Progressões aritméticas e progressões geométricas

Progressões aritméticas e progressões geométricas Aula 10 Ricardo Ferreira Paraizo e-tec Brasil Matemática Istrumetal Fote: http://ibractec.files.wordpress.com/008/04/file.jpg.

Meta Apresetar o cálculo das progressões aritméticas e das progressões geométricas o cotidiao agropecuário. Objetivos Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. idetificar e calcular uma progressão aritmética;. idetificar e calcular uma progressão geométrica; 3. utilizar o termo geral de uma progressão e a soma de seus termos.

Seqüêcias uméricas 41 Na Matemática, estudamos cojutos uméricos (cojuto cujos elemetos são úmeros) quado os elemetos desses cojutos são dispostos obedecedo a uma determiada regra, o que chamamos de seqüêcia umérica. As seqüêcias uméricas estão estreitamete associadas aos processos de cotagem e ao desevolvimeto dos sistemas de umeração. Toda seqüêcia umérica possui uma ordem para orgaização dos seus elemetos, assim podemos dizer que em qualquer seqüêcia os elemetos são dispostos da seguite forma: (a 1, a, a 3, a 4,..., a,...) ou (a 1, a, a 3, a 4,..., a ), ode a 1 é o 1º elemeto, a o segudo elemeto, e assim por diate: a é o eésimo elemeto. Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas Fote: http://www.brasilescola.com/upload/e/sequecia%0umerica.jpg Figura 10.1: As seqüêcias uméricas podem ter fiitos e ifiitos elemetos.

4 Vamos estudar duas seqüêcias importates à progressão aritmética e à progressão e-tec Brasil Matemática Istrumetal geométrica. As progressões são aplicadas aos mais diversos campos de estudos em matemática. Progressão aritmética (PA) Chama-se Progressão Aritmética (PA) toda seqüêcia umérica (a 1, a,..., a ) cujos termos, a partir do segudo, são iguais ao aterior somado com um valor costate. A essa costate deomiamos razão da PA, idicada por r. Exemplos: A = (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19,...) é uma PA de razão (r) = 3; B = (, 4, 6, 8, 10, 1, 14,...) é uma PA de razão (r) = ; C = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,...) é uma PA de razão (r) = 0; D = (70, 60, 50, 40, 30, 0, 10,...) é uma PA de razão (r) = -10. No exemplo aterior, os cojutos A e B são PA crescetes, equato o cojuto C é uma PA costate e o cojuto D uma PA decrescete. Uma PA crescete é toda PA em que cada termo, a partir do segudo, é maior que o termo que o atecede, sedo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r > 0). Uma PA costate é toda PA em que todos os termos são iguais, para isso tedo a razão r que ser sempre igual a zero. Uma PA decrescete é toda PA em que cada termo, a partir do segudo, é meor que o termo que o atecede, para isso tedo a razão r que ser sempre meor do que zero (r < 0). Termo geral de uma PA A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguite forma: a + ( - 1)r A seguir, vamos fazer uma demostração de como ós chegamos a essa fórmula.

Demostração do termo geral de uma PA 43 O valor de qualquer termo de uma PA é igual ao aterior mais a costate. O valor do segudo termo de uma PA é igual ao primeiro mais a costate: a + r. O valor do terceiro termo de uma PA é igual ao segudo mais a costate: a 3 = a + r = (a 1 + r) + r; portato: a 3 + r O valor do quarto termo de uma PA é igual ao terceiro mais a costate: a 4 = a 3 + r = (a 1 + r) + r; portato: a 3 + 3r Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas Como o úmero multiplicado pela razão é sempre a posição do termo meos 1, temos a fórmula do termo geral de uma PA: a + ( 1). r Em suma, a demostração pode ser vista desta forma: a 1 a + r a 3 + r + r + r a 4 + r + r + 3r a 5 + 3r + r + 4r a + ( -1)r Ateção! Se a seqüêcia umérica (a, b, c) está em uma PA, etão.

