UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL. APOSTILA DE Álgebra Linear. Realização:

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE Álgebra Linear Realizaçã: Frtaleza, Fevereir/21

Sumári 1. Matrizes... 3 1.1. Operações cm matrizes... 4 1.2. Operações elementares cm linhas de uma matriz... 5 1.3. Questões... 6 2. Determinantes... 7 2.1. Regra de Chió... 8 2.2. Terema de Laplace... 9 2.3. Questões... 1 3. Sistemas Lineares... 11 3.1. Métd d escalnament... 11 3.2. Regra de Cramer... 13 3.3. Questões... 13 4. Vetres... 14 4.1. Adiçã de Vetres... 15 4.2. Multiplicaçã pr escalar... 15 4.3. Questões... 16 5. Operações cm vetres... 16 5.1. Módul... 16 5.2. Prdut escalar (u prdut intern)... 16 5.3. Prdut vetrial (u prdut extern)... 17 5.4. Questões... 19 6. Espaçs vetriais... 19 6.1. Questões... 21 7. Subespaçs vetriais... 22 7.1. Questões... 24 8. Interseçã, uniã e sma de subespaçs... 25 8.1. Interseçã... 25 8.2. Sma... 26 8.3. Uniã... 27 8.4. Questões... 27 9. Cmbinaçã linear... 27 9.1. Questões... 28 1. Subespaçs gerads... 29 1.1. Questões... 3 11. Dependência e Independência Linear... 31 11.1. Questões... 32 12. Base de um espaç vetrial... 33 12.1. Questões... 36 13. Dimensã... 36 13.1. Questões... 37 14. Mudança de base... 38 14.1. A inversa da matriz de mudança de base... 39 14.2. Questões... 4 Página 2 de 4

1. Matrizes Sejam m e n inteirs psitivs. Chama-se matriz m n (sbre R) qualquer lista rdenada de m-n númers reais, dispsts em m linhas e n clunas. Os númers que cnstituem uma matriz sã chamads de terms da matriz. Uma matriz A, m n, pde ser dentada cm se segue: A = a 11 a 1n a m1 a mn Ou, simplesmente, A = (a ij ), nde 1 < i < m e 1 < j < n. Ntams que s índices i e j indicam a psiçã que term cupa na matriz. O term a ij está na i-ésima linha e na j-ésima cluna. Seja A = (a ij ) uma matriz n n. Chama-se diagnal principal, u simplesmente diagnal da matriz A, a lista rdenada (a 11, a 22,..., a nn ). Chama-se diagnal secundária da matriz A, a lista rdenada (a 1n, a 2(n 1), a n1 ). A sma ds índices ds terms da diagnal secundária é sempre igual a n+1. Igualdade de Matrizes: Send A = (a ij ), e B = (b ij ), matrizes, A e B sã iguais, se e smente se, a ij = b ij para quaisquer valres de i e de j. Tips de Matrizes: Chama-se matriz linha tda matriz 1 n, u seja, tda matriz cnstituída de uma só linha. Chama-se matriz cluna tda matriz m 1, u seja, tda matriz cnstituída de uma só cluna. Chama-se matriz nula aquela cujs terms sã tds nuls. Uma matriz m n chama-se quadrada se m = n. Uma matriz quadrada A = (a ij ) chama-se triangular superir se tds s terms que ficam abaix da diagnal principal sã iguais a zer, u seja, a ij = sempre que i > j. Uma matriz quadrada A = (a ij ) chama-se triangular inferir se tds s terms que ficam acima da diagnal principal sã iguais a zer, u seja, a ij = sempre que i < j. Uma matriz quadrada A = (a ij ) chama-se diagnal se tds s terms fra da diagnal principal sã iguais a zer, u seja, a ij = sempre que i j. Chama-se matriz identidade n n a matriz diagnal n n cujs terms da diagnal principal sã tds iguais a 1. Ela é dentada pr I n u simplesmente pr I. Uma matriz quadrada A = (a ij ) chama-se simétrica se a ij = a ji para quaisquer que sejam i e j, ist é, se s terms simetricamente situads em relaçã à diagnal principal sã iguais. 5 1 3 2 1 Exempls: 1, 1 2, I n, tda matriz diagnal. 3 2 1 Uma matriz quadrada A = (a ij ) chama-se anti-simétrica se a ij = a ji para quaisquer que sejam i e j, u seja, se s terms simetricamente situads em relaçã à diagnal principal sã númers reais simétrics e s terms da diagnal sã tds nuls. Página 3 de 4

Exempls: 4 8 1 1, 4 1 8 1, matriz quadrada nula. 1.1. Operações cm matrizes Adiçã de Matrizes: Sejam A = (a ij ), e B = (b ij ) matrizes m n. Definims a sma das matrizes A e B cm send a matriz A + B = (c ij ), em que c ij = a ij + b ij. Ou seja, smar A cm B cnsiste em smar terms crrespndentes. Prpriedades (1): Para quaisquer matrizes m n, A = (a ij ), B = (b ij ) e C = (c ij ), as seguintes prpriedades sã válidas: Assciatividade: A + (B + C) = (A + B) + C; Cmutatividade: A + B = B + A; Element neutr: A + O = A, nde O é a matriz m n nula; Matriz psta: A + (-A) = O, nde A = (a ij ). Chamams ( A) de matriz psta de A; Multiplicaçã de um escalar pr uma matriz: Sejam x R e A = (a ij ) uma matriz m n. Definims prdut da matriz A pel escalar x cm x. A = (x. a ij ). Ist é, multiplicar x pr A cnsiste em multiplicar x pr tds s terms de A. Prpriedades (2): Para quaisquer que sejam as matrizes m n, A = (a ij ) e B = (b ij ) e s númers reais x e y, valem as seguintes prpriedades: x.(a + B) = x.a + x.b (Distributiva para escalar) (x + y).a = x.a + y.a (Distributiva para matrizes) x.(y.a) = (xy).a (Assciativa) 1.A = A (1 é escalar que representa element neutr dessa peraçã) Multiplicaçã de Matrizes: Ist é: Seja A = (a ij ) uma matriz m n. Dentarems pr A i a i-ésima linha de A e A j a j-ésima cluna de A. A i = a i1 a i2 a in e A j = a 1j a 2j a mj Sejam A = (a ij ) uma matriz m n e B = (b jk ) uma matriz n p. Definims prdut da matriz A pela matriz B cm A. B = C = (c ij ) = n j=1 a ij b jk. Observaçã 1: O prdut A.B é uma matriz m p; Observaçã 2: O term de A.B que se situa na i-ésima linha e na j-ésima cluna é A i. B k. Observaçã 3: Quand existe uma matriz A 1 tal que A. A 1 = I, dizems que A é uma matriz invertível, e chamams A 1 de matriz inversa de A. Página 4 de 4

Prpriedades: Se A é uma matriz m n, entã A. I n = I m. A. Iss indica que a matriz identidade é element neutr para a multiplicaçã de matrizes. Se A é uma matriz m n e B e C sã matrizes n p, entã A(B + C) = AB + AC, u seja, a multiplicaçã se distribui à esquerda em relaçã à sma de matrizes. Para as mesmas matrizes A, B e C, tems (A + B) = BA + CA, u seja, a multiplicaçã se distribui à direita em relaçã à sma de matrizes. Seja A uma matriz m n, B uma matriz n p e x R, entã x. (AB) = A(x. B). Se A, B e C sã, respectivamente, matrizes m n, n p e p q, entã A(BC) = (AB)C (cmutatividade). Transpsiçã de Matrizes: Seja A uma matriz m n, definims a transpsta de A cm send a matriz n m A t = (b ji ), em que b ji = a ij. Exempl: 2 3 4 5 1 2 1 2 1 t 3 = 4 2 5 1 Prpriedades: Sejam x um númer real, A e B matrizes m n e C uma matriz n p. Entã valem as seguintes prpriedades: A t t = A (A + B) t = A t + B t (xa) t = x(a) t (BC) t = C t B t 1.2. Operações elementares cm linhas de uma matriz Seja A uma matriz m n. Chama-se peraçã elementar cm linhas de A qualquer uma das perações descritas a seguir: Permutaçã de duas linhas de A; Multiplicaçã de uma linha de A pr um númer real nã nul; Substituiçã de A i pr A i + xa j, em que j i e x é um númer real qualquer. Exempl: 3 3 12 2 1 1 3 1 3 A 1 1 1 4 2 1 1 3 A 2 2A 1 1 1 4 1 3 5 A primeira peraçã acima cnsistiu em multiplicar a primeira linha pr 1/3 e a segunda peraçã em substituir a segunda linha pr ela mais (-2) vezes a primeira (A 2 2A 1 ). Página 5 de 4

