Geometria Espacial Parte 3 Cursinho Popular Paulo Freire Jaquicele Ap. da Costa Graduanda em Matemática- UFV e-mail:jaquice.costa@ufv.br
Reflexão "Sem a curiosidade que me move, que me inquieta, que me insere na busca, não aprendo nem ensino". ( Paulo Freire )
CONES
CONES Considere um círculo contido em um plano e V é um ponto fora desse plano.denominamos cone o conjunto de todos os segmentos que tem uma extremidade em V e a outra extremidade num ponto do círculo.
Elementos do cone Vértice:V Base:região circular de raio de medida r e centro O. Geratrizes:os segmentos com extremidades no vértice e na circunferência da base;indicada por g Altura(h):distância entre o vértice e o plano da base
Classificação
Cone circular reto ou de revolução Gerado pela rotação de 360 de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um de seus catetos.
Áreas de um cone reto Área da base de um cone reto Área da superfície lateral de um cone reto
Área da superfície total
Volume de um cone
Tronco de cone Tronco de cone de bases paralelas é a parte do cone circular reto limitada pela base e por uma seção transversal qualquer desse cone.
Elementos de um tronco de cone Base do cone que deu origem ao tronco de medida R. Base originada pela seção transversal do cone de medida r. Geratriz do tronco
Elementos de um tronco cone e volume Secção meridiana Altura do tronco:distância entre as bases
Esferas
Esferas É um sólido gerado pela rotação de 360 de um semicírculo em torno de um eixo que contém o seu diâmetro.
Superfície esférica É uma figura de rotação gerada pela rotação de 360 de uma semicircunferência em torno de um eixo que contêm o seu diâmetro.
Secção plana A secção plana,produzida pela intersecção de um plano com uma esfera,é um círculo. Quando o plano intercepta no centro,temos uma secção circular de raio máximo
Secção plana Quando o plano intercepta num ponto,temos a tangência da esfera com o plano.
Área da superfície esférica e volume da esfera
Atividade 1 (ENEM 2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.
Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação do bebedouro 3.
Atividade 2 (ENEM 2011)- A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais. Esta figura é uma representação De uma superfície de revolução chamada de: a)pirâmide b)semiesfera c)cilindro d)tronco de cone e)cone
Quiz da matemática 1-(ENEM 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
Considere: Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de a)1,33 b)6,00 c)12,00 d)56,52 e)113,04
2-(UFJF) Considere um recipiente em forma de um cilindro circular reto,cujo diâmetro da base é 8 cm, contendo uma certa quantidade de água.ao se colocar as esferas de mesmo raio dentro desse recipiente, observando-se uma elevação de 4 cm no nível d água conforme a figura abaixo. Quanto mede o raio de cada esfera? a)1 cm b)2 cm c)3 cm d)4 cm e)5 cm
3-(UFRS) Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo cilíndrico de 4 cm de raio, até encostar no fundo, de modo que a água do copo recubra exatamente a esfera. Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de água era a) 27/8 cm b)19/6 cm c)18/5 cm d)10/3 cm e)7/2 cm
4-(UFPB) Depois de desistir de retirar a pipa do poste,joãozinho foi jogar futebol no quintal de casa.ao chutar a bola com muita força, fez com que a mesma caísse em um reservatório de água com a forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro é 96 cm. Maria percebeu que exatamente a metade da bola ficou submersa o q elevou o nível da água do reservatório em 0,5 cm (ver desenho).o raio dessa bola é: a)10 cm b)11 cm c)12 cm d)13 cm e)14 cm
5-(Fuvest-SP) Um cálice com a forma de cone contém V cm 3 de uma bebida. Uma cereja de forma esférica com diâmetro de 2 cm é colocada dentro do cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas laterais do cálice e o líquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4 cm a partir do vértice do cone, então o valor de V é: a) (2/3)π cm 3 b) (3/5) π cm 3 c) (4/3)π cm 3 d)(3/4) π cm 3 e) (7/3) π cm 3
6-(Unesp) Um paciente recebe por veia intravenosa um medicamento á taxa constante de 1,5 ml/min.o frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação. Após 4 h de administração contínua a medicação foi interrompida.dado que 1 cm 3 =1mL, e usando a aproximação π=3,o volume em ml,do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação,é aproximadamente: a)120 b)150 c)160 d)240 e)360
7-Pretende-se transportar 100 bolinhas esféricas, maciças e feitas de vidro, em caixas que comportam,cada uma, um peso máximo 0,50Kg.Sabendo-se que o diâmetro de cada bolinha é 2,1 cm e que a densidade do vidro é 2,60 g/ cm 3, qual o número mínimo de caixas necessárias para o transporte de 100 bolinhas?(use π =22/7 ). a) 2 b)3 c)4 d)5 e)6
8-(UFG) A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6m de raio e 1,25 m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre a superfície horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60 com a vertical e que a terra retirada tenha um volume 20% maior que o volume da piscina. Nessas condições,a altura do cone em metros,é de a)2,0 b)2,8 c)3,0 d)3,8 e)4,0
9-(UFLA) Parte do líquido de um cilindro completamente cheio é transferido para dois cones idênticos que ficam totalmente cheios. A relação entre as alturas do líquido restante no cilindro ( h 1 ) e a altura (H) do cilindro é:
10-(UFPB) Se V 1, V 2 e V 3 são, respectivamente,os volumes dos cones circular, hemisfério e cilindro circular representada abaixo. Então é correto afirmar que:
11-(UFF) Na figura estão representados três sólidos de mesma altura h- um cilindro, uma semiesfera e um prisma- cujos volumes são V 1, V 2 e V 3 respectivamente. A relação entre V 1, V 2 e V 3 é: a) V 3 < V 2 <V 1 b) V 2 < V 3 < V 1 c) V 1 < V 2 < V 3 d) V 3 < V 1 < V 2 e) V 2 < V 1 < V 3
Gabarito 1) B 2) B 3) D 4) C 5) C 6)A 7)A 8)C 9)D 10)A 11)E
Referência http://www.matematicacomjorgeoliveira.com.br /arquivos/geo_espacial_cilindro,%20cone%20e %20Esfera_PSS%202.pdf