44 Soma dos termos de uma PA e-tec Brasil Matemática Istrumetal A soma de todos os termos de uma progressão aritmética ão ifiita, a partir do primeiro, é calculada pela seguite fórmula: ( a + a ) S = A seguir, vamos fazer uma demostração de como ós chegamos a essa fórmula. 1 Saiba mais... Fote: http://pt.wikipedia.org/wiki/ Carl_Friedrich_Gauss Figura 10.: Joha Carl Friedrich Gauss. Joha Carl Friedrich Gauss foi um matemático, astrôomo e físico alemão. Foi cohecido como o prícipe dos matemáticos e muitos o cosideram o maior gêio da história da matemática. Ele possuía memória fotográfica, tedo retido itidamete as impressões da ifâcia e da meiice até a sua morte. Segudo história famosa, o diretor da escola ode ele estudava pediu que os aluos somassem os úmeros iteiros de um a cem. Mal havia euciado o problema e o jovem Gauss demostrou o seu taleto sobre a mesa, dizedo: Já sei! A resposta é 5050. O raciocíio tem como base a demostração da fórmula da soma de uma progressão aritmética, coforme adiate: S = 1 + + 3 +... + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 +... + 3 + + 1 S = (1 + 100) + (1 + 100) + (1 + 100) +... + (1 + 100) + (1 + 100) + (1 + 100) = 100(1 + 100) Soma O diretor da escola ficou tão atôito com a proeza de um meio de dez aos que pagou do próprio bolso livros de aritmética para ele desevolver suas habilidades.

Demostração da soma dos termos de uma PA 45 Podemos expressar uma PA de duas maeiras: S + (a 1 + r ) + (a 1 + r )... +... a r + a r + a S = a + (a r ) + (a r )... +... a 1 + r + a 1 +r + a 1 Adicioe os dois lados da equação. Todos os termos evolvedo r se cacelam, e etão ficamos com: S = (a 1 + a ) + (a 1 + a ) + (a 1 + a ) + (a 1 + a ) + (a 1 + a ) + (a 1 + a ) Simplificado, temos: S S = ( a + a ) 1 ( a1 + a ) = Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas Atividade 1 Atede aos Objetivos 1 e 3 Nayaa estava com um problema de vazameto de água o açude de seu sítio. O ecaameto etupiu. A terra está absorvedo muito rapidamete a água. O poço tiha capacidade para 7 m 3 de água. Ela observa que a cada 1 hora a terra está absorvedo us 100 litros de água. Por quato tempo Nayaa poderá deixar esse vazameto cotiuar para ficar com pelo meos 3,5m 3 de água? Ou seja, ela poderá perder somete 3,5 m 3 de água? Ricardo Ferreira Paraizo

46 e-tec Brasil Matemática Istrumetal Se Nayaa ão coseguir coter a vazão do poço, o mesmo vai secar e os peixes ele cotidos vão morrer. Atividade Atede aos Objetivos 1 e 3 O fazedeiro, Sr. Rodrigo, está queredo aumetar a produção de peixes do seu sítio seguido esta tabela que seu filho o ajudou a motar: Ao Massa de peixe para veda 006 800 kg 007 900 kg 008 1.000 kg 009 1.100 kg E assim sucessivamete Tedo um lucro de R$ 5,00 pelo quilo do peixe que vede a peixaria Ki Peixe, daqui a quato tempo Rodrigo poderá ter aproximadamete R$ 50.000,00 para comprar um pedaço de terra e aumetar seu sítio?

Rodrigo está discutido com seu filho, que sabe matemática, sobre o tempo que deve esperar para ter um valor aproximado a fim de poder comprar um terreo com a veda de peixes da sua fazeda. Ricardo Ferreira Paraizo Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas 47

48 e-tec Brasil Matemática Istrumetal Atividade 3 Atede aos Objetivos 1 e 3 Um poceiro, para cavar um poço de 6 metros de profudidade, cobra R$ 50,00 pelo primeiro metro, R$ 100,00 pelo segudo, R$ 150,00 pelo terceiro etc. Quato ele recebe pelo serviço todo? Kriss Szkurlatowski Fote: www.sxc.hu Quato mais fudo for ficado o buraco do poço, mais difícil será furá-lo!