Sejam A e B matrizes m n. Dizems que A é linha-equivalente a B se B pde ser btida a partir de A através de perações elementares cm linhas. (N exempl anterir, ntams que a primeira matriz é linha-equivalente à terceira) Matriz na frma escada: Seja A uma matriz m n. Dizems que A é uma matriz na frma escada, se as seguintes cndições sã satisfeitas: As pssíveis linhas nulas ficam abaix das pssíveis linhas nã nulas. O primeir term nã nul de cada linha nã nula é igual a 1. Os demais terms da cluna à qual pertence primeir term nã nul de uma linha nã nula sã tds nuls. A cluna à qual pertence primeir term nã nul de uma linha nã nula fica à direita d primeir term nã nul da linha anterir, ist é, se p é númer de linhas nã nulas e se primeir term nã nul da i-ésima linha nã nula crre na k i -ésima cluna, entã k 1 < k 2 < < k p. Exempls: 1 1 1 1 4 1 3 5, 1 5, 1 2 1 3, O, I. Terema: Tda matriz m n é linha-equivalente a uma matriz na frma escada. Exempl: 2 3 1 4 2 1 1 3 1 2 A 1 1 3/2 1/2 4 2 1 1 3 A 2 +4A 1 A 3 A 1 1 3/2 1/2 6 1/2 7/2 1 6 A 2 1 3/2 1/2 1 1/2 7/2 A 1 3 2 A 2 1 A 3+ 2 A 2 1 1/2 1 7/2 1 7 A 3 1 1/2 1 1 A 1 + 1 2 A 3 1 1 1 1.3. Questões 1) Se A = 1 2 3 6 e B = 4 2 2 1, calcule AB e BA. Página 6 de 4

2) Se A= 3 2 4 3, ache B, de md que B2 = A. 3) Supnha que A e AB=AC nde A,B,C sã matrizes tais que a multiplicaçã esteja definida. a) B=C? b) Se existir uma matriz Y, tal que YA=I, nde I é a matriz identidade, entã B=C? 4) Diz-se que as matrizes A e B sã cmutativas se AB = BA. Encntre tdas as matrizes sejam cmutativas cm 1 1 1 x y z w que 2 2 5) Seja A = 3 1. a) Encntre A2 e A3. b) Se f x = x 3 3x 2 2x + 4, encntre f A c) Se g x = x 2 x 8, encntre g(a) 6) Para cada uma das matrizes a seguir, encntra uma matriz na frma escada, à qual a matriz dada é linha equivalente. 2 1 5 a) 6 3 15 2 2 b) 2 1 2 1 5 c) 1 3 6 1 2 1 d) 1 3 5 1 2 1 1 2 1 3 1 4 2 e) 1 5 1 4 16 8 2 2 1 1 3 f) 3 4 2 2 3 1 7) Sejam A e B matrizes quadradas d mesm tamanh, em que A é invertível. Mstre, pr induçã, que (ABA 1 ) n = AB n A 1 para td inteir psitiv n. 2. Determinantes Determinante é uma funçã que asscia a cada matriz quadrada um escalar. Seu cálcul é feit smand s terms ligads pelas diagnais paralelas à diagnal principal, e subtraind deste valr a sma ds prduts ds terms ligads pelas setas paralelas à diagnal secundária: Página 7 de 4

Tems que: det A = (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 ) (a 13 a 22 a 31 + a 12 a 21 a 33 + a 23 a 32 a 11 ) Sejam A, B e C matrizes quadradas de rdem n, e x um escalar qualquer, essas sã algumas das prpriedades ds seus determinantes: det(x A) = x n det A det A = det (A t ) Se uma fila (linha u cluna) da matriz é cmpsta de zers, entã determinante desta matriz será zer. Se A tem duas filas iguais, entã deta = Se permutarms duas linhas u clunas de A, entã determinante muda de sinal. Se A e B sã matriz quadradas da mesma rdem, entã det AB = deta. det B Observaçã 1: O determinante de uma matriz triangular u diagnal é prdut ds terms de sua diagnal principal. Observaçã 2: O determinante permite saber se a matriz tem u nã inversa, pis as que nã têm sã precisamente aquelas cuj determinante é igual a. A. A 1 = I, aplicand determinante ds dis lads, tems: det A. A 1 = deti deta. det A 1 = 1 det A 1 = 1 det A Assim, se determinante da matriz A fr nul, a matriz inversa nã pde existir. 2.1. Regra de Chió Através dessa regra é pssível diminuir de n para (n 1) a rdem de uma matriz quadrada A sem alterar valr d seu determinante. A regra prática de Chió cnsiste em: 1) Esclher um element a ij = 1 (cas nã exista, aplicar as prpriedades para que apareça element 1). 2) Suprimir a linha i e a cluna j d element a ij = 1, btend-se menr cmplementar d referid element. Página 8 de 4

3) Subtrair de cada element d menr cmplementar btid prdut ds elements que ficam ns pés das perpendiculares traçadas d element cnsiderad às filas suprimidas. 4) Multiplicar determinante btid n item anterir pr ( 1) i+j nde i e j designam as rdens da linha e da cluna às quais pertence element a ij = 1 d primeir item. Exempl: det A = 1 5 7 2 4 3 3 2 4 = 4 5.2 3 2.7 2 3.5 4 3.7. ( 1)1+1 = 6 11 13 17 = 6.17 13.11 = 41 2.2. Terema de Laplace Chama-se de menr cmplementar (D ij ) de um element a ij de uma matriz quadrada A determinante que se btém eliminand-se a linha i e a cluna j da matriz. Assim, dada a matriz quadrada de terceira rdem a seguir: A = 2 3 5 7 9 3 5 1, pdems escrever: D 23 = menr cmplementar d element a 23 = 9 da matriz A. Pela definiçã, D 23 será igual a determinante que se btém de A, eliminand-se a linha 2 e a cluna 3, u seja: D 23 = 2 3 5 = 2.5 3. = 1 Chama-se de cfatr de um element a ij de uma matriz seguinte prdut: cf a ij = ( 1) i+j. D ij Assim, pr exempl, cfatr d element a 23 = 9 da matriz d exempl anterir é igual a: cf a 23 = ( 1) 2+3. D 23 = ( 1) 5. 1 = 1 Observações sbre terema: O determinante de uma matriz quadrada é igual à sma ds prduts ds elements de uma fila qualquer (linha u cluna) pels seus respectivs cfatres. Este terema permite cálcul d determinante de uma matriz de qualquer rdem. Cm já cnhecems as regras práticas para cálcul ds determinantes de rdem 2 e de rdem 3, só recrrems à este terema para cálcul de determinantes de 4ª rdem em diante. Seu us pssibilita diminuir a rdem d determinante. Assim, para cálcul de um determinante de 4ª rdem, a sua aplicaçã resultará n cálcul de quatr determinantes de 3ª rdem. Para expandir um determinante pel terema de Laplace, é mais prátic esclher a fila (linha u cluna) que cntenha mais zers, para que seu prdut seja nul. Página 9 de 4

2.3. Questões 1) Dadas as matrizes A = a) det A + det B b) det(a + B) 1 2 1 e B = 3 1 1, calcule 2) Sejam A e B matrizes d tip n n. Verifique se as clcações abaix sã verdadeiras u falsas: a) det(ab) = det(ba) b) det A = det A c) det(2a) = 2 det A d) det(a²) = (det A)² 3) Calcule det A, nde: 3 1 5 2 1 a) A = 2 1 3 1 1 2 i 3 2 i 3 i 1 i b) A = 2 1 1 i i 1 4) Prve que a 1 b 1 c 1 b 2 c 2 b 3 c 3 b 4 c 4 = a 1 d 1 d 2 d 3 d 4 b 2 b 3 b 4 c 2 c 3 c 4 d 2 d 3 d 4 5) Mstre que det 1 1 1 a b c a² b² c² = a b b c (c a). 6) Verdadeir u fals? a) Se det A = 1, entã A-1 = A. b) Se A é uma matriz triangular superir e A-1 existe, entã também A-1 será uma matriz triangular superir. c) Se A é uma matriz escalar n n da frma ki n, entã det A = k n. d) Se A é uma matriz triangular, entã det A = a 11 +... +a nn. 7) Calcule a 2 (a + 2) 2 (a + 4) 2 (a + 2) 2 (a + 4) 2 (a + 6) 2 (a + 4) 2 (a + 6) 2 (a + 8) 2. Página 1 de 4

