0,01 10000 ±0,001 1000000 Figura 23: Exemplo 27. Para indicar tal comportamento, exibido no Exemplo 27, usa-se a notação x 0 1 x 2 =. Apostila Limites e Continuidade 45

Observação: Isso não significa que consideramos como um número. Tampouco significa que o ite exista. É simplesmente uma maneira de 1 expressar uma forma particular da não-existência do ite; pode assumir x 2 valores tão grandes quando quisermos, bastando para isso escolhermos valores de x suficientemente próximos de 0. Em geral, simbolicamente, escrevemos f(x) =, para indicar que os valores de f(x) tendem a se tornar cada vez maiores (ou a crescer iitadamente ), à medida que x se tornar cada vez mais próximo de a. Definição 4. Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Então f(x) =, significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (tão grandes quanto quisermos) tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a. A expressão f(x) = normalmente é lida como: o ite de f(x), quando x tende a a, é infinito ; f(x) torna-se infinita quando x tende a a ; f(x) cresce iitadamente quando x tende a a. Lembrando novamente, que o símbolo não é um número. Definição 5. Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Então f(x) =, significa que os valores de f(x) podem ser arbitrariamente grandes, porém negativos, ao tomarmos valores de x suficientemente próximos de a, mas não iguais a a. A expressão f(x) = pode ser lida das seguintes formas: Apostila Limites e Continuidade 46

o ite de f(x) é menos infinito quando x tende a a ; f(x) decresce iitadamente quando x tende a a. Por exemplo, temos ( 1x ) =. x 0 2 Definições similares podem ser dadas no caso de ites laterais f(x) =, f(x) =, f(x) + =, f(x) + =, lembrando que x a significa considerar somente os valores de x menores que a, ao passo que x a + significa considerar somente valores de x > a. Teorema 4. Se r for um inteiro positivo qualquer, então (i) (ii) 1 x 0 + x = + a ; r 1 = (se r for ímpar) ou + (se r for par). x 0 xr a ver demonstração na pág. 80, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Teorema 5. Se a for um número real qualquer e se f(x) = 0 e g(x) = c, onde c é uma constante não-nula, então (i) se c > 0 e se f(x) 0 por valores positivos de f(x), g(x) f(x) = + ; (ii) se c > 0 e se f(x) 0 por valores negativos de f(x), g(x) f(x) = ; Apostila Limites e Continuidade 47

(Continuação do Teorema 5) (iii) se c < 0 e se f(x) 0 por valores positivos de f(x), g(x) f(x) = ; (iv) se c < 0 e se f(x) 0 por valores negativos de f(x), g(x) f(x) = +. O teorema também será válido se x a for substituído por x a + ou x a. Teorema 6. (i) se f(x) = + e g(x) = c, onde c é uma constante qualquer, então [f(x) + g(x)] = + ; (ii) se f(x) = e g(x) = c, onde c é uma constante qualquer, então [f(x) + g(x)] =. O teorema continua válido se x a for substituído por x a + ou x a. Teorema 7. Se f(x) = + e g(x) = c, onde c é uma constante não-nula, então (i) se c > 0, f(x).g(x) = + ; (ii) se c < 0, f(x).g(x) =. O teorema continua válido se x a for substituído por x a + ou x a. Apostila Limites e Continuidade 48

Teorema 8. Se f(x) = e g(x) = c, onde c é uma constante não-nula, então (i) se c > 0, f(x).g(x) = ; (ii) se c < 0, f(x).g(x) = +. O teorema permanecerá válido se x a for substituído por x a + ou x a. Definição 6. A reta x = a é chamada de assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: f(x) =, f(x) =, f(x) =, f(x) =, f(x) + =, f(x) + =. Exemplo 28. Encontre x 3 + 2x x 3 e x 3 2x x 3. Se x está próximo a 3 mas é maior que 3, então o denominador x 3 é um número positivo pequeno e 2x está próximo a 6. Portanto o quociente 2x/(x 3) é um número positivo grande. Então, intuitivamente, vemos que x 3 + 2x x 3 =. Analogamente, se x está próximo a 3 mas é menor que 3, então x 3 é um número negativo pequeno, mas 2x ainda é um número positivo (próximo a 6). Portanto, 2x/(x 3) é um número negativo numericamente grande. Então x 3 2x x 3 =. O gráfico da curva y = 2x/(x 3) está dado na Figura 24. A reta x = 3 é uma assíntota vertical. Apostila Limites e Continuidade 49

Figura 24: Exemplo 28. Exemplo 29. Ache x 3 + x 2 + x + 2 x 2 2x 3. x 2 + x + 2 x 3 + x 2 2x 3 = x 2 + x + 2 x 3 + (x 3)(x + 1). O ite do numerador é 14, o que pode ser facilmente verificado. x 3 +(x 3)(x + 1) = +(x 3). x 3 = 0.4 = 0. x 3 +(x + 1) O ite do denominador é 0 e ele está tendendo a 0 por valores positivos. Então, do Teorema de Limite 5 (i), x 2 + x + 2 x 3 + x 2 2x 3 = +. Apostila Limites e Continuidade 50

Exemplo 30. Ache x 3 x 2 + x + 2 x 2 2x 3. x 2 + x + 2 x 3 x 2 2x 3 = x 2 + x + 2 x 3 (x 3)(x + 1). O ite do numerador é 14. x 3 (x 3)(x + 1) = (x 3). x 3 = 0.4 = 0. x 3 (x + 1) Nesse caso, o ite do denominador é 0, mas ele está tendendo a 0 por valores negativos. Do Teorema de Limite 5 (ii), x 2 + x + 2 x 3 x 2 2x 3 =. Exemplo 31. Ache x 2 + x2 4 x 2. Como x 2 +, x 2 > 0; então x 2 = (x 2) 2. Logo, x 2 + x2 4 x 2 = x 2 + = x 2 + (x 2)(x + 2) (x 2) 2 x 2 x + 2 x + 2 =. x 2 x 2 x 2 + x 2 O ite do numerador é 2. O ite do denominador é 0 e ele está tendendo a 0 por valores positivos. Logo, do Teorema de Limite 5 (i), segue que x2 4 = +. x 2 + x 2 Apostila Limites e Continuidade 51

Exemplo 32. Ache x 2 4 x 2 x 2. Como x 2, x 2 < 0; então x 2 = (x 2) 2. Logo, x 2 4 x 2 x 2 = x 2 = x 2 = x 2 (2 x)(2 + x) (2 x) 2 2 x 2 + x 2 x 2 x 2 + x 2 x. O ite do numerador é 2. O ite do denominador é 0 e ele está tendendo a 0 por valores negativos. Logo, do Teorema de Limite 5 (ii), segue que 4 x 2 =. x 2 x 2 Exemplo 33. Encontre as assíntotas verticais de f(x) = tan x. Como tan x = sen x cos x, existem assíntotas verticais potenciais em que cos x = 0. De fato, como cos x 0 + quando x ( π 2 ) e cos x 0 quando x ( π 2 )+, considerando que sen x é positivo quando x está próximo de π, temos 2 x ( π 2 x ( π 2 tan x = e tan x =. ) )+ Isso mostra que a reta x = π é uma assíntota vertical. Um raciocínio 2 análogo mostra que as retas x = (2n + 1)( π ), onde n é um inteiro, são todas 2 assíntotas verticais de f(x) = tan x. O gráfico da Figura 25 confirma isso. Apostila Limites e Continuidade 52