Progressão geométrica (PG) 49 Chama-se Progressão Geométrica (PG) toda seqüêcia umérica (a 1, a,..., a ) cujos termos, a partir do segudo, são iguais ao produto do termo aterior por um valor costate. A essa costate deomiamos razão da PG, mas também chamamos de quociete de uma PG e idicamos por q. a a 1 a3 a4 a = = =... = =... é igual à costate q. a a a 3 1 Exemplos: A = (1, 3, 9, 7, 81, 43, 79,.187...) é uma PG de quociete (q) = 3; B = (1, 1/, 1/4, 1/8, 1/16, 1/3, 1/64,...) é uma PG de quociete (q) = 1/; C = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,...) é uma PG de quociete (q) = 1; Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas D = (-3, 9, -7, 81, -43, 79,.187,...) é uma PG de quociete (q) = 3. No exemplo aterior, o cojuto A é uma PG crescete, o cojuto B é uma PG decrescete, o cojuto C é uma PG costate e o cojuto D é uma PG oscilate. Uma PG é crescete quado cada termo, a partir do segudo, é maior que o termo que o atecede, para isso tedo a razão q que ser sempre positiva e maior que 1. Uma PG é decrescete quado cada termo, a partir do segudo, é meor que o termo que o atecede, para isso tedo a razão q que ser sempre positiva e diferete de zero. Uma PG é costate quado todos os termos são iguais. Uma PG é oscilate (ou alterate) quado todos os termos são diferetes de zero e dois termos cosecutivos têm sempre siais opostos, para isso tedo a razão q que ser sempre egativa e diferete de zero. Termo geral de uma PG A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é expressa da seguite forma: ( - 1) a q A seguir, vamos fazer uma demostração de como ós chegamos a essa fórmula.

50 Demostração do termo geral de uma PG e-tec Brasil Matemática Istrumetal Agora precisamos ecotrar uma expressão que os foreça o termo geral de uma PG cohecedo apeas o primeiro termo (a 1 ) e a razão (q). Isso é possível graças à lei de formação específica da PG. Seja (a 1, a, a 3,..., a ) uma PG de quociete q. Temos: a. q a 3. q. q. q a 4. q. q. q 3 a 5. q 3 q. q 4 Cotiuado a seqüêcia, chegaremos ao termo a, que ocupa a -ésima posição da PG, dada pela expressão: ( - 1) a. q Ateção! Se (a, b, c) estão em PG, etão b = a.c A soma dos termos de uma PG Para demostrar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, cosideramos duas seqüêcias geométricas S (Equação I) e q.s (Equação II). Subtraido a Equação I da Equação II, temos: S + (a 1. q ) + (a 1. q ) +... + (a 1. q -1 ) (I) q. S. q + (a 1. q ) +.. + (a 1. q -1 ) + (a 1. q ) (II) (II) (I) q. S S = -a 1 + a 1. q S (q 1) (-1 + q ) a S = ( q ) q 1 1 1

51 Atividade 4 Atede aos Objetivos e 3 Os técicos em agropecuária Rômulo e Pedro estão trabalhado uma pesquisa um laboratório de piscicultura e verificaram que os peixes do aquário estão morredo. Parece que alguma moléstia atacou os peixes. Na semaa da pesquisa, apareceu 1 peixe morto a seguda-feira. Na terça morreram 3 peixes. Na quarta morreram 9 outros. Se cotiuar essa progressão, o fial de domigo quatos peixes terão morrido? Ricardo Ferreira Paraizo Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas Quatos peixes aida restarão a experiêcia dos técicos, o fial de uma semaa, se os mesmo estão morredo em progressão geométrica?

5 e-tec Brasil Matemática Istrumetal Atividade 5 Atede aos Objetivos e 3 Cotiuado a Atividade 4, resolva a questão: É possível fazer a estimativa de quatos peixes, o total, morrerão até o domigo? Ricardo Ferreira Paraizo Parece que os peixes estão morredo em progressão geométrica de razão 3.