8) Mstre que cs2a cs 2 a sen 2 a cs2b cs 2 b sen 2 b cs2c cs 2 c sen 2 c =. 3. Sistemas Lineares Definiçã 1: Seja n um inteir psitiv. Chama-se equaçã linear a n incógnitas tda equaçã d tip a 1 x 1 + a 2 x 2 + a n x n = b em que a 1, a 2,..., a n, b sã cnstantes reais e x 1, x 2,..., x n sã incógnitas. Chamams cada a i de ceficiente de x i e b de term independente da equaçã. Definiçã 2: Sejam m e n inteirs psitivs. Chama-se sistema linear a m equações e n incógnitas td sistema cm m equações lineares, tdas às mesmas n incógnitas. Dentarems sistema citad cm se segue: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + + a 3n x n = b 3 Chama-se sluçã d sistema tda lista rdenada (x 1, x 2,, x n ) de númers reais que satisfaz a tdas as equações d sistema linear e chama-se cnjunt sluçã d sistema cnjunt cnstituíd de tdas as sluções. Dizems que sistema linear é, respectivamente, impssível, pssível determinad u pssível indeterminad cnfrme seu cnjunt sluçã seja vazi, unitári u tenha pel mens dis elements. 3.1. Métd d escalnament O métd d escalnament cnsiste em transfrmar uma matriz qualquer em uma matriz na frma escada através de perações elementares cm linhas. O bjetiv diss é reslver sistemas lineares. Para tant, devems saber que cada sistema linear tem duas matrizes crrespndentes: uma chamada matriz ds ceficientes u matriz incmpleta d sistema e utra chamada matriz cmpleta d sistema. Listems a seguir as matrizes referentes a um sistema genéric: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Matriz incmpleta Matriz cmpleta Página 11 de 4

Se A é a matriz ds ceficientes, X = (matricialmente) pelas seguintes equações: x 1 x 2 x n e B = b 1 b 2 b m, entã sistema pde ser representad A 1. X = b 1 A 2. X = b 2 A m. X = b m O métd d escalnament para reslver um sistema linear cuja matriz cmpleta é C cnsiste em encntrar uma matriz C, tal que C seja linha-equivalente a C e sistema cuja matriz é C já explicite seu cnjunt sluçã. Para tant, essa matriz deverá estar na frma escada. Exempl: Reslvams sistema 2x + 3y z = 6 4x + 2z = 1, que tem a seguinte matriz cmpleta: x + y + 3z = 2 3 1 6 4 2 1 1 1 3 Devems perar essa matriz cm linhas, de maneira a deixar a matriz ds ceficientes na frma escada. 2 3 1 6 4 2 1 1 1 3 1 3/2 1/2 3 4 2 1 1 1 3 1 3/2 1/2 3 6 11 1/2 7/2 3 1 3/2 1/2 3 1 11/6 1/2 7/2 3 1 1/2 1/4 1 11/6 7/2 25/12 1 1/2 1/4 1 11/6 1 25/42 1 1/21 1 11/6 1 25/42 Assim, sistema inicial é equivalente a x = 1/21 y = 11/6. Prtant, está reslvid. z = 25/42 Observações: Um sistema linear AX = B chama-se hmgêne se B = O. Ist é, se tds s terms independentes sã nuls. Neste cas, uma sluçã óbvia é a trivial, cmpsta apenas de zers. (Pr exempl, para n = 3, a sluçã trivial é (,,).) Se, num sistema linear hmgêne, númer de incógnitas é mair d que númer de equações, ele admite sluçã nã trivial. Se m = n, entã sistema linear AX = B tem uma única sluçã, entã A é linhaequivalente a I n. Página 12 de 4

3.2. Regra de Cramer A regra de Cramer é utilizada para a resluçã de um sistema linear a partir d cálcul de determinantes. Vams cnsiderar aqui um sistema linear Ax = B, send x uma matriz de incógnitas. Seja A uma matriz invertível n n e seja B R n. Seja A i a matriz btida substituind a i-ésima cluna de A pr B. Se x fr a única sluçã de Ax = B, entã x i = det (A i) det (A) para i = 1,2,, n Cm i variand até n, é pssível encntrar as matrizes-sluçã d sistema, e descbrir se ele é pssível determinad (quand há smente uma matriz-sluçã), pssível indeterminad (infinitas matrizes-sluçã) u impssível (nenhuma sluçã). Exempl: Cnsiderand sistema de equações: Sluçã: x 1 + 2x 2 + x 3 = 5 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 9 det A = 1 2 1 2 2 1 1 2 3 = 4 det A 1 = 5 2 1 6 2 1 9 2 3 = 4 det A 2 = 1 5 1 2 6 1 1 9 3 = 4 det A 3 = 1 2 5 2 2 6 1 2 9 = 8 Prtant: x 1 = 4 4 = 1 Entã tems cm sluçã a matriz x = 3.3. Questões x 2 = 4 4 = 1 1 1 2 x 3 = 8 4 = 2 e sistema é pssível determinad. 1) Determine s valres de k tais que sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (i) única sluçã, (ii) nenhuma sluçã, (iii) mais de uma sluçã. kx + y + z = 1 a) x + ky + z = 1 x + y + kz = 1 x + y + kz = 2 b) 3x + 4y + 2z = k 2x + 3y z = 1 2) Ache as sluções ds prblemas dads u prve que nã existem sluções Página 13 de 4

c) d) e) f) x + y + z = 1 2x 3y + 7z = 3x 2y + 8z = 4 x y + 2z = 4 3x + y + 4z = 6 x + y + z = 1 2x y + 5y = 19 x + 5y 3z = 4 3x + 2y + 4z = 25 x + 3y + z = 2x + 7y + 4z = x + y 4z = 3) Dad sistema: 1 2 1 1 2 3 4 1 2 1 2 1 4 3 x y z w = 2 2 4 8 a) Encntre uma sluçã dele sem reslvê-l (atribua valres para x, y, z e w). b) Reslva efetivamente sistema, ist é, encntre sua matriz-sluçã. c) Reslva também sistema hmgêne assciad. d) Verifique que tda matriz-sluçã btida em (b) é a sma de uma matriz-sluçã encntrada em (c) cm a sluçã particular que vcê encntru em (a). 4) Dad sistema linear: 3x + 5y + 12z w = 3 x + y + 4z w = 6 2y + 2z + w = 5 a) Discuta a sluçã d sistema. b) Acrescente a equaçã 2z + kw = 9 a este sistema, encntre um valr de k que trne sistema impssível. 5) Dê cnjunt sluçã d seguinte sistema linear: 4. Vetres x 1 + x 2 + 5x 3 8x 4 = 1 x 1 + 4x 2 + 13x 3 3x 4 = 1 2x 1 + x 2 2x 3 + 21x 4 = 2 3x 2 + 8x 3 + 5x 4 = Um vetr é definid pr três características: intensidade, direçã e sentid. Frça, deslcament e velcidade sã representads pr vetres, mas um vetr pde ser bem mais d que iss. A lng d curs de Álgebra Linear, seu cnceit será desenvlvid de frma bem mais ampla. Sluções de sistemas lineares pderã, pr exempl, ser representadas pr vetres. Página 14 de 4

Desenhand um vetr n plan cartesian, ele deve apresentar uma rigem e uma extremidade. Os segments rientads cuja rigem é pnt (,) sã chamads de vetres n plan, e sã muit mais fáceis de trabalhar. Para representá-l, basta indicar par rdenad que crrespnda à sua extremidade, pis já cnhecems seu pnt inicial. A definiçã segue para vetres n espaç, cas em que a rigem ds vetres é pnt (,,), e assim pr diante. De tal frma, para representar um vetr V = OP cm pnt inicial na rigem, usa-se usualmente a a ntaçã de crdenadas V = (a, b, c), mas também existe a ntaçã de matriz cluna V = b e matriz c linha V = a b c. Cm essas ntações, a sma de vetres e a multiplicaçã d vetr pr um escalar sã perações que ficam bem mais simples. 4.1. Adiçã de Vetres Prpriedades: Assciatividade: A + B + C = A + B + C, A, B, C R n Cmutatividade: A + B = B + A, A, B R n. Element neutr: Seja O vetr nul. Entã A + O = A, para qualquer A R n. Assim, O é element neutr em relaçã à peraçã de adiçã, qual chamarems de element nul de R n. Element pst: Dad A = a 1, a 2,, a n, dentarems pr A vetr ( a 1, a 2,, a n ). Entã A + ( A) = O. Chamarems ( A) de element pst a A. Cnsiderand que: A B = A + B e as quatr prpriedades anterires, terems três prpriedades cnseqüentes: 1. A + B = A + C B = C 2. A + B = C A = C B 3. A + A = A A = O Exempl: Send v = 1,2 e w = (3,5), tems: v + w = 1,2 + 3,5 v + w = (4,7) D mesm md, 2v = (2,4). 4.2. Multiplicaçã pr escalar Sejam A = (a 1, a 2,, a n ) R n e λ R. Definims a multiplicaçã de A pr λ cm send: λ A = (λa 1, λa 2,, λa n ) Página 15 de 4

