MÉTODOS DE ENERGIA 1 INTRODUÇÃO

MÉTODOS DE ENERGIA 1 INTRODUÇÃO Quando não ocorre dissipação de energia, o trabalho realizado pelas cargas aplicadas e a energia são iguais, sendo o trabalho um produto vetorial da força pelo deslocamento. Em campos da engenharia, como, o método dos elementos finitos, o método das diferenças finitas energéticas, o método dos elementos de contorno e o método dos volumes finitos, são os métodos que mais utilizam os métodos de energia. Em um sistema estrutural as deformações internas são provocadas por cargas que causam as tensões e esforços internos, essas causadas por forças axiais, forças cortantes, momento fletor e momento de torsões. Quando essas deformações internas se acumulam elas resultam em um deslocamento da superfície do elemento estrutural. Para determinar essas deformações de estruturas usam-se os princípios de energia, ou seja, relações entre tensões e deformações. Se o sistema for carregado por forças externas, ele segue o princípio de conservação de energia. O trabalho feito pelas forças externas (Uₑ) é inteiramente convertido em energia associada ao sistema. A troca de energia de um sistema elástico consiste de variações na energia potencial (Ui) e na energia cinética (K). Se o sistema for carregado lentamente a energia cinética pode ser desprezada e teremos como resultado: Uₑ = Ui O trabalho realizado por uma força é o produto da força pela deformação que a força provoca quando aplicada. Quando as cargas são aplicadas na estrutura e ela sofre essa deformação, suas fibras desenvolvem esforços e deflexões. Esses métodos de energia são importantes para fazer análises estruturais. Com várias aplicações pode-se realçar os cálculos, como os, de deslocamento e determinar incógnitas em sistemas hiperestáticos. Se o trabalho realizado pelas forças externas for aplicado em um corpo elástico, o trabalho se armazena no interior do corpo e se transforma em energia elástica de deformação. Os teoremas de energia em relação a elasticidade podem ser deduzidos pelos dois seguintes princípios: Princípio do trabalho virtual (ou dos deslocamentos virtuais); Princípio do trabalho virtual complementar (ou das forças virtuais). 1

2 REFERENCIA TEÓRICO 2.1 TEOREMA DE CAPEYRON Figura 1 - Teorema de Clapeyron Sejam P1, Pi,..., Pn forças externas independentes entre si e δ1, δ2,..., δn os deslocamentos correspondentes de seus pontos de aplicação medidos na direção e sentido de cada uma das forças. Admitamos que as forças Pi sejam aplicadas gradualmente e que, em um determinado instante, as forças podem ser colocadas sob a forma α.pi, onde α varia entre e 1 e Pi é o valor final da força Pi. Consequentemente, pela lei de Hooke, os deslocamentos também são colocados sob a forma α.δi. Durante a passagem de um estado de solicitação a outro infinitamente próximo, ou seja, α sofrendo um incremento dα, o deslocamento genérico (δi) será (α+dα)δi e o incremento de trabalho será: n n αpi. dαδi = Piδiαdα i=1 i=1 O trabalho total realizado por todas forças é: n U = i=1 1 a= n Piδiαdα = 1 2 Piδi i=1 ENERGIA TOTA DE DEFORMAÇÃO CEDIDA AO CORPO PEO SISTEMA DE FORÇAS 2

Obs.: Pi e δi são forças e deslocamentos generalizado ou seja Pi pode ser força ou momento e δi deslocamento linear ou angular. A expressão da energia total para um carregamento de momentos é: n U = 1 2 Miφi i=1 Teorema de Clapeyron: A energia de deformação de uma estrutura, solicitada por diversos esforços externos Pi, é igual à metade da soma dos produtos dos valores finais de cada esforço pelo deslocamento de seu ponto de aplicação, medido na direção e sentido do esforço considerado. 2.1.1 Energia de deformação de barras sob esforços simples 2.1.1.1 Tração e compressão Figura 2 - Tração e Compressão Energia de deformação em um trecho de comprimento dx du = 1 N. dδ 2 dδ = εx. dx = Nx E.Ax dx du = Nx² 2.E.Ax U = 1 1 2. E Nx²dx Ax ou N = cte, A = cte U = N². 2. E. A 3

