Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE) Apostila Organizada por: Kamila Gomes Ludmilla Rangel Cardoso Silva Carmem Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo Silvia Cristina Freitas Batista Campos dos Goytacazes/RJ Agosto/2014
Análise Gráfica de Função A importância desse tema vem do fato de que a análise gráfica nos permite ter uma visão global do comportamento de uma função, mesmo que não seja conhecida a lei de formação, e que nos fornece de uma forma compacta várias informações sobre a função. Decorre daí a necessidade de aprendermos a ler gráficos de funções. Por meio da análise do gráfico que podemos determinar aspectos diferentes que caracterizam a função, por exemplo, domínio e conjunto imagem, os pontos em que o gráfico intersecta os eixos coordenados, o crescimento (ou decrescimento), valores máximos (ou mínimos) que a função atinge, eventuais simetrias e intervalos para os quais o valor da função é positivo ou negativo ou nulo. 1. Zeros de uma função São os valores de x que anulam y, ou seja, ( ). A interpretação geométrica do zero de uma função é a abscissa do ponto que intersecta o eixo x. Exemplo 1 Determine o zero da função real ( ). Solução Para encontrarmos os zeros de uma função, algebricamente, faremos f(x) = 0. Assim: x 1 = 0 x = 1 E, geometricamente, observamos o ponto de interseção do gráfico com o eixo x. A abscissa desse ponto representa o zero da função. Logo, observando o ponto A de interseção da reta com o eixo x, e, podemos dizer que 1 é o zero da função f. 2
Exemplo 2 Encontre os zeros da função real ( ). Solução Para encontrarmos os zeros desta função, algebricamente, faremos g(x) = 0. Assim: x 4 2x³ x² + 2x = 0 ( x 4 x²) + ( 2x³ + 2x) = 0 Separando os termos de índice par e de índice ímpar x² (x² 1) 2x (x² 1) = 0 (x² 1)(x² - 2x) = 0 (x + 1) (x 1) x (x 2) = 0 x + 1 = 0 x = 1 x 1 = 0 x = 1 x = 0 x 2 = 0 x = 2 x² é comum às duas primeiras parcelas e (-2x) é comum às duas últimas, portanto colocaremos estes termos em evidência (x² 1) é um termo comum, portanto pode ser colocado em evidência (x² 1) é um caso de produto notável: (x + 1) (x 1) No termo (x² - 2x), x é colocado em evidência Para encontrar as raízes igualmos Lembre-se: um produto é cada fator a zero. igual a zero quando qualquer um dos fatores for zero. Os zeros da função são:,. Logo, as abscissas dos pontos A, B, C e D,, respectivamente, correspondem aos zeros da função g. 3
2. Crescimento e decrescimento Dados dois valores quaisquer do domínio,, se e ( ) ( ), então a função é crescente. Dados dois valores quaisquer do domínio,, se e ( ) ( ), então a função é decrescente. Dados dois valores quaisquer do domínio,, se e ( ) ( ), então a função é constante. Exemplo 3 Verifique se a função real dada em cada item é crescente, decrescente ou constante: a) ( ) b) ( ) c) ( ) Solução a) ( ) Considerando dois valores quaisquer do domínio como 1 e 2, temos: ( ) ( ) Podemos observar que 1 < 2 e ( ) ( ). O mesmo pode ser generalizado para quaisquer outros dois valores de x, como mostrado abaixo: Sejam a e b reais, com : f(a) = a +1 f(b) = b +1 Como, então a +1 < b + 1. Logo, ( ) ( ). Portanto, a função é crescente. O que, também, pode ser observado no gráfico ao lado. 4
b) ( ) Considerando dois valores quaisquer do domínio como -1 e 2, temos: ( ) ( ) ( ) Podemos observar que -1 < 2 e ( ) ( ). O mesmo pode ser generalizado para quaisquer outros dois valores de x, como mostrado abaixo: Sejam a e b reais, com : ( ) ( ) ( ) ( ) Como, então ( ) ( ) Observe que, se comparássemos 2 a e 2 b, com, teríamos 2 a < 2 b, pois a base é um número maior do que 1 e, assim, quanto maior o expoente, maior a potência. No entanto, estamos comparando (2 a ) e (2 b ) e, dessa forma, teremos ( ) ( ), pois ao compararmos dois números negativos, o maior é sempre o que tem menor valor absoluto. Para representar esses valores podemos utilizar a reta real. Retornando aos valores escolhidos no inicio, ( ) e ( ) temos: De forma geral teremos: função. Logo, ( ) ( ). Portanto, a função é decrescente. O que, também, pode ser observado no gráfico da c) ( ) Considerando dois valores do domínio, 1 e -2, temos: ( ) ( ) 5