A seguir as prpriedades de vetres: 1. Assciativa na adiçã: 2. Cmutativa: 3. Existência de element neutr na adiçã: 4. Existência de element pst: 5. Distributiva pr vetr: 6. Distributiva pr escalar: 7. Assciativa na multiplicaçã: 8. Existência de element neutr na multiplicaçã: 4.3. Questões 1) Determine vetr X, tal que, para vetres V e U dads. 2) Determine s vetres X e Y, tal que e para vetres V e U dads. 5. Operações cm vetres 5.1. Módul Seja, definims módul u a nrma de um vetr cm send: Observaçã: para, nte que módul de um vetr é seu cmpriment. Chamarems de vetr unitári td vetr cuja nrma é 1. 5.2. Prdut escalar (u prdut intern) Sejam e dis vetres nã nuls ns reais. Cnsidere s vetres A+B e A - B. Tems que se, e smente se, pis as diagnais de um paralelgram só sã iguais se paralelgram é um retângul. Cm cnsequência dessa cndiçã pdems bservar que: Página 16 de 4

A B a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n = Esta cndiçã é necessária para que dis vetres sejam perpendiculares. Sejam A = (a 1, a 2,, a n ) e B = (b 1, b 2,, b n ) dis vetres quaisquer em R n. O prdut escalar é definid cm a multiplicaçã term a term e a sma ds prduts: A B = a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n Assim, dis vetres nã nuls A e B em R n sã perpendiculares apenas se A B =. Prpriedades d prdut escalar: i. A B = B A, para quaisquer A, B R n ii. A B + C = A B + A C, para quaisquer A, B, C R n iii. A λb = λ A B = λa B, para quaisquer A, B R n e qualquer λ R iv. A A, para qualquer A R n e A A = A = O A nrma (u módul) de um vetr pde ser caracterizada pel prdut escalar: A = A A, cm é prvad a seguir: A A = a 1 a 1 + a 2 a 2 + + a n a n 5.3. Prdut vetrial (u prdut extern) A A = a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 A A = A Cnsiderems dis vetres em A = (a 1, a 2, a 3 ) e B = (b 1, b 2, b 3 ). Querems encntrar um vetr C, em R 3, de preferência nã nul, de tal frma que C seja simultaneamente perpendicular a A e a B. Devems ter C. A = e C. B =. Se C = (x, y, z), entã: a 1 x + a 2 y + a 3 z = b 1 x + b 2 y + b 3 z = Tentarems reslver este sistema. Para iss, cmeçarems multiplicand a primeira equaçã pr b 2, a segunda pr a 2 e, em seguida, smarems as duas equações. A seguinte equaçã é btida: a 1 b 2 a 2 b 1. x = a 2 b 3 a 3 b 2. z Depis, multiplicand a primeira equaçã d sistema acima pr b 1, a segunda pr a 1 e, em seguida, smand as duas equações, chegams a: Página 17 de 4

Enfim, tems as seguintes equações: Agra fica fácil visualizar s valres das variáveis. Se x assumir valr d ceficiente de z na primeira equaçã, y assumi valr d ceficiente de z na segunda equaçã, basta que z assuma valr ds ceficientes de x e de y (que sã iguais) para as equações serem verdadeiras. O cnjunt-sluçã é: Há mais sluções d sistema. Cntud, esta é especialmente chamada de prdut vetrial de A pr B e será dentad pr A B. Nte que A B é determinante frmal: em que Observe ainda que:, vist que cada geradr (pis tems s três vetres que frmam a base de ) está num eix diferente, x, y u z. Nós chamams de determinante frmal uma vez que nã é um determinante frmad só pr númers. A primeira linha é cnstituída de vetres. Página 18 de 4

Cm vims, prdut vetrial de dis vetres já surgiu cm uma prpriedade imprtante: é um vetr simultaneamente perpendicular as dis vetres. Vejams a seguir mais prpriedades d prdut vetrial: i. A B = (B A) R 3 ii. A (λb) = λ(a B) = (λa) B, para quaisquer A, B R 3 e qualquer λ R iii. A λa =, para qualquer A R 3 e qualquer λ R iv. A B + C = A B + (A C) e (B + C) A = (B A) + (C A), para quaisquer A, B, C R 3 v. (A B) C = (A. C)B (B. C)A, para quaisquer A, B, C R 3 vi. (A B). (A B) = (A. A)(B. B) (A. B) 2 vii. Se A e B sã dis vetres nã nuls de R 3 e θ é a medida d ângul frmad pr A e B, entã: A B = A. B. senθ a 1 a 2 a 3 viii. (Prdut mist) A. B C = b 1 c 1 b 2 c 2 b 3, em que A = (a 1, a 2, a 3 ), B = (b 1, b 2, b 3 ), e c 3 C = (c 1, c 2, c 3 ) 5.4. Questões 1) Ache dis vetres mutuamente rtgnais e rtgnais a vetr (5, 2, -1). 2) Calcule u. v, nde: a) u = (2, 3, 6) e v = (8,2, 3) b) u = (1, 8,,5) e v = (3,6,4) c) u = (3, 5,2,1) e v = (4,1, 2,5) 3) Sejam u = (1, 2,5), v = (3, 1, 2). Encntre: a) u + v b) 6u c) 2u 5v d) u. v 4) Ache dis vetres mutuamente rtgnais de cmpriment unitári, e ambs rtgnais a vetr (2,- 1,3). 5) Determine númer real psitiv c de maneira que s pnts ( 1,1, c) e ( 1,1, c) e a rigem sejam vértices de um triângul retângul em (,,). 6) Sabend que ângul entre s vetres (2, 1,-1) e (1,-1,m+2) é 6, determine m. 7) Determine s ânguls d triângul cujs vértices sã (-1,-2,4), (-4,-2,) e (3,-2,1). 6. Espaçs vetriais Um espaç vetrial é um cnjunt de vetres. As it prpriedades citadas acima devem ser satisfeitas, além de duas perações: sma e multiplicaçã pr escalar. Cnsiderand dis vetres quaisquer de um Página 19 de 4

