Métodos Matemáticos para Engenharia Transformada de Laplace Docentes: > Prof. Fabiano Araujo Soares, Dr.
Introdução Muitos parâmetros em nosso universo interagem através de equações diferenciais; Por exemplo, a voltagem entre os terminais de um indutor é proporcional à derivada da corrente que passa por esse componente; A resposta em frequência e ao impulso desses sistemas devem ser consistentes com as soluções dessas equações; Consequentemente, a resposta ao impulso desses sistemas devem consistir apenas de exponenciais e senóides (autofunções);
Introdução A Transformada de Laplace é a técnica para analisar esses sistemas onde os sinais são contínuos; A Transformada-Z é uma técnica similar a Transformada de Laplace usada para casos onde os sinais são discretos;
A Transformada de Laplace transforma um sinal no domínio do tempo em um sinal no domínio-s, também chamado de plano-s; O domínio-s é um plano complexo: Números reais são dispostos ao longo do eixo horizontal; Números imaginários são dispostos ao longo do eixo vertical;
A distância ao longo do eixo real é expressada pela variável σ; A distância no eixo imaginário é expressada pela variável ω; A notação complexa para cada posição no domínio-s é denotada pela variável s, onde: s = jω +σ
Números Complexos Lembrando que, como todos os números complexos, as partes reais e imaginárias podem ser expressas em magnitude e fase; Ou seja, se temos uma variável complexa A, sua coordenada polar será: M θ = ( ) 2 Re A + ( Im A) = arctan Im Re A A 2
Números Complexos E convertendo a coordenada polar para retangular temos: Re A = M cos ( θ ) Im A = M sin ( θ ) E temos então: ( cos( θ ) j sin( θ )) a + jb = M +
Retangular
Polar
Números Complexos Finalmente, utilizando a fórmula de Euler: e jx = cos + ( x) j sin( x) Chegamos a: a + jb = Me jθ
Retornando então a transformada de Laplace, temos que, para fazer uma transformação no domínio do tempo para o domínio-s, procedemos da seguinte forma:
1. Representamos uma função x(t) no domínio do tempo;
2. Multiplicamos a função x(t) por infinitas curvas exponenciais, cada uma com uma constante σ diferente; x( t) e σt Para - <σ<
3. Fazemos a transformada de Fourier complexa para cada função exponencialmente ponderada no domínio do tempo;
4. Organizamos cada espectro ao longo de uma linha vertical no plano-s. As frequências positivas na metade superior e as frequências negativas na metade inferior;
Matematicamente temos o seguinte: A transformada de Fourier é definida por: X jωt = e dt ( ω) x( t)
Podemos expandir a transformada de Fourier para a transformada de Laplace fazendo: X σt jωt = e dt ( σ,ω) x( t) [ ] e
E que pode ser reescrita na forma abreviada: X st = e dt ( s) x( t)
Vamos analisar três pares de pontos complexos no plano-s:
Se o sistema que estamos investigando é estável a amplitude da resposta ao impulso vai diminuir a medida que o tempo aumenta até chegar ao valor de zero em t=+ ; Por outro lado, se o sistema é instável mesmo o menor distúrbio no sistema gerará uma resposta infinita;
A transformada de Laplace sonda o domínio do tempo para identificar as suas propriedades chaves: 1. A frequência das senóides (como em Fourier); 2. A constantes das exponenciais de decaimento; A resposta ao impulso é sondada quando multiplicamos o impulso por essas formas de onda e depois integramos de t= - a t=+ ;
O objetivo da transformada de Laplace é então encontrar combinações de σ e ω que cancelem a resposta ao impulso; Esse cancelamento pode ocorrer de duas formas: 1. A área sob a curva deve ser zero; 2. A área sob a curva deve tender a infinito (ser apenas exatamente infinita); Todos os outros resultados devem ser ignorados;
Pontos no plano-s que produzem cancelamentos em zero são chamados de zeros do sistema; Pontos que produzem respostas que tendem ao infinito são chamados de polos; Um exemplo mostrará como isso funciona: Considere uma função analógica que produza a seguinte resposta no plano-s;
Vamos sondar esse plano-s em 5 pares de posições:
Vamos começar analisando os pontos a e a :
Vamos analisar agora os pontos b e b :
Analisando os pontos c e c :
Analisando os pontos d e d :
Analisando os pontos e e e :
Polos Vamos observar o que ocorre com a resposta em frequência de H(s) conforme modificamos a posição dos polos;
Resposta em Frequência vs. Polos
Comportamento em função de ξ Domínio da frequência:
Comportamento em função de ξ Domínio do tempo:
Obrigado!