Figura 25: Exemplo 33. Outro exemplo de uma função cujo gráfico tem uma assíntota vertical é a função logaritmo natural y = ln x. Da Figura 26 vemos que ln x =, x 0 + e assim a reta x = 0 (o eixo y) é uma assíntota vertical. Na realidade, isso é válido para y = log a x desde que a > 1. Figura 26: Gráfico da função y=ln(x). Apostila Limites e Continuidade 53

Exemplo 34. Ache a assíntota vertical e faça um esboço do gráfico da função definida f(x) = 3 x 3. x 3+ 3 x 3 3 = + e x 3 x 3 =. Logo, a reta x = 3 é uma assíntota vertical do gráfico de f, cujo esboço está na Figura 27. Figura 27: Exemplo 34. Apostila Limites e Continuidade 54

1.5.1 Exercícios 1. Ache o ite. (a) (b) (c) (d) 5 x 3 + 3 x. 4 x 3 x 3. x 1 + 2 4 2x 1. 3 x 0 + x 2 x. (e) t 2 + t + 2 t 2 4. (f) t 2 t + 2 (t 2) 2. t + 2 (g) x 2 t 2 4. 3 + x 2 (h). x 0 + x 3 + x 2 (i). x 0 x 3 + x 2 (j). x 0 x x2 9 (k) x 3 + x 3. 16 x 2 (l) x 4 x 4. ( 1 (m) x 0 + x 1 ). x 2 (n) (o) x 2 3 x 0 + x 3 + x. 2 2 4x 3 x 0 5x 2 + 3x. 3 Apostila Limites e Continuidade 55

(p) (q) (r) (s) (t) (u) x 0 + s 2 t 4 sen x x 3 x. ( 2 1 s 2 3 ). s 2 4 ( 2 t 2 + 3t 4 3 t + 4 2x 3 5x 2 x 1 x 2 1. x 3 + 9x 2 + 20x x 3 x 2 + x 12. x 1 x 1 + 2x x2 1. ). 2. Ache a(s) assíntota(s) vertical(is) do gráfico da função e faça um esboço dele. (a) f(x) = 2 x 4. (b) f(x) = 3 x + 1. (c) f(x) = (d) f(x) = (e) f(x) = (f) f(x) = (g) f(x) = (h) f(x) = 2 x + 3. 4 x 5. 2 (x + 3). 2 4 (x 5). 2 5 x 2 + 8x + 15. 1 x 2 + 5x 6. Apostila Limites e Continuidade 56

1.6 Limites no Infinito Nesta seção vamos considerar ites de funções, quando a variável independente cresce ou diminui indefinidamente. Começaremos com a função definida por f(x) = 2x2 x 2 + 1. Atribuímos a x os valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000 e assim por diante, permitindo que aumente indefinidamente. Os valores funcionais correspondentes, exatos ou aproximados, são dados na Tabela 12. Observe que quando x cresce, tomando valores positivos, os valores funcionais aproximam-se de 2. Tabela 12: Valores de f(x). x f(x) = 2x2 x 2 + 1 0 0 1 1 2 1,6 3 1,8 4 1,882353 5 1,923077 10 1,980198 100 1,999800 1000 1,999998 Em particular, quando x = 4, 2 2x2 x 2 + 1 = 2 1, 882353 = 0, 117647. Logo, a diferença entre 2 e f(x) é 0,117647, quando x = 4. Para x = 100, 2 2x2 x 2 + 1 = 2 1, 999800 = 0, 000200. Assim, a diferença entre 2 e f(x) é 0,000200, quando x = 100. Continuando, vemos intuitivamente que o valor de f(x) pode ser obtido tão próximo de 2 quanto desejarmos, escolhendo x suficientemente grande. Em outras palavras, podemos obter uma diferença entre 2 e f(x) tão pequena Apostila Limites e Continuidade 57

quanto desejarmos escolhendo x como qualquer número maior do que algum número positivo suficientemente grande. Quando uma variável independente x for crescente indefinidamente, através de valores positivos, escrevemos x +. Do exemplo acima, então, podemos dizer que x + 2x 2 x 2 + 1 = 2. Definição 7. Seja f uma função definida em um intervalo (a, + ) o ite de f(x) quando x cresce indefinidamente, é L, escrito como f(x) = L. x + Nota: Quando escrevemos x +, isto não tem o mesmo significado que, por exemplo, x 100. O símbolo x + indica o comportamento da variável x tal como definido acima. Vamos considerar a mesma função e atribuir a x os valores 0, -1, -2, -3, -4, -5, -10, -100, -1000, e assim por diante, permitindo que x decresça através de valores negativos indefinidamente. A Tabela 13 dá os valores correspondentes de f(x). Tabela 13: Valores de f(x). x f(x) = 2x2 x 2 + 1 0 0-1 1-2 1,6-3 1,8-4 1,882353-5 1,923077-10 1,980198-100 1,999800-1000 1,999998 Observe que os valores funcionais para os números negativos são os mesmos que aqueles para os números positivos correspondentes. Assim, vemos intuitivamente que quando x decresce indefinidamente, f(x) tende a 2. Usando Apostila Limites e Continuidade 58

o símbolo x para mostrar que a variável x decresce indefinidamente, escrevemos 2x 2 x x 2 + 1 = 2. A Figura 28 mostra um esboço do gráfico de nossa função. A reta x = 2 aparece como uma linha pontilhada, chamada assíntota horizontal 3. Figura 28: Gráfico da função f(x) = 2x2 x 2 +1. Definição 8. Seja f uma função definida em um intervalo (, a) o ite de f(x) quando x decresce indefinidamente, é L, escrito como f(x) = L. x Nota: O x indica somente o comportamento da variável x. As Propriedades de Limite vistas anteriormente permanecem inalteradas quando substituímos x a por x + ou x. Temos ainda os teoremas adicionais enunciados a seguir: 3 ver Definição 10, página 64. Apostila Limites e Continuidade 59

Teorema 9. Se r for um inteiro positivo qualquer, então (i) (ii) x + x 1 x r = 0; a 1 x r = 0. a ver demonstração na página 90, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Exemplo 35. Ache 4x 3 x + 2x + 5. Primeiramente, vamos dividir o numerador e o denominador por x, obtendo 4x 3 x + 2x + 5 = 4 3 x x + 2 + 5 x 4 3. x + x + = 2 + 5. x + x + 1 x + x x + = 4 3.0 2 + 5.0 = 2. 1 x Exemplo 36. Ache x 2x 2 x + 5. 4x 3 1 Neste exemplo, dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x que ocorre neles; neste caso, x 3. Apostila Limites e Continuidade 60

2x 2 x + 5 x 4x 3 1 = x = = 2. x 2 x 1 x 2 + 5 x 3 4 1 x 3 2.0 0 + 5.0 4 0 1 x x x 4 x x = 0. 1 + 5. x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 Exemplo 37. Ache x + 3x + 4 2x2 5. Como a maior potência de x é 2 e ela aparece sob o radical, dividimos o numerador e o denominador por x 2, que é x. Temos então, x + 3x + 4 2x2 5 = x + = x + 3x + 4 x 2 x 2 2x2 5 x 2 3x x + 4 x 2 5x. 2 Como x +, x > 0; então x = x. Assim temos x + 3x + 4 2x2 5 = x + = 3x x + 4 x 2 5 x 2 3 + 4. x + x + 2 5. x + x + = 3 + 4.0 2 5.0 = 3 2. 1 x + x x + 1 x 2 Apostila Limites e Continuidade 61