53 Atividade 6 Atede aos Objetivos e 3 O Sr. Vicete resolveu fazer uma criação de coelhos em sua chácara. Ele começou com dois casais. No fial de um mês, desses casais asceram mais 16 coelhos; o mês seguite asceram 80 coelhos. Verificou-se que o crescimeto segue uma PG. Quatos coelhos esperamos ter a chácara de Vicete o fial de 5 meses? Ricardo Ferreira Paraizo Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas Na cuicultura do Sr. Vicete os aimais estão crescedo muito rapidamete. Será que esse crescimeto está em progressão aritmética ou geométrica?

54 e-tec Brasil Matemática Istrumetal Atividade 7 Atede aos Objetivos e 3 No primeiro ao de istalação de uma idústria, ela fabrica 10 6 uidades de determiado produto, e a previsão é que a cada ao dobre a sua produção. Durate 10 aos, quatas uidades essa fábrica terá produzido? Craig Jewell Fote: www.sxc.hu Numa idústria de água mieral embalam-se muitas e muitas uidades de garrafões por ao.

Resumido... O estudo que fizemos esta aula está ligado ao processo de cotagem idireta, pricipalmete em se tratado de uma seqüêcia umérica muito extesa. Recorredo a algumas fórmulas bem simples, fica muito fácil obter resultados de soma ou elemetos dessas seqüêcias. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA): A represetação dos termos de uma PA é (a 1, a, a 3,...,a, a +1...), ode: a a 1 = a 3 a =... = a +1 a = r. Fórmula do termo geral de uma PA qualquer termo da PA pode ser obtido pela fórmula: a + (-1).r Em que: a 1 = primeiro termo; a = último termo; Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas 55 = úmero de termos; r = razão. Fórmula da soma dos primeiros termos da PA: ( a1 + a ). S = Em que: a 1 = primeiro termo; a = último termo; = úmero de termos; S = soma dos termos. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG): A represetação dos termos de uma PG é (a 1, a, a 3,...,a, a +1...), ode: a a3 a+ 1 = =... = = q a a a 1 Fórmula do termo geral de uma PG qualquer termo da PG pode ser obtido pela fórmula: a. q -1 Em que: a 1 = primeiro termo; a = último termo; = úmero de termos; q = razão. Fórmula da soma dos primeiros termos de uma PG fiita Para obter a soma dos termos da PG (a 1, a, a 3,...,a ) fiita, usamos a fórmula: S a ( q 1) = 1 q 1 Em que: a 1 = primeiro termo; q = razão; = úmero de termos; S = soma dos termos.

56 Iformação sobre a próxima aula e-tec Brasil Matemática Istrumetal Na próxima aula, vamos estudar Expoecial e Logaritmo. Atividade 1 Respostas das Atividades 100 litros = 0,1 m 3 Temos, aqui, um problema de PA: Vamos chamar de: a 1 = 0,1 m 3 Volume de água perdido depois de 1 hora a = 0, m 3 Volume de água perdido depois de horas a 3 = 0,3 m 3 Volume de água perdido depois de 3 horas a = 3,5 m 3 Volume de água perdido depois de horas Para calcular esse tempo, vamos usar a fórmula a + ( 1).r, que é a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética (PA), em que a = último termo = 3,5 a 1 = 1º termo = 0,1 = úmero de termos =? r = razão = a a 1 = 0, 0,1 = 0,1 Substituido a fórmula: a + ( 1).r 3,5 = 0,1 + ( 1).0,1 3,5 = 0,1 + 0,1. 0,1 3,5 = 0,1. = 35 horas 4 h + 11 h = 1 dia + 11 horas