Podemos observar que e ( ) ( ). O mesmo pode ser generalizado para quaisquer outros dois valores de x, como mostrado abaixo: Sejam a e b reais, com : f(a) = 2 f(b) = 2 e ( ) ( ) Logo, a função é constante. O que, também, pode ser observado no gráfico ao lado. Exemplo 4 Em cada item determine os intervalos nos quais a função representada pelo gráfico a seguir, é crescente, decrescente ou constante. a) Solução A função é crescente em decrescente em e em e. 6
b) A função é crescente em e em, decrescente em e constante em. 3. Função par e função ímpar Dada uma função f : A B, dizemos que f é par se, e somente se, f ( x ) f ( x ) para todo x A. No gráfico de uma função par existe uma simetria em relação ao eixo y, ou seja, para cada ponto do gráfico existe outro no mesmo gráfico posicionado de tal modo que ambos estejam à mesma distância do eixo vertical e na mesma reta perpendicular a este eixo. Por outro lado, se tivermos uma função somente se, f ( x ) f ( x ) para todo A x. f : A B, dizemos que f é ímpar se, e No gráfico de uma função ímpar existe uma simetria em relação à origem, ou seja, para cada ponto do gráfico existe outro no mesmo gráfico posicionado de tal modo que ambos estejam à mesma distância da origem e alinhados com ela. 7
paridade. Observação: Uma função que não é par nem ímpar é chamada de função sem Exemplo 5 Dadas as funções reais verifique se são funções pares, impares ou funções sem paridade. a) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) Solução Uma função é par quando f ( x ) f ( x ) e é ímpar quando f ( x ) f ( x ). Para verificarmos a paridade de uma função, precisamos encontrar o valor de f ( x) em cada um dos itens. a) ( ) f ( x) = = x = f (x). Portanto, a função é par. Analisando o gráfico da função, observamos que há uma simetria em relação ao eixo y, logo podemos afirmar que a função é par. 8
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Portanto, a função é ímpar. Analisando o gráfico da função, observamos que há uma simetria em relação à origem, portanto podemos afirmar que a função é ímpar. c) ( ) ( ) ( ) ( ) Observamos que ( ) ( ) e ( ) ( ), então, f não tem paridade. Graficamente observamos que a função não tem simetria em relação ao eixo y e nem em relação à origem, portanto, a função não possui paridade. 9
4. Sinal da Função Estudar o sinal de uma função é determinar os valores do domínio para os quais a função é positiva ( ( ) ), negativa ( ( ) ) ou nula ( ( ) ). Exemplo 6 Determine o sinal da função real, ( ). Solução Para esta função não existe zeros da função, pois a soma de dois números positivos nunca será igual à zero. Como a lei da função é composta de uma soma de módulos, sua imagem sempre será positiva. ( ) para todo Logo, o sinal da função será positivo para todos os valores do domínio. Graficamente temos: Observação: Quando estudamos o sinal de funções como as polinomiais, que têm como domínio o conjunto e são sempre contínuas, podemos proceder como nos exemplos a seguir, pois as imagens dessas funções só mudam de sinal em suas raízes reais. Exemplo 7 Estude o sinal de cada função real, dada. a) ( ) Uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta falhas ou saltos. 10
b) ( ) Solução a) ( ) Vamos encontrar os zeros da função: ( ) O zero da função divide a reta real em dois intervalos nos quais iremos estudar o sinal. Assim, escolhendo qualquer valor do domínio pela esquerda de, como, por exemplo, e substituindo na lei da função, iremos verificar qual o sinal que a função assume: ( ) < 0 Então, quando a função é negativa. Agora, escolhendo qualquer valor do domínio pela direita de, como, por exemplo,, temos: ( ) > 0 Então, quando a função é positiva. Graficamente, temos: f(x) f(x) f(x), então x, então x, então x b) ( ) Vamos encontrar os zeros da função: ( ) ou Os zeros dessa função dividem a reta real em três intervalos nos quais iremos estudar o sinal. De acordo com o item anterior, vamos considerar um valor qualquer do domínio menor que -2, por exemplo, -3. Substituindo na lei da função temos: 11