Exemplo 38. Ache x 3x + 4 2x2 5. A função é igual a do Exemplo 37. Novamente, começamos por dividir o numerador e o denominador por x 2 ou, equivalentemente, x. x 3x + 4 2x2 5 = x = x 3x + 4 x 2 x 2 2x2 5 x 2 3x x + 4 x 2 5x. 2 Como x, x < 0; então x = x. Temos então, x 3x + 4 2x2 5 = x = = 3x x + 4 x 2 5 x 2 ( 3) 4. x x 2 5. x x 3 4.0 = 3. 2 5.0 2 1 x x x Definição 9. O ite infinito para valores da função quando a variável independente se aproxima do infinito também pode ser considerado por meio das seguintes definições formais: 1 x 2 f(x) x + = +, f(x) =, x + f(x) x = +, f(x) =. x Apostila Limites e Continuidade 62

Exemplo 39. Ache x + x 2 x + 1. Dividimos o numerador e o denominador por x 2, x + x 2 x + 1 = x + Calculando o ite do denominador, temos 1 1 x + 1. x 2 ( 1 x + x + 1 ) x 2 1 = x + = 0 + 0 = 0. x + x + 1 x 2 Logo, o ite do denominador é 0, e ele tende a 0 por valores positivos. O ite do numerador é 1. Sendo assim, x + x 2 x + 1 = +. Exemplo 40. Ache 2x x 2 x + 3x + 5. Dividimos o numerador e o denominador por x 2, 2 2x x 2 x + 3x + 5 = x 1 x + 3 x + 5. x 2 Os ites do numerador e do denominador serão considerados separadamente. ( ) 2 x + x 1 2 = x + x = 0 1 = 1. x + 1 Apostila Limites e Continuidade 63

( 3 x + x + 5 ) x 2 3 = x + = 0 + 0 = 0. x + x + 5 x 2 Assim sendo, temos o ite de um quociente no qual o ite do numerador é -1 e o ite do denominador é 0, onde o denominador está tendendo a zero por valores positivos. Logo, 2x x 2 x + 3x + 5 =. As assíntotas horizontais de um gráfico fornecem uma aplicação de ites no infinito. Uma assíntota horizontal é uma reta paralela ao eixo x. Definição 10. A reta y = b é denominada uma assíntota horizontal do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes afirmações for válida: (i) (ii) f(x) = b; x + f(x) = b. x Exemplo 41. Ache as assíntotas horizontais e faça um esboço do gráfico da função definida por x f(x) = x2 + 1. Primeiro considere f(x): x + f(x) = x + x + x x2 + 1. Dividimos o numerador e o denominador por x 2 ou, equivalentemente, por x e obtemos: Apostila Limites e Continuidade 64

x + x x2 + 1 = x + x 2 x x 2 x + 1 2 x 2 x x = x + 1 + 1x. 2 Como x +, x > 0; logo x = x. Assim x + x x2 + 1 = x + = = x x 1 + 1 x 2 1 x + 1 + x + 1 = 1. 1 + 0 x + x Logo, a reta y = 1 é uma assíntota horizontal. Considere agora f(x). Novamente, dividimos o numerador e o denominador por x 2, que é x ; como x, x < 0 e assim x = x. Temos x x x2 + 1 = x x x 1 + 1 x 2 1 x 2 = = ( 1) x 1 + x 1 = 1. 1 + 0 x 1 x 2 Assim, a reta y = 1 é uma assíntota horizontal. Um esboço do gráfico está na Figura 29. Apostila Limites e Continuidade 65

Figura 29: Exemplo 41. Exemplo 42. Ache as assíntotas vertical e horizontal e faça um esboço do gráfico da equação xy 2 2y 2 4x = 0. Resolvendo em y a equação dada, obtemos: x y = ±2 x 2. Essa equação define duas funções: x y = f 1 (x), onde f 1 é definida por f 1 (x) = 2 x 2 ; x y = f 2 (x), onde f 2 é definida por f 2 (x) = 2 x 2. O gráfico da equação dada é composto pelos gráficos de duas funções, f 1 e f 2. Os domínios das duas funções consistem naqueles valores de x para x os quais 0. O domínio de f x 2 1 e f 2 é (, 0] (2, + ). Consideremos agora f 1. Como x f 1(x) = 2 x 2 + x 2 + x 2 = +, a reta x = 2 é uma assíntota vertical do gráfico de f 1. Apostila Limites e Continuidade 66

f 1(x) = x + 2 1 x + 1 2 x = 2. Assim, a reta y = 2 é uma assíntota horizontal do gráfico de f 1. Do mesmo modo, f 1(x) = 2. Um esboço do gráfico de f 1 está na x Figura 30. Figura 30: Exemplo 42. [ ] x f 2(x) = 2 x 2 + x 2 + x 2 =. Logo, a reta x = 2 é uma assíntota vertical do gráfico de f 2. f 2(x) = 2 1 x + x + 1 2 = 2. x Assim, a reta y = 2 é uma assíntota horizontal do gráfico de f 2. Também f 2(x) = 2. Um esboço do gráfico de f 2 está na Figura x 31. O gráfico da equação dada é a união dos gráficos f 1 e f 2 e um esboço está na Figura 32. Apostila Limites e Continuidade 67

Figura 31: Exemplo 42. Figura 32: Exemplo 42. Apostila Limites e Continuidade 68

1.6.1 Exercícios 1. Ache o ite. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) x + x + x + 1 x + 3. x + x + 3. 2x 1 x + (2x x 2 + 3). (x 3x 3 + 2). x + (x x 2 + 3). x + x + (x x + 3). ( x + x x 1). x + (x 3 2 + 3x 3 ). x + t x x + x + y + x 2t + 1 5t 2. 2x + 7 4 5x. 7x 2 2x + 1 3x 2 + 8x + 5. x + 4 3x 2 5. 2x 2 3y y + 1. 4x 3 + 2x 2 5 (n) x 8x 3 + x + 2. 2y 3 4 (o) x + 5y + 3. (p) (3x + 1x ). 2 Apostila Limites e Continuidade 69

(q) (r) (s) (t) x2 + 4 x + x + 4. w2 2w + 3. w w + 5 ( 3r 2 + r 2r). r + ( 3 x 3 + x 3 x 3 + 1). x 2. Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função. (a) f(x) = 2x + 1 x 3. (b) f(x) = 4 3x x + 1. (c) g(x) = 1 1 x. (d) h(x) = 1 + 1 x 2. (e) f(x) = (f) F (x) = (g) G(x) = (h) h(x) = (i) f(x) = (j) f(x) = 2 x2 4. 3x x2 + 3. 4x2 x 2 9. 2x 6x 2 + 11x 10. 4x2 x2 2. x x2 9. 3. Encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação. (a) 3xy 2x 4y 3 = 0. (b) x 2 y 2 x 2 + 4y 2 = 0. (c) (y 2 1)(x 3) = 6. (d) x 2 y 2x 2 y 2 = 0. (e) x 2 y + 4xy x 2 + x + 4y 6 = 0. Apostila Limites e Continuidade 70