2.1.1.2 Cisalhamento - distribuição uniforme Figura 3 - Cisalhamento du = 1 2 Q. dδ = 1 2 Q. γ. dx = Q 2 U = Q² 2. G. A dx 2. A. G dx 2.G Ou, em função da tensão de cisalhamento, U = τ².adx Para distribuição não uniforme, U = k.q² 2.G.A dx Seção retangular: k = 6 5 Seção circular: k = 1 9 2.1.1.3 Flexão 4

Figura 4 - Flexão du = 1 2 M. dφ dφ = ds ρ = dx ρ, 1 ρ = M EI dφ = M EIz dx, du = M² 2.E.Iz dx 1 U = M² 2. E. Iz dx 2.1.1.4 Torção Figura 5 - Torção du = 1 2. T. dφ γ. dx = r. dφ T = G. θ. Ip, θ = portanto, dφ dx = θ = γ r = T G.Ip T = dφ G.Ip dx portanto, dφ = T.dx G.Ip γ = τ G = T.r G.Ip 5

du = 1 2. T². dx G. Ip U = 1 2G T². dx. Ip 2.1.1.5 Esforços simples combinados U = 1 2E N². dx. A + 1 2G k. Q². dx. + 1. A 2E M². dx Iz + 1 2G. T². dx Ip 2.2 TEOREMA DE MENABRÉA A interpretação puramente energética a seguir será aplicável apenas para os valores dos hiperestáticos de uma estrutura hiperestática. Seja, por exemplo, a estrutura hiperestática da Figura 6, submetida ao carregamento Pi indicado. Figura 6 - Teorema de Menabréa Fonte: (José Carlos Süssekind, 198) Podemos, conforme já sabemos, encará-la como sendo a estrutura isostática da Figura 7, submetida ao mesmo carregamento Pi, acrescido dos hiperestáticos x1,..., x5, cujos valores são tais que as deformações da estrutura em sua direção são nulas. 6

Figura 7 - Teorema de Menabréa Fonte: (José Carlos Süssekind, 198) Sendo assim, podemos dizer, por exemplo, que δ3 =, pois δ3 é a deformação da estrutura, devida ao carregamento atuante, na direção do hiperestático x3 (no caso, é o deslocamento horizontal de E). Por força dos teoremas de Castigliano, podemos escrever que δ3 = τ, sendo τ a energia real de deformação da estrutura. x3 Derivando esta última expressão em relação a x3, obtemos δ3 x3 = ²τ x3², que representa o aumento da deformação δ3 na direção de x3 para um acréscimo x3, aumento este essencialmente positivo. Temos, então que o valor de x3 satisfaz às condições: τ = e ²τ >, o que indica que x3 torna um mínimo; isto constitui o teorema de x3 x3² Menabréa, que podemos enunciar da seguinte forma: A grandeza hiperestática tem um valor tal que torna o trabalho real de deformação da estrutura um mínimo. 2.3 TEOREMAS DE BETTI MAXWEE 2.3.1 Teorema de Betti Seja um sólido, para o qual um sistema de forças Pi constitui o estado de deformações e outro sistema de forças Pk constitui o estado de esforços (P). 7

Figura 8 - Teorema de Betti Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais e indexando os deslocamentos com dois índices, o primeiro indicando o local da deformação e o segundo a causa que a provocou, resulta: δk,i deslocamento na direção de Pk e provocado por Pi. Considerando agora, para o mesmo corpo, o sistema de forças Pk como estado de deformações e Pi como estado de esforços, aplicando o princípio dos trabalhos virtuais, resulta: Figura 9 - Teorema de Betti 8