espaç vetrial V, a sma deles deve ser um terceir vetr que ainda faz parte de V. Se multiplicarms um vetr de V pr um escalar, resultante também deve ser element de V. Em resum, um espaç vetrial real é um cnjunt V, nã vazi, cm duas perações: Sma: V x V V Se x, y V, entã x + y V; Prdut pr escalar: R x V V Se α é escalar e x V, entã αx V. Se uma dessas duas perações nã fr válida para um cnjunt W, entã é prque cnjunt nã é um espaç vetrial. Dizems que um espaç vetrial é fechad em relaçã às duas perações (sma e multiplicaçã pr escalar). Para saber se um cnjunt é um espaç vetrial, verifica-se se as duas perações sã válidas e depis se as it prpriedades ds vetres também sã válidas. Observaçã: O cnjunt de tdas as matrizes de rdem 2 é um espaç vetrial. Deste md, s vetres desse espaç sã matrizes 2x2.Tal cnjunt é designad assim: V = M 2,2. Exempl: Seja cnjunt W = { a, 1 /a R}. Cm as duas perações de sma e multiplicaçã pr escalar definidas, verifique se W é um espaç vetrial. Sluçã: Cnsidere s elements 3,1 e (5,1) W. Assim, i) Sma: 3,1 + 5,1 = (8,2) W ii) Prdut: α 3,1 = 3α, α W se α 1, assim nã é válid para td α Lg, W nã é um cnjunt fechad em relaçã a essas duas perações e, prtant, nã é um espaç vetrial. Exempl: Verifique se cnjunt R 3 é um espaç vetrial. Sluçã: Sejam u = x 1, y 1, z 1, v = x 2, y 2, z 2 e w = (x 3, y 3, z 3 ) vetres de R 3 e α, β R. i) Sma: u + v = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) R 3 Multiplicaçã pr escalar: αu = (αx 1, αy 1, αz 1 ) R 3 ii) 1. u + v = x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 = x 2 + x 1, y 2 + y 1, z 2 + z 1 = v + u 2. u + v + w = x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 + x 3, y 3, z 3 = x 1 + x 2 + x 3, y 1 + y 2 + y 3, z 1 + z 2 + z 3 = x 1 + (x 2 + x 3, y 1 + (y 2 + y 3 ), z 1 + (z 2 + z 3 )] = u + (v + w) 3. =,, R 3 / u + = x 1, y 1, z 1 +,, = x 1 +, y 1 +, z 1 + = x 1, y 1, z 1 4. u = x 1, y 1, z 1 R 3 / u + u = x 1, y 1, z 1 + x 1, y 1, z 1 = x 1 x 1, y 1 y 1, z 1 z 1 =,, = 5. α u + v = α x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 = α x 1 + x 2, α y 1 + y 2, α z 1 + z 2 = (αx 1 + αx 2, αy 1 + αy 2, αz 1 + αz 2 ) = (αx 1, αy 1, αz 1 ) + (αx 2, αy 2, αz 2 ) = α x 1, y 1, z 1 + α x 2, y 2, z 2 = αu + αv 6. α + β u = α + β αx 1, αy 1, αz 1 = [ α + β x 1, α + β y 1, α + β z 1 ] = [αx 1 + βx 1, αy 1 + βy 1, αz 1 + βz 1 ] = αx 1, αy 1, αz 1 + (βx 1, βy 1, βz 1 ) = α x 1, y 1, z 1 + β x 1, y 1, z 1 = αu + βu 7. αβ u = αβ x 1, y 1, z 1 = αβx 1, αβy 1, αβz 1 = [α βx 1, α βy 1, α βz 1 ] = α[(βx 1 ), (βy 1 ), (βz 1 )] = α[β x 1, y 1, z 1 ] Página 2 de 4

= α(βu) 8. 1u = 1 x 1, y 1, z 1 = 1x 1, 1y 1, 1z 1 = x 1, y 1, z 1 = u Exempl: Cnsidere em V = R 2 prdut pr escalar usual, mas cm a adiçã, a peraçã definida pr: x 1, y 1 + x 2, y 2 = (x 1 + x 2, y 1 + 2y 2 ). Determine se V, cm essas perações, é um espaç vetrial. Sluçã: i) 1. Sma: x 1, y 1 + x 2, y 2 = (x 1 + x 2, y 1 + 2y 2 ) V 2. Prdut pr escalar: α x 1, y 1 = (αx 1, αy 1 ) V Lg, V é um espaç fechad em relaçã a essas duas perações. Prtant, tems que verificar as it prpriedades. ii) 1. Assciativa na adiçã: u + v = x 1, y 1 + x 2, y 2 = (x 1 + x 2, y 1 + 2y 2 ) v + u = x 2, y 2 + x 1, y 1 = (x 2 + x 1, y 2 + 2y 1 ) Cm u + v = v + u já nã é satisfeita, nã precisams mais testar as utras prpriedades. V nã é espaç vetrial. Exempl: O cnjunt que cntém um únic bjet, cm as perações definidas pr: bjet + bjet = bjet bjet = bjet, cm α R Sluçã: i) Da própria definiçã n enunciad, cnjunt é fechad em relaçã às perações de sma e multiplicaçã pr escalar e, prtant, nã precisams verificá-las; ii) Substituind bjet pr x: 1. u + v = x + x = x u + v = v + u v + u = x + x = x u + v + w = x + x + x = x + x = x 2. u + v + w = u + v + w u + v + w = x + x + x = x + x = x 3. Seja n vetr nul. Lg, u + n = u x + n = x n = x. Assim, existe vetr nul, que equivale a própri x. 4. Seja p vetr pst. Lg, u + p = n x + p = x p = x. Assim, existe vetr pst, que também equivale a própri x. O vetr pst de u é u. α u + v = α x + x = αx = x 5. u + v = u + v αu + αv = αx + αx = x + x = x + β u = + β x = x 6. ( + β)x = au + βv u + βu = x + βx = x + x = x βu = βx = x = x 7. βu = β u αβ u = αβ x = x 8. 1u = 1x = x = u 6.1. Questões 1) Verifique que M 2,2 = a b c d a, b, c e d R é um espaç vetrial cm as perações. 2) Seja F cnjunt de tdas as funções reais, de variável real, u seja F = {f: R R}. O vetr sma f + g, para quaisquer funções f e g em F é definid pr: f + g x = f x + g x e para qualquer escalar r R e qualquer f F prdut rf é tal que: Página 21 de 4

rf x = r. f x Mstre que F, cm essas perações, é um espaç vetrial. 7. Subespaçs vetriais Dad um espaç vetrial V, há subcnjunts de V tais que eles própris também sã espaçs vetriais, só que menres. Esses subcnjunts sã chamads de subespaçs de V. Dad um espaç vetrial V, um subcnjunt W, nã-vazi, será um subespaç vetrial de V se frem válidas as mesmas duas perações de antes: Sma: V x V V Se x, y V, entã x + y V; Prdut pr escalar: R x V V Se α é escalar e x V, entã αx V. Se ambas as perações frem válidas em W, nã é necessári verificar as it prpriedades ds vetres para dizer que W é espaç vetrial, pis elas já sã válidas em V, que cntém W. Td espaç vetrial admite pel mens dis subespaçs (que sã chamads triviais): 1. O cnjunt frmad smente pel vetr nul (a rigem). 2. O própri espaç vetrial: V é subcnjunt de si mesm. Td subespaç vetrial tem cm element vetr nul, pis ele é necessári à cndiçã de multiplicaçã pr escalar: quand α = αu =. Para cnferirms se um subcnjunt W é subespaç, basta verificar que v + αu W, para quaisquer v e u V e qualquer α R, em vez de checar as duas perações separadamente. Exempl: Em R 3, s únics subespaçs sã a rigem, as retas e s plans que passam pela rigem e própri R 3. Exempl: Seja V = M(3,3), u seja, cnjunt das matrizes de rdem 3, e W subcnjunt das matrizes triangulares superires. W é subespaç de V? Sluçã: Está implícit que V é um espaç vetrial. Assim, verificams as duas perações para W: a b c i) d e + f a b c ii) α d e g i j k l = = αa αb αc αd αe αf a + g b + c + i d + j e + k f + l W f Lg, W é subespaç de V. Observaçã: as matrizes triangulares inferires frmam um cnjunt que também é subespaç, que também é cas das matrizes diagnais e das simétricas. Exempl: Verifique se cnjunt-sluçã d sistema linear hmgêne abaix é um subespaç de V = M(3,1). 2x + 4y + z = x + y + 2z = x + 3y z = Sluçã: Tems seguinte sistema: 2 4 1 1 1 2 1 3 1 x y z = W Página 22 de 4