1.7 Definição Precisa de Limite A definição intuitiva de ite, apresentada anteriormente, é inadequada para alguns propósitos, pois as frases como x está próximo de 2 e f(x) aproxima-se cada vez mais de L são vagas. Para sermos capazes de provar conclusivamente que x 0 ( x 3 + ) cos 5x sen x = 0, 0001 ou 10.000 x 0 x = 1, devemos utilizar a definição precisa de ite. Para motivar a definição precisa de ite, vamos considerar a função { 2x 1 se x 3 f(x) = 6 se x = 3. Isso é intuitivamente claro quando x está próximo de 3, mas x 3, então f(x) está próximo de 5, e sendo assim, x 3 f(x) = 5. Para obter informações mais detalhadas sobre como f(x) varia quando x está próximo de 3, fazemos a seguinte pergunta: Quão próximo de 3 deverá estar x para que f(x) difira de 5 por menos que 0,1? A distância de x a 3 é x 3, e a distância de f(x) a 5 é f(x) 5, logo, nosso problema é encontrar um número δ tal que f(x) 5 < 0, 1 se x 3 < δ mas x 3. Se x 3 > 0, então x 3, portanto, uma formulação equivalente de nosso problema é encontrar um número δ tal que isto é, f(x) 5 < 0, 1 se 0 < x 3 < δ. Note que se 0 < x 3 < (0, 1)/2 = 0, 05, então f(x) 5 = (2x 1) 5 = 2x 6 = 2 x 3 < 0, 1, f(x) 5 < 0, 1 se 0 < x 3 < 0, 05. Assim, uma resposta para o problema é dada por δ = 0, 05; isto é, se x estiver a uma distância de no máximo 0,05 de 3, então f(x) estará a uma distância de no máximo 0,1 de 5. Se mudarmos o número 0,1 em nosso problema para um número menor 0,01, então usando o mesmo método achamos que f(x) diferirá de 5 por menos que 0,01, desde que x difira de 3 por menos que (0, 01)/2 = 0, 005: f(x) 5 < 0, 01 se 0 < x 3 < 0, 005. Apostila Limites e Continuidade 71

Analogamente, f(x) 5 < 0, 001 se 0 < x 3 < 0, 0005. Os números 0,1, 0,01 e 0,001, anteriormente considerados, são chamados erros de tolerância (ou simplesmente tolerância) que podemos admitir. Para que o número 5 seja precisamente o ite de f(x), quando x tende a 3, devemos não apenas ser capazes de tornar a diferença entre f(x) e o 5 menor que cada um desses três números; devemos ser capazes de tornar a diferença menor que qualquer número positivo. E, por analogia ao procedimento adotado, nós podemos. Se chamarmos ε (a letra grega épsilon) a um número positivo arbitrário, então encontramos, como anteriormente, que f(x) 5 < ε se 0 < x 3 < δ = ε 2. (1) Esta é uma maneira precisa de dizer que f(x) está próximo de 5 quando x está próximo de 3, pois (1) diz que podemos fazer os valores de f(x) dentro de uma distância arbitrária ε de 5 tomando os valores de x dentro de uma distância ε/2 de 3, mas x 3. Note que (1) pode ser reescrito como 5 ε < f(x) < 5 + ε sempre que 3 δ < x < 3 + δ (x 3). Tomando os valores de x (x 3) para dentro do intervalo (3 δ, 3 + δ), podemos obter os valores de f(x) dentro do intervalo (5 ε, 5 + ε). Usando (1) como modelo, têm-se a seguinte definição precisa de ite: Definição 11. Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número a, exceto possivelmente no próprio a. Então dizemos que o ite de f(x) quando x tende a a é L, e escrevemos f(x) = L, se para todo número ε > 0 há um número correspondente δ > 0 tal que f(x) L < ε sempre que 0 < x a < δ. Outra maneira de escrever a última linha dessa definição é se 0 < x a < δ então f(x) L < ε. Uma vez que x a é a distância de x a a e f(x) L é a distância de f(x) a L, e como ε pode ser arbitrariamente pequeno, a definição de um ite pode ser expressa em palavras da seguinte forma: Apostila Limites e Continuidade 72

f(x) = L significa que a distância entre f(x) e L pode ser arbitrariamente pequena tomando-se a distância de x a a suficientemente pequena (mas não 0). Alternativamente, f(x) = L significa que os valores de f(x) podem ser tornados tão próximos de L quanto desejarmos tomando-se x suficientemente próximo de a (mas não igual a a). Podemos também reformular a Definição 11 em termos de intervalos observando que a desigualdade x a < δ é equivalente a δ < x a < δ, que pode ser escrita como a δ < x < a + δ. Também 0 < x a é válida se e somente se x a 0, isto é x a. Analogamente, a desigualdade f(x) L < ε é equivalente ao par de desigualdades L ε < f(x) < L + ε. Portanto, em termos de intervalos, a Definição 11 pode ser enunciada como a seguir: f(x) = L significa que para todo ε > 0 (não importa quão pequeno for ε) podemos achar δ > 0 tal que, se x estiver no intervalo aberto (a δ, a + δ) e x a, então f(x) estará no intervalo aberto (L ε, L + ε). Exemplo 43. Use um gráfico para achar um número δ tal que (x 3 5x + 6) 2 < 0, 2 sempre que x 1 < δ. Em outras palavras, encontre um numero δ que corresponda a ε = 0, 2 na definição de ite de uma função f(x) = x 3 5x + 6 com a = 1 e L = 2. Um gráfico de f é mostrado na Figura 33, e estamos interessados na região próxima do ponto (1, 2). Note que podemos reescrever a desigualdade (x 3 5x + 6) 2 < 0, 2 como 1, 8 < x 3 5x + 6 < 2, 2. Apostila Limites e Continuidade 73

Figura 33: Exemplo 43. Assim, precisamos determinar os valores de x para os quais a curva y = x 3 5x + 6 está entre as retas horizontais y = 1, 8 e y = 2, 2. Portanto, vamos fazer o gráfico das curvas y = x 3 5x + 6, y = 1, 8 e y = 2, 2 próximo do ponto (1, 2). Pode-se então estimar que a coordenada x do ponto de interseção da reta y = 2, 2 com a curva y = x 3 5x + 6 está em torno de 0, 911. Analogamente, y = x 3 5x + 6 intersecta a reta y = 1, 8 quando x 1, 124. Logo, arredondando-se, por segurança, pode-se afirmar que 1, 8 < x 3 5x + 6 < 2, 2 sempre que 0, 92 < x < 1, 12. Esse intervalo (0, 92; 1, 12) não é simétrico em torno de x = 1. A distância de x = 1 até o ponto extremo à esquerda é 1 0, 92 = 0, 08, e a distância até o ponto extremo direito é 0, 12. Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é, δ = 0, 08. Então podemos reescrever nossas desigualdades em termos de distâncias da seguinte forma: (x 3 5x + 6) 2 < 0, 2 sempre que x 1 < 0, 08. Isso somente nos diz que, mantendo x dentro de uma distância de 0, 08 de 1, somos capazes de obter f(x) dentro de uma distância de 0, 2 de 2. Embora tenhamos escolhido δ = 0, 08, qualquer valor menor positivo de δ poderia também ter funcionado. O procedimento gráfico do Exemplo 43 dá uma ilustração da definição para ε = 0, 2, mas não prova que o ite é igual a 2. Uma prova deve fornecer um δ para cada ε. Ao provar as questões sobre os ites, pode ser proveitoso imaginar a definição de ite como um desafio. Primeiro ele o desafia com um número Apostila Limites e Continuidade 74

