Matemática Frente I CAPÍTULO 22 EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA 1 - RECORDANDO Até agora, o nosso foco principal foi as retas: calculamos as equações geral e reduzida de uma reta, a interseção entre duas retas, as condições para duas retas serem paralelas ou perpendiculares, o ângulo entre duas retas, a distância entre um ponto e uma reta e a área de polígonos (que são figuras geométricas limitadas por retas). A partir de agora, vamos começar a estudar as curvas (que não são retas). E vamos começar pela curva mais famosa e mais importante, que é a circunferência. 2 - CENTRO NA ORIGEM Exercício Resolvido 2:. Qual é a área de? Para colocar a equação da circunferência no formato tradicional, vamos dividí-la por dois: Comparando a equação da circunferência normal, tem-se: e Seja uma circunferência de centro na origem, e um ponto genérico de. Como determinar a equação da circunferência? A área da. Então, tem-se: Uma maneira fácil de determiná-la é analisar o triângulo retângulo abaixo: a área da circunferência cuja equação é vale 16 unidades de área. 3 - EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA Nós acabamos de ver o caso particular em que uma circunferência tem centro na origem. Nesse caso, a sua equação é bem simples:. No entanto, na maioria dos casos o centro da um ponto diferente da origem. Isso complica um pouco a equação da circunferência. Para determiná-la, vamos fazer a mesma coisa que fizemos quando o centro estava na origem: analisar o triângulo retângulo abaixo: Figura 1 circunferência com centro na origem raio Logo a equação de uma circunferência de com centro na origem é a seguinte: Exercício Resolvido 1: Qual é a equação da circunferência com centro na origem e raio? Como, tem-se: a equação da circunferência com centro na origem e raio 5 é Figura 2 circunferência com centro em um ponto qualquer CASD Vestibulares MAT I 1
Logo a equação de uma circunferência de Exercício Resolvido 6: raio com centro em é a seguinte: Exercício Resolvido 3: Qual é a equação de uma circunferência com centro no ponto e raio? Como, tem-se: Poderíamos parar por aqui, mas vamos experimentar abrir as contas para ver no que dá: Exercício Resolvido 7: centro e qual é área de? A equação da circunferência com centro no ponto e raio é Exercício Resolvido 4: A área da. Então, tem-se: O centro de é o ponto e a sua área vale Exercício Resolvido 5: 4 - POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA Como nós vimos nos exemplos na geometria plana, há 3 possibilidades para a posição relativa entre um ponto e uma circunferência. Elas são: Ponto exterior à circunferência: nesse caso, Ponto pertencente à circunferência: nesse caso, Ponto interior à circunferência: nesse caso, 2 MAT I CASD Vestibulares
Exercício Resolvido 8: Exercício Resolvido 10: O ponto é exterior, pertencente ou interior à circunferência? O ponto é exterior, pertencente ou interior à circunferência? Portanto, é um ponto exterior a. Portanto, é um ponto interior a. é um ponto exterior a. Exercício Resolvido 9: O ponto ou interior à circunferência? é exterior, pertencente é um ponto interior a. 5 ENCONTRANDO O CENTRO Até agora, nós vimos nos exercícios resolvidos 1 e 3 que, dado o centro de uma circunferência e o seu raio, é simples calcular a sua equação.também vimos nos exercícios resolvidos 2, 4, 5, 6 e 7 que dada a equação de uma circunferência, é simples calcular o seu centro e o seu raio, desde que a equação da circunferência esteja no formato da equação geral. No entanto, a equação da circunferência nem sempre está no formato da equação geral: no exercício resolvido 3, vimos que a expressão representa uma circunferência de centro no ponto e raio. O problema é: se a equação da circunferência não estiver no formato da equação geral, como fazer para calcular o seu centro e o seu raio? A equação geral da : Portanto, é um ponto pertencente a. Desenvolvendo os quadrados, ela se transforma em: é um ponto pertencente a. CASD Vestibulares MAT I 3