Desta frma, estams prcurand, dentr d espaç vetrial M(3,1), s vetres que satisfazem sistema, ist é, cnjunt ds vetres-sluçã. Depis precisams saber se esse cnjunt é subespaç de M(3,1). Assim, cnsidere s vetres-sluçã: i) ii) 2 4 1 1 1 2 1 2 3 4 1 1 1 1 2 x 1 y 1 + z 1 x 1 α y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 = = α x 1 y 1 z 1 e 2 4 1 1 1 2 1 3 1 2 4 1 1 1 2 1 3 1 x 2 y 2 z 2 x 1 y 1 + z 1 x 1 y 1 z 1 = α 2 4 1 1 1 2 1 3 1 = x 2 y 2 z 2 = 1 3 1 O resultad de (i) e (ii) ainda pertence a cnjunt ds vetres-sluçã e, prtant, ele é subespaç de M(3,1). Exempl: Seja V = R 2 e W = { x, x 2 / x R}. Verifique se W é subespaç de V. Sluçã: Se esclherms u = 1,1 e v = (2,4), tems u + v = (3,5) W. Lg, W nã é subespaç. Exempl: Seja V = M(n, n) e W subcnjunt de tdas as matrizes em que a 11 <. Verifique se W é subespaç de V. Sluçã: i) A cndiçã de sma é satisfeita, pis ainda gera uma matriz em que a 11 <. ii) Se fizerms αm, cm α <, tems que a 11 da nva matriz será mair que zer. Assim, W nã é subespaç. Exempl: Verifique se cnjunt sluçã d sistema linear nã-hmgêne abaix é um subespaç. 2x + 4y + z = 1 x + y + 2z = 1 x + 3y z = Sluçã: Tems seguinte sistema: Assim, 2 4 1 i) 1 1 2. 1 3 1 x 1 y 1 z 1 + 2 4 1 1 1 2 1 3 1 x 2 y 2 z 2 = x y z = 2 4 1 1 1 2 1 3 1 O vetr ds terms independentes resultante 1 1. 2 2 + e s seguintes vetres-sluçã: x 1 y 1 + z 1 2 4 1 1 1 2 1 3 1. x 2 y 2 z 2 = 1 1 + = x 1 y 1 z 1 1 1 é diferente d vetr d sistema linear Lg, cnjunt ds vetres-sluçã nã é um subespaç de M(3,1). e x 2 y 2 z 2. 2 = 2 1 1. Exempl: Seja S = x 1, x 2 / x 2 = 2x 1. Send S subcnjunt de R 2, verifique se S é subespaç de R 2. Sluçã: i) c 1, 2c 1 + c 2, 2c 2 = c 1 + c 2, 2c 1 + 2c 2 = c 1 + c 2, 2(c 1 + c 2 ) S ii) c 1, 2c 1 = c 1, 2c 1 S Exempl: Verifique se W = x, y R 2 / y = 2x + 1 é subespaç de R 2. Sluçã: i) W = x, 2x + 1 / x ε R. Cm (,) W, pde-se cncluir que subcnjunt Wnã é um subespaç vetrial de R 2. Exempl: Verifique se W = x, y, z R 3 / x 2y 4z = 6 é subespaç de R 3. Sluçã: Página 23 de 4

i) W = 6 + 2y + 4z, y, z ; y, z ε R. Tmand y = e z = tems (6,,). Cm (,,) W, entã Wnã é um subespaç vetrial de R 3. 7.1. Questões 1) Mstre que s seguintes subcnjunts de R 4 sã subespaçs a) W = {(x, y, z, t) R 4 / x + y = e z t = } b) U = {(x, y, z, t) R 4 / 2x + y t = e z = } 2) Cnsidere subespaç S = [(1, 1, -2, 4), (1, 1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)] de R 4. a) O vetr ( 2, 1, -1, 2) pertence a S? 3 b) O vetr (,, 1, 1) pertence a S? 3) Ns prblemas que seguem, determine se W é u nã um subespaç d espaç vetrial: a) V = R 3, W 1 = plan xy, W 2 = { x, y, z ; x = y = z} e W 3 = { x, y, z ; x = y} b) V = R 2 ; W = {(x, y); x 2 + y 2 1}; 4) Cnsidere s seguintes cnjunts de vetres. Quais deles sã subespaçs de R 3? a) (x,y,z), tais que z = x 3 b) (x,y,z), tais que z = x + y; c) (x,y,z), tais que z >= ; d) (x,y,z), tais que z = e xy >= ; e) (x,y,z), tais que x = z = ; f) (x,y,z), tais que x = -z; g) (x,y,z), tais que y = 2x + 1; h) (x,y,z), tais que z 2 = x 2 + y 2. 5) Determine se W é subespaç de R 3 u nã, nde W cnsiste ns vetres (a, b, c) R 3 para s quais: a) a = 2b b)a b c c)ab = d)a = b = c Página 24 de 4

6) Seja W cnjunt de tds s vetres em R 4 de frma (x, x+y, y, 2x + 3y), nde x, y R. W é um subespaç de R 4? 7) Seja W cnjunt de tds s vetres d R 3 da frma (x, y, x 2 + y 2 ), nde x, y R. W é um subespaç de R 3? 8) Seja W cnjunt de tds s vetres R 4 da frma (x, y, x+1, 2x + y 3), nde x, y R. W é um subespaç de R 4? 9) Dads s cnjunts W em cada espaç vetrial V indicad prceda assim: i) Reescreva W apresentand seu vetr genéric; ii) Verifique se W é subespaç vetrial de V. a) W = {(x, y, z, t) R 4 ; x = y e z = 2t} send V = R 4 ; b) W é cnjunt de tdas as matrizes identidade de rdem n n, send V = M(n, n); c) W = {(x, y) R 2 ; y } send V = R 2 ; d W = {(a, 2a, 3a); a R} send V = R 3. 1) Cnsidere subespaç de R 3 gerad pels vetres v 1 =(1,1,), v 2 =(1,-1,1) e v 3 =(1,1,1). O espaç gerad pr esses vetres é igual a R 3? Pr quê? 8. Interseçã, uniã e sma de subespaçs 8.1. Interseçã Dads W 1 e W 2 subespaçs de um espaç vetrial V, a interseçã W 1 W 2 sempre será subespaç de V. Prva: Inicialmente bservams que W 1 W 2 nunca é vazi, pis ambs cntêm vetr nul de V. Assim, basta verificar as cndições de sma e prdut pr escalar apresentadas anterirmente para s subespaçs. Supnha entã w e v W 1 W 2 W 1 é subespaç w + v W 1 αv W 1 W 2 é subespaç w + v W 2 αv W 2, deste md w + v W 1 W 2 αv W 1 W 2 Exempl: Seja V = R 3, W 1 W 2 é a reta de interseçã ds plans W 1 e W 2. Página 25 de 4

Exempl: Seja V = M(n, n) e W 1 = Matrizes triangulares superires W 2 = {Matrizes triangulares inferires}, entã W 1 W 2 = Matrizes Diagnais. 8.2. Sma Pdems cnstruir um cnjunt que cntenha W 1 e W 2 e ainda é subespaç de V. Este cnjunt será frmad pr tds s vetres de V que frem a sma de vetres de W 1 cm vetres de W 2. W 1 + W 2 = u V / u = v + w cm v W 1 e w W 2 Prva: u = w + v W 1 + W 2 nde v W 1 e w W 2 Dads: u = w + v W 1 + W 2 nde v W 1 e w W 2 Tems que: u + u = w + v + w + v = v + v + w + w W 1 + W 2 αu = α w + v = αw + αv nde αw W 1 e αv W 2 lg αu W 1 + W 2 Cas s dis subespaçs sejam retas nã-clineares, a sma deles equivale a plan frmad pr elas. Se as parcelas W 1 e W 2 têm interseçã W 1 W 2 =, a sma W 1 + W 2 é dita sma direta e é dentada pr W 1 W 2. Página 26 de 4

Exempl: Seja W 1 = a b e W 2 = c d, nde a, b, c, d R, entã W 1 + W 2 = Esta é uma sma direta, pis W 1 W 2 = =. a b c d = M(2,2). 8.3. Uniã A uniã de dis subespaçs W 1 e W 2, diferente da sma, é um cnjunt que cntém exatamente tds s elements de W 1 e de W 2. Deste md, nem sempre a uniã de subespaçs é um subespaç. Exempl: W 1 = (x, ) / x R = x(1,) / x R W 2 = (, y) / y R = y(,1) / y R W 1 e W 2 sã retas que passam pela rigem. Assim, W 1 W 2 = e W 1 W 2 é feixe frmad pelas duas retas, que nã é subespaç vetrial de R 3. De fat, se smarms s dis vetres v e w, vems que v + w está n plan que cntém W 1 e W 2, mas v + w W 1 W 2. 8.4. Questões 1) Sejam W 1 = {(x, y, z, t) R 4 x + y = e z t = } e W 2 = {(x, y, z, t) R 4 x y z + t = } subespaçs de R 4. a) Determine W 1 W 2 b) Exiba uma base para W 1 W 2 c) Determine W 1 + W 2 d) W 1 + W 2 é sma direta? Justifique. e) W 1 + W 2 = R 4? 9. Cmbinaçã linear Cnsidere um cnjunt de vetres qualquer, pertencente a um espaç vetrial V. Já fi mstrad que smar estes vetres entre si em qualquer cmbinaçã resultará em um vetr pertencente a V. Também Página 27 de 4