ε. Então você deve ser capaz de obter um δ adequado. Você deve ser capaz de fazer isso para todo ε > 0, e não somente para um valor particular de ε. Exemplo 44. Prove que x 3 (4x 5) = 7. 1. Uma análise preinar do problema (conjecturando um valor para δ). Seja ε um número positivo dado. Devemos encontrar um número δ tal que (4x 5) 7 < ε sempre que 0 < x 3 < δ. Mas (4x 5) 7 = 4x 12 = 4(x 3) = 4 x 3. Portanto, queremos 4 x 3 < ε sempre que 0 < x 3 < δ, isto é, x 3 < ε 4 sempre que 0 < x 3 < δ. Isso sugere que poderíamos escolher δ = ε/4. 2. Prova (mostrando que a escolha de δ funciona). Dado ε > 0, escolha δ = ε/4. Se 0 < x 3 < δ, então ( ε (4x 5) 7 = 4x 12 = 4 x 3 < 4δ = 4 = ε. 4) Assim (4x 5) 7 < ε sempre que 0 < x 3 < δ. Portanto, pela definição de ite (4x 5) = 7. x 3 Observe que na solução do Exemplo 44 havia dois estágios - conjecturando e provando. Fizemos uma análise preinar que nos capacitou conjecturar uma valor para δ. Então em um segundo estágio tivemos que voltar e provar cuidadosamente de forma lógica que fizemos uma conjectura correta. Por vezes é necessário primeiro fazer uma conjectura inteligente sobre a resposta de um problema e então provar que a conjectura é correta. Apostila Limites e Continuidade 75

As definições intuitivas de ites laterais, vistas anteriormente, podem ser reformuladas precisamente da seguinte maneira: Definição 12. Definição de Limite Esquerdo: f(x) = L, se para todo ε > 0 houver um número correspondente δ > 0 tal que f(x) L < ε sempre que a δ < x < a. Definição 13. Definição de Limite Direito: f(x) = L, + se para todo ε > 0 houver um número correspondente δ > 0 tal que f(x) L < ε sempre que a < x < a + δ. Note que a Definição 12 é igual à Definição 11, exceto que x está restrito a ficar na metade esquerda (a δ, a) do intervalo (a δ, a + δ). Na Definição 13, x está restrito a ficar na metade direita (a, a+δ) do intervalo (a δ, a+δ). Exemplo 45. Prove que x 0 x = 0. 1. Conjecturando um valor para δ. Seja ε um número positivo dado. Aqui a = 0 e L = 0; logo, queremos encontrar um número δ tal que x 0 < ε sempre que 0 < x < δ, isto é, x < ε sempre que 0 < x < δ, ou, elevando ao quadrado ambos os lados da desigualdade x < ε, obtemos x < ε 2 sempre que 0 < x < δ. Apostila Limites e Continuidade 76

Isso sugere que devemos escolher δ = ε 2. 2. Mostrando que esse δ funciona. Dado ε > 0, ou seja δ = ε 2. Se 0 < x < δ, então x < δ = ε2 = ε, logo x 0 < ε. Consequentemente isso mostra que x 0 x = 0. Exemplo 46. Prove que x 3 x 2 = 9. 1. Conjecturando um valor para δ. Dado ε > 0. Teremos que encontrar um número δ > 0 tal que x 2 9 < ε sempre que 0 < x 3 < δ. Para conectar x 2 9 com x 3 escrevemos x 2 9 = (x 3)(x + 3). Nesse caso, queremos x 3 x + 3 < ε sempre que 0 < x 3 < δ. Note que se pudermos encontrar uma constante positiva C tal que x+3 < C, então x 3 x + 3 < C x 3, e podemos fazer C x 3 < ε tomando x 3 < ε/c = δ. Podemos achar esse número C se restringirmos x a algum intervalo centrado em 3. De fato, uma vez que estamos interessados apenas em valores de x que estão próximos de 3, é razoável supor que x está dentro de uma distância 1 de 3, isto é, x 3 < 1. Então 2 < x < 4, logo 5 < x + 3 < 7. Assim, temos x + 3 < 7; logo, C = 7 é uma escolha conveniente para a constante. Mas agora há duas restrições sobre x 3, isto é x 3 < 1 e x 3 < ε C = ε 7. Para ter certeza de que ambas as desigualdades estão satisfeitas, tomemos δ como o menor dos dois números 1 e ε/7. A notação para isso é δ = min{1, ε/7}. Apostila Limites e Continuidade 77

2. Mostrando que esse δ funciona. Dado ε > 0, seja δ = min{1, ε/7}. Se 0 < x 3 < δ então x 3 < 1 = 2 < x < 4 = x + 3 < 7 (como na parte 1). Temos também x 3 < ε/7, logo ( ε x 2 9 = x 3 x + 3 < 7 = ε. 7) Isso mostra que x 3 x 2 = 9. 1.7.1 Exercícios 1. Prove cada proposição usando a definição ε, δ de ite. (a) (2x + 3) = 5. x 1 ( ) 1 (b) x 2 2 x + 3 = 2. (c) (1 4x) = 13. x 3 (d) (7 3x) = 5. x 4 x (e) x 3 5 = 3 5. ( x ) (f) x 6 4 + 3 = 9 2. ( (g) 4 3x ) = 7. x 5 5 x 2 + x 12 (h) = 7. x 3 x 3 (i) x = a. (j) c = c. (k) x 2 = 0. x 0 (l) x = 0. x 0 (m) (x 2 4x + 5) = 1. x 2 (n) x 2 (x2 1) = 3. (o) x 2 x3 = 8. Apostila Limites e Continuidade 78

2 Continuidade O ite de uma função quando x tende a a pode muitas vezes ser encontrado simplesmente calculando-se o valor da função em a. As funções com essa propriedade são chamadas contínuas em a. Definição 14. Uma função f é contínua em um número a se f(x) = f(a). Essa definição implicitamente requer três coisas para a continuidade de f em a: 1. f(a) está definida (isto é, a está no domínio de f); 2. f(x) existe; 3. f(x) = f(a). A definição diz que f é contínua em a se f(x) tender a f(a) quando x aproxima-se de a. Assim, uma função contínua f tem a propriedade que uma pequena variação em x produza apenas uma pequena modificação em f(x). De fato, a alteração em f(x) pode ser mantida tão pequena quanto desejarmos mantendo a variação em x suficientemente pequena. Se f está definida próximo de a (f está definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em a), dizemos que f é descontínua em a, ou que f tem uma descontinuidade em a, se f não é contínua em a. Geometricamente, pode-se pensar em uma função contínua em todo número de um intervalo como sendo uma função cujo gráfico não se quebra. Apostila Limites e Continuidade 79

Exemplo 47. Onde cada uma das seguintes funções é descontínua? 1. 2. 3. 4. f(x) = x2 x 2. x 2 f(x) = { 1 x 2 se x 0 1 se x = 0. x 2 x 2 se x 2 f(x) = x 2 1 se x = 2 f(x) = x.. 1. Note que f(2) não está definida; logo, f é descontínua em 2. Mais à frente veremos o motivo pelo qual f é contínua em todos os demais números. 2. Aqui f(0) = 1 está definida, mas 1 f(x) = x 0 x 0 x 2 não existe. Logo f é descontínua em 0. 3. Aqui f(2) = 1 está definida e x 2 x 2 f(x) = x 2 x 2 x 2 existe. Porém logo, f não é contínua em 2. = x 2 (x 2)(x + 1) x 2 f(x) f(2), x 2 = x 2 (x + 1) = 3 4. A função maior inteiro f(x) = x tem descontinuidade em todos os inteiros, pois x n x não existe se n for um inteiro. Apostila Limites e Continuidade 80