( ) ( ) Então, quando a função é positiva. Considerando um valor qualquer do domínio entre e, por exemplo o 0 e substituindo na lei da função temos: ( ) Então, quando a função é negativa. Agora, Consideraremos um valor qualquer do domínio maior que 2, por exemplo 3 e substituindo na lei da função temos: ( ) Então, quando a função é positiva. Graficamente, temos: f(x), então x ou x f(x), então x e x f(x), então x Nota: O sinal da função para um elemento x (com x D ( f ) ) é o sinal de f ( x ) o sinal de x., e não Exemplo 8 Faça o estudo do sinal da função representada pelo gráfico abaixo. 12
Solução O gráfico intersecta o eixo x nos pontos de abscissas -3, -1 e 1, que são os zeros da função. Assim: ( x ) 0 ( x ) 0 f, para x 3, x 1 e x 1 f, para 3 x 1 ( x ) 0 f, para 1 x 1 Exemplo 9 Observando os gráficos das funções f e g representados a seguir, classifique cada uma das afirmações como verdadeira ou falsa. I) f ( 1) 0 II) g ( 6 ) 0 III) g ( 2) 0 IV) f ( 0) g (0) 2 V) f ( 4) g (4) 0 VI) f ( 2) g ( 2) 0 f (1) VII) 0 g (1) Solução 13
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5. Extremos de uma função Extremos de uma função são representados pelos maiores valores (máximo) ou pelos menores valores (mínimo). Esses podem ser relativos (locais) ou absolutos (globais). 5.1. Máximos e mínimos relativos Nesta seção vamos discutir os pontos nos quais uma função passa de crescente a decrescente, ou vice-versa. Nesses pontos, a função possui um extremo relativo, que pode ser um mínimo relativo ou máximo relativo. Observe o gráfico de uma função y f ( x ), contínua em. Note que: Numa vizinhança de A, a maior ordenada é a de A. O mesmo ocorre em C, E e G. Dizemos que esses pontos são pontos de máximos relativos. Numa vizinhança de B, a menor ordenada é a de B. O mesmo ocorre em D, F e H. Dizemos que esses pontos são mínimos relativos. Assim, podemos definir extremos relativos: 16
Seja f uma função definida no ponto c. é um máximo relativo (ou máximo local) de f se existe um ponto c no interior de um intervalo (a, b) tal que para qualquer valor de x no intervalo (a, b). é um mínimo relativo (ou mínimo local) de f se existe um ponto c no interior de um intervalo (a, b) tal que para qualquer valor de x no intervalo (a, b). Se é um extremo relativo de f, diz-se, então, que o extremo relativo ocorre em x c. O número é chamado de valor máximo relativo (ou valor mínimo relativo) da função f. 5.2. Máximos e mínimos absolutos Um problema frequente refere-se a uma função dada num certo intervalo, no qual queremos encontrar o maior ou o menor valor da função. Esses intervalos podem ser fechados, abertos ou fechados num extremo e aberto no outro. O maior valor da função no intervalo é chamado de valor máximo absoluto e o menor de mínimo absoluto. A seguir, são dadas as definições precisas. Definição de extremos absolutos: Seja f uma função definida em um intervalo I que contém o ponto c. A função f terá um valor máximo absoluto num intervalo, se existir algum número c no intervalo, tal que para todo x no intervalo. Em tal caso, será o valor máximo absoluto de f no intervalo e c será o ponto de máximo de f. A função f terá um valor mínimo absoluto num intervalo, se existir algum número c no intervalo, tal que para todo x no intervalo. Em tal caso, será o valor mínimo absoluto de f no intervalo e c será o ponto de mínimo de f. Os valores de mínimo absoluto e de máximo absoluto de uma função em um intervalo às vezes são chamados simplesmente de mínimo e máximo de f no intervalo. Podemos falar de um extremo absoluto de uma função, mesmo que não seja especificado o intervalo. Em tal caso, estamos nos referindo ao extremo absoluto da função em todo seu domínio. 17