fi mstrad que multiplicar cada vetr pr um escalar também gera um resultad pertencente a V, cas cntrári V nã seria um espaç vetrial. De fat, sejam v 1, v 2,, v n V e sejam s escalares a 1, a 2,, a n R. Entã qualquer vetr v da frma v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a n v n é um element d mesm espaç vetrial V. Pr ter sid gerad pels vetres primitivs v 1,, v n, vetr v é denminad resultad de uma cmbinaçã linear de v 1,, v n. O cnjunt de escalares {a 1,, a n } é arbitrári, mas send um cnjunt de númers reais, vetr v sempre pertencerá a V. O vetr v nã é únic, pis para cada cmbinaçã de escalares pde gerar um vetr v diferente. Exempl: O vetr v = ( 4, 18,7) é cmbinaçã linear ds vetres v 1 = 1, 3,2 e v 2 = (2,4, 1), já que v pde ser escrit cm v = 2v 1 3v 2. 9.1. Questões 1) Quais ds seguintes vetres sã cmbinaçã linear de x 1, x 2 e x 3? x 1 = 4,2, 3, x 2 = (2,1, 2) e x 3 = ( 2, 1,) a) (1,1,1) b) 4,2, 6 c) 2, 1,1 d) ( 1,2,3) 2) Escreva E cm cmbinaçã linear de A = 1 1 1, B = 1 1 1 a) E = 3 1 1 2 b) E = 2 1 1 2 3) Cnsidere s vetres u = (1, 3,2) e v = (2, 1,1) em R 3. a) Escreva (1,7, 4) cm cmbinaçã linear de u e v. b) Escreva (2, 5,4) cm cmbinaçã linear de u e v. c) Para que valr de k vetr (1, k, 5) é uma cmbinaçã linear de u e v?, C = 1 1, nde: d) Prcure uma cndiçã para a, b e c de md que (a, b, c) seja cmbinaçã linear de u e v. 4) Determinar valr de k para que vetr u = ( 1, k, 7) seja cmbinaçã linear de v 1 = (1,3,2) e v 2 = (2,4,1). Página 28 de 4

1. Subespaçs gerads Um cnjunt de vetres {v 1, v 2,, v n } pde cnstruir vetres v pr mei de cmbinaçã linear. Fazend tdas as cmbinações pssíveis (ist é, fazend cada escalar ter tds s valres reais pssíveis), cnjunt cnstrói uma infinidade de vetres que cmpõem um cnjunt expandid. Esse cnjunt é um subespaç vetrial. O cnjunt v 1,, v n é chamad de cnjunt de vetres de base, pis, em terms frmais, ele geru subespaç W, definid abaix. Definiçã: Um subespaç gerad pr um cnjunt de vetres B = v 1,, v n é cnjunt de tds s vetres V que sã cmbinações lineares ds vetres v 1,, v n V. W = v 1,, v n = {v V / v = a 1 v 1 +... +a i v i +... + a n v n, cm a i R, 1 i n} Obs.: A ntaçã de clchetes infrma que cnjunt W é cnjunt gerad pr v 1,, v n. Nã cnfundir cm própri cnjunt geradr v 1,, v n. Ou seja, v 1, v 2 é um cnjunt cm infinits vetres frmads da cmbinaçã destes dis e {v 1, v 2 } é um cnjunt cm apenas dis vetres. Exempl: Seja V = R 3 e v V (send v ), entã v = {av, a R} é a reta que cntém vetr v, pis é cnjunt de tds s vetres cm a mesma direçã de v que tem rigem em (,). Exempl: Se v 1, v 2 R 3 sã tais que αv 1 v 2 qualquer que seja α R, entã v 1, v 2 será plan que passa pela rigem e cntém v 1 e v 2 : A cndiçã αv 1 v 2 é imprtante para garantir que s dis vetres gerem um plan. Cas ela nã seja satisfeita, s vetres v 1 e v 2 seriam clineares, e nã existira nenhuma cmbinaçã deles que pudesse gerar um vetr que nã pertencesse à reta que eles geram. Página 29 de 4

Nta-se que um cnjunt geradr de dis elements que um é cmbinaçã linear d utr equivale a um cnjunt geradr cm apenas um desses dis elements. Assim, se v 3 v 1, v 2, entã v 1, v 2, v 3 = v 1, v 2, pis td vetr que pde ser escrit cm cmbinaçã linear de v 1, v 2, v 3 é uma cmbinaçã linear apenas de v 1 e v 2, já que v 3 é cmbinaçã linear de v 1 e v 2. Exemplificand: Seja B = {v 1, v 2, v 3 } tal que v 3 = pv 1 + qv 2. Um element qualquer d cnjunt gerad pr B é da frma: v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 (pv 1 + qv 2 ) = a 1 + pa 3 v 1 + a 2 + qa 3 v 2 = b 1 v 1 + b 2 v 2 Exempl: Seja V = R 2, v 1 = (1,) e v 2 = (,1). Assim, V = v 1, v 2, pis dad v = (x, y) V, tems x, y = x 1, + y(,1), u seja, v = xv 1 + yv 2. Exempl: Seja v 1 = 1 e v 2 = 1, entã v a b 1, v 2 =, cm a e b R Observa-se que se em um cnjunt geradr existir algum vetr que é cmbinaçã linear de utrs elements d própri cnjunt geradr, esse element é inútil. Eliminá-l d cnjunt geradr nã mdifica cnjunt gerad. Tal prpriedade pde ser verificada lembrand que a cmbinaçã linear é uma sma de vetres, e que a parcela da sma d vetr que é gerad pr utrs pde ser substituída pels própris vetres que geram. Assim, qualquer element d cnjunt gerad pr B pde ser escrit cm cmbinaçã linear de apenas v 1 e v 2. Surge entã a necessidade de verificar quand um vetr é cmbinaçã linear de utrs. 1.1. Questões 1) Quais ds seguintes cnjunts de vetres é um cnjunt geradr de R 4? a) {(1,,,1); (,1,,); (1,1,1,1); (,1,1,1)} b) {(1, 1,,2); (3, 1,2,1); (1,,,1)} c) {(,,1,1); ( 1,1,1,2); (1,1,,); (2,1,2,1)} 2) Reslva seguinte sistema, usand a Regra de Cramer: x 2y + z = 1 2x + y = 3 y 5z = 4 Página 3 de 4

11. Dependência e Independência Linear Um cnjunt de vetres é dit linearmente independente (freqüentemente indicad pr LI) quand nenhum element cntid nele é gerad pr uma cmbinaçã linear ds utrs (lembrar cnceit de cmbinaçã linear apresentad anterirmente). Naturalmente, um cnjunt de vetres é dit linearmente dependente (LD) se pel mens um de seus elements é cmbinaçã linear ds utrs. Sejam V um espaç vetrial e v 1,, v n V. Dizems que cnjunt v 1,, v n u que s vetres v 1,, v n sã linearmente independentes (LI) se a equaçã a 1 v 1 +... + a n v n = admitir apenas a sluçã trivial, ist é: a 1 =... = a n = Se existir algum a j, dizems que v 1,, v n u que s vetres v 1,, v n sã linearmente dependentes (LD). Em utras palavras, cnjunt v 1,, v n é LD se, e smente se um destes vetres fr cmbinaçã linear ds utrs. Prva: Sejam v 1,, v n LD e a 1 v 1 +... +a j v j +... + a n v n =. Supnha que a j (para ser LD). Entã v j = 1 a j a 1 v 1 +... +a j 1 v j 1 + a j +1 v j +1 +... + a n v n. Prtant, v j é cmbinaçã linear. Pr utr lad, se tiverms v 1,, v j,, v n tal que para algum j Entã, b 1 v 1 + v j + + b n v n = Lg, b j = 1 e, prtant, V é LD. v j = b 1 v 1 + + b j 1 v j 1 + b j +1 v j+1 + + b n v n A Independência Linear tem uma interpretaçã gemétrica útil: i) Seja V = R 2 e v 1, v 2 V. v 1, v 2 é LD se e smente se v 1 e v 2 estiverem na mesma reta quand clcads cm seus pnts iniciais na rigem v 1 = λ v 2 *sã pararlels: Página 31 de 4

ii) Seja V = R 3 e v 1, v 2, v 3 e V. v 1, v 2, v 3 é LD se estes 3 vetres estiverem n mesm plan quand clcads cm seus pnts iniciais na rigem: Exempl: Os vetres v1 (2,2,), v2 (,5, 3) e v3 (,,4) sã LI u LD? Sluçã: Verificand a expressã a1 (2, 2,) a2(,5, 3) a3(,, 4) (,,) 2a1 a1 2a1 5a2 a2 3a2 4a3 a3 Lg, cm sistema admite smente a sluçã trivial, s vetres sã LI. 11.1. Questões 1) Cnsidere dis vetres (a, b) e (c, d) n plan. Se ad bc =, mstre que eles sã LD. Se ad bc, mstre que eles sã LI. 2) Para quais valres de a cnjunt de vetres {(3,1,); (a 2 + 2,2,)} é LD? 3) Verifique se s plinômis seguintes sã linearmente dependentes u independentes. a) t 2 2t + 3, 2t 2 + t + 8 e t 2 + 8t + 7 Página 32 de 4

