ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PIRÂMIDES PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: blog.portalpositivo.com.br 1
PIRÂMIDES Pirâmide é o poliedro convexo tal que uma face é um polígono convexo e as demais faces são triângulos que têm um vértice comum. Numa pirâmide devemos destacar os seguintes elementos: h PIRAMIDE OBLÍQUA: projeção ortogonal do vértice não coincide com o centro da base. PIRAMIDE RETA: projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base. Nomenclatura O nome de uma pirâmide, é de acordo com o número de lados do polígono da sua base. Se for triângulo, chama-se triangular, se for quadrilátero, quadrangular e assim sucessivamente. Pirâmide Regular Para uma pirâmide ser regular, é necessário que ela satisfaça duas condições: 1ª) A base deve ser um polígono regular; 2ª) A projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base coincide com o centro da base. Numa pirâmide regular devemos destacar os seguintes elementos: blog.portalpositivo.com.br 2
Em uma pirâmide regular, as arestas laterais são iguais, logo, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Área total de uma pirâmide (A t ) : A t = A b + A l, onde A b ( área da base ) e A l ( área lateral ou seja soma das áreas das faces ). Volume de uma pirâmide ( V ) : V = 3 1. Ab. h, onde A b ( área da base ) e h ( sua altura). Tetraedro Regular É a pirâmide que possui quatro faces que são triângulos equiláteros. apótema da base ( m ) : m = apótema do tetraedro ( g ) : g = a 3 6 a 3 2 blog.portalpositivo.com.br 3
altura de um tetraedro regular ( h ) : h = 2 área total ( A t ) : A t = a 3 a 6 3 volume ( V ) : V = 3 a. 2 12 Exemplos: 1) Calcule a área total e o volume de uma pirâmide quadrangular regular cuja a aresta da base mede 8 cm e a sua altura 3 cm. Resolução: 2) O volume de uma pirâmide triangular regular é igual a 24 3 cm 3 e sua altura igual a 6cm. Calcule a medida da aresta da sua base. Resolução: 3) A soma de todas as arestas de um tetraedro regular é igual a 36 cm. Calcule a sua área total e o seu volume. Resolução: blog.portalpositivo.com.br 4
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 1) Dada uma pirâmide quadrangular regular cuja a altura mede 12cm e o apótema da base mede 9cm. Calcule: a) O apótema da pirâmide. Resp: 15 cm b) A aresta da base. Resp: 18 cm c) A aresta lateral. Resp: 3 34 cm d) A área lateral. Resp: 540 cm 2 e) O volume. Resp: 1296 cm 3 2) Dada uma pirâmide triangular regular cuja a aresta lateral mede 15cm e a aresta da base mede 18cm. Calcule: a) O apótema da pirâmide. Resp: 12 cm b) A apótema da base. Resp: 3 3 cm c) A altura da pirâmide. Resp: 3 13 cm d) A área lateral. Resp: 324 cm 2 e) A área total. Resp: 81( 3 + 4) cm 2 3) O perímetro da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 36cm e o apótema da pirâmide 20cm. Calcule: a) O apótema da base. Resp: 3 3 cm b) A altura da pirâmide. Resp: 373 cm c) A área lateral. Resp: 360 cm 2 d) A área total. Resp: 18(3 3 + 20) cm 2 4) Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de 12cm de lado. Ache o volume, sabendo que a aresta lateral mede 15cm. Resp: 48 153 cm 3 5) A base de uma pirâmide regular é um triângulo de lados 8cm, 10cm e 10cm. Ache o volume, sabendo que a altura da pirâmide mede 27cm. Resp: 72 21 cm 6) A aresta de um tetraedro regular mede 12 cm. Ache a sua altura e sua área total. Resp: h = 2 2 cm A t = 12 3 cm 2 7) A área total de um tetraedro regular é 81 3 cm 2. Ache o apótema do tetraedro. Resp: 9 3 2 cm blog.portalpositivo.com.br 5
8) Considerando um tetraedro regular, Calcule: a) Seu volume, sabendo que aresta mede 3 2 cm. Resp: 9cm 3 b) Seu volume, sabendo que a área total dele é 24 3 cm 2. Resp: 8 3 cm 3 c) Sua altura, sabendo que o seu volume é 36 2 cm 3. Resp: 2 6 864 cm 9) Calcule a área total e o volume de um octaedro regular cuja aresta mede 3 cm. Resp: A = 18 3 cm 2 V = 9 cm 3 10) (Unifesp) Quatro dos oito vértices de um cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro regular. As arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo, conforme mostra a figura. a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é igual a dois terços da diagonal do cubo. Resp: b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume do tetraedro. Resp: 3 11) (Fuvest) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m 2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é: a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130 Resp: a 12) (Uff) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179 m. A área da base dessa pirâmide, em m 2, é: a) 13.272 b) 26.544 c) 39.816 d) 53.088 e) 79.432 Resp: a 2 3 3 blog.portalpositivo.com.br 6
13) Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular inscrita num cubo de aresta 3cm. Resp: 9 cm 2 14) Numa pirâmide regular de base quadrada, sabe-se que a área da base é 32 cm 2 e que o apótema da pirâmide mede 8 cm. Calcule a medida da altura dessa pirâmide. Resp: 2 14 cm 15) Uma pirâmide regular hexagonal têm aresta da base igual a 5 cm e aresta lateral igual a 7 cm. Qual o volume dessa pirâmide? Resp: 75 2 cm 3 Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: Bianchini&Paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicações Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante Ed. Ática http://www.educacional.com.br/ blog.portalpositivo.com.br 7