Um extremo absoluto de uma função contínua num intervalo fechado deve ser um extremo relativo, ou um valor de função num extremo do intervalo. A diferença entre extremo relativo e extremo absoluto é mais fácil de compreender por meio de um exemplo. No gráfico ao lado, a função possui um mínimo relativo que também é um mínimo absoluto no intervalo, -. O máximo relativo de f, porém não é o máximo absoluto no intervalo, -. Fonte: Larson, Ron; Edwards, Bruce H. Cálculo com Aplicações, 6.ed., Rio de Janeiro: LTC, 2005, p.202 Exemplo 10 No gráfico dado, a função f está definida de [-6, 6], indique os valores de máximo e mínimo relativos e absolutos, e os pontos correspondentes a cada valor. Solução A função f admite um valor máximo relativo e esse valor é 5. A função f admite um valor mínimo relativo em e em, que são os valores 0 e -4, respectivamente. A função f tem um valor máximo absoluto 7, que ocorre em. A função f tem um valor mínimo absoluto, que ocorre em. 18
Exercícios 1) No plano cartesiano a seguir, estão esboçados os gráficos das funções f e g. a) Em que intervalo a função g é crescente? b) Para quais valores de x temos x g x f? c) Em que intervalo as funções f e g são simultaneamente positivas? 2) Considerando os gráficos abaixo, que representam funções, determine se a função é par, se é ímpar, ou sem paridade: 3) A figura abaixo mostra uma parte do gráfico de uma função f cujo domínio é. Trace outra parte do gráfico de forma a caracterizar que: a) f é uma função par. b) f é uma função ímpar. 19
4) Observe o gráfico da função s. a) Faça o estudo de sinal da função; b) Determine os intervalos nos quais a função é crescente, decrescente ou constante. 5) (ENEM, 2012 - Adaptada) O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo. Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a seguinte tabela. Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio? 20
6) (ENEM, 2012 Adaptada) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011. De acordo com o gráfico, diga quais os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absoluta em 2011. 7) (ENEM, 2012 Adaptada) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo. Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global em qual ano? 8) (UFF-RJ 2008. Adaptada.) A figura a seguir exibe o gráfico de uma função y = f(x) definida no intervalo [-6, +6]. O gráfico de f passa pelos pontos seguintes: (-6; -2), (-4; 0), (-3; 3), (-2; 0), (2; 1), (3; 4), (4; 2), (5; 2) e (6; -1). Exceto no intervalo [-4, -2], o gráfico de f é formado por segmentos de retas. 21
9 a) Calcule f. Justifique a sua resposta. 2 b) Determine a imagem de f. c) Quantas soluções distintas possui a equação f(x) = 1? E a equação f(x) = 2? Justifique suas respostas. d) A função f é crescente no conjunto C = [-4, -3] [2,3]? Justifique sua resposta. 9) Use a figura abaixo para encontrar as coordenadas x dos extremos relativos e absolutos de f em [0, 6]. 10) O gráfico a seguir representa a função, -. Determine os valores extremos relativos e onde eles ocorrem. 22
Gabarito Questão 1 a) - - ou * + b) e 2 c) -, Questão 2 a) Sem paridade b) Par c) Ímpar d) Par Questão 3 Questão 4 a) A função é positiva em toda extensão do domínio. b) A função é crescente: em, - e em, -; Decrescente em [2, 5] ou * +; Constante em [5, 8] ou * +. Questão 5 O investidor 1 fez o melhor negócio, pois lucrou R$ 310,00, enquanto o investidor 2 lucrou R$ 50,00, o 3 lucrou R$ 80,00, o 4 teve um prejuízo de R$ 360,00 e o 5 lucrou R$ 100,00. Questão 6 Venda maior no mês de junho e menor em agosto. 23
Questão 7 2007. Questão 8 a). /, pois que está entre 4 e 5 e nesse intervalo a função é constante. b) -, c) ( ) possui 4 soluções distintas, pois a reta y = 1 intersecta o gráfico de f em quatro pontos diferentes. A equação f(x) = 2 possui infinitas soluções, pois a reta y = 2 intersecta o gráfico de f em infinitos pontos. d) Não, pois -3 e 2 são elementos de C e e ( ) ( ). Questão 9 Máximo relativo ocorre em. Mínimo relativo ocorre em. Máximo absoluto ocorre em Mínimo absoluto ocorre em. Questão 10 O mínimo relativo é, ocorre em,. O máximo relativo é o 2, ocorre em. Referências PAIVA, Manoel. Matemática. Vol.1.1.ed. São Paulo: Editora Moderna, 2009. LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce H. Cálculo com Aplicações. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. 24