Manipulando os termos, a equação geral da Exercício Resolvido 12: circunferência transforma-se em Determine o centro e o raio de, sabendo que a sua equação é Dessa forma, se os coeficientes de e são iguais a, tem-se que: o coeficiente de é o coeficiente de é o termo independente (do lado direito), é Para aplicar o nosso método, os coeficientes de e devem ser iguais a, logo vamos dividir a equação de por : Assim, isolando, tem-se que: Passo 1: para encontrarmos a abcissa centro, basta dividir o coeficiente de por Passo 2: para encontrarmos a ordenada centro, basta dividir o coeficiente de por do do Agora, vamos aos passos 1,2 e 3: Passo 1: o coeficiente de é. Passo 3: para encontrarmos o raio, basta substituir e na equação geral da circunferência, isolar os termos com na equação dada e substituí-los na expressão anterior: Passo 2: o coeficiente de é. Agora vamos aplicar esse método em alguns exercícios resolvidos: Exercício Resolvido 11: Passo 3: Substituindo e na equação geral da circunferência, tem-se que: Determine o centro e o raio de que a sua equação é, sabendo Passo 1: o coeficiente de é. A equação dada é: Passo 2: o coeficiente de é. Substituindo em : Passo 3: Substituindo e na equação geral da circunferência, tem-se que: O centro de é o ponto e o seu raio vale. A equação dada é: Substituindo em : O centro de é o ponto e o seu raio vale. 4 MAT I CASD Vestibulares
6 - RESUMO Nível II Neste capítulo, nós vimos os seguintes tópicos: Equação da circunferência com centro na origem: Equação geral da circunferência: Posições relativas entre um ponto circunferência : é exterior a se é pertencente a se é interior a se e uma Finalmente, vimos como determinar o centro e o raio de uma circunferência, quando a sua equação não está na forma geral. Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (UNESP - 01) A equação da circunferência com centro no ponto C= (2,1) e que passa pelo ponto P= (0,3) é dada por a) x 2 + (y - 3) 2 = 0. b) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 4. c) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 8. d) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16. e) x 2 + (y - 3) 2 = 8. 2. (UFSCAR- 02) O raio da circunferência inscrita em um triângulo de lados, e c \ pode ser calculado pela fórmula onde é o semiperímetro do triângulo. Os catetos de um triângulo retângulo medem 3 e 4 e estão sobre os eixos cartesianos, conforme a figura. 3. (UNESP - 03) Considere a circunferência λ, de equação (x - 3) 2 + y 2 = 5. a) Determine o ponto P = (x, y) pertencente a λ, tal que y = 2 e x > 3. b) Se r é a reta que passa pelo centro (3, 0) de λ e por P, dê a equação e o coeficiente angular de r. 4. (UFF - 06) Considere P e Q os pontos de interseção da reta de equação 2y - x = 2 com os eixos coordenados x e y, respectivamente. a) Determine as coordenadas dos pontos P e Q. b) Determine a equação da circunferência que tem o segmento PQ como diâmetro. 5. (FATEC - 97) Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de equação x 2 + y 2-2x - 4y - 4 = 0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é: a) y = 2x + 1 b) y = 2x -1 c) y = x/2 d) y = 2x e) y = x 6. (FATEC - 06) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, considere a circunferência λ e a reta r, de equações x 2 + y 2-6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y - 21 = 0. respectivamente. A reta s, que é paralela a r e contém o centro de λ, tem equação a) 3x + 7y - 2 = 0 b) 3x - 7y - 2 = 0 c) 3x - 7y + 5 = 0 d) 3x + 7y - 16 = 0 e) 7x + 3y - 2 = 0 7. A área do quadrado inscrito na circunferência x 2 + y 2 + 4x - 6y -3 = 0 é: a) 8 b) 12,5 c) 16 d) 30 e) 32 8. Quais os valores de para que o ponto seja externo a circunferência ( x + 1 ) 2 + ( y -1) 2 = 25? 1. C 2. a) b) GABARITO 3. a) ) b) Determine nesse triângulo: a) o raio da circunferência inscrita. b) a equação da circunferência inscrita. 4. a) b) ( ) CASD Vestibulares MAT I 5 5.D 6. A 7. E 8.