Figura 34: Exemplo 47-a. Figura 35: Exemplo 47-b. Figura 36: Exemplo 47-c. Apostila Limites e Continuidade 81

Figura 37: Exemplo 47-d. As Figuras 34, 35, 36, 37, mostram os gráficos das funções no Exemplo 47. Definição 15. Uma função f é contínua à direita de um número a se: 1. f(a) está definida (isto é, a está no domínio de f); 2. f(x) existe; + 3. f(x) = f(a). + Definição 16. Uma função f é contínua à esquerda de a se: 1. f(a) está definida (isto é, a está no domínio de f); 2. f(x) existe; 3. f(x) = f(a). Definição 17. Uma função f é contínua em um intervalo se for contínua em todos os números do intervalo. (Se f for definida somente de um lado do extremo do intervalo, entendemos continuidade no extremo como continuidade à direita ou à esquerda.) Apostila Limites e Continuidade 82

Exemplo 48. Mostre que a função f(x) = 1 1 x 2 é contínua no intervalo [ 1, 1]. Se 1 < a < 1, então, usando as propriedades de ite, temos: f(x) = (1 1 x 2 ) = 1 1 x 2 = 1 (1 x 2 ) = 1 1 a 2 = f(a). Assim, pela Definição 14, f é contínua em a se 1 < a < 1. Cálculos análogos mostram que x 1 x 1 f(x) = 1 = f( 1) e f(x) = 1 = f(1), + logo, f é contínua à direita em 1 e contínua à esquerda em 1. Consequentemente, de acordo com a Definição 17, f é contínua em [ 1, 1]. O gráfico de f está esboçado na Figura 38. É a metade inferior do círculo x 2 + f(y 1) 2 = 1. Figura 38: Exemplo 48. Apostila Limites e Continuidade 83

Exemplo 49. Seja h definida por { 3 + x se x 1 h(x) = 3 x se x > 1. Verifique se essa função é contínua. Um esboço do gráfico de h está na Figura 39. Como há uma quebra no gráfico, no ponto onde x = 1, investigaremos as condições da Definição 14 em 1. Como h(1) = 4, a condição (1) é verificada. h(x) = x 1 x 1 (3 + x) = 4 e h(x) = x 1 + x 1 +(3 x) = 2. Como h(x) h(x), então h(x) não existe; assim sendo, a x 1 x 1 + x 1 condição (2) da Definição 14 não está satisfeita em 1. Logo h é descontínua em 1. Figura 39: Exemplo 49. Apostila Limites e Continuidade 84

Exemplo 50. Seja f definida por Verifique se essa função é contínua. f(x) = 1 x 2. Um esboço do gráfico f é dado na Figura 40. Há uma quebra no gráfico, no ponto onde x = 2, e assim sendo vamos examinar as condições da Definição 14. Como f(2) não está definida, a condição (1) não é satisfeita. Logo, f é descontínua em 2. Figura 40: Exemplo 50. Exemplo 51. Seja g definida por g(x) = { 1 x 2 se x 2 3 se x = 2. Verifique se essa função é contínua. Apostila Limites e Continuidade 85

Um esboço do gráfico de g está na Figura 41. Definição 14 serão testadas em 2. As três condições da Uma vez que g(2) = 3, a condição (1) é satisfeita. g(x) = 1 x 2 x 2 x 2 = e g(x) = 1 x 2 + x 2 + x 2 = +. Como g(x) não existe, a condição (2) da Definição 14 não é satisfeita. x 2 Logo, g é descontínua em 2. Figura 41: Exemplo 51. Exemplo 52. Seja F definida por { x 3 se x 3 F (x) = 2 se x = 3. Verifique se essa função é contínua. Um esboço do gráfico de F aparece na Figura 42. Vamos verificar as três condições da Definição 14 no ponto x = 3. Apostila Limites e Continuidade 86

Uma vez que F (3) = 2, a condição (1) é satisfeita. F (x) = x 3 x 3 (3 x) = 0 e F (x) = x 3 + x 3 +(x 3) = 0. Logo, F (x) = 0 e assim a condição (2) é verificada. x 3 O x 3 F (x) = 0; porém, F (3) = 2, assim sendo, a condição (3) não é satisfeita. Portanto, F é descontínua em 3. Figura 42: Exemplo 52. Exemplo 53. Seja f definida por { 2x + 3 se x 1 f(x) = 2 se x = 1. Verifique se essa função é contínua. Um esboço do gráfico dessa função está na Figura 43. Observe que há uma quebra no gráfico, no ponto onde x = 1. Assim, vamos verificar aí as condições da Definição 14. f(1) = 2; logo, a condição (1) da Definição 14 é satisfeita. Apostila Limites e Continuidade 87

x 1 f(x) = 5; logo a condição (2) da Definição 14 está satisfeita. x 1 f(x) = 5; mas f(1) = 2; logo, a condição (3) da Definição 14 não está satisfeita. Assim, f é descontínua em 1. Figura 43: Exemplo 53. Deve estar claro que a noção geométrica de quebra em certo ponto no gráfico tem o mesmo significado do conceito de descontinuidade de uma função num certo valor da variável independente. Seguindo o Exemplo 53, se f(1) tivesse sido definida como sendo 5, então f seria contínua em 1. Isso ilustra o conceito de descontinuidade removível. Em geral, suponha que f seja uma função descontínua em um número a, mas para a qual f(x) existe. Assim, f(a) f(x) ou então f(a) não existe. Tal descontinuidade é chamada de descontinuidade removível, pois se f for redefinida em a de tal forma que f(a) seja igual ao f(x), a nova função tornar-se-á contínua em a. Se a descontinuidade não for removível, ela é chamada de descontinuidade essencial. Apostila Limites e Continuidade 88

Exemplo 54. A função definida por f(x) = x 2 x 4, é descontínua em 4. Mostre que a descontinuidade é removível e redefina f(4) de tal modo que a descontinuidade seja removida. A função f é descontínua em 4, pois f(4) não existe. Se f(x) existir, x 4 a descontinuidade poderá ser removida, redefinindo f(4) = f(x). Vamos x 4 calcular o ite. x 2 f(x) = x 4 x 4 x 4 = x 4 ( x 2)( x + 2) (x 4)( x + 2) = x 4 x 4 (x 4)( x + 2) 1 = = 1 x 4 x + 2 4. Logo, expressando f(4) = 1, teremos a nova função definida por 4 x 2 se x 4 f(x) = x 4, 1 se x = 4 4 e essa função é contínua em 4. Obtemos o teorema a seguir sobre funções que são contínuas em um número, aplicando a Definição 14 e as propriedades de ite. Apostila Limites e Continuidade 89

