Matemática - UNESP -015-014- fase 1. (Unesp 015) Um dado viciado, que será lançado uma única vez, possui seis faces, numeradas de 1 a 6. A tabela a seguir fornece a probabilidade de ocorrência de cada face. número na face 1 4 5 6 probabilidade de ocorrência da face 1 5 10 10 1 10 1 0 Sendo X o evento sair um número ímpar e Y um evento cuja probabilidade de ocorrência seja 90%, calcule a probabilidade de ocorrência de X e escreva uma possível descrição do evento Y.. (Unesp 015) Renato e Alice fazem parte de um grupo de 8 pessoas que serão colocadas, ao acaso, em fila. Calcule a probabilidade de haver exatamente 4 pessoas entre Renato e Alice na fila que será formada. Generalize uma fórmula para o cálculo da probabilidade do problema descrito acima com o mesmo grupo de "8 pessoas, trocando "4 pessoas por "m pessoas, em que 1m 6. A probabilidade deverá ser dada em função de m.. (Unesp 015) Um bloco maciço com a forma de paralelepípedo reto-retângulo tem dimensões 8 m, 1 m e 10 m. Em duas de suas faces, indicadas por A e B na figura, foram marcados retângulos, de m por m, centralizados com as faces do bloco e com lados paralelos às arestas do bloco. Esses retângulos foram utilizados como referência para perfurar totalmente o bloco, desde as faces A e B até as respectivas faces opostas a elas no bloco. 1 0 Calcule o volume e a área total do novo sólido, que resultou após a perfuração do bloco. 4. (Unesp 015) O cálculo aproximado da área da superfície externa de uma pessoa pode ser necessário para a determinação da dosagem de algumas medicações. A área A (em cm ) da superfície externa de uma criança pode ser estimada por meio do seu peso P (em kg) e da sua altura H (em cm) com a seguinte fórmula, que envolve logaritmos na base 10 : loga 0,45logP 0,75logH 1,84 (Delafield Du Bois e Eugene Du Bois. A formula to estimate the approximate surface area if height and weight be known, 1916. Adaptado.) Página 1 de 8
Matemática - UNESP -015-014- fase Rafael, uma criança com 1m de altura e 16 kg de peso, precisa tomar uma medicação cuja dose adequada é de 1mg para cada medicação para Rafael. Adote nos seus cálculos log 0,0 e a tabela a seguir. x x 10, 1995,4 51,5 16,6 981,7 501,8 610,9 794 100 cm de área externa corporal. Determine a dose adequada dessa 5. (Unesp 015) A figura representa duas raias de uma pista de atletismo plana. Fábio (F) e André (A) vão apostar uma corrida nessa pista, cada um correndo em uma das raias. Fábio largará à distância FB da linha de partida para que seu percurso total, de F até a chegada em C', tenha o mesmo comprimento do que o percurso total de André, que irá de A até D'. Considere os dados: - ABCD e A'B'C'D' são retângulos. - B ', A' e E estão alinhados. - C, D e E estão alinhados. - A'D e B'C são arcos de circunferência de centro E. Sabendo que AB 10 m, BC 98 m, ED 0 m, ED' 4 m e α 7, calcule o comprimento da pista de A até D' e, em seguida, calcule a distância FB. Adote nos cálculos finais π. Página de 8
Matemática - UNESP -015-014- fase 6. (Unesp 014) A imagem mostra uma taça e um copo. A forma da taça é, aproximadamente, de um cilindro de altura e raio medindo R e de um tronco de cone de altura R e raios das bases medindo R e r. A forma do copo é, aproximadamente, de um tronco de cone de altura R e raios das bases medindo R e r. Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e raios das bases B e b é 1 h (B B b b ) π e dado que 65 8, determine o raio aproximado da base do copo, em função de R, para que a capacidade da taça seja da capacidade do copo. 7. (Unesp 014) Chegou às mãos do Capitão Jack Sparrow, do Pérola Negra, o mapa da localização de um grande tesouro enterrado em uma ilha do Caribe. Ao aportar na ilha, Jack, examinando o mapa, descobriu que P1 e P se referem a duas pedras distantes 10 m em linha reta uma da outra, que o ponto A se refere a uma árvore já não mais existente no local e que (a) ele deve determinar um ponto M1 girando o segmento P1A em um ângulo de 90 no sentido anti-horário, a partir de P1; (b) ele deve determinar um ponto M girando o segmento PA em um ângulo de 90 no sentido horário, a partir de P; (c) o tesouro está enterrado no ponto médio do segmento M1M. Jack, como excelente navegador, conhecia alguns conceitos matemáticos. Pensou por alguns instantes e introduziu um sistema de coordenadas retangulares com origem em P1 e com o eixo das abscissas passando por P. Fez algumas marcações e encontrou o tesouro. Página de 8