Comparando as duas expressões, conclui-se: O trabalho realizado por um sistema de forças em equilíbrio, agindo em um corpo de material elástico linear, quando se desloca devido às deformações provocadas por outro sistema de forças em equilíbrio, é igual ao trabalho realizado por este segundo sistema de forças, quando o corpo se desloca devido às deformações provocadas pelo primeiro sistema. 2.3.2 Teorema de Maxweel Considerando na expressão do teorema de Betti, que os sistemas de forças sejam compostos por uma única força unitária, ou momento, resulta: O deslocamento do ponto k, provocado por uma força unitária aplicada no ponto i, é igual ao deslocamento do ponto i, provocado por uma força unitária aplicada no ponto k, desde que as direções das forças e deslocamentos coincidam nos respectivos pontos. Figura 1 - Teorema de Maxweel Pelo teorema de Maxwell: 9

Figura 11 - Teorema de Maxweel 2.4 PRINCÍPIO DOS TRABAHOS VIRTUAIS O princípio dos trabalhos virtuais na conservação dos trabalhos virtuais é empregada limitada nos cálculos de deslocamentos de estruturas, permitindo calcular o deslocamento caso tenha uma força concentrada, calculando de acordo com a direção da força e a rotação de um momento concentrado aplicado. A relação do princípio de conservação de energia, generalizando não tem nenhuma ligação entre o sistema de forças e a configuração deformada. Ou seja, não existe relação entre a força e a deformação. Dessa forma, a associação entre o trabalho externo e a deformação interna resulta no Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV): No caso das entradas dos planos, a energia de deformação interna virtual pode ser desvinculadas em partes dos efeitos axiais de flexão e cortante: 1

Analisando as equações acima, as forças não são a causa ou o efeito dos deslocamentos. Isto é, a energia interna virtual e os esforços internos não são a causa ou o efeito dos deslocamentos. Assim o trabalho WE e a energia de deformação U são ditos virtuais, pois são conceitos de cálculos. O princípio de trabalhos virtuais tem validade, caso o sistema de forças satisfazer as condições de equilíbrio e a deformação atenderem as condições de compatibilidade. Á vista disso, o princípio pode ser utilizado para determinar condições de compatibilidade para uma deformação qualquer, para isso as forças denominadas como virtuais, satisfazendo a equação de equilíbrio. 2.5 TEOREMA DE CASTIGIANO O Teorema de Castigliano é um método para determinar os deslocamentos de um sistema linear elástico baseado em derivadas parciais da energia de deformação. O conceito básico pode ser facilmente entendido, observando que uma mudança em energia é igual à força causadora multiplicada pelo deslocamento (pela equivalência trabalho/energia) resultante. Portanto, a força causadora é igual à mudança de energia dividida pelo deslocamento resultante. Alternativamente, o deslocamento resultante é igual à mudança de energia dividida pela força causadora. As derivadas parciais são necessárias para relacionar as forças causadoras e o deslocamento resultante com a mudança de energia. 2.5.1 Primeiro Teorema de Castigliano O método de Castigliano para calcular forças é uma aplicação de seu primeiro teorema, que estabelece: Se a energia de deformação de uma estrutura elástica pode ser expressa como uma função do deslocamento generalizado qi, então a derivada parcial da energia de deformação em relação ao deslocamento generalizado fornece a força generalizada Qi. Na forma de uma equação temos: 11

U= energia de deformação 2.5.2 Segundo Teorema de Castigliano O método de Castigliano para calcular deslocamentos é uma aplicação de seu segundo teorema, que estabelece: Se a energia de deformação de uma estrutura linear elástica pode ser expressa como uma função da força generalizada Qi, então a derivada parcial de energia de deformação em relação à força generalizada fornece o deslocamento generalizado qi na direção de Qi. Na forma de uma equação temos: 4 REFERENCIA BIBIOGRÁFICO SÜSSEKIND, José Carlos. Curso de análise estrutural: deformações em estruturas, métodos das forças. 4 ed. Porto Alegre: Globo, 198. 2 v. AUTOR DESCONHECIDO. Teoremas gerais de deformações. SD. Disponível em:<http://www.cesec.ufpr.br/disciplinas/resmat/material%22/capitulo%21.pdf>. Acesso em: 23 out. 215. AUTOR DESCONHECIDO. Métodos de energia. SD. Disponível em:<https://ecivilufes.files.wordpress.com/211/7/3-mc3a9todos-de-energia.pdf>. Acesso em: 23 out. 215. 12