Teorema 10. Se f e g forem funções contínuas em um número a, então 1. f + g será contínua em a; a 2. f g será contínua em a; 3. f. g será contínua em a; 4. f g será contínua em a, desde que g(a) 0. a ver demonstração na página 103, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Teorema 11. Uma função polinomial é contínua em qualquer número. Teorema 12. Uma função racional é contínua em todos os números do seu domínio. a a ver demonstração na página 103, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Exemplo 55. Determine os números nos quais a função a seguir é contínua: f(x) = x3 + 1 x 2 9. O domínio de f é o conjunto R dos números reais, exceto aqueles para os quais x 2 9 = 0. Como x 2 9 = 0 quando x = ±3, segue que o domínio de f é o conjunto de todos os números reais, exceto 3 e 3. Como f é uma função racional, segue do Teorema 12 que f será contínua em todos os números reais, exceto 3 e 3. Apostila Limites e Continuidade 90

Exemplo 56. Determine os números nos quais a função a seguir é contínua, { 2x 3 se x 1 f(x) = x 2 se x > 1. As funções 2x 3 e x 2 são funções polinomiais e, portanto, contínuas em qualquer número. Assim, o único número no qual a continuidade é questionável é 1. Vamos testar as três condições de continuidade em 1. f(1) = 1. Assim, a condição (1) da Definição 14 é verificada. f(x) = x 1 x 1 (2x 3) = 1 e f(x) = x2 = 1. x 1 + x 1 + Como f(x) f(x), o ite bilateral f(x) não existe. x 1 x 1 + x 1 Logo, f é descontínua em 1. exceto 1. Teorema 13. Se n for um inteiro positivo e então, Mas f é contínua em todo número real, f(x) = n x, 1. se n for ímpar, f será contínua em qualquer número; 2. se n for par, f será contínua em todo número positivo. Da forma dos gráficos das funções seno e cosseno iríamos certamente conjecturar que elas são contínuas. Sabe-se das definições de sen θ e cos θ que as coordenadas do ponto P na Figura 44 são (cos θ, sen θ). À medida que θ 0, vemos que P tende ao ponto (1, 0) e, portanto, cos θ 1 e sen θ 0. Assim, θ 0 cos θ = 1 e sen θ = 0. (2) θ 0 Uma vez que cos 0 = 1 e sen 0 = 0, as equações em (2) asseguram que as funções seno e cosseno são contínuas em 0. As fórmulas de adição para seno e cosseno podem, então, ser usadas para deduzir que essas funções são contínuas em toda a parte. Apostila Limites e Continuidade 91

Figura 44: Ilustração. Segue do item 4 do Teorema 10 que tan x = sen x cos x é contínua, exceto onde cos x = 0. Isso acontece quando x é um múltiplo inteiro ímpar de π, portanto y = tan x tem descontinuidades infinitas quando 2 x = + π, ± 3π, ± 5π e assim por diante. 2 2 2 A função inversa de qualquer função contínua é também contínua. (O gráfico de f 1 é obtido refletindo o de f em torno da reta y = x. Portanto, se o gráfico de f não tiver quebra, isso também acontecerá com o de f 1.) Assim sendo, as funções trigonométricas inversas são contínuas. A função logarítmica é contínua em (0, ). Teorema 14. Os seguintes tipos de funções são contínuas em todo o número de seus domínios: Polinômio; Funções racionais; Funções raízes; Funções trigonométricas; Funções trigonométricas inversas; Funções exponenciais; Funções logarítmicas. Apostila Limites e Continuidade 92

Exemplo 57. Onde a função f(x) = ln x + tan 1 x x 2 1 é contínua? Sabemos do Teorema 14 que a função y = ln x é contínua para x > 0 e que y = tan 1 x é contínua em R. Assim, pelo item 1 do Teorema 10, y = ln x + tan 1 x é contínua em (0, ). O denominador y = x 2 1 é um polinômio, portanto é contínuo em toda a parte. Assim, pelo item 4 do Teorema 10, f é contínua em todos os números positivos x, exceto onde x 2 1 = 0. Logo, f é contínua nos intervalos abertos (0, 1) e (1, ). Teorema 15. Limite Trigonométrico Fundamental: sen x x 0 x = 1. A prova pode ser encontrada na página 116, livro O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Uma consequência do ite trigonométrico fundamental (ver Teorema 15): sen(kx + m) kx + m = 1, x m k onde k e m são constantes reais com k 0. Nota: Para m = 0, o ite anterior se resume a: sen kx x 0 kx = 1. Exemplo 58. Ache o ite, se existir: x 0 sen 3x sen 5x. sen 3x Queremos escrever o quociente de tal forma que o Teorema 15 possa sen 5x ser aplicado. Se x 0, sen 3x sen 5x = 3 ( sen 3x ) 3x 5 ( ). sen 5x 5x Apostila Limites e Continuidade 93

Quando x tende a zero, o mesmo acontece com 3x e 5x. Logo, sen 3x x 0 3x Assim sendo, = 3x 0 sen 3x 3x sen 3x x 0 = 1 e x 0 sen 5x 5x sen 5x = 5 3 ( sen 3x ) x 0 3x ) ( sen 5x x 0 5x = 5x 0 sen 5x 5x = 1. = 3.1 5.1 = 3 5. Exemplo 59. Mostre que a função seno é contínua em 0. Podemos mostrar que são satisfeitas as três condições necessárias à continuidade: sen 0 = 0; sen t sen t =.t t 0 t 0 t sen t =. t t 0 t t 0 = 1.0 = 0; t 0 sen t = sen 0. Logo, sen t é contínua em 0. Exemplo 60. Mostre que a função cosseno é contínua em 0. Vamos verificar as três condições necessárias à continuidade em um número. Ao verificar a segunda condição de continuidade, usamos o fato de que a função seno é contínua em 0 e substituímos cos t por 1 sen 2 t, pois cos t > 0 quando 0 < t < 1 2 π e quando 1 2 π < t < 0. Apostila Limites e Continuidade 94

cos 0 = 1; cos t = 1 sen2 t t 0 t 0 = t 0 (1 sen 2 t) = 1 0 = 1; t 0 cos t = cos 0. Logo, cos t é contínua em 0. Exemplo 61. Mostre que as funções seno e cosseno são contínuas em todos os números reais. O conjunto de todos os números reais é o domínio de ambas as funções seno e cosseno. Logo, precisamos mostrar que se a for um número real qualquer, sen x = sen a e cos x = cos a, ou equivalentemente, sen(t + a) = sen a e cos(t + a) = cos a. (3) t 0 t 0 Usaremos as identidades sen(t + a) = sen t. cos a + cos t. sen a, (4) De (4), cos(t + a) = cos t. cos a sen t. sen a. (5) sen(t + a) t 0 = (sen t. cos a + cos t. sen a) t 0 = sen t. cos a + cos t. sen a t 0 t 0 t 0 t 0 = 0. cos a + 1. sen a = sen a. Apostila Limites e Continuidade 95

Logo, a primeira das igualdades (3) é verdadeira; assim, a função seno é contínua em todo número real. De (5), cos(t + a) t 0 = (cos t. cos a sen t. sen a) t 0 = cos t. cos a sen t. sen a t 0 t 0 t 0 t 0 = 1. cos a 0. sen a = cos a. Assim, a segunda das equações (3) é verdadeira e, portanto, a função cosseno é contínua em todo número real. Exemplo 62. Mostre que 1 cos t t 0 t = 0. 1 cos t t 0 t sen t Pelo Teorema 15, t 0 t contínuas em 0, segue que Logo, t 0 (1 cos t)(1 + cos t) = t 0 t(1 + cos t) = t 0 = t 0 = t 0 sen t t 1 cos 2 t t(1 + cos t) sen 2 t t(1 + cos t). t 0 sen t 1 + cos t. = 1, e como as funções seno e cosseno são sen t 1 + cos t = 0 1 + 1 = 0. 1 cos t t 0 t = 1.0 = 0. Apostila Limites e Continuidade 96