b) t 2 1, t + 1 e t + 2 4) Ache as relações lineares nã triviais satisfeitas pels seguintes cnjunts de vetres. a) (2,1,1), 3, 4,6 e (4, 9,11) R 3 b) (2,1), ( 1,3) e (4,2) R 2 c) (1,,2,4),,1,9,2 e ( 5,2,8, 16) R 4 R 4 d) (1,4), 3, 1 e (2,5) R 2 5) Verifique se cnjunt a seguir é LD u LI: {(1,2x, x 2 ), (2, x, 3x 2 ), (3, 4x, 7x 2 )}. 12. Base de um espaç vetrial Cnsidere um espaç vetrial V. Admita a existência de um subcnjunt B desse espaç (nã necessariamente um subespaç) tal que B gere V pr cmbinaçã linear. Ntar que para um espaç particular V, B nã é únic, váris cnjunts B distints pdem gerar V. De fat, própri V pde gerar ele mesm. Prém, é mais simples trabalhar cm cnjunts menres, e é de interesse resumir um grande cnjunt V em um pequen cnjunt B. Fi verificad acima que dentr de B quaisquer elements frmads pr cmbinações lineares ds utrs sã inúteis. Ou seja, se B fr um cnjunt LD, existe pel mens um vetr inútil, que pde ser eliminad para trnar B menr e mais simples. O prcess pde cntinuar até que B se trne LI. Se B é LI, e ainda cnsegue gerar V (Lembre-se que a eliminaçã de elements LD de um cnjunt geradr nã mdifica cnjunt gerad) é denminad base. Uma base de um espaç vetrial é um cnjunt LI geradr deste espaç. É também a maneira mais simples de resumir espaç. Cndições: i) {v 1,, v n } é LI ii) v 1,, v n = V (O cnjunt gera V) Atençã! Td cnjunt LI de um vetrial V é base de um subespaç gerad pr ele. Exempl: Prve que B {(1,1),( 1,)} é base de Sluçã: i) a(1,1) b( 1,) (,) ( a b, a) (,) a b B é LI ii) a(1,1) b( 1,) ( x, y) 2 R Página 33 de 4

a b x b y x 2 ( a b, a) ( x, y) B gera R a y Exempl: Prve que {(,1),(,2)} Nã é base de Sluçã: a(,1) b(,2) (,) i) (, a 2 b) (, ) a 2b Mas cm a e b nã sã necessariamente zer, cnjunt é LD. 2 R Exempl: 1,,,,1, nã é base de R 3. É LI, mas nã gera td R 3, ist é, 1,,,,1, R 3 a 1,, + b,1, = x, y, z a, b, = x, y, z z = Cm R 3 nã é cmpst apenas de pnts cm a crdenada z nula, s dis vetres nã pdem ser base. Exempl: V = M 2,2. 1 ; 1 ; 1 ; 1 é uma base de V. Observaçã: Existem espaçs que nã tem base finita, principalmente quand trabalhams cm espaçs de funções. Entã, precisarems de um cnjunt infinit de vetres para gerar espaç. Ist nã implica que estams trabalhand cm cmbinações lineares infinitas, mas sim, que cada vetr d espaç é uma cmbinaçã linear finita daquela base infinita. Ou seja, para cada vetr dad, pdems esclher uma quantidade finita de vetres da base para escrevê-l. Pr exempl, cnjunt de tds plinômis de ceficientes reais frmam um espaç vetrial. Uma base naturalmente definida é {1, x, x 2, x 3,... }, que é infinita, pis nã há restriçã para grau d plinômi. Prém, para frmar um plinômi particular é pssível utilizar um númer finit de elements da base. Terema: Sejam v 1,, v n vetres nã nuls que geram um espaç vetrial V. Dentre estes vetres pdems extrair uma base de V. Prva: i) Se v 1,, v n sã LI, eles cumprem as cndições para uma base e nã tems mais nada a fazer. Página 34 de 4

ii) Se v 1,, v n sã LD, entã existe uma cmbinaçã linear deles cm algum ceficiente diferente de zer, dand vetr nul: x 1 v 1 + + x n v n = Pr exempl, seja x u, entã: v n = x 1 x n v 1 x 2 x n v 2 x n 1 x n v n 1. Ou seja, v n é uma cmbinaçã linear de v 1,, v n 1 e, prtant v 1,, v n 1 ainda geram V. Se v 1,, v n 1 ainda fr LD, pdems prsseguir da mesma frma até chegar a um subcnjunt v 1,, v r cm r n que ainda geram V, u seja, frmarems uma base. Ist é, de um espaç geradr qualquer é pssível retirar elements inúteis até que ele se trne uma base. Verems agra uma prpriedade curisa ds espaçs vetriais: númer de elements de qualquer base de um espaç vetrial particular é cnstante, independe da base esclhida. Este númer é uma prpriedade inerente à natureza d espaç. Terema: Seja um espaç vetrial V gerad pr um cnjunt de vetres v 1,, v n. Entã, qualquer cnjunt LI tem n máxim "n" vetres. Prva: Cm v 1,, v n = V, entã pdems extrair uma base para V. Seja {v 1,, v r } cm r n, esta base. Cnsidere agra w 1, w 2,, w m, m vetres de V, cm m > n. Entã, existem cnstantes tais que: (i) w 1 = a 11 v 1 + a 12 v 2 +... +a 1r v r w 2 = a 21 v 1 + a 22 v 2 +... +a 2r v r w m = a m1 v 1 + a m2 v 2 +... +a mr v r Cnsiderems agra uma funçã linear de w 1,, w n dand zer: (ii) = x 1 w 1 + x 2 w 2 +... +x m w m Substituind (i) em (ii), tems: = x 1 a 11 v 1 + a 12 v 2 +... +a 1r v r +... +x m a m1 v 1 + a m2 v 2 +... +a mr v r = a 11 x 1 + a 21 x 2 +... +a m1 x m v 1 + + a 1r x 1 + a 2r x r +... +a mr x m v r Cm v 1, v 2,, v n sã LI, entã s ceficientes dessa equaçã devem ser nuls: Página 35 de 4

a 11 x 1 +... a m1 x m = a 1r x 1 +... a mr x m = Tems entã um sistema linear hmgêne cm r equações e m incógnitas x 1,, x m e, cm r n < m, ele admite uma sluçã nã trivial, u seja, existe uma sluçã cm algum x i nã nul. Prtant w 1,, w m sã LD. 12.1. Questões 1) Quais sã as crdenadas de x = (1,,) em relaçã à base β = {(1,1,1),(-1,1,),(1,,-1)}? 13. Dimensã A dimensã de um espaç vetrial V é definida cm númer de vetres de uma base de V e é dentada pr dim V. Se V nã pssui base, dim V =. Qualquer base de um espaç vetrial tem sempre mesm númer de elements e númer de bases para cada espaç vetrial é infinit. Exempl: dimr 2 = 2, pis tda base d R 2 tem dis vetres, cm { 1, ;,1 } u { 1,1 ;,1 }. Exempl: dimr n = n. Exempl: dimm 2,2 = 4. Exempl: dimm m, n = mxn. Exempl: dimp n = n + 1 (plinômis de grau n). Exempl: dim =, pis a rigem é apenas um pnt. Observaçã: Quand um espaç vetrial V admite uma base finita, dizems que V é um espaç vetrial de dimensã finita. Terema: Qualquer cnjunt de vetres LI de um espaç vetrial V de dimensã finita pde ser cmpletad de md a frmar uma base de V. Prva: Seja dimv = n e v 1,, v i vetres LI, cm i n. i) Se v 1,, v i = V, entã i = n e cnjunt frma uma base. ii) Se existe v i+1 V tal que v i+1 v 1,, v i, ist é, v i+1 nã é uma cmbinaçã linear de v 1,, v i, entã {v 1,, v i, v i+1 } é LI. Se v 1,, v i, v i+1 = V, entã {v 1,, v i, v i+1 } é a base prcurada. Cas cntrári, existe v i+2 v 1,, v i, v i+1 e {v 1,, v i, v i+1, v i+2 } é LI. Se v 1,, v i, v i+1, v i+2 = V, Página 36 de 4