Matemática - UNESP -015-014- fase A partir do plano cartesiano definido por Jack Sparrow, determine as coordenadas do ponto de localização do tesouro e marque no sistema de eixos inserido no campo de Resolução e Resposta o ponto P e o ponto do local do tesouro. 8. (Unesp 014) Em um plano horizontal encontram-se representadas uma circunferência e as cordas AC e BD. Nas condições apresentadas na figura, determine o valor de x. 9. (Unesp 014) Determine o período da função f( θ ) dada pela lei de formação 1 π f θ sen θ 1. 5 10. (Unesp 014) A figura mostra um plano cartesiano no qual foi traçada uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados. Valendo-se das informações contidas nesta representação, determine a equação reduzida da elipse. Página 4 de 8
Matemática - UNESP -015-014- fase Gabarito: Resposta da questão 1: A probabilidade de sair um número ímpar será dada por: 1 1 11 55 P(x) 55% 5 10 0 0 100 Poderemos admitir o evento Y como sendo Sair um número menor ou igual a quatro, pois neste caso, a probabilidade de ocorrência do evento Y seria dada por: P(y) = 1 1 9 90 90% 5 10 10 10 10 100 Resposta da questão : Existem maneiras de posicionar Renato e Alice. Podemos dispor m pessoas entre os dois de 6! A6, m maneiras. Além disso, considerando agora as 8 (m ) 6 m pessoas restantes, temos (6 m)! P(6 m) 1 P 7m (7 m)! possibilidades. Por outro lado, podemos organizar o grupo em fila de P8 8! modos, sem qualquer restrição. Desse modo, a probabilidade pedida é dada por 6! (7 m)! (6 m)! 7 m. 8! 8 Em particular, se m 4, temos 7 4. 8 8 Resposta da questão : O volume V do sólido restante será dado pelo volume do sólido inicial V (i) e o sólido retirado V (r). Página 5 de 8
Matemática - UNESP -015-014- fase V V(i) V( r) V 8 10 1 4 1 4 V 960 4 7 4 V 960 10 V 840 m Para calcular a área total, iremos considerar algumas etapas: Área das faces externas paralelas à face A: A1 (8 10 ) 148m Área das faces internas paralelas à face A: A 4 (4) 48m Área das faces externas paralelas à face B: A (1 8 ) 180m Área das faces internas paralelas à face B: A4 4 5 60m Área das faces externas paralelas à face C: A5 1 10 40m Área das faces internas paralelas à face C: A6 (10 5) 80m Portanto, a área total será dada por: A A1 A A A4 A5 A6 148 48 180 60 40 80 756 m Resposta da questão 4: Considerando P 16 kg e H 100 cm, temos a seguinte equação: log A 0,45 log16 0,75 log100 1,84 4 log A 0,45 log 0,75 1,84 log A 0,45 4log 1,45 1,81 log A 1,7 0,,9 log A,8,8 A 10 A 610 cm Sabemos que Rafael deve tomar 1mg para cada será dada por: 610 6,1mg. 100 100 cm de seu corpo. Portanto, a dose diária de Rafael Resposta da questão 5: Se ABCD e A'B'C'D' são retângulos e os percursos de Fábio e André têm o mesmo comprimento, então FB B'C A 'D π (40 0) 5 1 m. Resposta da questão 6: Utilizando a fórmula dada temos: Capacidade da Taça: Capacidade do copo: 4π R π R r π R r VT Vc π R π R r 4 πr r Página 6 de 8
Matemática - UNESP -015-014- fase Fazendo VT = /(VC), temos: 7R r R R R 0 Resolvendo a equação na incógnita r, temos: 4 R 65 R 5 R r 14 R 14 ou 4 R 65 R 11 R r 14 R 14 (não convém) Portanto, o raio do copo será: 5 R 5 R. 14 7 Resposta da questão 7: ΔP1 BM1 ΔACP 1(LAA o ) P1 B AC a e P1 C b ΔACP ΔMDP (LAA o ) DP a e MD 10 b Logo, M 1 (a,b) e M (10 a,10 b). Calculando as coordenadas do ponto M médio do segmento M1 e M, temos: x M a 10 a 5 e y M b 10 b 5 Logo, o ponto médio do segmento de extremos M1 e M é M(5,5). Página 7 de 8
Matemática - UNESP -015-014- fase Resposta da questão 8: Utilizando a relação entre as cordas, temos: x (x ) x (x 1) x 6x x x x 7x 0 Resolvendo a equação temos: x = 0 (não convém) ou x 7. Resposta da questão 9: π π P π m Resposta da questão 10: Centro da elipse: C(,) Semieixo paralelo ao eixo x: a = Semieixo paralelo ao eixo y: b = Logo, a equação da elipse será dada por: y y (x ) (x ) 1 1 4 9 Página 8 de 8