Esse poço vai estar com 3,5 m 3 de água daqui a 1 dia + 11 horas. Nayaa precisa descobrir logo o que está agarrado detro do cao, seão o poço ficará comprometido em termos de volume de água. Atividade Primeiro vamos ver quato de lucro o Sr. Rodrigo gaha por ao. Se ele vede 800 kg o primeiro mês, etão 800 x 5 = R$ 4.000,00 Completado a tabela: (Supodo períodos sem iflação, ou seja, em que ão haverá aumeto o preço do peixe.) Ao Massa de peixe para veda Lucro previsto 006 800 kg R$ 4.000,00 007 900 kg R$ 4.500,00 = a 008 1.000 kg R$ 5.000,00 = a 3 Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas 57 009 1.100 kg R$ 5.500,00 = a 4 Temos aqui uma seqüêcia chamada de PA (Progressão Aritmética). Nesse caso, precisamos somar todos os lucros obtidos, e a soma total precisa ser de R$ 50.000,00 (que é o valor que Rodrigo quer jutar). Para saber o úmero de aos que ele precisa esperar para jutar tal valor, precisamos usar a fórmula para calcular a soma dos termos de uma PA, que é: ( a1 + a ). S = Ode S = 50.000 (soma dos termos da progressão) a 1 = 4.000 a (último termo) e (úmero de termos) ós ão temos. No etato, podemos calcular a com a fórmula usada o problema da vazão (problema aterior). Etão, usado a fórmula a + ( 1).r, temos: a 1 = 4.000 r = a - a 1 = 500 Etão, substituido a fórmula, temos: a + ( 1).r a = 4.000 + ( 1 ).500 a = 4.000 + 500 500 a = 3.500 + 500

58 Agora podemos usar a fórmula de S para calcular o, que será o úmero de aos e-tec Brasil Matemática Istrumetal que você quer achar: Multiplicado cruzado (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos), temos: 100.000 = (7.500 + 500) 100.000 = 7.500 + 500 ( a1 + a ). S = ( 4. 000 + 3. 500 + 500). 50. 000 = Trocado os membros, temos uma equação do º grau: 500 + 7.500 1.000.000 = 0 Fazedo a devida simplificação por 100 temos: 5 + 75 10.000 = 0 Usado a fórmula de Baskara, podemos resolver esta equação do º grau: = b - 4ac = (75) - 4.5(-10.000) = 5.65 + 0.000 = 5.65 = (-b ± 160)/a = = (-75+160)/10 8,5 aos 8 aos e 6 meses é o tempo aproximado que ele deve esperar para comprar seu terreo. Atividade 3 Aqui temos uma progressão aritmética (PA). Veja: a 1 = R$ 50,00 a 1 represetado o preço que o poceiro cobra para furar o 1º metro de profudidade do poço. a = R$ 100,00 a represetado o preço que o poceiro cobra para furar o º metro de profudidade do poço. a 3 = R$ 150,00 a 3 represetado o preço que o poceiro cobra para furar o 3º metro de profudidade do poço.

a 6 =? a 6 represetado o preço que o poceiro cobra para furar o 6º metro de profudidade do poço. Como queremos calcular o valor total que o poceiro cobra por todo o serviço, devemos calcular a soma dos termos de uma PA, cuja fórmula é: ( a1 + a ). S = Nós ão temos o a, ou seja, a 6. Precisamos, etão, calculá-lo! Vamos usar a fórmula do termo geral da PA, que é a + ( - 1).r a 6 = 50 + (6-1).50 a 6 = 50 + (5).50 a 6 = 50 + 50 a 6 = 300 Substituido a fórmula de S, temos: Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas 59 O poceiro recebe R$ 1.050,00 pelos 6m do poço perfurado. Atividade 4 Isto é uma PG de razão 3. Vamos, etão, calcular quatos peixes deverão morrer o fial de domigo. Vamos cosiderar a seqüêcia: a1 = 1 Seguda-feira a = 3 Terça-feira ( a1 + a ). ( 50 + 300) 6 350 6 S = = = = 350 3 = 1. 050 a 3 = 9 Quarta-feira (otem) a 4 = 7 Quita-feira (previsão o fial do dia de hoje) a 7 = Domigo Aqui temos a razão q = 3 Por meio da fórmula para calcular o termo geral de uma PG, temos: a = a q 1 1 7 1 a = 1 3 a = 1 3 a = 1 79 a = 79 7 7 6 7 7