Exemplo 63. Ache o ite, se existir: 1 cos x x 0 sen x. Como (1 cos x) = 0 e sen x = 0, as propriedades dos ites não x 0 x 0 podem ser aplicadas ao quociente 1 cos x. Mas, se dividirmos o numerador e sen x o denominador por x, o que é permissível, pois x 0, poderemos utilizar a sen x 1 cos x informação de que: = 1 e = 0. Assim, x 0 x x 0 x 1 cos x x 0 sen x = x 0 = x 0 x 0 = 0 1 = 0. 1 cos x x sen x x 1 cos x x sen x x Observação: Um outra solução seria multiplicar o numerador e o denominador por (1 cos x) e depois utilizar a identidade sen 2 x + cos 2 x = 1. Exemplo 64. Ache o ite, se existir: x 0 2 tan 2 x x 2. Usaremos a identidade trigonométrica tan x = sen x cos x e teremos 2 tan 2 x sen 2 x = 2 x 0 x 2 x 0 x 2. cos 2 x sen x sen x = 2. x 0 x x 0 x = 2.1.1.1 = 2. 1. x 0 cos 2 x Apostila Limites e Continuidade 97

Outra forma de combinar as funções contínuas f e g para obter novas funções contínuas é formar a função composta f g. Esse fato é uma consequência do seguinte teorema: Teorema 16. Seja f contínua em b e g(x) = b, então f(g(x)) = f(b). Em outras palavras, f(g(x)) = f( g(x)). Intuitivamente esse teorema é razoável, pois se x estiver próximo de a, então g(x) estará próximo de b; e como f é contínua em b, se g(x) estiver próximo de b, então f(g(x)) está próximo de f(b). ( ) 1 x Exemplo 65. Calcule arcsen. x 1 1 x Uma vez que arcsen é uma função contínua, podemos aplicar o Teorema 16: ( ) 1 x arcsen x 1 1 x ( = arcsen x 1 1 ) x 1 x ( ) 1 x arcsen x 1 1 x ( = arcsen = arcsen x 1 ( x 1 1 ) x (1 x)(1 + x) ) 1 1 + x = arcsen 1 2 = π 6. Teorema 17. Se g for contínua em a e f em g(a), então a função composta f g dada por (f g)(x) = f(g(x)) é contínua em a. Esse teorema é com frequência expresso informalmente como se segue: Uma função contínua de uma função contínua é uma função contínua. Apostila Limites e Continuidade 98

Exemplo 66. Onde as seguintes funções são contínuas? 1. h(x) = sen(x 2 ). 2. F (x) = ln(1 + cos x). 1. Temos que h(x) = f(g(x)), onde g(x) = x 2 e f(x) = sen x. Agora g é contínua em R, pois trata-se de um polinômio, e f também é contínua em toda a parte. Assim, h = f g é contínua em R pelo Teorema 17. 2. Sabemos do Teorema 14 que f(x) = ln x é contínua e g(x) = 1 + cos x é contínua (pois ambas, y = 1 e y = cos x, são contínuas). Portanto, pelo Teorema 17, F (x) = f(g(x)) é contínua onde está definida. Agora ln(1 + cos x) está definida quando 1 + cos x > 0. Dessa forma, não está definida quando cos x = 1, e isso acontece quando x = ±π, ±3π,. Logo, F tem descontinuidades quando x é um múltiplo ímpar de π e é contínua nos intervalos entre esses valores. Uma propriedade importante das funções contínuas está expressa pelo teorema a seguir, cuja prova pode ser encontrada em textos mais avançados de cálculo. Teorema 18. (Teorema do Valor Intermediário) Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e seja N um número qualquer entre f(a) e f(b), onde f(a) f(b). Então existe um número c em (a, b) tal que f(c) = N. O Teorema do Valor Intermediário estabelece que uma função contínua assume todos os valores intermediários entre os valores funcionais f(a) e f(b). É importante que a função f do Teorema 18 seja contínua (geometricamente, seria aquela cujo gráfico não tem nem buracos nem quebras). O Teorema do Valor Intermediário não é verdadeiro em geral para as funções descontínuas. Uma das aplicações do Teorema do Valor Intermediário é a localização das raízes de equações. Apostila Limites e Continuidade 99

Exemplo 67. Mostre que existe uma raiz da equação entre 1 e 2. 4x 3 6x 2 + 3x 2 = 0, Seja f(x) = 4x 3 6x 2 +3x 2 = 0. Estamos procurando por uma solução da equação dada, isto é, um número c entre 1 e 2 tal que f(c) = 0. Portanto, tomamos a = 1, b = 2 e N = 0 no Teorema 18. Temos e f(1) = 4 6 + 3 2 = 1 < 0 f(2) = 32 24 + 6 2 = 12 > 0. Assim f(1) < 0 < f(2), isto é, N = 0 é um número entre f(1) e f(2). Como f é contínua uma vez que é um polinômio, o Teorema do Valor Intermediário estabelece que existe um número c entre 1 e 2 tal que f(c) = 0. Em outras palavras, a equação 4x 3 6x 2 + 3x 2 = 0 tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1, 2). De fato, podemos localizar mais precisamente a raiz usando novamente o Teorema do Valor Intermediário. Uma vez que f(1, 2) = 0, 128 < 0 e f(1, 3) = 0, 548 > 0, uma raiz deve estar entre 1, 2 e 1, 3. Apostila Limites e Continuidade 100

2.1 Continuidade de Funções Exponenciais Toda função f : R R tal que é denominada função exponencial. f(x) = a x, com a > 0 e a 1, f(x) = a x é crescente se, e somente se, a > 1. Seu gráfico é mostrado na Figura 45. D(f) = R; Im(f) = R +, ou seja, a x > 0, x, x R; a x > 1, se x > 0; a x = 1, se x = 0; a x < 1, se x < 0. Figura 45: Função exponencial: f(x) = a x para a > 1. f(x) = a x é decrescente se, e somente se, 0 < a < 1. Seu gráfico é mostrado na Figura 46. D(f) = R; Im(f) = R +, ou seja, a x > 0, x, x R; a x < 1, se x > 0; a x = 1, se x = 0; a x > 1, se x < 0. Toda função exponencial é contínua em R. Apostila Limites e Continuidade 101

Figura 46: Função exponencial: f(x) = a x para 0 < a < 1. Propriedade Da continuidade das funções exponenciais, decorre que: g(x) = L x m x m ag(x) = a L, m, m R. 2.1.1 Cálculo dos ites f(x) = a x, a > 0 e a 1, para x ± Observando os gráficos das Figuras 45 e 46 percebemos intuitivamente, que: a > 1 x ax = 0 e x + ax = + ; 0 < a < 1 x + ax = 0 e x ax = +. Propriedades decorrentes: Se x m f(x) = + e a > 1, então x m af(x) = + ; Se x m f(x) = + e 0 < a < 1, então Se x m f(x) = e a > 1, então x m af(x) = 0; x m af(x) = 0; Se x m f(x) = e 0 < a < 1, então x m af(x) = +. Nota: Essas propriedades valem também para ites laterais e para x + ou x. Apostila Limites e Continuidade 102