PRIMEIRA LISTA DE EXERCICIOS DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL I) Completes a lacunas: a) Postulado 1 - Por dois pontos...passa uma e só uma reta b) Postulado 2 Para todo...ab e todo...cd exist um único...e tal que B...A e E e o...cd é... com o... BE c) Postulado 3 Para todo ponto C e todo...a não conicidente com C existe......com...c e raio...com... d) Postulado 4 Todos os ângulos retos são... entre si e) Postulado 5 - Por um ponto não pertencente a uma..., passa uma e uma só...a tal reta f) Postulado 6 Se dois pontos de uma... pertencem a..., então todos os pontos dessa... pertencem a tal... g) Postulado 7 Três pontos não...determinam... h) Postulado 8 Se as extremidades de um... situam-se em semiespaços opostos em relação a um..., então esse...cruza tal... Se elas situam-se no mesmo...o... não cruza a origem II) Forneça as definições solicitadas, faça as correspondências e classifique em V ou F i) De a definição de retas reversas ii) Segue abaixo, sete hipóteses e sete conclusões (teses). Associar a cada uma das hipóteses a conclusão que mais lhe convier: Hipóteses 1) Se duas retas distintas são paralelas e um plano paralelo á primeira tem um ponto em comum com a segunda, então... 2) Se por um ponto P, fora de uma reta a, conduzirmos uma reta b e um plano α paralelos à reta a, então 3) Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então... 4) Se um plano contém duas retas concorrentes ambas paralelas a um outro plano, então... 5) Se dois planos distintos sãom paralelos e uma reta é concorrente com um deles, então... 6) Se dois planos distintos são paralelos e um plano é secante com um deles,então... 7) Se dois planos paralelos são interceptados por um terceiro plano, então... Teses a) ela é paralela à interseção dos planos.
b) este plano contém a segunda. c) a reta b está contida em α d) ele é secante com o outro e) esta reta é concorrente com o outro f) as interseções são paralelas g) estes planos são paralelos iii) Classificar em verdadeiro ou falso a) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto. b) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta. c) Quando uma reta é perpendicular ao plano de projeção, sua projeção ortogonal é um ponto d) A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre este plano, é menor que o semento. e) Se as projeções ortogonais de duas retas, sobre um plano, são paralelas, então as retas são paralelas f) A projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano é sempre um triângulo. g) Se dois segmentos são congruentes, então suas projeções ortogonais sobre qualquer plano são congruentes. h) A distância entre um ponto P e um plano α é a reta perpendicular ao plano α pelo ponto P i) A distância entre reta e plano paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um ponto qualquer de outro. III) Congruência de Triângulos 1) Seja ABCD um TRAPÉZIO ISÓSCELES, com base menor AB e base maior CD, sabendo que os ângulos da base maior de um trapézio isósceles são congruentes, demonstre que as digonais do trapézio isósceles são congruentes 2) Na figura baixo sabe-se que OP é a bissetriz do ângulo AÔB e que OA =OB. Demonstre que PA=PB 3) Considere o triângulo isósceles ΔABC da figura abaixo. Sejam os segmentos BD e CE sobre a base BC congruentes entre si. Demonstre que o triângulo ΔADE é isósceles.
4) Demonstre que se um triângulo tem os seus tres ângulos internos congruentes entre si então ele á um triângulo equilátero. 5) Sobre os lados AB, BC e CA de um triângulo equilátero ΔABC tomam-se os pontos D, E e F respectivamente. Sendo AD=BE=CF, demonstre que o triângulo ΔDEF é equilátero 6) Demonstre o caso LAA de congruência de triângulos, ou seja, dois triângulos são congruentes se um lado e um ângulo adjacente são congruentes a um lao e um ângulo adjacente a do outro e os ângulo opostos a esses lados são também congruêntes. (Sugestão: use o fato que a soma dos ângyulos internos de triângulo é dois retos) 7) Na figura abaixo, M é o ponto médio de AB, M Ĉ A=M D B e os pontos A, M e B são colineares. Mostre que AM=MB 8) Prove que em um triângulo isósceles ABC, onde AB=AC, a mediana relativa a base BC é também a bissetriz e altura relativos ao ângulo BÂC. 9) Dado um triângulo isósceles ABC de base BC, considere as bissetrizes internas BD e CE desse triângulo. Prove que BD CE. 10) Na figura abaixo, BF=CD, A B F=E D C e B Â C=D Ê F Mostre que AC=EF
IV) Retas e Planios 1) Demonstre que, dadas duas retas paralelas existe um único plano que as contém 2) Demonstre que, dadas tres retas r, s e t de modo que r e s sejam concorrentes, r e t sejam concorrente, t e s sejam concorrentes. Se não existe um ponto comum as tres r, s e t simultaneamente então as retas r,s e t determinam um único plano que as contém. 3) Demonstre que, dadas duas retas paralelas r e s, e uma reta t concorrente com as retas r e s então existe um único plano que contém as retas r, s e t. 4) Demonstre que, dados uma reta e um ponto fora dela existe um único plano que contem a reta e o ponto dados 5) Demonstre que dadas duas retas coplanares e não paralelas existe um único plano que as contém 6) Demonstre que, dadas duas retas r e s tais que as reta r e s são paralelas a reta t e as três retas r,s,t não pertencem a um mesmo plano simultaneamente, então as retas r e s são paralelas. 7) Sejam dois pontos distintos A e B no espaço e seja a reta r definida pelos pontos A e B. Seja C um ponto fora da reta r e o plano α o definido pela reta r e o ponto C. Seja D um ponto não pertencente ao plano α e s a reta definida por D e C. A figura abaixo ilustra a construção das retas r e s Mostre que as retas r e s construidas como descrito acima são retas reversas
V ) Efetue as construções geométricas solicitadas e em cada uma delas descreva de modo sucinto os passos seguidos para efetuar a construção pedida CONSTRUÇÃO 1) Construa um triângulo equilátero cujos lados são congruentes ao seguinte segmento: A B. CONSTRUÇÃO 2) Por um ponto P fora de uma reta r traçar uma perpendicular a reta r CONSTRUÇÃO 3) Por um ponto P sobre uma reta r traçar uma perpendicular a reta r CONSTRUÇÃO 4) Divida o seguinte ângulo em duas partes congruentes:
CONSTRUÇÃO 5) dividir o seguinte segmento em duas partes congruentes CONSTRUÇÃO 6) Dados os três segmentos de reta, construir um triângulo cujos lados sejam congruentes com os segmentos dados : A B B C A C CONSTRUÇÃO 7) Dada a reta r e o ponto P sobre a reta r construir sobre esta reta e com vértice em P um ângulo congruente com o ângulo dado
CONSTRUÇÃO 8) Construir um triângulo, dados um de seus ângulos e dois de seus lados, um dos quais é oposto ao ângulo dado. A B A C CONSTRUÇÃO 9) Dado um ponto e segmento construir um segmento congruente e paralelo ao segmento AB passando pelo ponto C. Utilize apenas uma régua sem escala e um compasso. CONSTRUÇÃO 10) Construa um quadrado inscrito na circinferência dada abaixo, usando régua e compasso
CONSTRUÇÃO 11) Construa um triângulo equilátero inscrito na circinferência dada abaixo, usando régua e compasso CONSTRUÇÃO 12) Construa um hexágono regular circunscrito na circinferência dada abaixo, usando regua e compasso. CONSTRUÇÃO 13) Construa um hexágono regular cujo lado é congruênte com o segmento AB dado: A B