60 Se cotiuar assim, a seguda-feira seguite Rômulo e Pedro terão poucos e-tec Brasil Matemática Istrumetal peixes para desevolverem a pesquisa. Atividade 5 Se a seqüêcia cotiuar geometricamete, é só somar seus termos para sabermos aproximadamete quatos peixes, o total, estarão mortos até domigo. Vamos, etão, calcular a soma dos termos de uma PG. Cosideramos: a 1 = 1, = 7 (úmero de dias, de seguda a domigo) e q = 3 (que é a razão da PG) Agora é só usar a fórmula substituido esses valores: a1( q 1) S = q 1 S = 7 1 ( 3 1) 3 1 (. 187 1). 186 S = S = = 1. 093 Etão, se a seqüêcia seguir uma PG, até domigo estarão mortos, o total, 1.093 peixes, somado-se todos os peixes que estão previstos de morrer de seguda a domigo. Como foram colocados iicialmete 1.93 peixes o iício da pesquisa, deverão sobrar 00 peixes para termiarmos a pesquisa a seguda (a 8 ). Na terça, provavelmete, ão vai mais sobrar peixe. Atividade 6 Como o Sr. Vicete começou com um casal, vamos cosiderar o total iicial (a 0 ) de 4 coelhos. No fial do 1º mês desse casal asceram mais 16 coelhos (a 1 ), etão ficaram 0 coelhos (16 que asceram + 4 que já existiam iicialmete). No fial do º mês (a 3 ) asceram mais 80 coelhos, ficado 100 (0 + 80). Vamos, etão, ter a seguite seqüêcia: a 0 = 4 Descosiderar este úmero da seqüêcia; a 1 = 0 Total de coelhos o fial do 1º mês; a = 100 Total de coelhos o fial do º mês; a 3 = 500 Total de coelhos o fial do 3º mês; a 5 =? Total de coelhos o fial do 5º mês Esta é a questão.

Temos, aqui, uma progressão geométrica de razão (q) igual a 5 a a Usado a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, temos: a. q -1 a 5 = 0. 5 5-1 a 5 = 0.5 4 = 0.65 = 1.500 O úmero de coelhos que se espera ter o fial de 5 meses a chácara do Sr. Vicete é 1.500. Atividade 7 a 1 = 10 6 Total de uidades fabricadas o fial do 1º ao a =.10 6 Total de uidades fabricadas o fial do º ao a 3 = 4.10 6 Total de uidades fabricadas o fial do 3º ao 1 100 = = 5 0 Aula 10 Progressões aritméticas e progressões geométricas 61 a 10 =? Total de uidades fabricadas o fial do 10º ao ( = 10) Nesta atividade, precisamos calcular a soma de todas as uidades fabricadas durate os 10 aos de istalação da fábrica. Como podemos ver pela seqüêcia aterior, temos uma progressão geométrica. Para calcular a somas dos termos da PG, usamos a fórmula: S S S S a1( q 1) = q 1 6 10 10 ( 1) = 1 6 10 ( 1. 04 1) = 1 6 = 10 1. 03 S = 1.03.000.000 Durate 10 aos após istalada, essa fábrica terá fabricado o total de 1.03.000.000 (um bilhão e vite e três milhões) de uidades.

6 Referêcias bibliográficas e-tec Brasil Matemática Istrumetal DANTE, Luiz Roberto. Matemática: cotexto & aplicações. São Paulo: Ática. 1999. v. 1. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, Roberto. Uma ova abordagem. São Paulo: FTD. 000. v.. IEZZI Gelso et al. Matemática: ciêcia e aplicação.. ed. São Paulo: Atual. 004. v. 1. PAIVA, Mauel Rodrigues. Matemática. São Paulo: Modera, 1997. v.. Sites cosultados MARQUES, Paulo. Progressões matemáticas, PA. Dispoível em: <http://www. algosobre.com.br/matematica/progressao-aritmetica-pa.html>. Acesso em: 14 ja. 009. MIRANDA, Daiele de. Progressão matemática. Dispoível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/progressao-geometrica.htm>. Acesso em: 14 ja. 009.